Некоммерческое партнёрство

«Техникум экономики и предпринимательства»

Утверждаю

Директор ТЭП Никольская Н.Н.

______________________

подпись

«___»___________20___ г.

Комплект оценочных средств

для проведения итоговой аттестации

в рамках основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО

080110 Банковское дело

Тамбов, 2013

Разработчики:

Техникум экономики и предпринимательства г. Тамбов,

преподаватель II категории Удалова Т.В.

___________________ _________________ _____________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

Эксперты от работодателя¹:

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

I. Паспорт комплекта оценочных средств

1. Область применения комплекта оценочных средств

Комплект оценочных средств предназначен для оценки результатов освоения учебной дисциплины «Элементы высшей математики»

Таблица 1²

Результаты освоения³

(объекты оценивания)

Основные показатели оценки результата и их критерии⁴

Тип задания;

№ задания⁵

Форма аттестации

(в соответствии с учебным планом)

Уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности

-Применение пределов в экономике (Вычисление сложных процентов);

- Обоснование приложения геометрического смысла одностороннего предела;

- Обоснование приложения геометрического и механического смысла производной;

- Описание процессов в естествознании и технике с помощью дифференцирования;

-Использование производной в экономике (Нахождение эластичности и ее применение в экономическом анализе);

- Обоснование приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного точкой;

- Владение приемами построения и исследования математических моделей при решении прикладных задач и задач из смежных областей;

Билеты к экзамену

Экзамен

Знать основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, основы интегрального и дифференциального исчисления

-Правильное истолкование понятия функции, выбор способа задания функции;

-Систематизация графиков функций;

-Определение свойств функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность, точек экстремума, выпуклости функции;

-Грамотность формулировок предел функции в бесконечности и в точке;

-Распознание формул (Основные теоремы о пределах. Пределы элементарных функций);

-Условия применения методов вычисления пределов;

-Определения бесконечно-малых и бесконечно больших величин;

-Систематизация формул: замечательные пределы, односторонние пределы;

- Классификация точек разрыва;

- Формулировка правил дифференцирования и перечисление производных основных элементарных функций;

- Перечисление табличных интегралов;

- Формулировка классического определения вероятности

-Формулировка свойств возрастания и убывания функций по теореме Лагранжа;

-Классификация и формулировка свойств об экстремумах функций;

-Формулировка необходимого и достаточного условия экстремума по теореме Ферма;

-Определение второй производной и ее геометрическая интерпретация (Выпуклость графика функции. Точки перегиба);

- Формулировка условий существования асимптот;

- Перечисление табличных интегралов;

-Понятие и применение неопределенного интеграла ;

-Перечисление основных свойств неопределенного интеграла;

-Аргументированность выбора методов интегрирования;

-Правильность символики и определение построения определенного интеграла;

-Нахождение площадей по формуле Ньютона - Лейбница;

-Выполнение действий над матрицами

- Вычисление определителей

- Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

- Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

- Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

-Перечисление последовательности действий при решении систем линейных уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса

- Формулировка определений и перечисление свойств скалярного, векторного и смешанного произведения векторов

- Классификация точек разрыва

- Формулировка правил дифференцирования и перечисление производных основных элементарных функций

- Перечисление табличных интегралов

Билеты к экзамену

Экзамен

2. Комплект оценочных средств⁶

2.1. ЗАДАНИЕ (теоретическое) № 1.

Текст задания

1. Матрицы. Действия над матрицами.

2. Определители. Свойства определителей.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Система координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости

6. Основные теоремы о пределах

7. Пределы элементарных функций

8. Замечательные пределы

9. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

10. Основные правила дифференцирования.

11. Теорема Лагранжа. Возрастание и убывание функции

12. Теорема Ферма. Экстремум функции.

13. Условие существования для точек перегиба

14. Общая схема исследования функции.

15. Неопределенный интеграл.

16. Основные свойства неопределенного интеграла.

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

18. Методы интегрирования.

19. Вычисление площадей криволинейных фигур.

20. Математические модели задач линейного программирования.

Эталон ответов

1. Матрицы. Действия над матрицами.

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

(1)

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i =; j = ). Числа a_{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Действия над матрицами.

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a_{i j}).

2. Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

3.Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +... + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}. (2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

4. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Аm×n = (аij) на число к называется матрица Вm×n= (bij) такая, что bij = к* аij.

5. Элементарные преобразования:

- Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

- Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

- Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

2. Определители. Свойства определителей.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (1)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (2)

где индексы q₁,q₂,...,q_n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (2) равен (- 1)^q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (1), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А, называемое ее определителем, следующим образом:

1. n = 1. А = (а11); det А = а11.

