- Преподавателю
- Математика
- Методическое пособие для 10класса по алгебре
Методическое пособие для 10класса по алгебре
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Бигельдинова А.Ж. |
Дата | 06.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Методическое пособие
по алгебре
для 10 класса
СОШ №21 г.Экибастуза
Составила:учитель математики
Бигельдинова Асель Жумабаевна
Пояснительная записка
Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся, повышение уровня подготовки к ЕНТ. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса.
В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса:
-
ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА
-
ТРИГОНОМЕТРИЯ
-
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
-
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
-
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
-
КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
-
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
-
КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
Каждая тема представлена кратким справочным материалом, примерами с решениями, дидактическим материалом, тематическими тестами.
В результате использования пособия учащиеся должны уметь:
- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
- применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;
- преобразовывать выражения, содержащие тригонометрические выражения;
- решать тригонометрические уравнения и неравенства;
Разнообразный дидактический материал дает возможность отработать теоретические знания на практике. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на отработку тестовых задач с целью более качественной подготовки к ЕНТ.
Тема1: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Определение: Закономерность, при которой каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией.
Обозначение функции: y=f (x).y=g(x). y=(x).., где х - независимая переменная, или аргумент; у- зависимая переменная ,или функция.
Множество значений переменной, при которых функция имеет смысл, называют областью определения функции, обозначение Д (f), а значение функции, соответствующее каждому значению независимой переменной из области определения, называют множеством значения функции, обозначение Е(f).
Понятие о четности, нечетности функции
Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x)= f (x)
Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x)= - f (x)
Понятие периодичности функции
Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т0, если для любого х из области определения значение этой функции в точке х,
х-Т, х+Т равны, т.е. f (х+Т)= f(х)= f(х-Т)
Определение периода любой периодической функции основано на следующем свойстве: если функция f (x) является периодической и ее период равен числу Т, то периодической будет функция у=kf`(ax+b), (где k0, а0 и b - постоянные) и ее период равен числу .
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Найдите область определения функции
а) у=2 б) у= в)у= г) у= +
Решение:
а) у=2 функция заданная в виде многочлена, поэтому можно вычислять ее значения при любых значениях аргумента. Область определения все действительные числа.
Ответ: Д(f) =R
б) у= функция дробно-рациональная х .
Ответ: Д(f) =()
в)у= , необходимо взять подкоренное выражение неотрицательным, т.е. 2х-1.
Ответ: Д(f) =;+
г) у= + найдем область определения для х т.е ;+
для знаменатель х+2 х т.е ()
Д(f)=;+()=;+.
Ответ: Д(f)=;+
Пример 2. Найдем множество значений функций у=2
Решение: Известно, что Е(f) для у= есть отрезок
Рассмотрим -1 / умножим на 2
-2 / прибавим -5
-7
Ответ: Д(f)=
Пример 3. Определим четность или нечетность функций:
а) f(х)= б) f(х)=- +х в) f(х)=+
Решение: а) f(-х)= = f(х) - четная функция
б) f(-х)=- +(-х)= -х = - (- +х )= - f(х)- нечетная функция
в) f(-х)=+=-+ функция ни четная, ни нечетная (общего вида)
Пример 4. Найдем период для функции у=
Решение: Период функции у=, а по условию а=2 Тогда по формуле получаем, что =. Следовательно период данной функции равен .
Ответ:
Пример 5. Найдем наименьший положительный период функции у=tg
Решение: По определению период функции у=tg х равен по условию
а =, тогда по формуле получаем, что ==3 .
Ответ: 3
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
-
Найдите область определения функции:
а) у= б) у=
Ответ: Д(f) = (-2) Ответ: Д(f) ;0)
в) у = arcsin (2х-5)
Ответ: Д(f) = (2)
2. Найдите множество значений функции:
а) у=2 б) у=
Ответ: Е(f)=Ответ: Е(f)=
в) у= 1-2
Ответ: Е(f)=
3. Найдите область определения и множество значений функции:
а) у = б) у=
Ответ: Д(f)= , Е(f)= (0;+) Ответ: Д(f)= R, Е(f)=
в) у =-
Ответ: Д(f)=(-), Е(f)= (-)
4. Выясните четность, или нечетность следующих функций:
а) у = б) у =3+ в) у =+tgх
г) у = д) у = х -
5. Найдите наименьший положительный период функций
а) у = б) у = 5tg в) у =
Ответ: Ответ: Ответ: 16
г) у =ctg (5х - ) д) у = tg(2-5х) е) у = 2
Ответ: Ответ:Ответ:
ТЕСТ №1
1. Какая из функций в области определения является нечетной?
