Теоретический материал по алгебре (подготовка к ОГЭ)

Задача №90.

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 15%, во второй - на 40%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1000 р.?

Решение задачи:

Первое снижение:
1000-15%=1000-0,15*1000=1000-150=850 руб.
Т.е. 850 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
850-40%=850-0,4*850=850-340=510 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 510

Задача №92

Какое из следующих чисел является наименьшим?
1) 1,7*10^-3
2) 2,3*10^-4
3) 4,5*10^-3
4) 8,9*10^-4

Решение задачи:

Чтобы сравнить подобные числа необходимо привести их к одному виду, а именно, чтобы 10 была в одной и той же степени, скажем к 10^-3.
1) 1,7*10^-3 - в нужном виде.
2) 2,3*10^-4=2,3*10^-1*10^-3=(2,3/10)*10^-3=0,23*10^-3
3) 4,5*10^-3 - в нужном виде.
4) 8,9*10^-4=8,9*10^-1*10^-3=(8,9/10)*10^-3=0,89*10^-3
Теперь достаточно сравнить числа, стоящие перед 10^-3. Очевидно, что 0,23 - наименьшее.
Ответ: 2)

Задача №34

Смешали некоторое количество 21%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 95%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение задачи:

Пусть х - концентрация получившегося раствора.
Пусть y - количество литров 21%-го раствора.
Получаем уравнение:
0,21y+0,95y=2y*x/100 |:y
0,21+0,95=2x/100 |*100
21+95=2x
(21+95)/2=x
x=58
Ответ: 58%

Задача №94

Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой - со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение задачи:

Обозначим за x расстояние от опушки до места встречи.
Время прогулки для обоих людей, естественно, одинаковое. Тогда для первого человека время можно записать так: t=S₁/v₁=(4-x)/2,7
Время второго человека: t=S₂/v₂=(4+x)/4,5
(4-x)/2,7=(4+x)/4,5
(4-x)4,5=(4+x)2,7
(4-x)4,5=(4+x)2,7
18-4,5x=10,8+2,7x
18-10,8=2,7x+4,5x
18-10,8=2,7x+4,5x
7,2=7,2x
x=1
Расстоянии от точки отправления до места встречи = 4-x=4-1=3
Ответ: 3

Задача №27

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 39 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 26 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение задачи:

Обозначим: S_м - путь, который проехал мотоциклист.
S_в - путь, который проехал велосипедист.
t_м - время в пути мотоциклиста. t_в - время в пути велосипедиста.
v_м - скорость мотоциклиста. v_в - скорость велосипедиста.
S_м=S_в (так как расстояние между городами величина постоянная)
t_м=t_в-39 минут
v_м*26 - расстояние, которое проехал мотоциклист, от А до встречи
v_в*26 - расстояние, которое проехал велосипедист, от В до встречи
v_м*26+v_в*26 - расстояние между городами, следовательно:
v_м*26+v_в*26=v_в*t_в. А так же v_в*t_в=v_м*t_м
Получаем систему:
v_м*26+v_в*26=v_в*t_в
v_в*t_в=v_м*(t_в-39)
v_в*26-v_в*t_в=-v_м*26
v_в*t_в=v_м*(t_в-39)
v_в*(26-t_в)=-v_м*26
v_в*t_в=v_м*(t_в-39)
Разделим одно выражение на другое: (26-t_в)/t_в=-26/(t_в-39)
(26-t_в)(t_в-39)=-26t_в
26t_в-39*26-t_в²+39t_в=-26t_в
t_в²-26t_в-26t_в-39t_в+1014=0
t_в²-91t_в+1014=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-91)²-4*1*1014=8281-4056=4225
t_в1=(-(-91)+65)/2=78
t_в2=(-(-91)-65)/2=13
13 минут - не подходит для ответа, так как противоречит условию, что они встретились через 26 минут. t_в=78 минут = 1 час и 18 минут
18/60=0,3
Ответ: t_в=1,3 часа

Задача №53

Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение задачи:

Обозначим:
S - расстояние от лагеря до места прогулки.
t₁ - время движения лодки против течения.
t₂ - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-3=3 км/ч, по течению - 6+3=9 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=3t₁
движение лодки по течению: S=9t₂
время в поездке:
6=t₁+t₂+2
t₁=4-t₂
S=3(4-t₂)
S=9t₂
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=3(4-t₂)-9t₂
0=12-3t₂-9t₂
0=12-12t₂
t₂=1
Подставляем во второе уравнение:
S=9t₂=9*1=9 км.
Ответ: 9 км.

