Методическое пособие для 10класса по алгебре

Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса. В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЯПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕКАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯКОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:















Методическое пособие

по алгебре

для 10 класса

СОШ №21 г.Экибастуза








Составила:учитель математики

Бигельдинова Асель Жумабаевна








Пояснительная записка


Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся, повышение уровня подготовки к ЕНТ. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса.

В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса:

  1. ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА

  2. ТРИГОНОМЕТРИЯ

  3. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

  4. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

  5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

  6. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

  7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

  8. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА

Каждая тема представлена кратким справочным материалом, примерами с решениями, дидактическим материалом, тематическими тестами.

В результате использования пособия учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

- преобразовывать выражения, содержащие тригонометрические выражения;

- решать тригонометрические уравнения и неравенства;

Разнообразный дидактический материал дает возможность отработать теоретические знания на практике. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на отработку тестовых задач с целью более качественной подготовки к ЕНТ.





Тема1: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Определение: Закономерность, при которой каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией.

Обозначение функции: y=f (x).y=g(x). y=Методическое пособие для 10класса по алгебре(x).., где х - независимая переменная, или аргумент; у- зависимая переменная ,или функция.

Множество значений переменной, при которых функция имеет смысл, называют областью определения функции, обозначение Д (f), а значение функции, соответствующее каждому значению независимой переменной из области определения, называют множеством значения функции, обозначение Е(f).



Понятие о четности, нечетности функции

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x)= f (x)

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x)= - f (x)

Понятие периодичности функции

Определение: Функцию f называют периодической с периодом ТМетодическое пособие для 10класса по алгебре0, если для любого х из области определения значение этой функции в точке х,

х-Т, х+Т равны, т.е. f (х+Т)= f(х)= f(х-Т)

Определение периода любой периодической функции основано на следующем свойстве: если функция f (x) является периодической и ее период равен числу Т, то периодической будет функция у=kf`(ax+b), (где kМетодическое пособие для 10класса по алгебре0, аМетодическое пособие для 10класса по алгебре0 и b - постоянные) и ее период равен числу Методическое пособие для 10класса по алгебре.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Найдите область определения функции

а) у=2Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у= Методическое пособие для 10класса по алгебре в)у= Методическое пособие для 10класса по алгебре г) у= Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

а) у=2Методическое пособие для 10класса по алгебре функция заданная в виде многочлена, поэтому можно вычислять ее значения при любых значениях аргумента. Область определения все действительные числа.

Ответ: Д(f) =R

б) у= Методическое пособие для 10класса по алгебре функция дробно-рациональная Методическое пособие для 10класса по алгебре х Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ: Д(f) =(Методическое пособие для 10класса по алгебре)Методическое пособие для 10класса по алгебре

в)у= Методическое пособие для 10класса по алгебре, необходимо взять подкоренное выражение неотрицательным, т.е. 2х-1Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ: Д(f) =Методическое пособие для 10класса по алгебре;+Методическое пособие для 10класса по алгебре

г) у= Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебре найдем область определения для Методическое пособие для 10класса по алгебре хМетодическое пособие для 10класса по алгебре т.е Методическое пособие для 10класса по алгебре;+Методическое пособие для 10класса по алгебре

для Методическое пособие для 10класса по алгебре знаменатель х+2Методическое пособие для 10класса по алгебре хМетодическое пособие для 10класса по алгебре т.е (Методическое пособие для 10класса по алгебре)Методическое пособие для 10класса по алгебре

Д(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре;+Методическое пособие для 10класса по алгебре(Методическое пособие для 10класса по алгебре)Методическое пособие для 10класса по алгебре=Методическое пособие для 10класса по алгебре;+Методическое пособие для 10класса по алгебре.



Ответ: Д(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре;+Методическое пособие для 10класса по алгебре



Пример 2. Найдем множество значений функций у=2Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Известно, что Е(f) для у= Методическое пособие для 10класса по алгебре есть отрезок Методическое пособие для 10класса по алгебре

Рассмотрим -1Методическое пособие для 10класса по алгебре / умножим на 2

-2Методическое пособие для 10класса по алгебре / прибавим -5

-7Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Д(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 3. Определим четность или нечетность функций:

а) f(х)= Методическое пособие для 10класса по алгебре б) f(х)=- Методическое пособие для 10класса по алгебре+х в) f(х)=Методическое пособие для 10класса по алгебре+Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: а) f(-х)= Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре = f(х) - четная функция

б) f(-х)=- Методическое пособие для 10класса по алгебре+(-х)= Методическое пособие для 10класса по алгебре-х = - (- Методическое пособие для 10класса по алгебре+х )= - f(х)- нечетная функция

в) f(-х)=Методическое пособие для 10класса по алгебре+Методическое пособие для 10класса по алгебре=-Методическое пособие для 10класса по алгебре+Методическое пособие для 10класса по алгебре функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

Пример 4. Найдем период для функции у=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Период функции у=Методическое пособие для 10класса по алгебре, а по условию а=2 Тогда по формуле Методическое пособие для 10класса по алгебре получаем, что Методическое пособие для 10класса по алгебре=Методическое пособие для 10класса по алгебре. Следовательно период данной функции равен Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 5. Найдем наименьший положительный период функции у=tg Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: По определению период функции у=tg х равен Методическое пособие для 10класса по алгебре по условию

а =Методическое пособие для 10класса по алгебре, тогда по формуле Методическое пособие для 10класса по алгебре получаем, что Методическое пособие для 10класса по алгебре=Методическое пособие для 10класса по алгебре=3Методическое пособие для 10класса по алгебре .