2. Что можно сказать о функции:
А) Ни четная, ни нечетная. В) Четная. С) Периодическая.
D) Нечетная. Е) Общего вида.
3. Найдите наименьший положительный период функции
4. Найдите область определения функции
5. Найдите множество значений функции
6. Найдите функцию, обратную данной
7. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - 6х + 11
8. Найдите область определения функции:
9. Найдите множество значений функции
10. Найдите область определения функции:
ТЕСТ №2
1. Какая из функций является нечетной?
2. Какая из функций является четной?
3. Найдите наименьший положительный период функции
4. Найдите область определения функции:
5. Найдите множество значений функции
6. Дана функция у = 5 - 4х. Найдите ей обратную.
7. Дана функция у = х2-4х+3. Найдите значение х, при котором функция
принимает наименьшее значение.
8. Найдите область определения функции:
9. Найдите наименьшее значение функции
10 .Найдите область определения функции:
Тема2: ТРИГОНОМЕТРИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1)Значение тригонометрических функций
Угол
Функция
00
0
300
450
600
900
1800
2700
3600
sinα
1
0
-1
0
cosα
1
0
-1
0
1
tgα
0
1
-
0
-
0
ctgα
1
0
-
0
-
2)Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в каждой из координатных четвертей.
Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и
котангенса
+ + - + - +
- - - + + -
3) sin(-α) = -sinα нечетная функции
tg (-α) = -tgα нечетная функции
ctg (-α) = -ctgα нечетная функции
cos (-α) = cosα} - четная функция
Формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества
Формулы двойного угла
sin2α +cos2α=1
tgα ∙ctgα =1
sin2α = 2sinα ∙ cosα
cos2α = cos2α - sin2α
cos2α = 1-sin2α
cos2α =2cos2α -1
Формулы половинного угла
Формулы сложения
sin (α+β) =sinα cosβ +cosα sinβ
sin (α-β) =sinα cosβ-cosα sinβ
cos (α+β) = cosα cosβ -sinα sinβ
cos (α-β) = cosα cosβ +sinα sinβ
Формулы суммы и разност
Тема: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
1. arcsin(-a) = -arcsin a arcsin = ; arcsin(- ) = -
2. arccos(-a) = π - arccos a arccos = ; arccos(- ) = π - = π
3. arctg(-a) = -arctg a arctg1 = ; arctg(-1) = -
4. arcctg(-a) = π - arcctg a arcctg1 = ; arcctg(-1) = π - = π
5. sin (arcsin a) = a
cos (arccos a) = a
6. arcsin (sin х) = х
arccos (cos х) = х
7 .tg (arctg a) = a
arctg (tg х) = х, если х€
Найдите значение выражения:
a) arcsin 1 г) arctg 0 ж) arccos (-)
б) arcsin (- ) д) arctg (-) з) arcctg (-)
в) arccos е) arcctg ()
Тема3: ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x =a называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Любое другое тригонометрическое уравнение с помощью преобразований можно привести к простейшим.