Задача №93

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение задачи:

Введем обозначения:
v₁ - скорость первого бегуна;
v₁+8 - скорость второго бегуна;
S - длина одного круга в километрах;
Про первого бегуна мы знаем, что за 1 час он пробежал (S-1) км.
Т.е 1=(S-1)/v₁
v₁=S-1
S=v₁+1
20 минут = 1/3 часа.
Про второго бегуна мы знаем, что за (1-1/3) часа он пробежал S км.
Т.е. 2/3=S/(v₁+8)
2(v₁+8)=3S
Подставим значение S из ранее полученного равенства:
2(v₁+8)=3(v₁+1)
2v₁+16=3v₁+3
16-3=3v₁-2v₁
v₁=13
Т.е. скорость первого бегуна - 13 км/ч
Ответ: 13

Задача №66

Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение задачи:

Обозначим:
S - расстояние от пристани до места рыбалки.
t₁ - время движения лодки против течения.
t₂ - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-2=4 км/ч, по течению - 6+2=8 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=4t₁
движение лодки по течению: S=8t₂
общее время поездки:
5=t₁+t₂+2
t₁=3-t₂
S=4(3-t₂)
S=8t₂
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=4(3-t₂)-8t₂
0=12-4t₂-8t₂
0=12-12t₂
t₂=1
Подставляем во второе уравнение:
S=8t₂=8*1=8 км.
Ответ: 8 км.

Задача №72

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение задачи:

Обозначим:
v₁ - скорость первого велосипедиста, значит
v₁-10 - скорость второго велосипедиста
t₁ - время в пути первого велосипедиста, значит
t₁+3 - время в пути второго велосипедиста
Уравнение движения для первого велосипедиста выглядит так:
60=v₁*t₁, t₁=60/v₁
Для второго:
60=(v₁-10)*(t₁+3)=v₁*t₁+3v₁-10t₁-30
60=v₁*(60/v₁)+3v₁-10(60/v₁)-30
60=60+3v₁-600/v₁-30
30=3v₁-600/v₁ |:3
10=v₁-200/v₁ |*v₁
10v₁=v₁²-200
0=v₁²-10v₁-200
Решим это квадратное уравнение:
D=(-10)²-4*1*(-200)=100+800=900
v_1-1=(-(-10)+30)/(2*1)=40/2=20
v_1-2=(-(-10)-30)/(2*1)=-20/2=-10
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v₁=20 км/ч.
Значит, скорость второго велосипедиста равна 20-10=10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч

Задача №25

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 182 км, скорость первого велосипедиста равна 13 км/ч, скорость второго - 15 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение задачи:

Обозначим: S₁ - путь, который проехал первый велосипедист.
S₂ - путь, который проехал второй велосипедист.
t₁ - время в пути первого велосипедиста.
t₂ - время в пути второго велосипедиста.
S₁+S₂=182 км.
Первый велосипедист ехал на 56 минут меньше второго, т.к. сделал остановку. 56 минут = 56/60 часа. t₂=t₁+56/60 минут. Получается: S₁=13*t₁ S₂=15*t₂
13*t₁+15*t₂=182
13t₁+15(t₁+56/60)=182
13t₁+15t₁+15*56/60=182
28t₁=182-56/4
28t₁=168
t₁=6
S₁=13*t₁=13*6=78
S₁+S₂=182
S₂=182-S₁=182-78=104
Ответ: S₂=104 км

Задача №24

Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую - со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение задачи:

Так как пути, пройденные автомобилем с разной скоростью, равны, то
v_ср=(v₁+v₂)/2=(84+96)/2=90
Ответ: v_ср=90 км/ч

Задача №18

Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующие 5 часов - со скоростью 75 км/ч, а последние 5 часов - со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение задачи:

За первые 5 часов автомобиль проехал расстояние - 5*55=275 км;
за вторые 5 часов - 5*75=375 км;
за третьи - 5*80=400 км.
Суммарное расстояние, пройденное автомобилем за 15 часов 275+375+400=1050 км.
Тогда средняя скорость равна 1050/15=70 км/ч
Ответ: 70 км/ч

Задача №17

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 32 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Решение задачи:

Так как направления поезда и пешехода совпадали, то скорость поезда относительно пешехода была 93км/ч - 3 км/ч = 90 км/ч.
Значит за 32 секунды со скорость 90 км/ч поезд проехал расстояние равное его длине.
Переведем 90 км/ч в м/с.
90*1000м/3600с=900м/36с=25 м/с
Длина поезда равна 25 м/с * 32 с = 800 м
Ответ: 800 м

Задача №16

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились в 12 км от В. Турист, шедший из А, сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость туриста, шедшего из В, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем первый турист.