Ответ: 3Методическое пособие для 10класса по алгебре































ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Найдите область определения функции:

а) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Д(f) = (-2Методическое пособие для 10класса по алгебре) Ответ: Д(f) Методическое пособие для 10класса по алгебре;0)Методическое пособие для 10класса по алгебре

в) у = arcsin (2х-5)

Ответ: Д(f) = (2Методическое пособие для 10класса по алгебре)

2. Найдите множество значений функции:

а) у=2Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Е(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебреОтвет: Е(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

в) у= 1-2Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Е(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

3. Найдите область определения и множество значений функции:

а) у = Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у= Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Д(f)= Методическое пособие для 10класса по алгебре, Е(f)= (0;+Методическое пособие для 10класса по алгебре) Ответ: Д(f)= R, Е(f)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

в) у =- Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Д(f)=(-Методическое пособие для 10класса по алгебре)Методическое пособие для 10класса по алгебре, Е(f)= (-Методическое пособие для 10класса по алгебре)Методическое пособие для 10класса по алгебре

4. Выясните четность, или нечетность следующих функций:

а) у = Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у =3+Методическое пособие для 10класса по алгебре в) у =Методическое пособие для 10класса по алгебре+tgх

г) у = Методическое пособие для 10класса по алгебре д) у = х -Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. Найдите наименьший положительный период функций

а) у = Методическое пособие для 10класса по алгебре б) у = 5tgМетодическое пособие для 10класса по алгебре в) у = Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебреОтвет: Методическое пособие для 10класса по алгебреОтвет: 16Методическое пособие для 10класса по алгебре

г) у =ctg (5х - Методическое пособие для 10класса по алгебре) д) у = tg(2-5х) е) у = 2Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебреОтвет:Методическое пособие для 10класса по алгебреОтвет: Методическое пособие для 10класса по алгебре



ТЕСТ №1


1. Какая из функций в области определения является нечетной?

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

2. Что можно сказать о функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Ни четная, ни нечетная. В) Четная. С) Периодическая.

D) Нечетная. Е) Общего вида.

3. Найдите наименьший положительный период функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

4. Найдите область определения функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. Найдите множество значений функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

6. Найдите функцию, обратную данной Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

7. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - 6х + 11

Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. Найдите область определения функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

9. Найдите множество значений функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

10. Найдите область определения функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре






ТЕСТ №2


1. Какая из функций является нечетной?

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

2. Какая из функций является четной?

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

3. Найдите наименьший положительный период функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

4. Найдите область определения функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. Найдите множество значений функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

6. Дана функция у = 5 - 4х. Найдите ей обратную.

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

7. Дана функция у = х2-4х+3. Найдите значение х, при котором функция

принимает наименьшее значение.

Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. Найдите область определения функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

9. Найдите наименьшее значение функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

10 .Найдите область определения функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре



Тема2: ТРИГОНОМЕТРИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


1)Значение тригонометрических функций


Угол

Функция


00


0


300


Методическое пособие для 10класса по алгебре


450


Методическое пособие для 10класса по алгебре


600


Методическое пособие для 10класса по алгебре


900


Методическое пособие для 10класса по алгебре


1800


Методическое пособие для 10класса по алгебре



2700


Методическое пособие для 10класса по алгебре


3600


Методическое пособие для 10класса по алгебре


sinα


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


1


0


-1


0


cosα


1


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


0


-1


0


1


tgα


0


Методическое пособие для 10класса по алгебре


1


Методическое пособие для 10класса по алгебре


-


0


-


0


ctgα



Методическое пособие для 10класса по алгебре


1


Методическое пособие для 10класса по алгебре


0


-


0


-


2)Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в каждой из координатных четвертей.


Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и

Методическое пособие для 10класса по алгебрекотангенса

+ + - + - +

- - - + + -




3) sin(-α) = -sinα нечетная функции

tg (-α) = -tgα нечетная функции

ctg (-α) = -ctgα нечетная функции

cos (-α) = cosα} - четная функция



Формулы тригонометрии



Основные тригонометрические тождества

Формулы двойного угла

sin2α +cos2α=1

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

tgα ∙ctgα =1

sin2α = 2sinα ∙ cosα

cos2α = cos2α - sin2α

cos2α = 1-sin2α

cos2α =2cos2α -1

Методическое пособие для 10класса по алгебре




Формулы половинного угла


Формулы сложения



Методическое пособие для 10класса по алгебре

sin (α+β) =sinα cosβ +cosα sinβ

sin (α-β) =sinα cosβ-cosα sinβ

cos (α+β) = cosα cosβ -sinα sinβ

cos (α-β) = cosα cosβ +sinα sinβ

Методическое пособие для 10класса по алгебре



Формулы суммы и разност

Методическое пособие для 10класса по алгебре




Тема: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение:


1Методическое пособие для 10класса по алгебре. arcsin(-a) = -arcsin a arcsin Методическое пособие для 10класса по алгебре = Методическое пособие для 10класса по алгебре ; arcsin(- Методическое пособие для 10класса по алгебре) = - Методическое пособие для 10класса по алгебре

2. arccos(-a) = π - arccos a arccosМетодическое пособие для 10класса по алгебре = Методическое пособие для 10класса по алгебре ; arccos(- Методическое пособие для 10класса по алгебре) = π - Методическое пособие для 10класса по алгебре = Методическое пособие для 10класса по алгебре π

3. arctg(-a) = -arctg a arctg1 = Методическое пособие для 10класса по алгебре ; arctg(-1) = - Методическое пособие для 10класса по алгебре

4. arcctg(-a) = π - arcctg a arcctg1 = Методическое пособие для 10класса по алгебре ; arcctg(-1) = π - Методическое пособие для 10класса по алгебре = Методическое пособие для 10класса по алгебре π

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

5. sin (arcsin a) = a Методическое пособие для 10класса по алгебре

cos (arccos a) = a Методическое пособие для 10класса по алгебре

6. arcsin (sin х) = х

arccos (cos х) = х

7 .tg (arctg a) = a

arctg (tg х) = х, если х€Методическое пособие для 10класса по алгебре


Найдите значение выражения:


a) arcsin 1 г) arctg 0 ж) arccos (-Методическое пособие для 10класса по алгебре)

б) arcsin (- Методическое пособие для 10класса по алгебре) д) arctg (-Методическое пособие для 10класса по алгебре) з) arcctg (-Методическое пособие для 10класса по алгебре)

в) arccos Методическое пособие для 10класса по алгебре е) arcctg (Методическое пособие для 10класса по алгебре)


Тема3: ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Уравнения вида Методическое пособие для 10класса по алгебреsin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x =a называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Любое другое тригонометрическое уравнение с помощью преобразований можно привести к простейшим.