1) sin x = a, -1 ≤ a ≤ 1
х = (-1)k arcsin a + πk, k€z
Частные случаи
sinx = 0; x = πk, k€z
sinx = 1; x = + 2πk, k€z
sinx = -1; x = - + 2πk, k€z
sin2x = a; x = ±arcsin + πn
2) cos x = a, -1 ≤ a ≤ 1
х = ±arccos a + 2πk, k€z
Частные случаи
cosx = 0; x = - + πk, k€z
cosx = 1; х=2πk, k€z
cosx = -1; х= π + 2πk, k€z
cos2x = ±arccos + πn, n€z
3) tg x = a
х = arctg a + πk, k€z
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решить уравнение:
sinx = -
x = (-1)k arcsin (- ) + πk, k€z
x = (-1)k+1 + πk, k€z
Ответ: x = (-1)k+1 + πk, k€z
Пример 3. Решить уравнение:
sin2x =
2x = (-1)k arcsin + πk, k€z
2x = (-1)k + πk, k€z
х = (-1)k + k, k€z
Ответ: х = (-1)k + k, k€z
Пример 2. Решить уравнение:
2 cosx + 1 = 0
2cosx = -1
cosx = -
x = ±arccos(- ) + 2πk, k€z
x = ±() + 2πk, k€z
Ответ: x = ±() + 2πk, k€z
Пример 4. Решить уравнение:
3tgx -1 = 0
tgx =
x = arctg + πk, k€z
Ответ: x = arctg + πk, k€z
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнения:
1. cos x = 7. sin x = -0,6
2. cos x = -1 8. cos (-4x )= 0
3. sin(- x) = 0,5 9. cos = -
4. 2 sin x = 0 10. tg( x+π/4) =
5. ctg х + 1 = 0 11. 2 sin x + = 0
6. sin 3x = 12. cos x = 3
Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
-
Уравнения, сводящиеся к квадратным
(Виды уравнений: а sin2x + b sinx + c= 0, а cos2x + b sinx + c = 0)
Алгоритм решения:
а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией
б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции
в) Решить простейшие тригонометрические уравнения
Пример: 2 sin2 x + 5 sin x - 3 = 0
Замена: sinx = t , |t| ≤ 1
2 t2 + 5 t - 3 = 0 , t = -3
t = Обратная замена: sin x=-3 нет решения,
sinx = (простейшее уравнение)
(см. таблицу)
2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)
Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0
Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0
tgx = - (простое тригонометрическое уравнение)
-
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0
(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)
а sin2x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)
sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:
1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)
4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка
а sin2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид
а sin2 x + bsinx cosx + c cos2x = d, то правую часть
уравнения умножаем на 1, т.е.
Решается делением на сos2 х≠ 0
a tg2x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)
замена: tgx = t
at2 + bt + c =0 …
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнение
1.2 cos2x + 9 sinx + 3 = 0, (указание: заменить на 1-sin2x) 2.sinx + cosx = 0
Ответ: - + πn, n€z Ответ: (-1)n+1 + πn, n€z
3. 2sin cosx - sinx = 0 4. 3 sin2x + sinxcosx = 2cos2x
Ответ: x = - + πn, x = arctg + πn, n€z Ответ: x = ± + 2πn, n€z, x = πn, n€z
ТЕСТ № 1
1. Решите уравнение: sinx =
А) (-1)k + πk, k€z B) ± + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 2πk
2. Решите уравнение: 2 cos2x =
A) + 2πk B) ± + πk C) + πk D) ± + 2πk
3. Решите уравнение: 3tg3x = 3
A) + k B) - + πk C)k D) +
4. Решите уравнение: 2cos2x - 5cosx = -3
A) 2πn, n€z B) нет решения C) πn, n€z D) π + 2πn, n€z
5. Решите уравнение: sin2x - 2sinx = 0
A) πn, n€z B) (-1)k + πк C) ± + 2πn D) π + 2πn, n€z
6. Решите уравнение:
A) нет решения B) C) D) ± + 2πn, n€z
7. Решите уравнение: 2sin + = 0
A) (-1)k + 2πk B) (-1)k + 1 + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 1 + πk
8. Решите уравнение: sinx - cosx = 0
A) + πn B) + πn C) ± +2 πn D) ± + πn
9. Решите уравнение: sin2 + sin cos = 0
A) - + 2 πn, n€z, 2πn, n€z B) + 2 πn, n€z C) + πn, n€z D) - + πn, n€z, πn, n€z
10. Решите уравнение: 3tg6x + = 0
A) + πn, n€z B) + 6 πn, n€z C) + 3 πn, n€z D) - n, n€z
ТЕСТ №2
1. Решите уравнение:
А) В) С)D)
2. Решите уравнение если
А) В) С) D)
3. Решите уравнение:
А); В);
С); D).
4. Решите уравнение: .
А); В); С); D).
5. Найдите корень уравнение принадлежащий []
А)300; В)450; С)200; D)150.
6. Решите уравнение: .
А) В) С)D)
7. Решите уравнение:
А) В) С) D)
8. Решите уравнение: .
А); В); С) ; D).
9. Решите уравнение: .
А); В);
С) ; D).
10. Решите уравнение:
А) ; В) ;
С) ; D) .
