Урок обобщения и систематизации по математике по теме «Квадратные корни»

Урок систематизации и обобщения по теме:

«Квадратные корни»

Выполнила:

Учитель математики

Выродова М.А.

Урок обобщения и систематизации по теме:

Квадратные корни.

Тип урока: урок обобщения и систематизации.

Учебник: Алгебра 8. Алимов Ш.А. и др.. (Глава 3.)

Учебная задача урока: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Квадратные корни».

Диагностируемые цели: в результате урока ученик:

• воспроизводит определения арифметического квадратного корня, иррационального числа, тождества;

• формулирует условие существования квадратного корня, свойства квадратных корней, алгоритмы: перевода обыкновенной дроби в конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь и обратно;

• раскрывает содержание понятия действительного числа;

• имеет представление о тождественном равенстве выражений, тождественном преобразовании выражений;

• понимает, что действие извлечение квадратного корня является обратным для действия возведение в квадрат; различия между квадратным корнем и арифметическим квадратным корнем; что любая формула действует при определённых условиях в ту и другую сторону;

• выделяет базу док-ва того или иного свойства;

• умеет вычислять квадратный и арифметический квадратный корень из неотрицательного числа на основе определения и свойств; проводить тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни, в частности: выносить множитель из-под знака корня, вносить под знак корня, избавляться от иррациональности в знаменателе дроби тремя способами;

• понимает взаимосвязь между понятиями, теоремами, правилами темы и другими науками.

Методы обучения: метод эвристической беседы, репродуктивный, частично-поисковый.

Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (25 мин);

II. Операционально-познавательный этап (15 мин);

III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).

Канва-таблица.

Квадратные корни.

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

Актуализация.

Вспомним какое основное понятие и связанные с ним теоремы вы изучали на прошлых уроках.

(Учитель даёт небольшие задания. Часть заданий делается устно со всем классом, другая часть записывается на доске и в тетрадях учеников).

Задание 1 (Устно): Сторона квадратного участка земли равна 9 метров. Найдите площадь S этого участка.

Какое действие вы выполняли?

Решение:

S = 9² = 81(м²)

Возведение в квадрат.

Задание 2 (Устно): Площадь квадратного участка земли равна 121 м². Найдите его сторону а.

Какое действие вы выполняли?

Какое понятие использовали? Дайте ему определение.

Запишите его в символьном виде.

Решение:

а = = 11 (м)

Действие извлечения арифметического квадратного корня.

Понятие арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Задание 3 (Устно): Решите уравнение:

а) а² = 121

б) а² = 0

в) а² = -121

Какое действие выполняли?

Каково условие существования квадратного корня?

Решение:

а = = 11

а = = 0

а = - не существует.

Действие извлечения квадратного корня.

имеет смысл только при а 0

Задание 4 (Устно): Вычислите:

1) ()²

Какое тождество использовали?

Откуда оно появилось?

2)

Какое тождество вы использовали?

3)

Какую теорему вы использовали?

Запишите её в символьном виде.

4)

Какую теорему вы использовали?

Запишите её в символьном виде.

Решение:

1) ()² = 5

()² = а, при а 0

Как следствие из определения арифметического квадратного корня.

2) == 7

Для любого числа a справедливо равенство: .

3)

Теорема о корне из произведения.

Если , , то .

4)

Теорему о корне из дроби.

Если , , то .

Задание 5 (Устно): Показать, что:

3 < < 5

Какую теорему вы использовали?

Решение:

Возведём неравенство в квадрат:

,

0 < 9 < 13 < 25

3 < < 5

Если a > b > 0, то .

Задание 6: Записать в виде конечной или бесконечной периодической дроби:

Задание 7: .Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:

2,2(15)

Чем вы пользовались при решении этих заданий?

Решение:

Решение:

x = 2,2(15)

10х = 22,(15)

1000х = 2215,(15)

Вычитаем из третьего равенство второе:

990х = 2193

Алгоритмами перевода обыкновенной дроби в конечную и бесконечную периодическую десятичную дробь и обратно.

Задание 8: Внесите множитель под знак корня: - 3

Какую теорему использовали?

Решение:

Для любого числа a справедливо равенство: и теорему о корне из произведения

Задание 9: Вынесите множитель из-под знака корня:

Какую теорему использовали?

Решение:

Для любого числа a справедливо равенство: и теорему о корне из произведения.

Задание 10: Избавится от иррациональности в знаменателе дроби:

1)

Какой приём использовали?

На чём основан?

2) , при

Какой приём использовали?

На чём основан?

3)

Какой приём использовали?

На чём основан?

Решение:

1)

Умножали и числитель и знаменатель дроби на иррациональное число стоящее в знаменателе.

На следствии из определения арифметического квадратного корня.

2)

Раскладываем числитель на слагаемые по формуле «разность квадратов», в результате одно из слагаемых и знаменатель должны сократиться.

На сокращении дробей.

3)

Если в знаменателе дроби стоит разность (сумма) двух чисел, то домножаем и числитель и знаменатель дроби на сумму (разность) этих же слагаемых.

На формуле :разность квадратов», правиле раскрытия скобок, приведении подобных слагаемых.