1) sin x = a, -1 ≤ a ≤ 1


х = (-1)k arcsin a + πk, k€z


Частные случаи

sinx = 0; x = πk, k€z

sinx = 1; x = Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk, k€z

sinx = -1; x = - Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk, k€z

sin2x = a; x = ±arcsinМетодическое пособие для 10класса по алгебре + πn

2) cos x = a, -1 ≤ a ≤ 1

х = ±arccos a + 2πk, k€z


Частные случаи

cosx = 0; x = - Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

cosx = 1; х=2πk, k€z

cosx = -1; х= π + 2πk, k€z

cos2x = ±arccosМетодическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z


3) tg x = a

х = arctg a + πk, k€z


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решить уравнение:

sinx = - Методическое пособие для 10класса по алгебре

x = (-1)k arcsin (- Методическое пособие для 10класса по алгебре) + πk, k€z

x = (-1)k+1 Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

Ответ: x = (-1)k+1 Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

Пример 3. Решить уравнение:

sin2x = Методическое пособие для 10класса по алгебре

2x = (-1)k arcsinМетодическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

2x = (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

х = (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебреk, k€z

Ответ: х = (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебреk, k€z


Пример 2. Решить уравнение:

2 cosx + 1 = 0

2cosx = -1

cosx = - Методическое пособие для 10класса по алгебре

x = ±arccos(- Методическое пособие для 10класса по алгебре) + 2πk, k€z

x = ±(Методическое пособие для 10класса по алгебре) + 2πk, k€z

Ответ: x = ±(Методическое пособие для 10класса по алгебре) + 2πk, k€z


Пример 4. Решить уравнение:

3tgx -1 = 0

tgx = Методическое пособие для 10класса по алгебре

x = arctg Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z

Ответ: x = arctg Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z


















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнения:


1. cos x = Методическое пособие для 10класса по алгебре 7. sin x = -0,6

2. cos x = -1 8. cos (-4x )= 0

3. sin(- x) = 0,5 9. cos Методическое пособие для 10класса по алгебре = - Методическое пособие для 10класса по алгебре

4. 2 sin x = 0 10. tg( x+π/4) = Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. ctg х + 1 = 0 11. 2 sin x + Методическое пособие для 10класса по алгебре = 0

6. sin 3x = Методическое пособие для 10класса по алгебре 12. cos x = 3



Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

(Виды уравнений: а sin2x + b sinx + c= 0, а cos2x + b sinx + c = 0)

Алгоритм решения:

а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией

б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции

в) Решить простейшие тригонометрические уравнения


Методическое пособие для 10класса по алгебреПример: 2 sin2 x + 5 sin x - 3 = 0

Замена: sinx = t , |t| ≤ 1

2 t2 + 5 t - 3 = 0 , t = -3

t = Методическое пособие для 10класса по алгебреОбратная замена: sin x=-3 нет решения,

sinx = Методическое пособие для 10класса по алгебре (простейшее уравнение)

(см. таблицу)


2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)

Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0

Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0

tgx = - Методическое пособие для 10класса по алгебре (простое тригонометрическое уравнение)


  1. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0

(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)


а sin2x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)

sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:

1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)


4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

Методическое пособие для 10класса по алгебре

а sin2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид

а sin2 x + bsinx cosx + c cos2x = d, то правую часть

уравнения умножаем на 1, т.е.

Методическое пособие для 10класса по алгебреРешается делением на сos2 х≠ 0

a tg2x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)

замена: tgx = t

at2 + bt + c =0 …


ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение

1.2 cos2x + 9 sinx + 3 = 0, (указание: Методическое пособие для 10класса по алгебре заменить на 1-sin2x) 2.Методическое пособие для 10класса по алгебреsinx + cosx = 0

Ответ: - Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z Ответ: (-1)n+1 Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z



3. 2sin cosx - sinx = 0 4. 3 sin2x + sinxcosx = 2cos2x

Ответ: x = - Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, x = arctg Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z Ответ: x = ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πn, n€z, x = πn, n€z



ТЕСТ № 1


1. Решите уравнение: sinx = Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk, k€z B) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk C) (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk D) (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk


2. Решите уравнение: 2 cos2x = Методическое пособие для 10класса по алгебре

A) Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk B) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk C) Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk D) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk



3. Решите уравнение: 3tg3x = 3

A) Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебреk B) - Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk C)Методическое пособие для 10класса по алгебреk D) Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебре



4. Решите уравнение: 2cos2x - 5cosx = -3

A) 2πn, n€z B) нет решения C) πn, n€z D) π + 2πn, n€z

5. Решите уравнение: sin2x - 2sinx = 0

A) πn, n€z B) (-1)kМетодическое пособие для 10класса по алгебре + πк C) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πn D) π + 2πn, n€z

6. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

A) нет решения B) Методическое пособие для 10класса по алгебреC) Методическое пособие для 10класса по алгебреD) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πn, n€z

7. Решите уравнение: 2sin Методическое пособие для 10класса по алгебре + Методическое пособие для 10класса по алгебре = 0

A) (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk B) (-1)k + 1 Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2πk C) (-1)k Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk D) (-1)k + 1 Методическое пособие для 10класса по алгебре + πk


8. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре sinx - cosx = 0

A) Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn B) Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn C) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре +2 πn D) ± Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn


9. Решите уравнение: sin2 Методическое пособие для 10класса по алгебре + sin Методическое пособие для 10класса по алгебре cos Методическое пособие для 10класса по алгебре = 0

A) - Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2 πn, n€z, 2πn, n€z B) Методическое пособие для 10класса по алгебре + 2 πn, n€z C) Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z D) - Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z, πn, n€z


10. Решите уравнение: 3tg6x + Методическое пособие для 10класса по алгебре = 0

A) Методическое пособие для 10класса по алгебре + πn, n€z B) Методическое пособие для 10класса по алгебре + 6 πn, n€z C) Методическое пособие для 10класса по алгебре + 3 πn, n€z D) - Методическое пособие для 10класса по алгебреn, n€z





ТЕСТ №2

1. Решите уравнение:Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре

2. Решите уравнение Методическое пособие для 10класса по алгебреесли Методическое пособие для 10класса по алгебре

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебре D)Методическое пособие для 10класса по алгебре


3. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре;

С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

4. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

5. Найдите корень уравнение Методическое пособие для 10класса по алгебрепринадлежащий [Методическое пособие для 10класса по алгебре]

А)300; В)450; С)200; D)150.


6. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре


7. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

9. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре;

С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре.


10. Решите уравнение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре.