Тема4: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
№
Функция
Производная
№
Функция
Производная
№
Функция
Производная
1
9
17
2
10
18
3
11
19
4
12
,
20
5
-
13
,
21
6
14
22
7
15
23
-
8
16
24
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Найдите производную функции
Решение:
Пример 2. Найдите производную функции:
Решение:
Пример 3. Найдите производную функции
Решение:
Обозначим , тогда Воспользуемся формулой Найдем:
Тогда И вообще Производную данной функции находим сразу как произведение производной степенной функции на производную от функции :
Пример 4. Найти производную функции:
Решение: Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле: найдем производную степени: .
Пример 5. Найти производную функции:
Решение:
Пример 6. Найти производную функции:
Решение:
Пример 7. Найти производную функции
Решение:
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
-
Найдите производную каждой из данных функций:
а) у=х3; б) у=sinx; в) у=tgx; г) у=ех; д) у=2х.
2. Найдите производную каждой из данных функций в указанной точке:
а) f(x)=lnx f '(½); б) f(x)=log3x f '(1); в) f(x)=f '(¼);
г) f(x)=cosx f '(); д) f(x)=ctgx f '();
3. Вычислите производные:
а) у=3х2; б) у=4х4; в) у=; г) у= ; д) у=; е) у=х+ ; ж) у= .
4. Вычислите производные:
а) у=2х2-3х+5; б) у=; в) у=4-х2; г) у=х4-х2; д) у=х5+2х3-; е); ж).
5. Найдите производную сложной функции:
а); б); в) ; г); д); е).
6. Найдите производную данных функций:
а) f(x) = ( 3x7 - ) б) f(x)= (3-5х+х2)100 в) f(x) =
Ответ: ; Ответ: 100(3-5х+х2)99(-5+2х); Ответ: 21x6+;
г) f(x) = д) f(x)=
Ответ:; Ответ: ;
е) f(x) = tgx·cos2x, указание: у=sinxcosx=½sin2x ж) f(x) =
Ответ: ; Ответ:cos2x;
з) f(x) = и) f(x) = lg(5x2+1) к) f(x)=
Ответ: . Ответ: ; Ответ: ;
ТЕСТ №1
1. Найдите производную функцию f(x)=.
А) ; В); С); D); Е) .
2. Найдите в точке х= значение производной функции f(x)=sin2x.
А) ; В) ; С); D)1; Е) 1,5.
3. Найдите производную функции у=5lnx-x2.
А) ; В) -; С); D) ; Е) .
4. Найдите производную функции f(x)=5х ·2х.
А) 10xln5; В) 10xln10; С) 5xln10; D) 105xln10; E) 5xln5.
5. Дана функция f(x)=2+х4. Найдите f´(1).
А) 2; В) 3; С) 6; D) 5 ; Е) 7.
6. Задана функция f(x)=.Найдите.
А) 2; В) ; С) ; D) 4; Е) .
7. Задана функция f(x)=(х2-х) сos2x. Hайдите.
А) -1; В) ; С) 2; D) 1; Е) 0.
8. Найдите производную функции у=2,5х2 - х5.
А) 12,5х - х4; В) 2,5х2 - 5х4; С) 5х-5х4; D) 5х-х5; Е) -5х+5х4.
9. Дано: f(x)=(4х+7)-6. Hайдите.
А) -42(4х+7)-4; В) -6(4х+7)-5; С) -4(4х+7)-6; D) -24(4х+7)-7; Е) -4(4х+7)-7.
10. Вычислите производную функции f(x)=(х2-1)(2-3х) в точке х=2.
А) -25; В) -19; С) -18; D) -24; Е) -20.
ТЕСТ №2
1. Дана функция f(x)=.Найдите f'(3).
А) ; В) ; С) ; D) 2; Е) 1.
2. Задана функция f(x)=cosx2. Найдите f '(x).
А) х cosx2; В) -2х cosx2; С) 2х cosx2; D) -2х sinx2; Е) 2 sinx2.
3. Найдите производную функции f(x)=8х+ ex.
А) 8хlne; В) 8хln8+ ex; С) х ln8; D) 8хln8; Е) 8хlnх+е.
4. Найдите производную функции f(x)=ex+x.
А) (х+2)ех+х ; В) (1-2х)ех ; С) (2х-1)ех+х ; D) (2х+1)ех+х ; Е) ех (1-2х).
5. Найдите производную функции f(x)=ex-5х3
А) ех-15х2 ; В) ех-3х5 ; С) 1-15х2 ; D) ех-х3 ; Е) 1-15х4.
6. Найдите значение производной в точке х0, если h(x)=, х0=9 .
А); В); С) 3; D) ; Е) .
