Рабочая тетрадь по математике: «Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа № 1»

Рабочая тетрадь по математике:

«Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»

Автор: Алишина Ирина Васильевна,

учитель математики.

2015 г.

Содержание

1.

Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения………………………………………………………………………………

4

1.1. Понятие логарифма………………………………………………………………

1.2. Самостоятельная работа 1………………………………………………………..

1.3. Свойства логарифмов………………………………….…………………………

1.4. Самостоятельная работа 2……………………………………………………….

1.5. Задания для самоконтроля…………………………………………………….…

1.6. Логарифмическая функция………………………………………………………

1.7. Самостоятельная работа 3………………………………………………………..

1. 8. Логарифмические уравнения……………………………………………………

1.9. Самостоятельная работа 4………………………………………………………..

1.10. Самостоятельная работа 5………………………………………………………

1.11. Логарифмические неравенства…………………………………………………

1.12. Самостоятельная работа 6………………………………………………………

1.13. Контрольная работа……………………………………………………………..

5

8

9

11

12

13

14

16

19

21

22

26

27

1. Рабочая тетрадь по математике

Тема: «Логарифмы и их свойства.

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения».

Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством учителя) изучение обучающимися темы «Логарифмическая функция» в полном объёме. Структура рабочей тетради соответствует разделам учебника Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов, а уровень заданий - требованиям, предъявляемым Государственным стандартам полного сребнего образования по предмету «Математика». Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие логарифма», «Логарифмы и их свойства», «Логарифмическая функция, ее свойства и график», «Решение логарифмических уравнений», «Решение логарифмических неравенств». В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.

Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний учащихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.

4

1.1. Понятие логарифма

Решим уравнение а^x= b, где a> 0, a ≠ 1.

Данное уравнение имеет единственное решение при b> 0: x = log_ab.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

а^logb= b

таким образом, получим основное логарифмическое тождество

Пример 1. Вычислить 3

Решение: 3=5

Пример 2. Вычислить 7

Решение: 7=(7)=3=

Задание 1

Вычислить:

1) 2 ________________________________________________

2) 5 ________________________________________________

3) 3 ________________________________________________

4) ________________________________________________

Пример 3. Вычислить log₂ 32

Решение: log₂ 32 = 5 , т.к. 2⁵ = 32

Пример 4. Вычислить log₃

Решение: log₃ = -2, т.к. 3^-2 =

Пример 5. Вычислить log5 =, т.к. 125 = = 5

Задание 2

1) log₂16 ________________________________________________

2) log₃27 ________________________________________________

3) log₅ 625 _____________________________{___________________________}

4) log64 ________________________________________________

5) log_{_________________________________________________________________}

6) log_{_________________________________________________________________}

7) log₄ 4 __________________________________________________

8) log₈ 1 __________________________________________________

Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lgb.

Пример 6. Вычислить lg 10

Решение lg 10 = 1, т.к. 10¹ = 10

Пример 7. Вычислить lg 0,01

Решение lg 0,01 = -2, т.к. 10^-2 = =0,01

Задание 3

Вычислить:

1) lg 100 ____________________________________________________

2) lg 1000 ____________________________________________________

3) lg 0,1 ____________________________________________________

4) lg 0,001 ____________________________________________________

5) 10 ____________________________________________________

6) 10 ____________________________________________________

Пример 8. Решить уравнение log₃ (1-x) = 2.

Решение:

По определению логарифма 3² = 1- х, 5

1- х = 9,

-х = 8,

Откуда: х = -8

Пример 9. Решить уравнение log_x8 = 3

Решение:

По определению логарифма х³ = 8,

х = , х =2

Задание 4

Решить уравнение:

1) log₆ x = 3,

х=6^?,

х=___.