Тема4: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ




Функция


Производная




Функция


Производная



Функция



Производная

1

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

9

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

17


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

2


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

10

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

18


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

3

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

11

Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

19


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

4

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

12

Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

20

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

5

Методическое пособие для 10класса по алгебре

- Методическое пособие для 10класса по алгебре

13

Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

21


Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

6

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

14

Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре


22


Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

7

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

15

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

23


Методическое пособие для 10класса по алгебре

-Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

8

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

16

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

24


Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


Пример 1. Найдите производную функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре




Пример 2. Найдите производную функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

Методическое пособие для 10класса по алгебре






Пример 3. Найдите производную функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

Обозначим Методическое пособие для 10класса по алгебре, тогда Методическое пособие для 10класса по алгебре Воспользуемся формулой Методическое пособие для 10класса по алгебре Найдем: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреТогда Методическое пособие для 10класса по алгебре И вообще Методическое пособие для 10класса по алгебре Производную данной функции находим сразу как произведение производной степенной функции Методическое пособие для 10класса по алгебре на производную от функции Методическое пособие для 10класса по алгебре: Методическое пособие для 10класса по алгебре



Пример 4. Найти производную функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле: Методическое пособие для 10класса по алгебре найдем производную степени: Методическое пособие для 10класса по алгебре.



Пример 5. Найти производную функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре




Пример 6. Найти производную функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре




Пример 7. Найти производную функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре
















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


  1. Найдите производную каждой из данных функций:


а) у=х3; б) у=sinx; в) у=tgx; г) у=ех; д) у=2х.


2. Найдите производную каждой из данных функций в указанной точке:

а) f(x)=lnx f '(½); б) f(x)=log3x f '(1); в) f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебреf '(¼);

г) f(x)=cosx f '(Методическое пособие для 10класса по алгебре); д) f(x)=ctgx f '(Методическое пособие для 10класса по алгебре);

3. Вычислите производные:

а) у=3х2; б) у=4х4; в) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре; г) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре ; д) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре; е) у=х+Методическое пособие для 10класса по алгебре ; ж) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре .

4. Вычислите производные:

а) у=2х2-3х+5; б) у=Методическое пособие для 10класса по алгебре; в) у=4-х2; г) у=х42; д) у=х5+2х3-Методическое пособие для 10класса по алгебре; е)Методическое пособие для 10класса по алгебре; ж)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

5. Найдите производную сложной функции:

а)Методическое пособие для 10класса по алгебре; б)Методическое пособие для 10класса по алгебре; в) Методическое пособие для 10класса по алгебре; г)Методическое пособие для 10класса по алгебре; д)Методическое пособие для 10класса по алгебре; е)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

6. Найдите производную данных функций:

а) f(x) = ( 3x7 - Методическое пособие для 10класса по алгебре) б) f(x)= (3-5х+х2)100Методическое пособие для 10класса по алгебре в) f(x) =Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре; Ответ: 100(3-5х+х2)99(-5+2х); Ответ: 21x6+Методическое пособие для 10класса по алгебре;

г) f(x) = Методическое пособие для 10класса по алгебре д) f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре; Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре;

е) f(x) = tgx·cos2x, указание: у=sinxcosx=½sin2x ж) f(x) = Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре; Ответ:cos2x;


з) f(x) =Методическое пособие для 10класса по алгебре и) f(x) = lg(5x2+1) к) f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре. Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре; Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре;

ТЕСТ №1


1. Найдите производную функцию f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре ; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

2. Найдите в точке х=Методическое пособие для 10класса по алгебре значение производной функции f(x)=sin2x.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)1; Е) 1,5.

3. Найдите производную функции у=5lnx-x2.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) -Методическое пособие для 10класса по алгебре; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

4. Найдите производную функции f(x)=5х ·2х.

А) 10xln5; В) 10xln10; С) 5xln10; D) 105xln10; E) 5xln5.

5. Дана функция f(x)=2Методическое пособие для 10класса по алгебре4. Найдите f´(1).

А) 2; В) 3; С) 6; D) 5 ; Е) 7.

6. Задана функция f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре.НайдитеМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

А) 2; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) 4; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

7. Задана функция f(x)=(х2-х) сos2x. HайдитеМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

А) -1; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) 2; D) 1; Е) 0.

8. Найдите производную функции у=2,5х2 - х5.

А) 12,5х - х4; В) 2,5х2 - 5х4; С) 5х-5х4; D) 5х-х5; Е) -5х+5х4.

9. Дано: f(x)=(4х+7)-6. HайдитеМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

А) -42(4х+7)-4; В) -6(4х+7)-5; С) -4(4х+7)-6; D) -24(4х+7)-7; Е) -4(4х+7)-7.

10. Вычислите производную функции f(x)=(х2-1)(2-3х) в точке х=2.

А) -25; В) -19; С) -18; D) -24; Е) -20.

ТЕСТ №2


1. Дана функция f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре.Найдите f'(3).

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) 2; Е) 1.

2. Задана функция f(x)=cosx2. Найдите f '(x).

А) х cosx2; В) -2х cosx2; С) 2х cosx2; D) -2х sinx2; Е) 2 sinx2.

3. Найдите производную функции f(x)=8х+ ex.

А) 8хlne; В) 8хln8+ ex; С) х ln8; D) 8хln8; Е) 8хlnх+е.

4. Найдите производную функции f(x)=ex+xМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

А) (х+2)ех+хМетодическое пособие для 10класса по алгебре ; В) (1-2х)ех ; С) (2х-1)ех+хМетодическое пособие для 10класса по алгебре ; D) (2х+1)ех+хМетодическое пособие для 10класса по алгебре ; Е) ех (1-2х).

5. Найдите производную функции f(x)=ex-5х3

А) ех-15х2 ; В) ех-3х5 ; С) 1-15х2 ; D) ех3 ; Е) 1-15х4.

6. Найдите значение производной в точке х0, если h(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре, х0=9 .

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) 3; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

7. Найдите Методическое пособие для 10класса по алгебре, если f(x)=3sin7x.

А) 21sin7x; В) 21cos7x; С) 21sin7xcos7x; D) sin21x; Е) sinМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

8. Вычислите Методическое пособие для 10класса по алгебре, если Методическое пособие для 10класса по алгебре=Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) -4.

9. Решите уравнение Методическое пособие для 10класса по алгебре=0, если f(x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) нет корней; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

10. Производная функции f(x)=lnМетодическое пособие для 10класса по алгебреравна:

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

ОТВЕТЫ

Тема: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

А

D

С

В

D

Е

А

С

D

А

Тест№2

В

D

В

D

А

А

В

С

С

С


Тема5: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х00),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:


у=f(x0)+f '(x0)(x-x0).