Решение задачи:

Введем обозначения: v_a - скорость туриста, вышедшего из пункта A;
t_a - время в пути туриста, вышедшего из пункта A;
v_b - скорость туриста, вышедшего из пункта B;
t_b - время в пути туриста, вышедшего из пункта B;
Из условия задачи известно, что: v_a=v_b+2;
t_a=t_b-0,5 (т.к. турист А непосредственно шел на пол часа меньше, чем турист В)
Турист А прошел 27-12=15 км, а турист В прошел 12 км.
Тогда получаем систему:
15=v_at_a
12=v_bt_b
15=(v_b+2)(t_b-0,5)
12=v_bt_b
15=v_bt_b-0,5v_b+2t_b-1
12=v_bt_b
16=v_bt_b-0,5v_b+2t_b
12/v_b=t_b
16=v_b12/v_b-0,5v_b+2*12/v_b
12/v_b=t_b
16=12-0,5v_b+24/v_b
12/v_b=t_b
4=-0,5v_b+24/v_b
12/v_b=t_b
4v_b=-0,5v_b²+24
12/v_b=t_b
8v_b=-v_b²+48
12/v_b=t_b
v_b²+8v_b-48=0
12/v_b=t_b
Решим квадратное уравнение:
D=8²-4*1*(-48)=64+192=256
v_b1=(-8+16)/(2*1)=4
v_b2=(-8-16)/(2*1)=-12
Так как скорость отрицательной быть не может, то v_b=4 км/ч
Ответ: v_b=4 км/ч

Задача №4

Расстояние между двумя пристанями по реке равно 24 км. Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, сделала стоянку на 1 ч 40 мин и вернулась обратно. Всё путешествие заняло 6⅔ ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Решение задачи:

Первое: 6⅔ ч. - это 6 часов 40 минут. Второе: если лодка идет по течению реки, то ее скорость складывается со скоростью реки, а если против течения, то вычитается.
Обозначим: скорость реки - v
Время лодки в пути по течению - t₁
Время лодки в пути против течения - t₂
Движение лодки по течению (1):
24=(10+v)t₁
Движение лодки против течения (2):
24=(10-v)t₂
При этом, время в пути составило t₁+t₂, и равно это 6 часов 40 минут минус 1 час 40 мин (на стоянку) и равно это 5 часов (3).
(1) t₁=24/(10+v)
(2) t₂=24/(10-v)
Подставляем в (3): 24/(10+v)+24/(10-v)=5
Приводим к общему знаменателю:
(24(10-v)+24(10+v))/((10+v)(10-v))=5
480/(10²-v²)=5
480=5*(100-v²)
480=500-5v²
5v²=500-480
5v²=20
v²=4
v=2
Ответ: скорость реки равна 2 км/ч

Задача №2

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

Решение задачи:

Введем обозначения: v_п - скорость перехода
v_в - скорость велосипедиста
t_п - время в пути перехода
t_в - время в пути велосипедиста
Расстояние, которое проехал велосипедист = 8 км (по условию задачи)
Расстояние, которое прошел пешеход = 13-8=5 км (по условию задачи)
8=v_в*t_в
По условию: v_в=v_п+11
t_в=t_п-0,5 (т.к. велосипедист остановился на 0,5 часа)
5=v_п*t_п - уравнение (1)
8=(v_п+11)(t_п-0,5)- уравнение (2)
Раскроем скобки в уравнении (2):
8=v_пt_п-0,5v_п+11t_п-5,5
Так как 5=v_п*t_п, то
8=5-0,5v_п+11t_п-5,5
8,5=11t_п-0,5v_п
8,5+0,5v_п=11t_п
t_п=(8,5+0,5v_п)/11
Подставим t_п в уравнение (1)
5=v_п*(8,5+0,5v_п)/11
55=v_п*(8,5+0,5v_п)
55=8,5v_п+0,5(v_п)²
0,5(v_п)²+8,5v_п-55=0
Найдем дискриминант:
D=(8,5)²-4*0,5*(-55)=72,25+110=182,25
v₁=(-8,5+13,5)/(2*0,5)=5
v₂=(-8,5-13,5)/(2*0,5)=-22
Так как скорость отрицательной быть не может, значит v_п=5 км/ч
Ответ: v_п=5 км/ч