7. Найдите , если f(x)=3sin7x.
А) 21sin7x; В) 21cos7x; С) 21sin7xcos7x; D) sin21x; Е) sin.
8. Вычислите , если =
А) ; В) ; С) ; D) ; Е) -4.
9. Решите уравнение =0, если f(x)=
А) ; В) ; С) нет корней; D) ; Е) .
10. Производная функции f(x)=lnравна:
А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .
ОТВЕТЫ
Тема: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест№1
А
D
С
В
D
Е
А
С
D
А
Тест№2
В
D
В
D
А
А
В
С
С
С
Тема5: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х0,у0),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:
у=f(x0)+f '(x0)(x-x0).
Геометрический смысл производной
Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
f'((x)== tgα
Механический смысл производной скорости движения.
Пусть точка движется по закону .
Тогда ; ,
где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке
Решение:
1) - уравнение искомой касательной;
2) ;
3) ;
4) ;
5) Подставляем значения , и в уравнение касательной: или ,
Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке с абциссой
Решение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени
Решение:
,
Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени
Решение:
Функция есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость этого движения равна производной Мгновенная скорость есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени равно производной . Таким образом, ускорение движения в момент времени равно: , т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Поэтому ускорение движения равно второй производной
Итак, = ; ; ;
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:
; ,, .
Ответ:.
2. Точка движется по закону . Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени .
Ответ:.
3. Найдите угол между касательной к графику функции в точке и осью . Ответ: .
4. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Ответ:.
5. Найдите угол, образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси абсцисс.
Ответ: 1350.
6. Точка движется прямолинейно по закону
Найдите зависимость ускорения движения от времени, если .
Ответ: .
7. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.
Ответ: .
8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 4с после начала движения.
Ответ: 3125 Дж.
ТЕСТ №1
1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в
точке пересечения этого графика с осью ординат.
А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.
2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции
f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)
А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.
3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону
V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно
А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.
4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику
функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?
А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.
5. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения скорости в момент времени .
А) 202; В) 198; С) 98; D) 104; Е) 128.
6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена
касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.
А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.
7. Точка движется прямолинейно по закону .В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.
А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.
8.Дана функция .Составьте уравнение касательной к графику функции в точке
А) ; В) ; С);
D) Е)
9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3).
А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.
10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).
А) ; В) -; С) -4; D) 1; Е) 4.
ТЕСТ №2
1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?
А) ; В); С); D); Е).
2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?
А); В) ; С) ; D) ; Е).
3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .
А); В) ; С) ; D) ; Е) .
4. Материальная точка движется по прямой линии по закону . Найдите скорость материальной точки в момент времени .
А) В) С) D) Е)
5. Прямолинейное движение точки задано уравнением .Найти скорость движения точки в момент времени .
А)28 В)34 С)25D)45 Е)18.
6. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения ускорения в момент времени .
А) 48 В) 50 С)32 D)58 Е)74
7. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения графика с осью ординат.
А) В) С)D) Е)
8. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
А) В) С)D) Е)
9. Найдите уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой, заданной уравнением .
А) В) С)D) Е)
10. При каком значении прямая является касательной к графику функции
А) В) С) D) Е)
ОТВЕТЫ
Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест№1
С
В
А
D
D
А
С
В
С
Е
Тест№2
D
Е
А
С
А
В
В
В
Е
D
Тема6: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Формулы для приближенного значения f(x) при х, достаточно близких к x0 .
(1)
(2)
(3)
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример№1. Вычислите с помощью формулы (1) приближенное значение:
в точке
Решение:
Если , то .
.
Пример№2. Вычислите с помощью формулы (2) приближенные значение:
а)
б)
Пример№3. Вычислите с помощью формулы (3) приближенные значение:
а)
б) .
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Вычислите значения функции при значениях аргумента и :
;
Ответ: ;
2. Вычислите приближённые значения выражений:
Ответ: .
3. Вычислите приближённые значения выражений:
Ответ:
4. Вычислите приближённое значение выражения:
Ответ:.
5. Вычислите приближённое значение выражения:
Ответ:
ТЕСТ №1
1.Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А)-245,97;68,69. В)-246,97;69,68 С)245,62;-56,25. D)246,97;69,68
2. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А) -114,80;-839,72 В) 114,80; 839,73. С)115,80;863,75 D)114,80;-68,69
3. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А)1,38 В)-1,4 С)1,6 D)1,4
4. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А)-1,0015 В)1,0015 С)10,0015 D)-10,15
5.Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции f в точках x1 и x2: ;
А) -25,54;0,18 В) -24,52;0,16 С) 25,54;-0,15 D) 24,52;-0,16.