Геометрический смысл производной


Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f'((x)=Методическое пособие для 10класса по алгебре= tgα


Механический смысл производной скорости движения.


Пусть точка движется по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Тогда Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре,

где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

1) Методическое пособие для 10класса по алгебре- уравнение искомой касательной;

2) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

3) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

4) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

5) Подставляем значения Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре и Методическое пособие для 10класса по алгебрев уравнение касательной: Методическое пособие для 10класса по алгебре или Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре


Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе Методическое пособие для 10класса по алгебрев точке с абциссой Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

1) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

2) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

3) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

4) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

5) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре, где Методическое пособие для 10класса по алгебреизмеряется в метрах, время Методическое пособие для 10класса по алгебре - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре


Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре, где Методическое пособие для 10класса по алгебреизмеряется в метрах, время Методическое пособие для 10класса по алгебре - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

Функция Методическое пособие для 10класса по алгебре есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость Методическое пособие для 10класса по алгебре этого движения равна производной Методическое пособие для 10класса по алгебре Мгновенная скорость Методическое пособие для 10класса по алгебре есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре равно производной Методическое пособие для 10класса по алгебре. Таким образом, ускорение движения в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре равно: Методическое пособие для 10класса по алгебре, т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции Методическое пособие для 10класса по алгебре и обозначают Методическое пособие для 10класса по алгебре Поэтому ускорение движения Методическое пособие для 10класса по алгебре равно второй производной Методическое пособие для 10класса по алгебре

Итак, Методическое пособие для 10класса по алгебре = Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре



ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре,Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре.



2. Точка движется по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре. Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре.



3. Найдите угол между касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке Методическое пособие для 10класса по алгебре и осью Методическое пособие для 10класса по алгебре. Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре.



4. Найдите уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке с абсциссой Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре.



5. Найдите угол, образованный касательной к кривой Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке Методическое пособие для 10класса по алгебре с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: 1350.



6. Точка движется прямолинейно по законуМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Найдите зависимость ускорения движения от времени, если Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре.



7. Найдите уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке с абсциссой 2.

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре.



8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре. Найдите кинетическую энергию тела Методическое пособие для 10класса по алгебре через 4с после начала движения.

Ответ: 3125 Дж.


ТЕСТ №1


1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в

точке пересечения этого графика с осью ординат.

А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции

f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)

А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.

3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону

V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно

А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.

4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику

функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?

А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.

5. Точка движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре.Найти значения скорости в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А) 202Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) 198Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) 98Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) 104Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) 128Методическое пособие для 10класса по алгебре.

6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена

касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.

7. Точка движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре.В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.

8.Дана функция Методическое пособие для 10класса по алгебре.Составьте уравнение касательной к графику функции в точке Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре ; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре;

D)Методическое пособие для 10класса по алгебре Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре

9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3).

А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.

10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре ; В) -Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) -4; D) 1; Е) 4.



ТЕСТ №2


1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке с абсциссой Методическое пособие для 10класса по алгебре?

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В)Методическое пособие для 10класса по алгебре; С)Методическое пособие для 10класса по алгебре; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке с абсциссой Методическое пособие для 10класса по алгебре?

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е)Методическое пособие для 10класса по алгебре.

3. Напишите уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре; Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

4. Материальная точка движется по прямой линии по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре. Найдите скорость материальной точки в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре В) Методическое пособие для 10класса по алгебре С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. Прямолинейное движение точки задано уравнением Методическое пособие для 10класса по алгебре.Найти скорость движения точки в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)28Методическое пособие для 10класса по алгебре В)34Методическое пособие для 10класса по алгебре С)25Методическое пособие для 10класса по алгебреD)45Методическое пособие для 10класса по алгебре Е)18Методическое пособие для 10класса по алгебре.

6. Точка движется прямолинейно по закону Методическое пособие для 10класса по алгебре.Найти значения ускорения в момент времени Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А) 48Методическое пособие для 10класса по алгебре В) 50Методическое пособие для 10класса по алгебре С)32 Методическое пособие для 10класса по алгебреD)58Методическое пособие для 10класса по алгебре Е)74Методическое пособие для 10класса по алгебре

7. Напишите уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре в точке пересечения графика с осью ординат.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре Е)Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. Написать уравнение касательной к графику функцииМетодическое пособие для 10класса по алгебре в точке с абсциссой Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре Е)Методическое пособие для 10класса по алгебре

9. Найдите уравнение касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре, которая параллельна прямой, заданной уравнением Методическое пособие для 10класса по алгебре.

А)Методическое пособие для 10класса по алгебре В)Методическое пособие для 10класса по алгебре С)Методическое пособие для 10класса по алгебреD)Методическое пособие для 10класса по алгебре Е)Методическое пособие для 10класса по алгебре

10. При каком значении Методическое пособие для 10класса по алгебре прямая Методическое пособие для 10класса по алгебре является касательной к графику функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре В) Методическое пособие для 10класса по алгебре С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD) Методическое пособие для 10класса по алгебре Е) Методическое пособие для 10класса по алгебре


ОТВЕТЫ


Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

С

В

А

D

D

А

С

В

С

Е

Тест№2

D

Е

А

С

А

В

В

В

Е

D






Тема6: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ




СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Формулы для приближенного значения f(x) при х, достаточно близких к x0 .


Методическое пособие для 10класса по алгебре(1)

Методическое пособие для 10класса по алгебре(2)

Методическое пособие для 10класса по алгебре(3)






УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ



Пример№1. Вычислите с помощью формулы (1) приближенное значение:

Методическое пособие для 10класса по алгебрев точке Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение:

Если Методическое пособие для 10класса по алгебре, то Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре.




Пример№2. Вычислите с помощью формулы (2) приближенные значение:

а)Методическое пособие для 10класса по алгебре

б)Методическое пособие для 10класса по алгебре



Пример№3. Вычислите с помощью формулы (3) приближенные значение:

а) Методическое пособие для 10класса по алгебре

б) Методическое пособие для 10класса по алгебре.




ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


1. Вычислите значения функции Методическое пособие для 10класса по алгебре при значениях аргумента Методическое пособие для 10класса по алгебре и Методическое пособие для 10класса по алгебре:

Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре ; Методическое пособие для 10класса по алгебре



2. Вычислите приближённые значения выражений:

Методическое пособие для 10класса по алгебре Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре Методическое пособие для 10класса по алгебре.