Задача №99

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 25 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение задачи:

Скорость плота равна скорости реки.
Обозначим v - скорость лодки в неподвижной воде (т.е. собственная скорость).
v+5 - скорость лодки по течению.
v-5 - скорость лодки против течения.
Время лодки от пристани А до пристани В:
t₁=48/(v+5)
Время лодки от пристани B до пристани A:
t₂=48/(v-5)
Следовательно суммарное время лодки в пути:
t=t₁+t₂=48/(v+5)+48/(v-5)
За это же время +1 час плот проплыл 25 км со скоростью 5 км/ч:
t+1=25/5=5 часов
t=4 часа. Возвращаемся к лодке, и получаем уравнение:
4=48/(v+5)+48/(v-5)
4=48(v-5)/((v+5)(v-5))+48(v+5)/((v-5)(v+5))
4=(48(v-5)+48(v+5))/((v-5)(v+5))
4 (v-5)(v+5)=48(v-5)+48(v+5)
4(v²-5²)=48v-48*5+48v+48*5
4(v²-25)=48v+48v
4v²-100=96v
4v²-96v-100=0
v²-24v-25=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-24)²-4*1*(-25)=576+100=676
v₁=(-(-24)+26)/(2*1)=50/2=25
v₂=(-(-24)-26)/(2*1)=-2/2=-1
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v=25 км/ч.
Ответ: v=25 км/ч

Задача №22

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные - 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?

Решение задачи:

70% из 6 кг высушенных фруктов - это непосредственно сами фрукты (без воды).
6*0,7=4,2 кг - непосредственно фрукты (без воды).
И эта же масса - это 12% в свежих фруктах. Составим пропорцию:
4,2 кг - 12%
x кг - 100%
4,2/x=12/100
x=4,2*100/12=35 кг.
Ответ: 35кг

Задача №96

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 45%, во второй - на 20%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?

Решение задачи:

Первое снижение:
700-45%=700-0,45*700=700-315=385 руб.
Т.е. 385 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
385-20%=385-0,2*385=385-77=308 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 308

Задача №8

Решите уравнение x²-2x+√3-x=√3-x+8

Решение задачи:

Область допустимых значений (ОДЗ):
Под корнем не может быть отрицательное число, следовательно:
3-x≥0
3≥x
Приступаем к решению:
x²-2x+√3-x=√3-x+8
x²-2x+√3-x-√3-x-8=0
x²-2x-8=0
D=(-2)²-4*1*(-8)=4+32=36
x₁=(-(-2)+6)/(2*1)=8/2=4
x₂=(-(-2)-6)/(2*1)=(-4)/2=-2
Так как по ОДЗ 3≥x, то подходит только x₂=-2
Ответ: x=-2

Задача №7

Решите уравнение (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)

Решение задачи:

(x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)
(x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0
Выносим за скобки (x-4)(x-5)
(x-4)(x-5)((x-3)-(x-2))=0
(x-4)(x-5)(x-3-x+2)=0
(x-4)(x-5)(-1)=0
(x-4)(x-5)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0
x₁=4
2) x-5=0
x₂=5
Ответ: x₁=4, x₂=5

Задача №6

Решите неравенство (x-4)²<√6(x-4)

Решение задачи:

(x-4)²<√6(x-4)
Найдем корни уравнения: (x-4)²=√6(x-4)
(x-4)²-√6(x-4)=0
Вынесем (х-4) за скобку.
(x-4)(x-4-√6)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0, x₁=4
2) x-4-√6=0, x₂=4+√6
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-4)²<√6(x-4) в диапазоне (4; 4+√6)
Ответ: (4; 4+√6)

Задача №101

Решите неравенство (x-1)²<√2 (x-1).