6. Вычислите с помощью формулы приближенные значения функции f в точках x1 и x2: , ;
А) 42,12;9,86 В) 40,50;8,96 С)40,52;9,86 D) -40,52;-9,86.
7. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А) 2,00036 В) 2,0004 С) -2,0004 D) 2,0003
8. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:
А) 0,1247 В) 0,1249 С) 0,1243 D) 0,1244
ОТВЕТЫ
Тема: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Тест №1
A
B
D
B
D
С
В
А
Тема7: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Возрастание и убывание функции
Пусть значения производной функции у = f (х). положительны на некотором промежутке, т.е. f'(х)> 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg a = f'(x) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен; это означает, что касательная к графику функции направлена вверх и поэтому график функции на этом промежутке "поднимается", т.е. функция f (x) возрастает. Если f'(x)< 0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательно tg a = f'(x) к графику функции y = f(x) отрицателен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке "опускается", т.е. функция f(x) убывает.
Итак, если f'(x)> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f/ (x)>0 на интервале (а, х0) и f/ (x)<0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой максимума функции f Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0,а f/(x)<0 на интервале (а, х0) и f/ (x)>0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Исследование функции
При исследовании свойств функции полезно найти:
-
область её определения
-
производную
-
стационарные точки
-
промежутки возрастания и убывания
-
точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат, и быть может ещё несколько точек графика.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Построить график функции f(x) = 1 - x - x
-
-
Область определения - множество R всех действительных чисел
-
-
f'(x) = -5x-5x = -5x(1+x)
-
Решая уравнение -x(1+ x) = 0, находим стационарные точки x = -1 и x = 0.
-
Производная положительна на интервале - 1<x<0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках x <-1 и x > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.
-
Стационарная точка x = -1 является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+" f (-1) = -0,5. Точка х = 0 - точка максимума, т.к. при переходе через неё производная меняет знак с "+" на "-" f (0) = 1
Составим таблицу:
Х
x < -1
- 1
- 1< x <0
0
X >0
f'(х)
-
0
+
0
-
f (x)
-0,5
1
Используя результаты исследования, строим график функции y = 1 -
2. Найдите интервалы монотонности функции f (x) = x - 3x
Решение: Найдём производную f'(x) = 3х - 6х
Решим неравенство методом интервалов 3х - 6ч >0, найдём нули функции
3х - 6х = 0 3х (х - 2) = 0 3х = 0 или х - 2 = 0 х = 0 х = 2
Ответ:].
3.Найдите точки экстремума функции f (x) = х - 4х
Решение: Найдём производную f'(x) = 4x - 12x= 4x(x - 3)
. Найдём стационарные точки
4x(x - 3) = 0 4х = 0 х - 3 = 0 х = 0 х = 3
Методом интервалов устанавливаем, что производное 4x(x - 3)положительна при x > 3
отрицательна при x < 0 и при 0 < x < 3
Т.к. при переходе через точку х = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с
"-" на "+", поэтому х = 3 точка минимума.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х на отрезке [; 2]
Интервалу принадлежит одна стационарная точка
Из чисел наибольшее 9,5 и наименьшее 4.
Ответ: наибольшее значение функции равно 9,5 и наименьшее 4.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
-
Найдите промежутки возрастания функции:
Ответ:
-
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Ответ: max y = 0, min y = - 2
-
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Ответ: 57, -55
-
Найдите промежутки убывания
Ответ:
-
Найдите точки экстремума:
Ответ:1, 3
-
Найдите экстремумы функции:
Ответ:
-
Найдите экстремумы функции:
Ответ: 8
-
Найти наименьшее возможное значение периметра параллелограмма с острым углом 30 и площадью 2см.
Ответ: 4 см
-
Число 24 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что произведение их квадратов принимает наибольшее значение:
Ответ:8 и 16
-
Площадь прямоугольника равна 81 см. Найти наименьший возможный периметр этого прямоугольника
Ответ:36 см
ТЕСТ №1
1. Дана функция Найдите ее критические точки.