ответ: ______

2) log₂(5- x) = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

3) log₃(x+2) = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4) log_x 27 = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

5) log_x = -1

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Пример 10. При каких значениях х существует log_{5 .}

Решение:

Так как основание логарифма 5 > 0 и 5 ≠ 1, то данный логарифм существует только тогда, когда > 0.

Решая это неравенство методом интервалов: найдём корни числителя и знаменателя: х=1, х =2;

х

2

1

Ответ: (1;2)

Задание 5

Выяснить, при каких значениях х существует логарифм:

1. log(4-х);

4-х >0,

-х >_____

хх <_____

Ответ:

1) log₈.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________ 6

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

2) lg (49 - x²)

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

*3) log_x(2x - 1)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

7

1.2. Самостоятельная работа 1

1. Вычисли логарифмы и впиши буквы в соответствующие клеточки таблицы.

log25

Ф

lg 100

Г

log₆

И

log7

А

lоg₁₂₅5

К

log

Р

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2

-

-2

2) Решить уравнение: log₄ (0,5 +х) =1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3) При каких значениях х существует логарифм log_0,7(5-х)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

8

1.3. Свойства логарифмов

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства:

1. log a 1 = 0

2. log a a = 1

3. log a (xy) = log a x + log a y

4. log a = log a x - log a y

5. log a x =p log a x

6. log a = log a x

7. log a =

8. log a x =

Пример 1. Вычислить log₆ 18 + log₆ 2

Решение: По 3 свойству log₆ 18 + log₆ 2 = log₆ (18 ·2) = log₆ 36 = 2

Пример 2. Вычислить log₁₂ 48 - log₁₂ 4

Решение: По 4 свойству log₁₂ 48 - log₁₂ 4 = log₁₂ () = log₁₂ 12 =1

Пример 3. Вычислить log ₃

Решение: По 5 свойству log ₃ =log ₃ 3= log ₃ 3 = · 1 =

Задание 1

Вычислить:

1) log₁₂ 2 + log₁₂ 72

_________________________________________________________________

2) log₃ 6 + log₃

_________________________________________________________________

3) lg2 + lg5

_________________________________________________________________

4) log₅ 75 - log ₅ 3

_________________________________________________________________

5) log₂ 15 - log ₅

_________________________________________________________________

6) log₈ - log ₈ 32

_________________________________________________________________

7) log ₁₃

_________________________________________________________________

8) log ₁₁

_________________________________________________________________

Пример4.Вычислить: log₅ - log₅ 12 + log₅ 50

Решение: log ₅ - log ₅ 12 + log ₅ 50 = log ₅ - log ₅ 12 + log ₅ 50 =

= log₅ = log₅ = log₅ 25 = 2.

Пример 5. Вычислить:

9

Решение: По 8 и 7 свойству = log8 = log2= .

Пример 6. Вычислить log_ax , если log_а b = 3, log_а с = -2 и х = ab

Решение: По 3 и 5 свойству log _a x = log _a (ab) = log a+ log _a b+log _a= 3 log a +2 log b + log c = 3 + 2· 3 + · (-2) = 8.

Задание 2

Вычислить:

1) log₈ 12 - log₈ 15 + log₈ 20

_______________________________________________________________

2) log₇ 36 - log₇ 14 - 3 log₇

_______________________________________________________________

3)

_______________________________________________________________

4)

_______________________________________________________________

5) Вычислить log_ax , если log_а b = 5, log_а с = 4 и х = abс

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

10

1.4. Самостоятельная работа 2

1)Вычислить:

а) log₉ 15 + log₉ 18 - log₉ 10

_______________________________________________________________

б) 2log6 - log400 + 3log

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

2) Решить уравнение:

log₃(x - 5) = 2

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

3)При каких х существует логарифм

log_0,5(4х+35)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

*4)Вычислить 36+10- 8

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

11

1.5. Задания для самоконтроля

Вычисление логарифмов

1 вариант

1

2

3

4

5

1.

Вычислить:

5

0

-1

1

25

2.