2. n = 2. det А = а11*а22 - а12*а21.

3. n = 3. det А = (а11*а22*а33 + а12*а23*а31+ а21*а32*а13) - (а31*а22*а13 + а21*а12*а33 + а32*а23*а11)

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i = )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_njA_nj (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид ,

где (), - числа. называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднороным.

В этом параграфе мы будем рассматривать систему линейных уравнений с неизвестными, т.е. систему вида

(1)

Обозначим через и следующие матрицы:

и .

Матрицу называют основной матрицей системы (1), а матрицу - расширенной матрицей системы (1).

Пусть - матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов, т.е.

и .

Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения . Его называют матричной формой системы (1).

Упорядоченный набор чисел называется решением системы (1) если он обращает в тождество каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решение, называется неопределенной.

Критерии совместности и определенности системы дают следующие две теоремы

ТЕОРЕМА (Кронекера - Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

.

ТЕОРЕМА (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е.

.

4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Методы решения систем линейных уравнений

1) Матричный метод.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице называется матрица, обозначаемая , такая, что .

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1) Если матрица имеет обратную, то и - квадратные одного порядка.

Действительно, чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры и . Тогда матрица будет иметь размер , а матрица - размер . Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, т.е. .

2) Если обратная матрица существует, то она единственная.

Действительно, если предположить, что существует две матрицы и обладающие свойством

и ,

то будет существовать и произведение , причем

и .

Следовательно, .

3) Если матрица имеет обратную, то определитель матрицы отличен от нуля.

Действительно, так как и для любых квадратных матриц и , то

и, следовательно, и .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

Условие невырожденности матрицы оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным. Т.е. справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Причем обратная матрица может быть найдена по формуле:

,

где - матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.

.

Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы .

Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений и число неизвестных совпадает и . Тогда:

1) и, следовательно, такая система имеет единственное решение.

2) Матрица имеет обратную матрицу .

Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы . Запишем систему в матричной форме:

(2)

Умножим обе части равенства (2) на слева. Получим:

,

,

,

. (3)

Таким образом, если в системе линейных уравнений и , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (3). Нахождение решения по формуле (3) называют матричным методом решения системы.

2) Метод Крамера.

Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений и число неизвестных совпадают и матрица системы - невырожденная. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам

(), (4)

где , а - определитель, получаемый из определителя заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

Формулы (4) называются формулами Крамера.

5. Система координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости

Основные приложения метода координат на плоскости

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты и каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

Мы уже рассматривали декартову систему координат при изучении векторов.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч . Положение точки плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием (полярный радиус) от полюса и углом (полярный угол), образованным отрезком с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки). Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (и ), а полярный радиус . В этом случае каждой паре точек плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и обратно.

Прямоугольные координаты точки выражаются через полярные координаты: .

Полярные координаты точки выражаются через ее декартовы координаты: .

Определяя величину , следует установить (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Расстояние между двумя точками

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точками и . Числа , могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или .

Возьмем все числа положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку - вертикальную. Пусть - точка их пересечения.

Тогда по теореме Пифагора ,

откуда .

Расстояние между двумя точками и плоскости равно длине вектора :

.

Замечание. Формула остается в силе независимо от того, как расположены точки и , если одна из точек имеет отрицательные координаты, так как величина положительна, даже если величина отрицательна.

Пример. Определить расстояние между точками и

Решение. .

Деление отрезка в данном отношении

Пусть на прямой задан отрезок (- начало отрезка, - его конец); тогда всякая третья точка этой прямой делит отрезок в некотором отношении , где . Если точка лежит между точками и , то значение положительно; если точка лежит на прямой вне отрезка , то - отрицательно. Если точки и лежат на оси , то координата тоски делящей отрезок между точками ) и ) в отношении , определяется по формуле .
При получается формула для координаты середины отрезка .

Координаты точки (), делящей отрезок между точками ( и ( в заданном отношении , определяются по формулам:

; .

При получается формулы для вычисления координат середины отрезка:

; .

Площадь треугольника

Площадь треугольника с вершинами , и определяется по формуле:

,

итак, , где .

6. Основные теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

x_n - a  < . (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n a.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или "на языке последовательностей".

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое  >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е. f(x)-A  < .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или "на языке  - ".

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x  a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0,  /, 0  ,  -  являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название "раскрытие неопределенностей".