3. Вычислите приближённые значения выражений:

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре



4. Вычислите приближённое значение выражения:

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре.



5. Вычислите приближённое значение выражения:

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре






ТЕСТ №1


1.Вычислите с помощью формулы приближенные значения: Методическое пособие для 10класса по алгебре


А)-245,97;68,69. В)-246,97;69,68 С)245,62;-56,25. D)246,97;69,68



2. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре


А) -114,80;-839,72 В) 114,80; 839,73. С)115,80;863,75 D)114,80;-68,69



3. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: Методическое пособие для 10класса по алгебре


А)1,38 В)-1,4 С)1,6 D)1,4



4. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: Методическое пособие для 10класса по алгебре


А)-1,0015 В)1,0015 С)10,0015 D)-10,15



5.Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции f в точках x1 и x2: Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре


А) -25,54;0,18 В) -24,52;0,16 С) 25,54;-0,15 D) 24,52;-0,16.


6. Вычислите с помощью формулы приближенные значения функции f в точках x1 и x2: Методическое пособие для 10класса по алгебре, Методическое пособие для 10класса по алгебре; Методическое пособие для 10класса по алгебре


А) 42,12;9,86 В) 40,50;8,96 С)40,52;9,86 D) -40,52;-9,86.


7. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: Методическое пособие для 10класса по алгебре


А) 2,00036 В) 2,0004 С) -2,0004 D) 2,0003


8. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: Методическое пособие для 10класса по алгебре


А) 0,1247 В) 0,1249 С) 0,1243 D) 0,1244



ОТВЕТЫ

Тема: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

1

2

3

4

5

6

7

8

Тест №1

A

B

D

B

D

С

В

А


Тема7: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Возрастание и убывание функции

Пусть значения производной функции у = f (х). положительны на некотором промежутке, т.е. f'(х)> 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg a = f'(x) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен; это означает, что касательная к графику функции направлена вверх и поэтому график функции на этом промежутке "поднимается", т.е. функция f (x) возрастает. Если f'(x)< 0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательно tg a = f'(x) к графику функции y = f(x) отрицателен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке "опускается", т.е. функция f(x) убывает.

Итак, если f'(x)> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f/ (x)>0 на интервале (а, х0) и f/ (x)<0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой максимума функции f Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0,а f/(x)<0 на интервале (а, х0) и f/ (x)>0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Исследование функции

При исследовании свойств функции полезно найти:

  1. область её определения

  2. производную

  3. стационарные точки

  4. промежутки возрастания и убывания

  5. точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат, и быть может ещё несколько точек графика.


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Построить график функции f(x) = 1 - Методическое пособие для 10класса по алгебреxМетодическое пособие для 10класса по алгебре - xМетодическое пособие для 10класса по алгебре

    1. Область определения - множество R всех действительных чисел

  1. f'(x) = -5xМетодическое пособие для 10класса по алгебре-5xМетодическое пособие для 10класса по алгебре = -5x(1+xМетодическое пособие для 10класса по алгебре)

  2. Решая уравнение -x(1+ xМетодическое пособие для 10класса по алгебре) = 0, находим стационарные точки xМетодическое пособие для 10класса по алгебре = -1 и xМетодическое пособие для 10класса по алгебре = 0.

  3. Производная положительна на интервале - 1<x<0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках x <-1 и x > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.

  4. Стационарная точка x = -1 является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+" f (-1) = -0,5. Точка х = 0 - точка максимума, т.к. при переходе через неё производная меняет знак с "+" на "-" f (0) = 1


Составим таблицу:

Х

x < -1

- 1

- 1< x <0

0

X >0

f'(х)

-

0

+

0

-

f (x)

Методическое пособие для 10класса по алгебре

-0,5

Методическое пособие для 10класса по алгебре

1

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Используя результаты исследования, строим график функции y = 1 - Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре


2. Найдите интервалы монотонности функции f (x) = xМетодическое пособие для 10класса по алгебре - 3xМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Найдём производную f'(x) = 3хМетодическое пособие для 10класса по алгебре - 6х

Решим неравенство методом интервалов 3х - 6ч >0, найдём нули функции

3х - 6х = 0 3х (х - 2) = 0 3х = 0 или х - 2 = 0 Методическое пособие для 10класса по алгебре х = 0 х = 2


Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре].


3.Найдите точки экстремума функции f (x) = хМетодическое пособие для 10класса по алгебре - 4хМетодическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Найдём производную f'(x) = 4xМетодическое пособие для 10класса по алгебре - 12xМетодическое пособие для 10класса по алгебре= 4xМетодическое пособие для 10класса по алгебре(x - 3)

. Найдём стационарные точки

4xМетодическое пособие для 10класса по алгебре(x - 3) = 0 4хМетодическое пособие для 10класса по алгебре = 0 х - 3 = 0 х = 0 х = 3

Методом интервалов устанавливаем, что производное 4x(x - 3)положительна при x > 3

отрицательна при x < 0 и при 0 < x < 3

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Т.к. при переходе через точку хМетодическое пособие для 10класса по алгебре = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку хМетодическое пособие для 10класса по алгебре = 3 производная меняет знак с

"-" на "+", поэтому хМетодическое пособие для 10класса по алгебре = 3 точка минимума.


4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = хМетодическое пособие для 10класса по алгебре на отрезке [Методическое пособие для 10класса по алгебре; 2]

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Интервалу Методическое пособие для 10класса по алгебрепринадлежит одна стационарная точка Методическое пособие для 10класса по алгебре

Из чисел Методическое пособие для 10класса по алгебре наибольшее 9,5 и наименьшее 4.

