Исследовательская работа Геометрия зрения

Муниципальная общеобразовательная школа - интернат

«Белоярская школа- интернат среднего (полного) общего образования».

Ученица 10кл.Филиппова Матрена

Преподаватель: Бахрина Татьяна Ильинична.

с. Белоярск, 2013год.

- Взгляни-ка на дорогу. Кого ты там видишь?

- Никого, - сказала Алиса.

- Мне бы такое зрение! - заметил король с завистью.

- Увидеть Никого! Да еще на таком расстоянии!

Л. Кэрролл. «Алиса в Зазеркалье»

Актуальность выбранной темы.

У меня интерес к данной теме возник после прочтения книги известного популяризатора науки Я.И. Перельман «Занимательная алгебра. Занимательная геометрия». Меня заинтересовали и удивили задачи с необычными содержаниями и с любопытными сюжетами. Эти названия сами за себя говорят: «Почему птицы летят правильным строем?», «Насекомые в янтаре», «Органы чувств у растений» и т.д. В книге используются зачастую неожиданным образом страницы художественной литературы, не только фантастической, но и общей; разбор задач на максимум оживляется расчетами над материалом рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно»; даже шуточные рассказы А.П. Чехова («Репетитор», «Письмо к ученому соседу»), Марка Твена, Джерома привлечены при составлении задач. В качестве одного из приложений рассматривается вопрос об угле зрения. Это понятие встречается в естественных науках (физике, астрономии, биологии), а также в повседневной жизни.

Я согласна со словами М.В. Ломоносова: «Геометрия - правительница всех мысленных изысканий».

Цель: Расширить знания об одной из древних математических наук - геометрии.

Задачи:

1. Развить умение работать с информацией.

2. Умело использовать компьютерную технологию.

3. Развивать творческие, научно- исследовательские умения.

4. Воспитывать вкус к занятию наукой математики.

5. Развивать познавательный интерес, научится видеть связь между геометрией и окружающей жизнью.

1. Геометрия зрения._______________________________________________

Почему, чтобы разглядеть детали висящей на стене картины, мы подходим к ней ближе? Отчего устремляющиеся вдаль рельсы кажутся пересекающимися в воображаемой точке? Какова геометрия солнечного затмения? Почему звезды на небе мы видим как точки? И можно ли разглядеть спичечную головку с расстояния 10 м? Ответы на эти и многие другие вопросы касательно того, как мы видим окружающий мир, помогает найти наука геометрия, объясняющая некоторые (легко обнаруживаемые опытным путем) закономерности зрительного восприятия. Геометрия - одна из наиболее древнейших математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (ΙΙΙ тысячелетие до.н.э.) а также в других источниках.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей .Интересы геометров и направления их научных исследований порой менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня. В наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии, каждый из которых имеет свою специфику. В качестве одного из таких приложений можно рассмотреть некоторые механизмы зрения, в частности затронув вопрос об угле зрения.

2. Пара слов об угле зрения.

Углом зрения называется угол с вершиной в оптическом центре глаза, под которым виден наблюдаемый предмет. Иначе говоря, это угол, образованный углами зрения, касающимися крайних точек предмета (рис.1). Как правило, крайние точки предмета - это концы отрезка, являющегося его высотой. Если лучи зрения проходят через произвольные точки предмета, мы видим лишь его часть, заключенную между ними. Как и другие плоские углы, угол зрения измеряют в градусах, минутах и секундах, реже - в радианах (обычно, когда рассматривают малые углы).

α

Рис. 1

Заметим, что большая часть зрительной информации, поступающей в неподвижный глаз (а именно о нем идет речь дальше), сосредоточена в пространственном угле ясного зрения.

По отношению к наблюдаемому предмету употребляют также термин угловой размер. Например, фраза «Угловой размер Луны - 0,5˚» означает, что под таким углом земной наблюдатель видит лунный диск.

Угловые размеры различных объектов на местности необходимо определять топографом, составляющим ее карту. Для решения этой задачи они используют специальные оптические приборы.

Понятие угла зрения очень важно в астрономии. Знание углового размера (астрономы говорят углового диаметра или видимого диаметра) небесного тела позволяет вычислить его линейные размеры. Вследствие огромной удаленности космических объектов угловые диаметры планет и звезд очень малы и измеряются в угловых минутах (′ ) и секундах (″ ).

Углов зрения, под которыми виден данный предмет, может быть бесконечно много, так как имеет бесчисленное число точек наблюдения -вершин таких углов. Иначе говоря, угловой размер предмета зависит от выбранной точки наблюдения (рис. 2). Для решения практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например тот, под которым видна высота рассматриваемого предмета.

Рис. 2

Рис. 3

Угловой размер - величина непостоянная. Она зависит от размеров предмета и расстояния от глаза до предмета. Убедимся в этом, проделав несложный опыт.

Задание 1. Возьмите похожие по форме предметы разного размера (например, карандаш и ручку разной длины) и поместите их на одинаковом от себя расстоянии. Сравните угловые размеры этих предметов.

(Ответ: у большего предмета угловой размер больше.)

