Производная и её применение

1. ДОМИНО.

Для тренировки в нахождении производной во время уроков индивидуально или в парах предлагаю построить цепочку из домино. Задания наклеены на обратной стороне детского домино (типа «Ягодка), или на картонных карточках. К концу прохождения темы каждый ученик опрошен и оценён.

(продолжение).

2. Тренировочные карточки с заданиями разного уровня.

В течение нескольких уроков учащиеся в парах решают каждый вариант, в котором отрабатываются навыки выполнения одного из видов упражнений по теме. Задания с 1 по 3 номер предлагается учащимся , имеющим удовлетворительные знания по теме, с 4 по 7 номер - хорошие знания, с 8 по 9 номер - задания повышенной трудности. После того как дети разобрались в заданиях, им предлагается проверочная работа с учётом способностей. Например,

№

Фамилия Имя

№ карточки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

№ задания

8

9

8

9

9

8

9

8

8

4

5

6

7

4

5

6

7

4

9

8

9

9

8

9

8

8

9

7

9

8

7

8

9

7

7

9

1

2

3

4

1

2

3

4

1

8

9

9

8

9

8

8

9

9

7

8

9

7

9

8

7

8

9

9

9

8

9

8

8

9

9

8

8

9

8

9

9

8

9

8

8

В случае , если дети затрудняются, они имеют право заменить предлагаемое задание на более низкий уровень. Оцениваются работы после того, как каждый ученик выполнит по 1 заданию каждой карточки. Ведётся учёт по выполнению каждого задания. Результаты вносятся в таблицу.

Карточка и № задания

Оценка за задания

Итого

№

Фамилия Имя

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Кузнецова Лена.

8

9

8

9

9

8

9

8

8

2

Ледков Дима.

4

5

6

7

4

5

6

7

4

3

Вылка Марина

9

8

9

9

8

9

8

8

9

4

Бармич Маша

7

9

8

7

8

9

7

7

9

4

Смирнова Женя

1

2

3

4

1

2

3

4

1

5

Тайбарей Максим

8

9

9

8

9

8

8

9

9

7

Рочев Антон

7

8

9

7

9

8

7

8

9

8

Хатанзейский Ж

9

9

8

9

8

8

9

9

8

9

Латышева Крист.

8

9

8

9

9

8

9

8

8

10

Головин Андрей

1

2

3

4

1

2

3

4

1

11

12

13

14

15

16

Карточка №1

Найдите производную функции:

1⁰ y=Sin 3x

2⁰ y=Cos2x

3⁰y=(2x+1)^1,5

4. y=х⁵+(2х-5)²

5. y= +

6. y=Sin 2x + Cos

7. y=+(3х)^-2

8.* y=

9.* y=tg3x - ctg3х

Карточка №2

Исследуйте функцию и постройте её график:

1⁰ y=-0,5х²+х+1,5

2⁰y=0,5х²+6

3⁰y=х³-2х²+х+10

4. y=х³-х-8х +1

5. y= x⁴ -6х³+8х -7

6. y= 10

7. y=(2х-3)(4х²+6х+9)

8.* y=2х, назовите множество значений х, для которых выполняется неравенство4

9.* y= х³-х. Изобразите схематически график функции

f(x)=+1

Карточка №3

Точка движется прямолинейно по заданному закону. Найдите скорость и ускорение в момент t = t_0, если:

1⁰ S(t)=5t ² ; t₀ =3

2⁰ S(t)=10t ² ; t₀ =4

3⁰ S(t)=t ²+10 ; t₀ =5

4. S(t)=0,5t ²+t ; t₀ =5

5. S(t)=5t ²+3t+1 ; t₀ =10

6. S(t)=2t³ -t²+t ; t₀ =3

7. S(t)= ; t₀ =16

8.* S(t)=t³ - + +0,5 ; t₀ =2

9.* S(t)= t³ +1,5t² -4t +3 ; t₀ =2

Карточка №4

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1⁰y=х³ - 3х

2⁰ y=х² -2х +2

3⁰y=- х² +4х-6

4. y=х³+3х² -9х -1

5. y= 2х(9-2х²) +15(х²-1)

6. y=(7-2х)(х²+2)

7. y=+

8.* y=х +2Sinx

9.* y=x+ Cos2x

Карточка №5

Напишите уравнение касательной к графику функции в точке х_0.