Ответ: наибольшее значение функции равно 9,5 и наименьшее 4.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Найдите промежутки возрастания функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Методическое пособие для 10класса по алгебре на отрезке Методическое пособие для 10класса по алгебре


Ответ: max y = 0, min y = - 2


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Методическое пособие для 10класса по алгебре на отрезке Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре57, Методическое пособие для 10класса по алгебре-55

  1. Найдите промежутки убывания Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре

  1. Найдите точки экстремума: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ:Методическое пособие для 10класса по алгебре1, Методическое пособие для 10класса по алгебре3


  1. Найдите экстремумы функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре


  1. Найдите экстремумы функции: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Ответ: 8


  1. Найти наименьшее возможное значение периметра параллелограмма с острым углом 30Методическое пособие для 10класса по алгебре и площадью 2смМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

Ответ: 4 см



  1. Число 24 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что произведение их квадратов принимает наибольшее значение:

Ответ:8 и 16


  1. Площадь прямоугольника равна 81 смМетодическое пособие для 10класса по алгебре. Найти наименьший возможный периметр этого прямоугольника

Ответ:36 см

ТЕСТ №1

1. Дана функция Методическое пособие для 10класса по алгебре Найдите ее критические точки.

А) 2;-1; В) 1;-2; С) -3;1; D) -2;3
2. Найдите точки экстремума функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) xmax=3, xmin=0; В) xmin=3, xmax=0; С) xmin=3 D) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Методическое пособие для 10класса по алгебре3. Дан график функции у = Методическое пособие для 10класса по алгебре. Какие из утверждений верные:

  1. а, с - критические точки;

  2. а, с - точки экстремума;

  3. на Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре дифференцируемая;

  4. [а, с] - промежуток убывания функции;

  5. 1 - точка максимума;

  1. mах Методическое пособие для 10класса по алгебре = п;

  2. xmax=a.

А) 2,3,4,6,7; В) 3,4,5,6,7; C) 1,2,4,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7

4. Найдите промежутки убывания функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) [-4;0] В) (-Методическое пособие для 10класса по алгебре]; С) [4;+Методическое пособие для 10класса по алгебре) D) [0;4]

5. Найдите промежутки возрастания функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре В) (0,25:0,25) С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD) Методическое пособие для 10класса по алгебре


Методическое пособие для 10класса по алгебре

6. Укажите график функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре


7. Найдите экстремумы функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) 2; В) 1,5; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. При каком значении а функция Методическое пособие для 10класса по алгебре имеет экстремум в точках х= -2 и х=2?

А) 2 В) 12 С) 8 D) 4


9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенств Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) 0; В) -1; С) 2; D) 1.

10. При каких значениях х функция Методическое пособие для 10класса по алгебре не дифференцируема?

А) -Методическое пособие для 10класса по алгебре В) 2; С) -2;2; D)Методическое пособие для 10класса по алгебре;

ТЕСТ № 2


1. Дана функция Методическое пособие для 10класса по алгебре Найдите ее критические точки.

А)-1; 3; В) -2; 1,5; С)-1,5; 2; D) 0,5; 2.

2. Найдите точки экстремума функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) xmin=0, xmax= -1,5; В) xmin= -1,5, xmax=0 С) xmin= -1,5; D) xmax=1,5

3. Дан график функции у=Методическое пособие для 10класса по алгебре. Какие из утверждений

верные:

  1. b, m - критические точки;

  2. Методическое пособие для 10класса по алгебреb, т - точки экстремума;

  3. k - точка минимума;

  4. [b;m] - промежуток возрастания функции;

  5. на (а; р) - Методическое пособие для 10класса по алгебре дифференцируемая;

6) xmin= b;

7) min Методическое пособие для 10класса по алгебре [a;p]



А) 3,4,5,6,7; В) 1,2,4,6,7; С)1,2,3,4,5,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7


4. Найдите промежутки возрастания функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) [-6;0]; В) [0;6] С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD ) Методическое пособие для 10класса по алгебре


5. Найдите промежутки убывания функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре ; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебреD) Методическое пособие для 10класса по алгебре;

6. Укажите график функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре


7. Найдите экстремумы функции Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) 3Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) 2; С)4; D) 8.


8.При каком значении m функция Методическое пособие для 10класса по алгебре имеет экстремум в точках х = 0 и х =6?

А) 12,5; В)15; С)7,5; D)10


9. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству Методическое пособие для 10класса по алгебре

А) 0; В)1; С) -1; D) 2.


10. При каких значениях х функция Методическое пособие для 10класса по алгебре не дифференцируема?

А)1; В)0; С)-1;1; D)0

ОТВЕТЫ

Тема: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

В

D

D

В

В

D

С

С

С

В

Тест№2

D

А

С

С

В

В

В

А

D

А


Тема8: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


I. Основные элементы комбинаторики

1.Размещения.

Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k , обозначается символом Методическое пособие для 10класса по алгебре и вычисляется по формуле:

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре(всего k множителей).

Пример: Методическое пособие для 10класса по алгебре

2.Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом "n!" и читается "n факториал")

Пример: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

3.Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:

ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре, (в числителе и знаменателе по k множителей).

Пример: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Полезные формулы: 1)Методическое пособие для 10класса по алгебре 3) Методическое пособие для 10класса по алгебре

2) Методическое пособие для 10класса по алгебре 4) Методическое пособие для 10класса по алгебре Методическое пособие для 10класса по алгебре

3. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B- k способами, то объект «A или B» можно выбрать n+k способами.

Например, в ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение: Здесь предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B

Независимо от него - k способами, то пару объектов «A и B» можно выбрать n·k способами.Методическое пособие для 10класса по алгебре

Например, в меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?

Решение: Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу произведения получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных полных обеда.


II. Бином Ньютона.


Бином Ньютона - это формула, выражающая выражение (a + b)Методическое пособие для 10класса по алгебре в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре - биномиальные коэффициенты

Формулу можно записать в сокращенном виде: Методическое пособие для 10класса по алгебре,

где Методическое пособие для 10класса по алгебре- знак суммы, Методическое пособие для 10класса по алгебре - число сочетаний из n элементов по m: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Из формулы разложения бинома Ньютона формула Методическое пособие для 10класса по алгебре

Составим таблицу значений для n ,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.

n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 . . . . . . .

1 1 1 . . . . . .

2 1 2 1 . . . . .

3 1 3 3 1 . . . .

4 1 4 6 4 1 . . .

5 1 5 10 10 5 1 . .

6 1 6 15 20 15 6 1 .