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e  2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности,

7. Пределы элементарных функций

Самые используемые свойства пределов.

1. , где k - коэффициент.

2. , если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.

3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
   

Таблица пределов функций

Методы вычисления пределов

1. Прямая подстановка: . Это - наиболее общий прием, который всегда используется первым: (х²-х+1)=4²-4+1=13.

2. Упрощение функций. Если при прямой подстановке получается неопределенное выражение типов: , и некоторых других, то выделение общего множителя или приведение к замечательным пределам приводят к нужному результату:

==

==

В последнем примере учтено, что, если х0, то, очевидно, и 5х0

8. Замечательные пределы

Определение. Первым замечательным пределом называется предел

Теорема. Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис. Тригонометрический круг

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис.График

Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

9. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или - ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y' , f '(x_o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t_o.

10. Основные правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)' =  u^1 u' (  R).

2. (au)' = a^ulna u'.

3. (eu)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).

Итак,

(u ^v)'=u ^v (vu'/u+v' ln u), u > 0. Например, если y = x ^{sin x}, то y' = x ^{sin x} (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то = y'+, где 0 при х 0; отсюда  y = y' х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x'х = 1х =х, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

11. Теорема Лагранжа. Возрастание и убывание функции

Теорема (Лагранж). Пусть f непрерывна на [a,b] и имеет производную в каждой точке интервала (a,b). Тогда существует такая точка x ,что:

f(b) - f(a) = f^/(x)(b-a) , a<x

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - lx, (10.4)

где число l выберем таким образом, чтобы F(a) = F(b), т.е. чтобы

f(a) - la = f(b) - lb. Для этого достаточно взять

(10.5)

Тогда для F(x) выполнены условия теоремы Ролля: F(x) - непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и принимает на концах одинаковые значения, поэтому существует такая точка x Î (a,b), что F^/(x) = 0. Тогда из (10.4) получаем F^/(х) = f^/(х)-l, поэтому f^/(x) - l=0 и из (10.5) получим

(10.6)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Пусть А(а,f(а)), В(b,f(b)) - точки графика функции f, АВ - хорда, соединяющая точки А и В. Тогда отношение .

Т.е. в условиях теоремы можно сказать, что найдется точка, возможно не одна, в которой касательная к графику параллельна хорде .

З а м е ч а н и е. Теорема Лагранжа найдет ряд важнейших приложений в дальнейшем.

Запишем другую форму (10.6)

f(a) - f(b) = f^/(x) (a-b) (10.7)

т.е. она справедлива для a>b и b>a.

Следствие 1. Если f^/(х) = 0 " х Î (a,b) Þ f(х) = С - const.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть f^/(х) = 0 при х Î (a,b) тогда для любого х Î (a,b)

f(х) - f(b) = 0×(х-b). Следовательно f(х) = f(b)= const.

Рис. 10.6.Следствие 2. Если f(х), g(x) - дифференцируемые на (a,b) и (в этих точках)

f^/(х) = g^/(x) " х Î (a,b) , а на концах промежутка, если они входят в область определения, - непрерывны, то эти функции отличаются на С - Сonst:

f(х) - g(x) = С.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^/(х) = g^/(x) при х Î , тогда на этом промежутке êf(х) - g(x)ê^/ = f^/(х) - g^/(x) = 0. В силу следствия 1 имеем

F^/(х) = 0 Þ F(x) = С, а здесь F(х) = f(х) - g(x) = С.

Возрастание и убывание функции одной переменной

Определение Функция f(х) возрастает на промежутке , если из того, что х₂ > x₁Þ f(х₂) > f(х₁) " x₁,x₂Î . И f(х) убывает на промежутке , если х₂ > x₁Þ f(х₂) < f(х₁) " x₁,x₂Î .

Теорема (необходимый признак возрастания (убывания) функции).

1. Если f(х) возрастает и дифференцируема на Þ f^/(х)³0 " x Î .

2. Если f(х) убывает и дифференцируема на Þ f^/ (х)£0 для всех x Î .

Теорема (достаточный признак возрастания и убывания функции).

1. Если f^/(x) > 0, " x Î , тогда f(x) возрастает на этом промежутке.

2. Если f^/(x) < 0, " x Î , тогда f(x) убывает на этом промежутке.

З а м е ч а н и е. Если функция f(x) возрастает или f(x) убывает, то она называется монотонной. Промежутки возрастания или убывания функции называются промежутками монотонности.

12. Теорема Ферма. Экстремум функции.