Мотивация.

Вы изучили тему: «квадратные корни», в ней много различных понятий, теорем и правил, которые вы использовали при решении предыдущих примеров. На следующем уроке вы пишите контрольную работу.

Постановка учебной задачи урока.

Поэтому вам необходимо осознать на сегодняшнем уроке изученные теоретические положения темы «Квадратные корни» и рассмотреть их взаимосвязь.

II. Содержательная часть.

Далее все записи учитель и ученики ведут в канве-таблице. Идёт фронтальная работа учителя с классом.

Какое действие вы выполняли при решении задания 1?

Какое действие вы выполняли при решении задания 2?

Запишите определение арифметического квадратного корня в символьном виде.

Какое условие существования квадратного корня вы получили при решении задания 3?

Чем пользовались при решении задания 4?

Возведение в квадрат.

(записывается в канву).

Извлечение арифметического квадратного корня. (записывается в канву).

(записывается в канву).

имеет смысл только при а 0

(записывается в канву).

Следствием из определения:, при

(записывается в таблицу)

Далее на примере заданий 4 -5 вы вспомнили несколько свойств арифметического квадратного корня.

На чём основывается доказательство этих свойств?

Следует заметить, что все формулы действуют как слева-направо, так и справа-налево при определённых условиях.

) Для любого числа a справедливо равенство: .

2) Если a > b > 0, то .

3) Если , , то .

4) Если , , то .

Свойства уже должны быть выписаны на доске. Теперь заносятся в канву-таблицу.

На определении арифметического квадратного корня и его следствиях. (Появляется стрелочка от опр. к свойствам)

Какие преобразования вы повторили решая задания 7-8?

Заполняются соответствующие ячейки канвы-таблицы. Рисуются стрелочки.

1) Вынесение множителя из-под знака корня.

2) Внесение множителя под знак корня.

3) 3 способа избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

1) , при

2)

3) a), где b > 0;

b) ,

при a-,

c)

, при ab, ,

Далее идёт заполнение последней части канвы-таблицы.

Вспомним, как появилось понятие иррационального числа.

Какое числовое множество образуют положительные числа?

Какие числа кроме положительных ещё существуют?

Какое множество объединяет положительные, отрицательные числа и ноль?

Какие ещё числа, кроме целых, вы знаете?

Приведите примеры.

Какое множество включает в себя и дробные и целые числа?

Приведите примеры.

Известно, что рациональное число записывается в виде обыкновенной дроби. Как ещё его можно записать?

Какие два алгоритма перевода мы знаем?

Как мы переводим бесконечную периодическую десятичную дробь обратно в обыкновенную? Давайте сформулируем алгоритм. (Учитель вместе с учениками на основе задания 6 формулирует алгоритм перевода).

Мы уже знаем, что кроме бесконечной периодической десятичной дроби существует бесконечная десятичная непериодическая дробь. Будет ли она рациональным числом?

А какое это число?

Приведите примеры.

Каким образом мы с вами расширили множество рациональных чисел?

Вся числовая ось теперь заполнена.

Перед нами теперь полностью заполненная таблица, отображающая все понятия, которые мы изучили по теме «Квадратные корни». На ней мы чётко видим, как взаимосвязаны все понятия, теоремы и преобразования изученные вами.

Множество натуральных чисел. (в канву)

Отрицательные и ноль. (в канву)

Множество целых чисел. (в канву)

Дробные числа.

3; -; 0,75; -6,1(3) (в канву)

Множество рациональных чисел.

- 5; 0; -2,34; 17; -; 4,1(25) (в канву)

В виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

1) Перевод обыкновенной дроби в конечную десятичную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.

2) Перевод конечной десятичной, либо бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

(заносится в канву).

Алгоритм перевода конечной десятичной дроби и бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:

1. Обозначаем число за х.

2. Умножаем на число десятков, стоящих до периода после запятой.

3. Умножаем на столько десятков, сколько цифр в периоде.

4. Из последнего равенства вычитаем предыдущее.

5. Выражаем х обыкновенной дробью.

6. Сокращаем дробь, если необходимо.

Нет.

Иррациональное.

0, 1234…; ,,

Мы ввели иррациональные числа и расширили множество рациональных до множества действительных чисел.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

Какова была цель сегодняшнего урока?

Достигли ли мы этой цели?

Каким образом?

Домашнее задание:

Выполнить задания из «Проверь себя!» на стр. 102. Подготовиться к контрольной работе.

Осознать на сегодняшнем уроке изученные теоретические положения темы «квадратные корни» и рассмотреть их взаимосвязь.

Да.

Мы повторили всю теорию по теме «Квадратные корни» и в виде таблицы показали её взаимосвязь.

Проверь себя

1. Сравнить: 7 и ; и.

Решение:

а) 7 =

49 > 48 >0

>

7 >

б)

0 < 12 < 18

<

<.

2. Вычислить:

Решение:

3. Упростить выражение:

Решение:

4. Вынести множитель из-под знака корня:

, a

Решение:

5. Сократить дробь:

Решение:

,при

6. Исключить иррациональность из знаменателя:

Решение:

Канва-таблица.

К

вадратные корни.