Конспект урока алгебры по теме Сочетания

Министерство образования и науки РФ

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Подгоренская средняя общеобразовательная школа № 1

Подгоренского муниципального района

Воронежской области

Урок алгебры в 9 классе

«Сочетания»

Перекрестова Марина Ивановна, учитель математики высшей

квалификационной категории

ТЕМА: СОЧЕТАНИЯ

ТИП УРОКА: изучение нового материала.

ЦЕЛЬ:

• Ввести понятие «сочетания без повторений»

• Провести сравнительный анализ перестановок, размещений, сочетаний

• Познакомить учащихся с формулой и рассмотреть задачи, при которых она используется

ЗАДАЧИ:

• Способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности и вычислять перестановки и размещения;

• Способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни

• Способствовать воспитанию аккуратности;

ОБОРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, компьютер, презентация

ПЛАН УРОКА:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. Устный счёт.

3. Актуализация опорных знаний.

4. Объяснение нового материала.

5. Обобщение знаний.

6. Первичное осмысление и закрепление.

7. Самостоятельная работа.

8. Подведение итогов урока, выставление оценок.

9. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания. Устный счёт.

Вычислите: 2!, 3!, 4!, 5!, 6!

1. 2) 3) 4)

3. Актуализация опорных знаний (повторение основных понятий и формул). Перестановки - выборки из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком расположения.

Формула Р_n=n!

Размещения - выборки из n элементов по k , которые отличаются и составом и порядком расположения этих элементов.

Формулы

4. Изучение нового материала.

Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее - вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника. Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения объектов во множестве. Важно лишь то, какие именно элементы составляют множество.

К примеру, имеются пять гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a,b,c,d,e. Требуется составить букет из трёх гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abe, acd, ace, ade.

Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

bcd, bce, bde.

Если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика b, то возможен только один вариант составления букета:

сde.

Определение. Сочетаниям из n элементов по k называется любое множество, составленное из k, элементов, выбранных из данных n элементов.

Число сочетаний из n элементов по k, обозначают (читается «С из n по k»).

В рассмотренном примере, составив все сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что

Выведем формулу числа сочетаний из n элементов по k, где k≤n .

Выясним сначала, как выражается через и Р₃. Мы нашли, что из 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента:

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, сde.

В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р₃. В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3,которые различаются либо самими элементами, либо порядком элементов, т. е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим размещений.

Значит,

Отсюда

Аналогично будем рассуждать в общем случае. Допустим, что имеется множество, содержащие n элементов, и из его элементов составлены все возможные сочетания по k элементов. Число таких сочетаний равно .

В каждом сочетании можно выполнить Р_k перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n элементов по k. Их число равно .

Значит,

Отсюда

Пользуясь тем, что , где k≤n , находим, что

Мы получили формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по k при любом k≤n .

Приведем примеры.

Задача 1. В классе 30 учеников. Нужно избрать 5 человек на городской слет активистов. Сколькими способами это сделать?

Решение:

Так как все делегаты обладают равными правами и обязанностями, то порядок в выборке не важен. Эти множества из 5 элементов будут отличаться друг от друга только составом. Значит, мы имеем дело с сочетаниями.

Ответ: 98280 способов.

Задача 2. Сколько различных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

Решение:

Так как при игре в волейбол функции игроков практически равны, то значение имеет только состав шестерки. Тогда

Ответ: 210 стартовых шестерок.

Задача 3.

В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Выбрать 3 мальчиков из 12 можно способами, а 2 девочек из 10 можно выбрать способами. Так как при каждом выборе мальчиков можно способами выбирать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче, можно ∙ способами.

Имеем

Значит, выбор учащихся для уборки территории можно сделать 9900 способами.

5. Обобщение знаний.

На каждую парту раздаются карточки со схемой.

6. Первичное осмысление и закрепление

№ 9.58.

В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбирать из 3 набора?

Решение:

Ответ: 56 способами.

№9.60

а) решают все вместе;

б) самостоятельно с последующей самопроверкой с доски.

Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение:

А) Если заведующий обязательно должен поехать в командировку, то нужно выбрать еще 4 человека из 10 сотрудников.

Ответ: 210 способов.

Б) если заведующий должен остаться, то надо выбирать 5 из 10.

Ответ: 252 способа.

№ 9.62.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Выбрать 4 мальчика из 16 можно способами, а выбрать 3 девочки из 12 можно способами. Так как при каждом выборе мальчиков, девочек можно выбирать способами, то сделать выбор, о котором говориться в задаче можно ∙ способами.

Имеем:

Ответ: 400400 способами.

7. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

2 вариант

1. В школьном хоре имеется пять солистов. Сколько есть вариантов выбора двух из них для участия в конкурсе?

2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

8. Подведение итогов урока, выставление оценок.

9. Домашнее задание: выучить обобщающую схему, № 9.57 и 9.63.

по желанию № 9.61.