1⁰y=х³, х₀=1

2⁰y=х², , х₀=2

3⁰y=- х² +4х-6, , х₀=1

4. y=1+2Sinx, х₀=

5. y= 2 Sinx+ Cos2x, , х₀=

6. y= х³-2х²+х+10, , х₀=-2

7. y=+, , х₀=3

8.* y=2 - , х₀=1

9.* y=0,6 tg3x +0,4Cos2x, х₀=

Дополнительное задание:

В каждом случае найти угол наклона касательной к графику функции.

Карточка №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:

1⁰ y=х³+3х² на

2⁰ х³-х на

3⁰ y=(5-х)(х²+3) на

4. y=х³ - 12х+6 на

5. y=4+27х+12 х² -х³ на

6. y=(5-х)(х²+3) на

7. y=х²+ на

8.* y=0,5х - на

9.* y=x+ Cos2x на

Карточка №7

Найдите приближённое значение функции:

1⁰ y= х³-3 при х2,02

2⁰ y=2х⁴+1 при х1,98

3⁰ y= х² при х3,04

4. y=х^3-6х² при х2,03

5. y= х³ - 3х при х3,02

6. y=(3-2х)(х²+1) при х1,97

7. y=-2х²+1 при х2,98

8.* y=(х²-9) при х8,9

9.* y= при х4,2

Карточка №8

Решите неравенства методом интервалов:

1⁰ <0 ; 2⁰. >0

3⁰ 0; 4. >0

5. (х²-9)0

6. х³ - 9х0 ; 7. (3-2х)(х²+1) <0

8* 0 ; 9* 0

Карточка №9

1⁰-3⁰.. Число 8 разбейте на два слагаемых так, чтобы произведение квадратов этих слагаемых было наибольшим.

4.-5 Число 15 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого и утроенного второго слагаемого была наименьшей.

6-7. Число 12 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение куба первого на утроенное второе слагаемое было наибольшим.

8*-9*. Среди всех прямоугольников , вписанных в окружность радиуса 10 см, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

3. Подготовка к зачёту.

(Упражнения для домашней работы)

1. Найдите производную функции:

а) у=х⁹ +3х⁷ +6;

б) у=-3 Sin 2x;

в) у= (2х-4)² ;

г) у=х⁴ Cos2x

г) у=;

д) y=+

е) у= tg3x ctg3х

2.Найдите значение производной функции в точке х₀:

а) y=- 3х² +5х-6, , х₀=1;

б) y=Cos2x+2Sinx, х₀=;

в) у= tg3xх , х₀ =;

г) у=, , х₀=1;

д) у= (3х² -7)³ х₀=2.

3.Найти скорость изменения функции в точке х₀:

а) y=- х² +х⁶-6, х₀= -1;

б) y=Cosx+Sinx, х₀=;

г) у=х+, , х₀=-2;

д) у= (х² +1)⁴ х₀=1.

4 Найти точки, в которых скорость изменения функции f больше скорости изменения функции g:

а) f(x)=-5х² +30х и g(х)=2х² +6х;

б) f(x)= 2Sinx и g(х)=-12 Cosx

в) f(x)=8 tgx и g(х)=-16х

5. Решите неравенства:

а) (х-1)9х+8)(х-10)>0

б) (х² -9)(х+6)(х-1,5)0

в) (х²+16)(х-9)(х+2,5)0

г)

д)

6.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х₀ ;

в) y=х³+2х² -1, х₀=3

г) y=12Cosx+4, х₀=-;

д) у=; , х₀=;

7. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х₀ ;

а) y=2х⁴ -6х³ -1, х₀=3

б). y=0,3Cos2x +2Sinx, х₀=;

в) y=x+ Cos2x, х₀=-;

г) у= (х²-3х) 8 tgx

д) у=, х₀ =;

е)

8. Точка движется прямолинейно по заданному закону. Найдите скорость и ускорение в момент t = t_0, если:

а) S(t)= t³+0,2 t (см), t₀=2с

б) S(t)=2 t²+0,1 t (см), t₀=1,5с

в) S(t)= Sint +0,2Cost (м), t₀=2с

г) ý=

д) у=

е) у=

9. Укажите промежутки возрастания и убывания функции, если дан график её производной (рис.1).

10. Укажите точки максимума и минимума функции, если дан график её производной (рис.2).

11. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) у=х⁴-х³+12;

б) у = х⁴-х³ + 2х^2-11;

в) у= х³-4х²

12.Найдите наибольшее и наименьшее значение данной функции на промежутке:

а) у=х⁵-х⁴-х³;

б) у = х⁴-х³ + 5х^2-11;

в) у= х +Sinx;

Анализ выполнения домашних заданий.