7 1 7 21 35 35 21 7 1

Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Такой треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:

(a + b)Методическое пособие для 10класса по алгебре = a + b;

(a + b)Методическое пособие для 10класса по алгебре = aМетодическое пособие для 10класса по алгебре + 2ab + bМетодическое пособие для 10класса по алгебре;

(a + b)Методическое пособие для 10класса по алгебре = aМетодическое пособие для 10класса по алгебре + 3aМетодическое пособие для 10класса по алгебреb + 3abМетодическое пособие для 10класса по алгебре + bМетодическое пособие для 10класса по алгебре.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

  1. Методическое пособие для 10класса по алгебре

  2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно Методическое пособие для 10класса по алгебре

  3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

  4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: Методическое пособие для 10класса по алгебре (правило симметрии)

  5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна Методическое пособие для 10класса по алгебре

  6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна Методическое пособие для 10класса по алгебре

Методическое пособие для 10класса по алгебре

7.Правило Паскаля: Методическое пособие для 10класса по алгебре


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


  1. Основные элементы комбинаторики


Пример 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре способов.

Пример 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных

Решение:Методическое пособие для 10класса по алгебре

б) старосту и его заместителя

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 5. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 6. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти Методическое пособие для 10класса по алгебре.

3) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Пример 7. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 8. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

Методическое пособие для 10класса по алгебрепереставляются, 4 определенные книги можно переставлять Методическое пособие для 10класса по алгебре. Тогда всего перестановок по правилу умножения будет Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 9. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение: Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Белые шары Методическое пособие для 10класса по алгебре

Черных шаров Методическое пособие для 10класса по алгебре

Тогда Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 10. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.

Решение: Если участников - n человек, партий будет сыграно Методическое пособие для 10класса по алгебре штук.

Составим уравнение Методическое пособие для 10класса по алгебре, решив которое, найдем: Методическое пособие для 10класса по алгебре

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях - не учитывается.




  1. Бином Ньютона


Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома Методическое пособие для 10класса по алгебре

Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона: Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 2. Записать разложение Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 3. Найдите член разложения Методическое пособие для 10класса по алгебре, содержащий Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула Методическое пособие для 10класса по алгебре член имеет

вид : Методическое пособие для 10класса по алгебре .

Запишем общий вид разложения:

Методическое пособие для 10класса по алгебре

По условию, Методическое пособие для 10класса по алгебре, т.е. Методическое пособие для 10класса по алгебре

Отсюда находим Методическое пособие для 10класса по алгебре и искомый член

Методическое пособие для 10класса по алгебре.

III. Комбинаторные методы решения задач.


Используем классическое определение вероятности: Методическое пособие для 10класса по алгебреМетодическое пособие для 10класса по алгебре,

где Методическое пособие для 10класса по алгебре- некоторое событие, n - число всех возможных исходов события, а m - число всех благоприятных исходов.

Пример 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит, Методическое пособие для 10класса по алгебре Методическое пособие для 10класса по алгебре

Пример 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы - все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

Методическое пособие для 10класса по алгебре

Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

Методическое пособие для 10класса по алгебре(только один вариант расположения букв - «КРОТ»)

Методическое пособие для 10класса по алгебре


Пример 3. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.


Решение. Исходы - все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов Методическое пособие для 10класса по алгебре

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы - согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует Методическое пособие для 10класса по алгебре исходов.

Методическое пособие для 10класса по алгебре



2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака Методическое пособие для 10класса по алгебре, выбор второй буквы из оставшихся Методическое пособие для 10класса по алгебре.

Методическое пособие для 10класса по алгебре



3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.

Методическое пособие для 10класса по алгебре



4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.

Методическое пособие для 10класса по алгебре








































ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36" Ответ: 376 992

2. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: "Анчар", "Буря" и "Вьюга". Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? Ответ: 6

3. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова "книга"? Ответ: 120

4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера - это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре

5. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

Ответ: 5040Методическое пособие для 10класса по алгебре

6. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? Ответ: 38 760

7. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника. Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре

8. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. Ответ: 0,6

9. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре

10. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ: Методическое пособие для 10класса по алгебре

11. Имеется многочлен Методическое пособие для 10класса по алгебре. Определите коэффициент при члене, содержащем Методическое пособие для 10класса по алгебре, если выполнить все действия. Ответ: 550.

ТЕСТ №1

1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?

А) 15; В) 60; С) 45; D) 120.

2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

А) 25; В) 60; С) 20; D) 6.

3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.

А) 12; В) 9; С) 6; D) 68.

4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно

сделать?

А) 190; С) 120; С) 95; D) 150.

5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

А) 3220; В) 1250; С) 2520; D) 1260.

6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?

А) 10080; В) 12080; С) 9860; D) 11230.

7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

А) 1 546 123; В) 214 569; С) 11 456 130; D) 17 417 400.

8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно

составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

А) 360360; В) 250346; С)125369 ; D) 12368.

9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?

А) 0,5; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) 0,35.

10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные - девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

ТЕСТ №2

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "6 из 45" ?

А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000; D)50 250 018 .

2. Составить все размещения из трех букв А, В, С.

А) 6; В) 8; С) 12; D) 15.

3. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?

А) 968; В) 1200; С) 1456; D) 1365.

4. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?

А) 26 854; В) 32 278; С) 30240; D) 25 234.

5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

А) 1956; В) 1236; С) 2160; D) 2112.

6. Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества

так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое - 17?

А)1011; В) 1225; С) 998; D) 1140 .

7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

А) 256; В) 300; С) 320; D) 405.

8. Сколькими различными способами можно разложить 8 монет различного достоинства

в два кармана?

А) 198; В) 256; С) 320 ; D) 294 .

9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти

цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные

цифры.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре.

10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными.

А) Методическое пособие для 10класса по алгебре; В) Методическое пособие для 10класса по алгебре; С) Методическое пособие для 10класса по алгебре; D) Методическое пособие для 10класса по алгебре.



ОТВЕТЫ


Тема: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

В

В

С

А

А

А

D

А

В

D

Тест№2

В

А

D

А

С

D

В

В

D

А





































Литература


  1. Алгебра и начала анализа: для 10 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. - Алматы: Атамұра, 2006

  2. Алгебра и начала анализа: для 11 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. - Алматы: Атамұра, 2007

  3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. - Алматы: Мектеп, 2010

  4. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. - Алматы: Изд-во «Мектеп», 2007

  5. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Колмогоров А.Н. и др., 1999

  6. Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 кл., Мордкович А.Г.

  7. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. Ивлев Б.М. и др., 1999

  8. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Сканави М.И.. Группа В

Методическое пособие для 10класса по алгебре

© 2010-2022