Вычислить:

0

1

5

-5

-1

3.

Вычислить:

4

-4

-3

-5

25

4.

Вычислить:

-3

5

25

-5

3

5.

Вычислить:

6

5

25

-2

-5

1 вариант

1

2

3

4

1. Вычислить :

у

1

2

К

м

3

т

4

2. Вычислить:

к

1

у

0,5

-3,5

Р

и

3

3. Вычислить:

-1

Ю

о

1

р

0

м

2

4. Определить х, если:

1

л

о

с

к

Вычисления с использованием основных свойств логарифма.

1 вариант

1

2

3

4

1.Определить , если известно, что ,

у

3а+2в

К

2а+3в

м

а-в

т

а+в

2. Вычислить:

к

0,5

у

-0,5

л

1

р

1,5

3.Вычислить:

Ю

ё

о

м

4.Вычислить:

(

Л

2

к

1

с

т

-1

12

1.6. Логарифмическая функция

В математике и её приложениях часто встречается функция у = , где а - заданное число, а, а

• Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.

• Множествозначений логарифмической функции - множество всех действительных чисел.

• Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x, если аи убывающей, если 0

• Если а , то функция у = принимает положительные значения при х отрицательные при 0 Если 0, то функция у = принимает положительные значения при 0 отрицательные при х

• Отметим, что график любой логарифмической функции у = проходит через точку (1;0).

• При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема: Если , где а > 0, а ≠ 1, х > 0, у > 0 то х = у.

Применение свойств функции при решении задач.

Свойство монотонности ( возрастания, убывания ) функции часто применяются при решении заданий сравнения чисел, например:

1. Сравните числа:

Решение: функция У= обладает свойством ВОЗРАСТАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что , значит, и сами логарифмы этих чисел получат при сравнении тот же знак: .

Приведём ещё пример:

2. Сравните числа:

Решение: функция У= обладает свойством УБЫВАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 17 , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении противоположный знак:

Итак, ВЫВОД: при сравнении логарифмов с основанием, большим 1, ставим знак тот же, что и при сравнении выражений наших логарифмов,

а при сравнении логарифмов, основания которых больше 0 , но меньше 1, знак сравнения выражений логарифмов меняем на противоположный.

А теперь попробуйте сами:

3. Сравните числа:

Решение: функция У= обладает свойством ________________________, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 81_____ , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении _____________________знак: 13

1.7. Самостоятельнаяработа 3

1. Сравните числа:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Сравните числа:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Сравните числа :lg 2,7 и lg 3,5

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Из предложенных графиков функций укажите график логарифмической функции:

Верный ответ под цифрой: _____________________________________________________________________________

5. С помощью графиков выясните, сколько решений имеет уравнение:

_____________________________________________________________________________

6. Выясните, является ли функция возрастающей или убывающей функция:

• У= - эта функция является убывающей, поскольку её основание есть число меньше 1 (0,075)

• У = эта функция является ____________, поскольку её основание есть число ________1 (

• У = ________________________________________________________________

• У = ________________________________________________________________

7. Выясните, является ли положительным или отрицательным число:

Объяснение очень просто: число 3 и число 4,5 находятся по одну сторону от 1

(3 и 4,5)

Объясните самостоятельно: _______________________________________________ 14

• 

• ______0

Пока мы не умеем решать так называемые «Логарифмические уравнения» , поскольку не знаем способов решения, но мы знаем уже достаточно много, чтобы попробовать решить самые простые уравнения, приведём примеры:

8. Решить уравнение :

Используя теорему о равенстве логарифмов, получаем:

3х-2=7,

3х=9,

х=3.

Ответ: 3.

• такие уравнения рассматривались нами в разделе «Логарифмы. Основные понятия»

Решаем с помощью определения логарифма:

5х-1 =,

5х-1 = 9,

5х = 10,

х = 2.

Ответ: 2.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Найдите область определения функции:

• У= , по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:

х-1, х Ответ: (1;.

