- Преподавателю
- Математика
- Реферат по математике - Числа Фибоначчи
Реферат по математике - Числа Фибоначчи
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Королева Т.А. |
Дата | 16.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Управление образования
Администрации Орехово-Зуевского муниципального района Московской области
МОУ "Кабановская СОШ"
Реферат по математике
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Работу выполнил ученик 7 «Б» класса:
Азаров Сергей Владимирович
Учитель: Королева Татьяна Андреевна
Содержание
Введение …………………………………………………………………………………. 3
-
Историческая справка ………………………………………………………….... 4
-
Определение последовательности Фибоначчи ………………………………… 5
-
Свойства последовательности Фибоначчи ……………………………………... 7
-
Золотое сечение, спираль Фибоначчи ………………………………………….. 7
-
Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе .. 8
Выводы …………………………………………………………………………………. 10
Литература ……………………………………………………………………………... 11
Введение
Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.
Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих. Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами Фибоначчи, и это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Цель настоящего реферата - знакомство с числами Фибоначчи и историей их открытия; изучение свойств чисел Фибоначчи; изучение областей их применения.
1. Историческая справка
Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
Leonardo Pisano
Дата рождения: ок. 1170 года
Место рождения: Пиза
Цата смерти: ок. 1250 года
Место смерти: Пиза
Научная сфера: Математика
Известен как пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр.
Леонардо Пизанский первый средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи {Fibonacci). О происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи {«Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Виопо Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился». Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 г.). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.
«Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные - например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). В трактате «Цветок» (Flos, 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение. «Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений.
2. Определение последовательности Фибоначчи
Сообщаемый в "Книге абака" материал Леонардо поясняет на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: "Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения".
Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц - 1+1=2; на 4-й - 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц - 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц - 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-месяце через uk, u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:
Un= un-1+un-2 , при всех n>2.
В итоге получается такая последовательность: 1,1, 2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144, 233, 377, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.
С
уть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.
Этот числовой ряд был известен ещё в Древней Индии задолго до Фибоначчи. Своё нынешнее название числа Фибоначчи получили благодаря исследованию свойств этих чисел, проведённому Леонардо.
3. Свойства последовательности Фибоначчи
У этой последовательности есть ряд математических особенностей.
-
О
тношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то не достигая его: -
Отношение какого-либо элемента последовательности к последующему приближается к числу 0,618…, что обратно пропорционально числу 1,618…
-
Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются взаимно обратными числами.
-
Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое - на 5, каждое пятнадцатое - на 10.
-
Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).
4. Золотое сечение. Спираль Фибоначчи
Иррациональное число "фи" (Ф=1,618…) - «Золотое сечение», «Золотое среднее», «Отношение вертящихся квадратов», 0,618… - «Золотая пропорция».
Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение.
Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе. Если на простом примере, то Золотое Сечение -это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
b
: а = с : b или a : b = b : c
Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b, будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а с к а равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Е
сли взять прямоугольник с длиной и шириной равными двум соседним числам Фибоначчи, то получится «Золотой прямоугольник». Если разбить его на более мелкие прямоугольники с размерами, соответствующими двум соседним числам Фибоначчи и разделить каждый из них дугой, то система начнет приобретать некоторую форму в виде спирали.
5. Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе
Еще немецкий поэт Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Спираль видна в ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.
Чешуйки на поверхности сосновой шишки расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. Расположение семян в подсолнечнике и цветов броколли - идеальная последовательность спиралей
Расстояние между листьями (или ветками на стволе растения) относятся примерно как числа Фибоначчи.
В
о всех внешних и внутренних пропорциях пирамид в Гизе и пирамидах Майя в Мексике число 1,618… играет центральную роль.
С
амый потрясающий пример спиралей находится прямо над нашими головами на расстоянии приблизительно в 100 000 световых лет.
Даже спирали галактик сформировались по абсолютно тому же принципу, как и крошечная раковина!
Выводы
-
В результате работы я познакомился с числами Фибоначчи, изучил их некоторые свойства
-
Числа Фибоначчи - это красиво, серьёзно, актуально
-
Числа Фибоначчи имеют различное проявление в природе, архитектуре, космосе
-
При выполнении работы я убедился, что природа сама творит красоту по законам математики.
Литература
-
Депман И., Рассказы о математике, Детгиз, Ленинград, 1954
-
Интернет-ресурсы
-
Кардемский Б.А., Математическая смекалка, М., Наука, 1984
-
Энциклопедический словарь юного математика, М., Педагогика, 1989