Решение задачи:

(x-1)²<√2 (x-1)
(x-1)²-√2 (x-1)<0
(x-1)(x-1-√2)<0
Найдем корни уравнения: (x-1)(x-1-√2)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
x₁=1
x₂=1+√2
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-1)²<√2 (x-1) на диапазоне (1; 1+√2).
Ответ: (1; 1+√2)

Задача №5

Решите неравенство:
14/(x²+2x-15)≤0 .

Решение задачи:

Так как на "0" делить нельзя, то найдем для каких х квадратное уравнение x²+2x-15 равно 0
Решим его:
D=2²-4*1*(-15)=4+60=64
x₁=(-2+8)/2=3
x₂=(-2-8)/2=-5
1) Данная дробь ни при каких значениях х не будет равняться нулю, т.к. для этого числитель должен равняться нулю, а он равен 14.
2) данная дробь будет меньше нуля, тогда и только тогда, когда x²+2x-15<0
Точки пересечения оси х мы нашли ранее:
x₁=3
x₂=-5
Ветви параболы смотрят вверх (т.к. а>0), следовательно, это выражение меньше нуля в диапазоне (-5;3)
Ответ: (-5;3)

Задача №14

Решите систему неравенств

Решение задачи:

Решим отдельно каждое неравенство, а затем пересечем ответы.
1) дробь может быть больше нуля, когда и числитель, и знаменатель больше нуля, или и числитель, и знаменатель меньше нуля.
В этой дроби знаменатель не может быть меньше нуля, т.к. квадрат числа всегда положительный. Значит, остается только первый вариант:

второе неравенство всегда выполняется, при любом значении х, т.к. квадрат числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данной системы х≤3
2)



Пересекая ответы из 1) и 2) получает, что -4≤х≤3
Ответ: [-4; 3]

Задача №88

Решите уравнение (x²-36)²+(x²+4x-12)²=0.

Решение задачи:

(x²-36)²+(x²+4x-12)²=0
(x²-6²)²+(x²+4x-12)²=0
( (x-6)(x+6))²+(x²+4x-12)²=0
(x-6)²(x+6)²+(x²+4x-12)²=0
Разложим на множители x²+4x-12:
x²+4x-12=(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ - корни уравнения x²+4x-12=0
Найдем корни:
D=4²-4*1*(-12)=16+48=64
x₁=(-4+8)/(2*1)=4/2=2
x₂=(-4-8)/(2*1)=-12/2=-6
x²+4x-12=(x-2)(x-(-6))=(x-2)(x+6)
Подставляем в первоначальное уравнение:
(x-6)²(x+6)²+((x-2)(x+6))²=0
(x-6)²(x+6)²+(x-2)²(x+6)²=0
Выносим (x+6)² за скобки:
(x+6)²((x-6)²+(x-2)²)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) (x+6)²=0
x₁=-6
2) (x-6)²+(x-2)²=0
(x-6)²=-(x-2)²
Так как квадрат числа всегда больше или равен нулю, то
x-6=0
x-2=0
Такая система не имеет решений.
Ответ: x=-6

Задача №51

Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Отметим Область допустимых Значений (ОДЗ).
На ноль делить нельзя, следовательно:
2x-x²≠0
x(2-x)≠0
x₁≠0
x₂≠2
Теперь упростим нашу функцию:
График этой функции - гипербола.
Построим график по точкам:

X

-2

-1

1

2

Y

0,5

1

-1

-0,5

Накладываем ОДЗ и выкалываем из графика точки, где x=0 и x=2.
Когда x=0 - график уходит в бесконечность.
Когда x=2, y=-0,5 - эта точка выколота.
Зеленая прямая - это y=kx. Очевидно, что прямая будет иметь ровно одну общую точку только когда проходит через выколотую точку.
Следовательно, можем записать -0,5=k*2 => k=-0,25
Ответ: k=-0,25

Задача №3

Постройте график функции y=|x²+5x+6| . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

решение задачи

y=|x²+5x+6|
Данную функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля.
y=x²+5x+6, при x²+5x+6≥0
y=-(x²+5x+6), при x²+5x+6<0
Вычислим при каких значениях х функция меняет свой знак, для этого решим неравенство:
x²+5x+6≥0
Найдем корни уравнения x²+5x+6=0
D=5²-4*1*6=25-24=1
x₁=(-5+1)/(2*1)=-2
x₁=(-5-1)/(2*1)=-3
На рисунке представлен график функции y=x²+5x+6, данная функция больше или равна нулю в диапазоне (-∞; -3]∪[-2; +∞), и меньше нуля в диапазоне (-3; -2).
Значит можем переписать систему:
y=x²+5x+6, при x ∈ (-∞; -3]∪[-2; +∞)
y=-(x²+5x+6), при x ∈ (-3; -2)


Тогда график первой функции будет выглядеть так

График второй функции выглядит так:

Объединяем графики и получаем:

Очевидно, что прямая, параллельная оси абсцисс будет иметь 4 общие точки.