А) 2;-1; В) 1;-2; С) -3;1; D) -2;3
2. Найдите точки экстремума функции
А) xmax=3, xmin=0; В) xmin=3, xmax=0; С) xmin=3 D) .
3. Дан график функции у = . Какие из утверждений верные:
-
а, с - критические точки;
-
а, с - точки экстремума;
-
на дифференцируемая;
-
[а, с] - промежуток убывания функции;
-
1 - точка максимума;
-
mах = п;
-
xmax=a.
А) 2,3,4,6,7; В) 3,4,5,6,7; C) 1,2,4,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7
4. Найдите промежутки убывания функции
А) [-4;0] В) (-]; С) [4;+) D) [0;4]
5. Найдите промежутки возрастания функции
А) В) (0,25:0,25) С) D)
6. Укажите график функции
7. Найдите экстремумы функции
А) 2; В) 1,5; С) ; D)
8. При каком значении а функция имеет экстремум в точках х= -2 и х=2?
А) 2 В) 12 С) 8 D) 4
9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенств
А) 0; В) -1; С) 2; D) 1.
10. При каких значениях х функция не дифференцируема?
А) - В) 2; С) -2;2; D);
ТЕСТ № 2
1. Дана функция Найдите ее критические точки.
А)-1; 3; В) -2; 1,5; С)-1,5; 2; D) 0,5; 2.
2. Найдите точки экстремума функции
А) xmin=0, xmax= -1,5; В) xmin= -1,5, xmax=0 С) xmin= -1,5; D) xmax=1,5
3. Дан график функции у=. Какие из утверждений
верные:
-
b, m - критические точки;
-
b, т - точки экстремума;
-
k - точка минимума;
-
[b;m] - промежуток возрастания функции;
-
на (а; р) - дифференцируемая;
6) xmin= b;
7) min [a;p]
А) 3,4,5,6,7; В) 1,2,4,6,7; С)1,2,3,4,5,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7
4. Найдите промежутки возрастания функции
А) [-6;0]; В) [0;6] С) D )
5. Найдите промежутки убывания функции
А) ; В) ; С) D) ;
6. Укажите график функции
7. Найдите экстремумы функции
А) 3; В) 2; С)4; D) 8.
8.При каком значении m функция имеет экстремум в точках х = 0 и х =6?
А) 12,5; В)15; С)7,5; D)10
9. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
А) 0; В)1; С) -1; D) 2.
10. При каких значениях х функция не дифференцируема?
А)1; В)0; С)-1;1; D)0
ОТВЕТЫ
Тема: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест№1
В
D
D
В
В
D
С
С
С
В
Тест№2
D
А
С
С
В
В
В
А
D
А
Тема8: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
I. Основные элементы комбинаторики
1.Размещения.
Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:
ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k , обозначается символом и вычисляется по формуле:
(всего k множителей).
Пример:
2.Перестановки.
Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.
Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:
abc, bac, cab, acb, bca, cba.
Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом
(Произведение n первых целых чисел обозначается символом "n!" и читается "n факториал")
Пример:
Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.
3.Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:
ab, ac, bc.
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом
, (в числителе и знаменателе по k множителей).
Пример:
Полезные формулы: 1) 3)
2) 4)
3. Общие правила комбинаторики.
Правило суммы. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B- k способами, то объект «A или B» можно выбрать n+k способами.
Например, в ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?
Решение: Здесь предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.
Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B
Независимо от него - k способами, то пару объектов «A и B» можно выбрать n·k способами.
Например, в меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?
Решение: Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу произведения получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных полных обеда.
II. Бином Ньютона.
Бином Ньютона - это формула, выражающая выражение (a + b) в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
- биномиальные коэффициенты
Формулу можно записать в сокращенном виде: ,
где - знак суммы, - число сочетаний из n элементов по m: .
Из формулы разложения бинома Ньютона формула
Составим таблицу значений для n ,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.
n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 . . . . . . .
1 1 1 . . . . . .
2 1 2 1 . . . . .
3 1 3 3 1 . . . .
4 1 4 6 4 1 . . .
5 1 5 10 10 5 1 . .
6 1 6 15 20 15 6 1 .
7 1 7 21 35 35 21 7 1
Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Такой треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:
(a + b) = a + b;
(a + b) = a + 2ab + b;
(a + b) = a + 3ab + 3ab + b.
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
-
-
Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно
-
Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
-
Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)
-
Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
-
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
7.Правило Паскаля:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
-
Основные элементы комбинаторики
Пример 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
Решение:
Пример 2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
Решение:
Пример 3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: способов.
