Проект по теме: «Сечение тетраэдра и параллелепипеда»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 12»

Проект по теме:

«Сечение тетраэдра и параллелепипеда»

Работу выполнили: ученики 10 класса

Князькина Алёна - руководитель группы

Работу проверила

Илюшечкина Е.В.- учитель математики

г. Дзержинск

2013-2014 гг.

Содержание.

Введение. Цели и задачи исследования………………………………

1. Теоретическая часть. Тетраэдр……………………………………..

1. 1. Определение тетраэдра…………………………………………….

   2. Основные свойства…………………………………………………

   3. Типы тетраэдра……………………………………………………..

   4. Применение…………………………………………………………

2. Теоретическая часть. Параллелепипед………………………………..

   1. Определение параллелепипеда…………………………………….

   2. Основные элементы………………………………………………...

   3. Свойства параллелепипеда…………………………………………

   4. Типы параллелепипеда……………………………………………...

   5. Параллелепипеды в жизни………………………………………….

3. Сечение многогранников………………………………………………..

   1. Сечение тетраэдра……………………………………………………

   2. Сечение параллелепипеда……………………………………………

   3. Метод следов…………………………………………………………

   4. Метод комбинированных сечений………………………………….

   5. Метод вспомогательных сечений……………………………………

4. Решение задач. Вычисление площади и периметра сечений……….....

5. Список литературы………………………………………………………

Цель исследования:

• Рассмотреть способы решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда, уметь вычислять площадь и периметр сечения.

Задачи исследования:

• Изучить понятие тетраэдра и параллелепипеда, их основные свойства и виды, привести примеры использования формы тетраэдра и параллелепипеда в окружающем нас мире;

• Познакомиться с правилами построения сечений (описать метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений);

• Решить задачи на построение сечений (№1-3)

• Вычислить площадь и периметр сечения (задача 1, 2; пункт 4)

Теоретическая часть.

Тетраэдр.

Понятие тетраэдра.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra - «четыре» и hedra - «основание», «грань».

Тетраэдр - многогранник, имеющий 4 треугольные грани, 6 рёбер и 4 вершины, в каждой из которых сходятся 3 ребра.

Построение тетраэдра

Изображают обычно тетраэдр как четырехугольник с диагоналями, одну из которых (соответствующую невидимому ребру) изображают пунктирно.

Грани

4 треугольные грани

Вершины

4 вершины

Рёбра

6 ребёр

Свойства тетраэдра.

• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

• Все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 3:1, считая от вершины (теорема Коммандино). В этой же точке пересекаются и бимедианы тетраэдра, которые делятся ею пополам.

Основные понятия:

• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

• Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

• Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Типы тетраэдров.

• Равногранный тетраэдр - это тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники.

• Ортоцентрический тетраэдр - это тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

• Прямоугольный тетраэдр - это тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.

• Правильный тетраэдр - это тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники.

• Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.

• Инцентрический тетраэдр -это тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Применение тетраэдра.

Тетраэдры в живой природе.

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение.

Тетраэдры в строительстве.

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

Тетраэдр в оптике.

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.

Тетраэдры в микромире

• Молекула метана СН₄

• Молекула аммиака NH₃

• Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем

• Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем

• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем

• Комплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-, [Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+

• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-

Тетраэдры в производстве

Форму тетраэдра нельзя назвать удобной, но и у нее есть применение, например, при изготовлении пакетов для молока. Оказалось, что на конвейере удобно склеивать подобные тетраэдры, отрезая заготовки для них от картонного "шланга".

Теоретическая часть.

Параллелепипед.

Понятие параллелепипеда.

Параллелепипед - это объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником или параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Параллелепипед - многогранник, который имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

Грани

6 параллелограммов

Рёбра

12 рёбер

Вершины

8 вершин

Основные элементы параллелепипеда.

• Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными.

• Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро - смежными.

• Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

• Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

• Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Изображение параллелепипеда

Свойства параллелепипеда.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Типы параллелепипедов.

Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники

Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники, а в основании параллелограмм.

Наклонный параллелепипед - это наклонная призма, в основании которой параллелограмм.

Куб - это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Параллелепипеды в жизни.

В жизни нас окружает множество примеров использования параллелепипедов.

Например, в строительстве, параллелепипедом выступает кирпич, а также построенные здания.

