СИСТЕМА ОТКРЫТЫХ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Система открытых задач по геометрии как средство формирования учебно-познавательной компетентности обучающихся.

В условиях реализации Федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике в учебно-воспитательном процессе необходимым условием развития и социализации школьников является овладение общими умениями, навыками, способами познавательной, информационно-коммуникативной, рефлексивной деятельности, приобретение опыта разнообразной деятельности, в том числе опыта творческой деятельности.

Современному учителю необходимо обеспечить не только усвоение содержания программного материала, но, главное, создать условия для развития мыслительной деятельности учащихся. Наличие учебно-познавательной компетентности у учащихся будет обеспечивать им не только успешное обучение в школе, но и реализацию своих способностей за её пределами, поскольку умения самостоятельно искать, анализировать и отбирать знания, преобразовывать, сохранять и передавать их, владеть приёмами действий в нестандартных ситуациях являются важными условиями самостоятельной жизнедеятельности.

Как показывает практика работы, среди всех предметов математического цикла именно геометрия обладает самым большим развивающим потенциалом. Содержание геометрии позволяет внести определенный вклад в решение данной проблемы. Основными объектами геометрии являются модели реальных объектов, для которых определяется геометрическая форма, размеры, взаимное расположение с другими объектами на плоскости и в пространстве, т.е., в отличие от алгебры, её содержание менее абстрактно, более образно, поэтому есть возможность продемонстрировать связь математической теории и практических задач, с которыми учащиеся встречались. Да и возрастание значимости геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники, искусства - заметная тенденция сегодняшнего времени. Однако следует признать, что за последние годы уровень геометрической подготовки учащихся снижается.

Диагностические работы в седьмых классах свидетельствует о том, что у учащихся недостаточно сформирован навык обозначения и классификации геометрических фигур и умение применять геометрическую лексику.

Возможны следующие пути решения данных проблем:

1) применение системы открытых задач на различных этапах урока как средства повышения качества математического образования , средства

уровневой дифференциации и индивидуализации обучения;

2) формирование у учащихся умения использовать приобретенные знания для познания нового учебного материала;

3) овладение учащимися рациональными способами умственной деятельности и элементами поисковой деятельности, различными средствами и методами познания при решении разнообразных задач.

Классическая школьная задача состоит из данных и вопроса (задания). При этом у подавляющего числа задач встречается только два вопроса: найдите (в частности постройте, то есть найдите алгоритм) и докажите. Кроме того, в классической задаче, как правило, неявно предполагается следующее: 1) данных достаточно, чтобы задачу решить, 2) среди данных нет лишних, 3) ученик обладает достаточным объемом знаний (фактов и методов) для решения задачи.

Очевидно, что такая структура школьной задачи имеет немалое число достоинств. Однако многие умения, которые необходимы ученикам для достаточно глубокого овладения геометрией, трудно сформировать при решении только классических задач.

Для плодотворной работы с классической школьной задачей необходимо ставить немалое число дополнительных вопросов разного типа. Таким образом, сложившаяся в школе традиция обучения геометрии включает следующее: достаточно однотипно в структурном отношении построенные задачи и разнообразные разговоры вокруг их содержания.

Для активизации познавательной деятельности обучающихся требуется максимально возможное число задач (в их число входят и теоремы обычного курса) сформулировать более открыто: не давать готового утверждения; давать неполные данные; просить исследовать ситуацию, обобщить задачу, придумать задачу по данной конструкции и т.д. Так сформулированные задачи и называются открытыми .

На уроках геометрии необходимо наряду с традиционными «найдите» и «докажите» ставить много других требований (как при решении задач, так и при изучении теории) и стремиться к тому, чтобы ученики сами начали задавать себе различные вопросы. Например, некоторые из них:

1) Верно ли данное утверждение? Если верно, то докажите его. Если неверно, то приведите опровергающий пример.

2) Что можно, а что нельзя найти по данным задачи?

3) Нельзя ли ослабить условие? Нельзя ли усилить утверждение?

4) Нельзя ли уточнить (исправить) неверное утверждение?

5) Как можно продолжить последовательность утверждений (задач)?

6) Верно ли утверждение в предельном случае? Если да, то работает ли найденное доказательство для предельного случая или этот случай надо разбирать отдельно?