Пример 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:
а) двух дежурных
Решение:
б) старосту и его заместителя
Решение:
Пример 5. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.
Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.
Пример 6. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?
Решение:
1) .
2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти .
3) .
Пример 7. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Пример 8. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?
Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.
переставляются, 4 определенные книги можно переставлять . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет
Пример 9. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.
Решение: .
Белые шары
Черных шаров
Тогда
Пример 10. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.
Решение: Если участников - n человек, партий будет сыграно штук.
Составим уравнение , решив которое, найдем:
В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях - не учитывается.
-
Бином Ньютона
Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома
Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона:
Пример 2. Записать разложение .
Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.
Пример 3. Найдите член разложения , содержащий .
Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула член имеет
вид : .
Запишем общий вид разложения:
По условию, , т.е.
Отсюда находим и искомый член
.
III. Комбинаторные методы решения задач.
Используем классическое определение вероятности: ,
где - некоторое событие, n - число всех возможных исходов события, а m - число всех благоприятных исходов.
Пример 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
Решение: На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,
Пример 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?
Решение. Исходы - все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:
Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:
(только один вариант расположения букв - «КРОТ»)
Пример 3. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:
1) обе они согласные;
2) среди них есть «ъ»;
3) среди них нет «ъ»;
4) одна буква гласная, а другая согласная.
Решение. Исходы - все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов
Рассмотрим события:
1) А={ обе выбранные буквы - согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует исходов.
2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака , выбор второй буквы из оставшихся .
3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.
4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36" Ответ: 376 992
2. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: "Анчар", "Буря" и "Вьюга". Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? Ответ: 6
3. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова "книга"? Ответ: 120
4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера - это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Ответ:
5. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?
Ответ: 5040
6. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? Ответ: 38 760
7. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника. Ответ:
8. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. Ответ: 0,6
9. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Ответ:
10. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ:
11. Имеется многочлен . Определите коэффициент при члене, содержащем , если выполнить все действия. Ответ: 550.
ТЕСТ №1
1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?
А) 15; В) 60; С) 45; D) 120.
2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?
А) 25; В) 60; С) 20; D) 6.
3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.
А) 12; В) 9; С) 6; D) 68.
4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно
сделать?
А) 190; С) 120; С) 95; D) 150.
5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?
А) 3220; В) 1250; С) 2520; D) 1260.
6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?
А) 10080; В) 12080; С) 9860; D) 11230.
7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
А) 1 546 123; В) 214 569; С) 11 456 130; D) 17 417 400.
8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно
составить посылку из 3 книг и 5 журналов?
А) 360360; В) 250346; С)125369 ; D) 12368.
9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?
А) 0,5; В) ; С) ; D) 0,35.
10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные - девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки.
А) ; В) ; С) ; D) .
ТЕСТ №2
1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "6 из 45" ?
А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000; D)50 250 018 .
2. Составить все размещения из трех букв А, В, С.
А) 6; В) 8; С) 12; D) 15.
3. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?
А) 968; В) 1200; С) 1456; D) 1365.
4. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?
А) 26 854; В) 32 278; С) 30240; D) 25 234.
5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?
А) 1956; В) 1236; С) 2160; D) 2112.
6. Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества
так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое - 17?
А)1011; В) 1225; С) 998; D) 1140 .
7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?
А) 256; В) 300; С) 320; D) 405.
8. Сколькими различными способами можно разложить 8 монет различного достоинства
в два кармана?
А) 198; В) 256; С) 320 ; D) 294 .
9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти
цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные
цифры.
А) ; В) ; С) ; D) .
10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными.
А) ; В) ; С) ; D) .
ОТВЕТЫ
Тема: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест№1
В
В
С
А
А
А
D
А
В
D
Тест№2
В
А
D
А
С
D
В
В
D
А
Литература
-
Алгебра и начала анализа: для 10 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. - Алматы: Атамұра, 2006
-
Алгебра и начала анализа: для 11 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. - Алматы: Атамұра, 2007
-
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. - Алматы: Мектеп, 2010
-
Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. - Алматы: Изд-во «Мектеп», 2007
-
Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Колмогоров А.Н. и др., 1999
-
Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 кл., Мордкович А.Г.
-
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. Ивлев Б.М. и др., 1999
-
Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Сканави М.И.. Группа В