Древнегреческая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Калужский государственный университет им. К.Э.Циолковского

Реферат по истории математики.

«Древнегреческая математика».

Студентки

5 курса очного отделения

Физико-математического факультета

Группы ФМ-51

Ильиной Е.Е

Калуга, 2012

Древнегреческая математика

Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.

Начальный период

Вплоть до VI века до н.э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась.

В VI века до н.э. Появляются сразу две научные школы - ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. Фалес хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем. Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам

Пифагорейская школа.

В 530 г до г.э. в городе Кротон основал нечто вроде тайного духовного ордена. Затем Пифагорейские школы появились в Афинах, на остовах и в греческих колониях, а их математические знания, строго оберегаемые от посторонних, сделались общим достоянием.

Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой, создали теорию музыки. Геометрия пифагорейцев ограничивалась планиметрией и завершалась доказательством «теоремы Пифагора».

Была построена математическая теория музыки. Звучание струны зависит от её длины и силы натяжения.

Пифагорейцы рассматривали числа как образующие элементы материи. Отождествляли числа с совокупностями точек, образующих геометрические конфигурации.

Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные мужскими. Нечетное число - оплодотворяющее и, если его сочетать с четным, оно возобладает. Символ брака у пифагорейцев состоял из суммы мужского, нечетного числа три и женского, четного числа два. Брак - это пятерка, равная трем плюс два. По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими "фигура невесты". Среди свойств десятки отметим, что в нее входит равное количество простых и составных чисел, а также столько же четных, сколько и нечетных. Десятка считалась у пифагорейцев идеальным числом и символизировала Вселенную. Поскольку число десять - идеальное, рассуждали они, на небе должно быть ровно десять планет. Надо заметить, что тогда были известны лишь Солнце, Земля и пять планет. Пифагорейцы знали также совершенные и дружественные числа. Совершенным называлось число, равное сумме своих делителей. Дружественные - числа, каждое из которых - сумма собственных делителей другого числа В древности числа такого рода символизировали дружбу, отсюда и название. Кроме чисел, вызывавших восхищение и преклонение, у пифагорейцев были и так называемые нехорошие числа. Это числа, которые не обладали никакими достоинствами, а еще хуже, если такое число было окружено "хорошими" числами. Примером тому может служить знаменитое число тринадцать - чертова дюжина или число семнадцать, вызывавшее особое отвращение у пифагорейцев.

Пифагорейцы доказали несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали (иррациональность ). После открытия несоизмеримости стали разрабатывать геометрическую алгебру, применяемую при доказательстве алгебраических соотношений и решении квадратных уравнений.

Соотношение (a+b)² =a²+2ab+b² записывалось на языке геометрической алгебры так: рис

Имеются целые наборы изречений, приписываемых Пифагору, например «Пифагоровы законы и нравственные правила». Вот некоторые из них.

1. Более примечай и наблюдай, нежели читай: кто читает много, тот читает худо.

2. Что есть мудрость? Знание порядка. Если желаешь быть мудрым в течение твоей жизни, все поставь на свое место. Преходящая временная слава не стоит тихого и безмятежного порядка, видимого в ежедневных делах мудрого.

3. Не будь членом ученого общества: самые мудрые, когда они составляют общество, делаются простолюдинами.

4. Не полагайся на жену, которая много смеется.

5. Отличай знания от мудрости.

6. Если тебя спросят: «В чем состоит благополучие ?»,-ответствуй: «Быть в согласии с самим собой».

7. Не возвещай истину на местах общенародных: народ употребит оную во зло.

8. Все люди знают чего хотят, но мало кто знает, что им нужно.

V век до н.э. Зенон , Демокрит

Зенон Элейский высказал более 40 парадоксов из которых наиболее знамениты четыре. Они до сих пор служат предметом серьёзного анализа. В них затронуты самые деликатные вопросы оснований математики - конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность.

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона - это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

В конце V века до н.э. жил ещё один выдающийся мыслитель Демокрит. Знаменит созданием концепции атомов. Нашёл объём пирамиды и конуса, но доказательство своих формул не дал.

IV век до н.э. - Платон , Евдокс

В 389 году до н.э. Платон основал в Афинах свою школу - Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. Платон ставил вопрос о природе и структуре математики. Его ученики первыми полностью осознали абстрактный характер математических объектов. Ученики платона выступали за то, чтобы использовать лишь дедуктивные рассуждения, и этот выбор радикально изменил математику. Сам Платон конкретно Математических исследований не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения по философии и методологии математики.

Евдокс Книдский

Ему принадлежат два самых выдающихся открытия: общая теория отношений (геометрическая модель вещественных чисел) и античный анализ - метод исчерпывания. Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

Евклид- один из великих геометров древности.

Главный труд «Начала» (13 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Им были сформулированы все задачи эквивалентные квадратным уравнениям. Все они

Решались геометрически.

1)x²=ab 2)x(a-x)=S 3)(a+x)x=s

Способ решения задач второго типа x(a-x)=S S=b² x(a-x)=b²

1)AB=a 2)AD=DB 3) CDB=90^o CD=b 4)Окружность R=DB с центром в точке С 5) x=EA Строим прямоугольник со сторонами АВ и х

Заключение

Греческая математика поражает, прежде всего, красотой и богатством содержания. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов . Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию. В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

Литература

• История математики под редакцией А.П. Юшкевича (в трёх томах):

• Рыбников К.А. История математики. М., 1994.

• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.

• Большая советская энциклопедия (электронная версия)

• Энциклопедия Кирилла и Мефодия (электронная версия)