7) Какого типа задачи можно решить данным методом?

Например , открытые задачи по теме «Параллельные прямые, сумма углов треугольника»(7 класс).

1. Саша провел три прямые и измерил несколько углов. У него получились углы 20⁰, 60⁰, 80⁰ и 140⁰. Могло ли так быть?

2. Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с 1) 8, 2) 6, 3) 7 другими прямыми?

3. Найдите сумму углов 1) четырехугольника, 2) пятиугольника, 3) n-угольника, все углы которого меньше 180⁰.

4. Найдите сумму внешних углов 1) треугольника, 2) четырёхугольника, 4) n-угольника, все углы которого меньше 180⁰.

5. Найдите сумму углов при вершинах 1) пятиконечной звезды, 2) семиконечной звезды. 3) Обобщите задачу.

6. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Определите вид треугольника.

7. Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. Концы лестницы начинают скользить по полу и по стене. Какова траектория движения кошки?

8. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. Что можно сказать об образовавшихся углах?

9. Высота треугольника делит его на два треугольника, причем каждый угол одного треугольника равен какому-то углу второго треугольника. Определите вид исходного треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике с углом в 30⁰ проведены биссектриса и высота из вершины прямого угла. Найдите величины углов, на которые они делят прямой угол.

11. В неравнобедренном прямоугольном треугольнике проведены высота, биссектриса и медиана к гипотенузе. Рассмотрите углы, на которые они делят прямой угол. Найдите и докажите утверждение об этих углах.

12. Дан угол А. Найдите внутри угла множество всех точек L, расстояния от которых до сторон угла равны.

13. Дан треугольник АВС. Всегда ли существует точка L, равноудаленная от сторон треугольника? Единственная ли эта точка?

14. В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса внешнего угла при его вершине. Найдите и докажите утверждение по данной конструкции.

15. Внутри угла А взята точка М и из нее опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла. Как связаны величины углов А и ВМС? Что изменится в решении задачи, если точка М находится вне угла? Как бы вы сформулировали условие задачи в граничном случае, когда точка М лежит на стороне угла?

16. Какие значения может принимать а) наибольший угол треугольника, б) наименьший угол треугольника, в) средний по величине угол треугольника?

17. Биссектриса угла А делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника.

18. 1) В треугольнике два угла равны 20⁰ и 60⁰. Разрежьте его на два равнобедренных треугольника. 2) В треугольнике два углы равны 120⁰ и 15⁰. Можно ли его разрезать на два равнобедренных треугольника?

При использовании открытых задач в обучении необходимо иметь в виду следующее.

Во-первых, у каждого ученика есть посильная ему мера неопределенности (а в открытых задачах она сильно повышена). У средних школьников задача, сформулированная по принципу «пойди туда, не знаю куда», вызывает чувство неуверенности. Напротив, математически одаренным ученикам нравится повышенная степень неопределенности, так как они любят все делать максимально самостоятельно.

Во-вторых, решение открытых задач обладает несравненно большей содержательной неопределенностью, чем решение классических задач. «По дороге» тот или иной ученик порой открывает теоремы, изучение которых по плану курса отложено на более позднее время. Бывают случаи, когда школьники находят достаточно интересные и на первый взгляд стройные «доказательства» неверных утверждений. Поиск ошибок в таких «доказательствах» является чрезвычайно полезным и развивающим видом деятельности.

При изучении курса геометрии чередуются разные виды деятельности, что повышает работоспособность детей. Следует отметить, что ученики, как правило, общаются друг с другом: помогают, делятся идеями, сравнивают решения, обсуждают задачи вне уроков .

Данная система открытых задач оказывает влияние на повышение качества математического образования учащихся, формирует положительную мотивацию учения, навык самообучения и самоорганизации.

Таким образом, учителям рекомендуется максимально использовать потенциальные возможности, заложенные в различных типах открытых задач при формировании учебно-познавательной компетентности обучающихся.

Литература

1.Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвещение, 1977.

2. Сгибнев А.И. Исследуем на уроке и на проекте // Учим математике / Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. М.: МЦНМО, 2006.

3. Сгибнев А.И. Как задавать вопросы? // Математика. 2007. № 12

4. Хуторской А.В. Ключевые компетенции . Технология конструирования

/ А.В. Хуторской // Народное образование. - 2003. - № 5.