В бытовом окружении параллелепипедом может служить микроволновая печь, шкафы, процессоры, спичечный коробок, игрушки и многое другое.

Сечение многогранников.

• Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники.

• При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

• Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Метод следов.

Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения, так называемого основного следа секущей плоскости, т. е следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

1. 2.

3.4.

5. 6.

Решение задач.

Задача 1. Изобразите тетраэдр KLMN. a) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины E,O и F отрезков LM, MA, и MK, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 .

Построение сечения:

1. Проведем прямые AL и KA по А2. Треугольник AKL - искомое сечение.

2. Рассмотрим треугольник LKM: F - середина KM, E - середина LM. Отсюда EF - средняя линия треугольника LKM, значит EF II LK. Аналогично, треугольник MAK: F - середина MK, O - середина MA. Отсюда FO - средняя линия треугольника MAK, значит FO II KA. Так же треугольник LMA: E - середина LM, O - середина MA. Отсюда EO - средняя линия треугольника LMA, значит EO || LA. Тогда по признаку параллельности плоскостей (OEF) || (ALK).

Решение:

, т.к. S_LKA = 24, то S_EOF = см²

Ответ: S_EOF = 6 см²

Задача 2. Построить сечение куба, плоскостью проходящей через вершины A B и точку К середину ребра . Найти периметр построенного сечения, если ребро куба А = 4 см.

Построение сечения:

1. В€(ВСС1), К€(ВСС1). Проведем отрезок BK по .

2. Проведем AМ || BK, т.к. (АА1D1)||(ВСС1)

3. М€(А1В1С1), К€(А1В1С1). Соединим точки М и K по .

4. Получим четырехугольник AМKB - искомое сечение.

Решение:

Так как наша фигура по условию куб, то по определению - все шесть граней куба - равные квадраты. Значит, AB=A=4. Искомое сечение является прямоугольником, следовательно: AB=MK=BK=AM=4. =4*4=16 см.

Ответ: =16 см.

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда ABCD плоскостью КМN, где точки К, М, N лежат соответственно на ребрах , АВ, ВС.

Построение сечения:

1. Соединим точки N и М по .

2. Продолжим ребро DА и прямую NM, и получим точку пересечения F.

3. Проведем прямую FK, получим точку P - точку пересечения ребра A и прямой KF.

4. По соединим точки M и P.

5. Проведем KL || MN, на ребре получили точку L.

6. Продолжим ребро и прямую КL, и получим точку пересечения R.

7. Проведём прямую RN, получим точку Е - точку пересечения ребра и прямой RN.

8. По соединим точки L и E.

9. Получим искомое сечение - NMPKLE.

Список литературы и справочных материалов:

Литвененко В.М. Сборник задач по стереометрии с методами решений пособие для учащихся. 2008г.

Потаскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости, построение сечения многогранников.

Пособия для учащихся. 2004г.

Базаев В.Т., Дуничев К.Н.

Сборник задач по геометрии. 2011г.

Начертательная геометрия Бубенкова, М.Я. Громова. 2010г.

Справочное пособие по методам решения задач для учащихся школы.

Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. под редакцией В.И. Благодатских. 2003г.

«Кейс» задание.

1. Рассмотреть темы «Тетраэдр» и «Параллелепипед» по учебнику Геометрия 10 - 11 кл., стр.24 - 26. Знать понятия тетраэдра и параллелепипеда.

2. Описать виды и свойства тетраэдра и параллелепипеда.

3. Привести примеры предметов из окружающей среды, имеющих форму тетраэдра и параллелепипеда.

4. Рассмотреть задачи на построение сечений по учебнику

Геометрия 10 - 11 кл., стр.27 - 29 и оформить их решение в тетради.

5. Выбрать из учебника Геометрии 10 - 11 кл. (стр.30) 6 задач

(3 - тетраэдр, 3 - параллелепипед) и решить их. Вопросы по решению задать на консультациях.

6. Решить задачи на построение сечений (№1 - 3) в группах по текстам, предложенным группам обучающихся (задачи в группах разные).

7. Оформить папку: Проект «Сечение тетраэдра и параллелепипеда».

8. Подготовить презентацию по теме «Сечение тетраэдра и параллелепипеда».

9. Изготовить модели многогранников с сечениями.