• У=

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• У=х²),

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• У=

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Установите, истинны ли следующие утверждения:

• Если ,

то х = -у._____________________________________________________________________

• 1.______________________________________________________________

15

1. 8. Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида log_af(x)=log_ag(x), (1)

где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение log_af(x)=log_ag(x)

(гдеа >0, a ≠1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению

f(x) = g(x) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение f(x) = g(x), а затем проверяют его корни по условиям f(x) >0, g(x) >0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x)=g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(x) =g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение:

1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем:

;

;

=4, .

2) Проверим найденные корни по условиям:

Значение не удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно заметить, что не удовлетворяет второму неравенству системы), т.е.- посторонний корень для заданного уравнения. Значение х =-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х =-3 - корень заданного уравнения.

Ответ: х = -3.

Пример 2. Решить уравнение:.

Решение:

1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1). Для этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение выражением . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

2) Потенцируя, получаем:

=;

=;

,

,

3) Проверим найденные корни по условиям:

(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению). Значение удовлетворяет этой системе неравенств, а значение не удовлетворяет (это посторонний корень).

Ответ:

Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств - в примере 2 решением системы неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это - область допустимых значений переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни х₁=-1, х₂=-5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений. В примере 2 значение х = -1 принадлежит интервалу (-1,5, 0,5), а значение этому интервалу не принадлежит. Следовательно, - посторонний корень, т.е. - единственный корень заданного логарифмического уравнения. 16

Подведем некоторые итоги.

Можно выделить три основных метода решения логарифмических уравнений:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3)Метод введения новой переменной.

Пример 3. Решить уравнение

Решение: Введём новую переменную , тогда уравнение приобретает вид :

,

Если , то , отсюда следует, что ,

Если , то , отсюда следует, что ,

Ответ: 4;8.

Рассмотрим ещё один из способов решения логарифмических уравнений:

Пример 4. Решить уравнение

Решение: Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это - равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим:

Учтем, что и что

Этопозволит переписать заданное уравнение в виде: Замечаем, что «проявилась» новая переменная , относительно которой уравнение принимает весьма простой вид:

Далее получаем:

Но, значит, нам осталось решить два уравнения:

Из первого уравнения находим , т.е. ;

из второго уравнения находим, т.е. Ответ: ;

Задания для самостоятельного выполнения:

Решите уравнения:

1. ,

ОДЗ:

По теореме о равенстве логарифмов:

,

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.

Ответ: _______________________.

17

ОДЗ:

Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:

=3,

По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Ответ:____________.

Решение: введём новую переменную: , тогда получим уравнение:

,

Если , то , отсюда следует, что

Если _____________________________________________________________

Ответ: _________________.

18

1.9. Самостоятельная работа 4

1. Решите графически уравнение:

Рассмотрим две функции: и у и построим их графики в одной х

у

0

системе координат.

2. Решите уравнение:

а)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Решение простейших логарифмических уравнений и систем.

1 вариант

1

2

3

4

1. Решить уравнение:

у

3

К

4

м

1

т

-2

2. Решить уравнение:

к

з

{9;}

Р

3

и

{3;

3. Решить уравнение:

Ю

-4

е

р

-2

м

1

Решите уравнения:

4. , 19

ОДЗ:

По теореме о равенстве логарифмов:

,

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.

Ответ:_______________________.

ОДЗ:

Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:

=3,

По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Ответ:_______________________.

Решение: введём новую переменную: , тогда получим уравнение:

,

Если , то , отсюда следует, что

Если _____________________________________________________________________

Ответ: _________________.

20

1.10. Самостоятельная работа 5

1. Решите графически уравнение:

х

у

0

Рассмотрим две функции: и у и построим их графики в одной системе координат.

2. Решите уравнение:

а)

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Решение простейших логарифмических уравнений и систем.