№

Фамилия Имя

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

4. Зачёт.

Вариант 1

Зачёт

«4»

«5»

Вариант 2

Зачёт

«4»

«5»

Обязательная часть

5

5

6

5

5

6

6

6

Обязательная часть

5

5

6

5

5

6

6

6

Дополнительная

Часть

1

2

3

1

2

3

Дополнительная

Часть

1

2

3

1

2

3

Обязательная часть

1. Найти производную функции:

а) f(x)=5x²+8х-11 б) f(x)=

2. Исследуйте функцию и постройте её график:

f(x)=x³ -3х²

3. Напишите уравнение касательной к графику функции: f(x)=-3 в точке х₀=1.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: f(x)= на .

5. Найдите промежутки возрастания (убывания) и экстремумы функции: f(x)=2х² -.

6. Тело движется по закону S(t)=7t²+5t (м). Найдите скорость и ускорение в момент t₀=2с.

Дополнительная часть

1. Найти производную функции: f(x)=3tgx(5x^2-4).

2. Исследуйте на монотонность и найдите экстремумы функции f(x)= .

3. Среди всех прямоугольников , вписанных в окружность радиуса 10 дм, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Обязательная часть

1. Найти производную функции:

а) f(x)=x⁶ -17х⁴ +15 б) f(x)=

2. Исследуйте функцию и постройте её график:

f(x)=x³ +х² +4х

3. Напишите уравнение касательной к графику функции: f(x)=4х³+8х²+5х+1 в точке х₀=2.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: f(x)=4+27х+12х² -х³ на .

5. Найдите промежутки возрастания (убывания) и экстремумы функции: f(x)=х² -2х+2.

6. Тело движется по закону S(t)=5t²+3t-7 (м). Найдите скорость и ускорение в момент t₀=10с.-

Дополнительная часть

1. Найти производную функции: f(x)=(+5)(х³+2х²+х)

2. Исследуйте на монотонность и найдите экстремумы функции f(x)= .

3. Среди всех равнобедренных треугольников с периметром 24 см найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Вариант 3

Зачёт

«4»

«5»

Вариант 4

Зачёт

«4»

«5»

Обязательная часть

5

5

6

5

5

6

6

6

Обязательная часть

5

5

6

5

5

6

6

6

Дополнит. часть

1

2

3

1

2

3

Дополнит. часть

1

2

3

1

2

3

Обязательная часть

1. Найти производную функции:

а) f(x)=-0,5x²+х+1,5 б) f(x)=6х Cosx

2. Исследуйте функцию и постройте её график:

f(x)=

3. Напишите уравнение касательной к графику функции: f(x)= -3Sinx+5х в точке х₀=0.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: f(x)= на .

5. Найдите промежутки возрастания (убывания) и экстремумы функции: f(x)=--8.

6. Тело движется по закону S(t)=6t³+5t+2- Найдите скорость и ускорение в момент t₀=2.

Дополнительная часть

1. Найти абс

2. циссы точек графика функции: f(x)=2Sinx-х, в которых касательная параллельна прямой у=3..

3. Исследуйте на монотонность и найдите экстремумы функции .

4. В момент t после начала движения тело, брошенное вверх с начальной скоростью v₀´20м/с, находится на высоте h=vt- q. Определите, в какой момент времени из промежутка скорость падения будет наибольшей? (q =10м/с²).

Обязательная часть

1. Найти производную функции:

а) f(x)=7x²+2х-11 б) f(x)=

2. Исследуйте функцию и постройте её график:

f(x)=x⁴ -4х³ -4х²

3. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной к графику функции: f(x)=-0,5х²+6 в точке х₀=1.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: f(x)=7Cosx на .

5. Найдите промежутки возрастания (убывания) и экстремумы функции: f(x)= +.

6. Тело движется по закону S(t)=2t³+3t²-t. Найдите скорость и ускорение в момент t₀=3.

Дополнительная часть

1. В какой точке касательная к графику функции: имеет угловой коэффициент, равный 2?

2. Исследуйте монотонность и найдите экстремумы функции .

3. Рассматривается множество прямоугольников , вписанных в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции f(x)=-0,5х²+6 и осью абсцисс. Две вершины лежат на параболе, а две другие на оси абсцисс. Какой из этих прямоугольников имеет наибольшую площадь.