Задача №30

Найдите p и постройте график функции y=x²+p, если известно, что прямая y=4x имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Две функции имеют точку пересечения, это означает, что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить систему и решить ее:
y=x²+p
y=4x
4x=x²+p
x²-4x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=(-4)²-4*1*p=16-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
D=16-4p=0
p=4
x=-(-4)/(2*1)=2
y=4x=4*2=8
(2;8) - точка пересечения графиков.
Получаем функцию:
y=x²+4
График функции:

Задача №98

Найдите p и постройте график функции y=x²+p, если известно, что прямая y=-2x имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Две функции имеют точку пересечения, это означает, что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить систему и решить ее:
y=x²+p
y=-2x
-2x=x²+p
x²+2x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=2²-4*1*p=4-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
D=4-4p=0
p=1
x=-2/(2*1)=-1
y=-2x=-2*(-1)=2
(-1;2) - точка пересечения графиков.
Получаем функцию:
y=x²+1
График функции:

Задача №6

Постройте график функции y=x²+3x-4|x+2|+2 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля:
|x+2|=x+2, при x+2≥0 (т.е. x≥-2)
|x+2|=-(x+2), при х+2<0 (т.е. х<-2)
Тогда вся функция будет выглядеть так:
x²+3x-4(x+2)+2, при x≥-2
x²+3x-4(-(x+2))+2, при x<-2
x²+3x-4x-8+2, при x≥-2
x²+3x-4(-x-2)+2, при x<-2
x²-x-6, при x≥-2
x²+3x+4x+8+2, при x<-2
x²-x-6, при x≥-2
x²+7x+10, при x<-2

График первой функции:
y=x²-x-6, при x≥-2

График второй функции:
y=x²+7x+10, при x<-2

Итоговый график функции y=x²+3x-4|x+2|+2

Очевидно, что при m=0, функция y=m имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Но существует еще одно значение m, как показано на рисунке. Данная прямая проходит через вершину второй функции.
Координату x₀ вершины параболы можно найти по формуле:
x₀=-b/2a
x₀=-7/(2*1)=-3,5
Подставим в уравнение и получим, что y₀=(-3,5)²+7*(-3,5)+10=12,25-24,5+10=-2,25

Ответ: при значениях m=0 и m=-2,25 прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Задача №7

Постройте график функции
-x²-2x+3, если х≥-2
-x+1, если x<-2
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

решение задачи

Алгоритм такой:
1. Построить график обоих функций,
2. Обрезать графики по условию задачи
3. Объединить графики в один.
1) -x²-2x+3, если х≥-2
найдем корни уравнения -x²-2x+3=0
D=(-2)²-4*(-1)*3=4+12=16
x₁=(-(-2)+4)/(2*(-1))=-3
x₂=(-(-2)-4)/(2*(-1))=1
Координаты вершины параболы:
x₀=-(-2)/(2*(-1))=-1
y₀=-(-1)²-2(-1)+3=-1+2+3=4

Так как перед x² стоит отрицательное число, то ветви параболы направлены вниз. График показан на рисунке.

Обрезаем график как сказано в условии, х≥-2

График функции -х+1

Обрезаем график как сказано в условии, х≥-2

Обрезаем график, х<-2

Объединяем графики

Ровно две точки будут при m=3 и m=4.

Задача №8

Постройте график функции: и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

решение задачи

Область Допустимых Значений (ОДЗ).
x≠0 (так как делиить на ноль нельзя).