Как объяснить увиденное? Пусть два предмета высотой АВ и А1В (АВ< А1В) соответственно находятся на одинаковом расстоянии от глаза, центр которого совпадает с точкой С (рис. 4). Так как луч СА проходит внутри угла А1СВ, то угол зрения φ, под которым виден меньший отрезок АВ, меньше угла зрения φ׳, под которым виден больший отрезок А1В (φ<φ׳). Итак, больший предмет высотой А1В больше углового размера предмета высотой АВ.

А1

А φ׳

φ

_В С

Рис. 4

3. Тангенс угла и острота зрения.

До сих пор, говоря об угле зрения, мы проводили известные угловые размеры различных объектов. Ознакомившись с понятием тангенса угла, мы сможем вычислять углы зрения.

Задание 1. Вычислите угол зрения, под которым вы видите буквы в своем учебнике. Высота буквы равна 2,5 мм, расстояние от глаза до книги - 20 см.

Приведем решение задачи. Пусть направление взгляда строго перпендикулярно странице учебника, О - центр глаза, ОА - расстояние от глаза до книги, АВ - высота буквы (рис. 5). Тогда АОВ = α - искомый угол зрения. Из прямоугольного треугольника АВО по определения тангенса угла

, , откуда α ≈ 42′. В

_{О α А}

Рис. 5

Получился угол менее 1º! А ведь глаз человека может различать объекты и меньшего размера (причем на большем расстоянии). Очевидно, существует предельный угол зрения, под которым глаз еще способен различить две точки по отдельности. Этот предельный угол необходим для оценки остроты зрения. Остротой зрения принято характеризовать способность глаза различать предметы небольших размеров. Чем больше предельный угол зрения для глаза, тем ниже острота зрения человека.

Для людей с нормальным зрением величина предельного угла зрения приблизительно равна 1′. Под таким углом видна, например, типографическая точка диаметром 0,5 мм с расстояния 1,7 м. Чтобы вычислить остроту зрения, нужно найти отношение угла в 1′ к предельному углу зрения α, измеренному для глаза человека. Считается, что нормальная острота зрения равна единице и достигается в том случае, когда α ≈ 1′.

В медицинской практике остроту зрения проверяют по специальной таблице, которая содержит строчки букв разного размера. Острота зрения определяется по наименьшей строке, которую полностью правильно читает пациент. Такое исследование проводится для каждого глаза отдельно, так как у правого и у левого глаза этот показатель может несколько отличаться. Однако остроту своего зрения приблизительно можно узнать и без специального оборудования. Для этого можно провести несложный опыт, который был описан в книге «Занимательная геометрия» известного популяризатора науки Я. И. Перельмана.

Задание 2. На листе бумаги начертите 20 горизонтальных черных линий длиной 4 см и толщиной 1 мм так, чтобы они заполняли квадрат (рис. 8). Приклейте чертеж на хорошо освещенную стену и отойдите от него на такое расстояние, чтобы линии слились в сплошной серый фон. Сделав необходимые измерения, вычислите величину предельного угла зрения для вашего глаза.

Рис. 6

Воспользуемся рис. 7. Пусть АВ = 1мм - толщина линии, ОА и ОВ - лучи зрения, а ОА‪ АВ. Найдем угол АОВ.

где ОА - расстояние от глаза до чертежа, которое можно измерить непосредственно. Пусть, например, расстояние ОА = 3,42 м. Тогда предельный угол зрения АОВ = 1′. Это означает, что острота зрения равна единице, что считается нормой.

4. … и совсем нехитрые вычисления.

1. Природный угломер.

Иногда оценить угловой размер предмета удается буквально голыми руками. Оказывается, кисть руки послужит нам неплохим природным угломером. К ее помощи можно прибегнуть, когда в наличии нет измерительных инструментов и не требуется высокая точность результата.

В одном справочнике по астрономии приводятся некоторые полезные для этой цели углы. Ноготь указательного пальца вытянутой перед собой руки мы видим под углом 1º, кулак - под углом 10º, а промежуток между концами расставленных большого пальца и мизинца - под углом 22º (рис. 7). Проверьте с помощью вычислений, так ли это, сделав предварительно необходимые измерения.

^{10º 1º 22º}

Рис. 7

Заключение:

Беседы о зрении можно продолжить, затронув вопросы механизмов зрения двумя глазами, объяснения некоторых зрительных иллюзий, создания зрительных эффектов в архитектуре и т.д. Все эти темы полезны и интересны для учеников основной школы и могут быть освещены в рамках урока геометрии.

Литература:

1. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. - Д.: ВАП, 1994.

2. Перельман Я.И. Новый задачник по геометрии. - 4-е изд. - М. - Л., ГосИздат, 2005.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: VΙΙ - VΙΙΙ кл. - М.: Просвещение, 1982.

4. Карпушина Н.М. Яков Перельман: штрихи к портрету // Математика в школе. - 2007. - №5.

5. Перельман Я.И. Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений. - Гос. изд.: Москва 1982.

6. Рыбников К.А. История математики: М.: Изд-во МГУ, 1994.