1 вариант

1

2

3

4

4. Решить уравнение:

у

3

К

4

м

1

т

-2

5. Решить уравнение:

к

з

{9;}

Р

3

и

{3;

6. Решить уравнение:

Ю

-4

е

р

-2

м

1

7. Решить систему:

Л

(2;6);

(6;2)

о

(2;4);

(4;2)

с

(5;1);

(1;5)

К

(1;7);

(7;1)

21

1.11. Логарифмические неравенства

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида log_af(x)log_ag(x), (1)

где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то:

логарифмическое неравенство log_af(x)>log_ag(x) равносильно неравенству того же смысла f(x) >g(x) при а > 1;

логарифмическое неравенство log_af(x)>log_ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x) g(x) при 0а 1.

На практике эту теорему применяют так: переходят от неравенства log_af(x)>log_ag(x)

при а > 1 к равносильной ему системе неравенств:

а при при 0а 1к равносильной системе неравенств:

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) - в случае, когдаа>1, - либо противоположен знаку неравенства (1) - в случае, когда 0 <а <1.

Пример 1. Решить неравенства:

а);б) .

Решение: а) Область допустимых значений переменной для заданного неравенства определяется условиями: и . Поскольку основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла: .

В итоге получаем систему неравенств:

Из первого неравенства системы находим , из второго -, из третьего -

Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств:

б) Здесь основание логарифма, т.е. число , меньше 1. Значит, соответствующая система неравенств имеет вид:

(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).

Из первого неравенства системы находим , из второго - , из третьего - . 22

Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств:

Ответ: а); б)

Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2л; -4 > 14 - я, а второе - 14 - х >0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству транзитивности неравенств) следует, что2а; -4 >0. Что это значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.

Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.

Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию :

Это позволит переписать заданное неравенство в виде:

Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1, составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:

Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (еслиА16, то тем более А>0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:

С помощью метода интервалов (рис.)

получаем

Ответ:

Пример 3.

Решить неравенство: +

Решение: Имеем последовательно:

+

Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду

«Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравенство того же смысла: А условия, задающие область допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству; в данном примере они таковы: и . В итоге получаем систему неравенств:

23

Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства

Решая третье неравенство системы, находим:

Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ранее интервалом , находим их пересечение

т.е. решение составленной выше системы неравенств:.

Ответ:.

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменной, но сначала надо разобраться с выражением .

Имеем:

Итак, если у = log₂x, то

Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде

Найдем корни квадратного трехчлена

Значит,, а потому последнее неравенство можно переписать в виде

Находим решение неравенства: .

Подставив вместоу выражение , получим: или, что тоже

самое, . Остается «освободиться» от знаков логарифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: Ответ:

Задание: Решите неравенство:

Составим систему неравенств:

при переходе от логарифмов к их выражениям знак неравенства _____________________________________________________________________________

х

Ответ:_________.

24

2. .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Представим число -4 в виде логарифма -4 =, тогда получим систему неравенств:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

х

Ответ:________________.

4. .

Введём новую переменную y=, тогда неравенство примет вид: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:__________________.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдите область определения функции:

• У= , по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:

х-1,

х

Ответ: (1;.

• У=

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• У=х²),

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• У=

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Установите, истинны ли следующие утверждения:

• Если ,

то х = -у.

_____________________________________________________________________________

• 1.

___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

25

1.12. Самостоятельнаяработа 6

Решите неравенство:

• ;

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

х

Ответ:_________.

26

1.13. Контрольная работа

Задание

Варианты ответов

1

2

3

4

5

1.Вычислить:

a)

b)

1

2

4

0

4

-6

4

-4

0

-6

2.Решить простейшее уравнение:

5

6

4,5

5,5

3.Решить уравнение:

+=2

-1

-5;2

-2;1

2

4.Решить неравенство:

(;5)

(;

5.Найти область определения функции:

Y=-7x)

27