Так как функция содержит модуль, то ее надо разложить на две подфункции:


Рассмотрим каждую функцию:

Это означает, что у=x/4,5, когда x/4,5-4,5/x≥0
Найдем этот диапазон.
x/4,5-4,5/x≥0
(x²-4,5²)/(4,5x)≥0
Дробь больше нуля в двух случаях:
1) Когда и числитель и знаменатель больше нуля.
2) Когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
Рассмотрим первый вариант:
x²-4,5²≥0
4,5x>0
x²-4,5²≥0
x>0
Синим цветом отмечен диапазон первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон для первого случая - [4,5;+∞)
Рассмотрим второй случай, когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
x²-4,5²<0
4,5x<0
x²-4,5²<0
x<0
Синим цветом отмечен диапазон первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон для второго случая - (-4,5;0)
Объединяем эти итоговые диапазоны, получаем:
(-4,5;0)∪[4,5;+∞)
Напомним, это диапазон, в котором выражение внутри модуля больше или равно нулю.
Следовательно, выражение внутри модуля меньше нуля на диапазоне (-∞;-4,5]∪(0;4,5), ноль не попадает ни в один из диапазонов, т.к. иначе в функции получится деление на ноль.
Построим график функции :

Точка (0;0) исключена согласно ОДЗ.
Вторая функция:
, диапазон мы уже знаем: (-∞;-4,5]∪(0;4,5)
Построим график второй функции:

Объединяем графики:

Только одна общая точки будет в двух случаях, в точках "перелома" графика, они отмечены на рисунке. Это точки -4,5 и 4,5.

Подставим эти точки в функцию и получим значения m.
m₁=y(-4,5)=-1
m₂=y(4,5)=1
Ответ: m₁=-1 и m₂=1

Задача №12

Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

решение задачи

Область Допустимых Значений (ОДЗ):
Так как присутствует деление на (х-1), х≠1, так как деление на ноль невозможно.

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:



Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y₁=0,5x² при х≥0

X

0

1

2

4

Y

0

0,5

2

8

2) y₂=-0,5x² при х<0

X

-1

-2

-4

Y

-0,5

-2

-8

Объединяем графики и накладываем ограничения ОДЗ,

Очевидно, что горизонтальная прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки только в "исключенной" точке, где x=1.
Надо найти координату y. y=0,5*1=0,5=m

Ответ: при m=0,5 прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Задача №13

Постройте график функции y=|x|x+3|x|-5x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
x*x+3x-5x, при x≥0
-x*x+3(-x)-5x, при x<0
x²-2x, при x≥0
-x²-8x, при x<0
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.

1) y₁=x²-2x, при x≥0

X

0

1

2

3

Y

0

-1

0

3

X

0

-1

-2

-3

Y

0

7

12

15

2) y₂=-x²-8x, при x<0

Объединяем графики.

y=m имеет с графиком ровно две общие точки только, когда прямая касается вершины параболы. Найдем координаты вершин:
Координату x вершины можно найти по формуле x₀=-b/2a.
Тогда для правой параболы: x₀=-(-2)/2=1 y₁(1)=1²-2*1=-1
Для второй параболы:
x₀=-(-8)/(2*(-1))=-4
y₂(-4)=-(-4)²-8*(-4)=-16+32=16

Следовательно m₁=-1 и m₂=16
Ответ: m₁=-1 и m₂=16

Задача №68

Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:


Теперь надо построить график каждой подфункции в его границах и объединить их.
1) , при х≥0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то x-3x²≠0 Следовательно:
x(1-3x)≠0
x₁≠0
x₂≠1/3

График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:

X

0,5

1

2

Y

-2

-1

-0,5

2) , при х<0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то -x-3x²≠0 Следовательно:
-x(1+3x)≠0
x₃≠0
x₄≠-1/3

График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:

X

-0,5

-1

-2

Y

-2

-1

-0,5

Построим график:
График первой подфункции начерчен красным цветом, второй подфункции - синим.
На графике указаны выколотые точки (из ОДЗ) (1/3;-3) и (-1/3;-3).
Функция y=kx проходит через начало координат (при x=0 y тоже равен 0). Очевидно, что данная функция не будет иметь ни одной общей точки только когда:
1) совпадает с осью Х.
2) пройдет через первую выколотую точку.
3) пройдет через вторую выколотую точку.
1) k₁=0
2) Подставим первую выколотую точку в функцию прямой -3=k(1/3) => k₂=-9
3) Подставим вторую выколотую точку в функцию прямой -3=k(-1/3) => k₃=9
А вот так выглядит график со всеми тремя прямыми.

Ответ: k₁=0, k₂=-9, k₃=9