Статья: Методы решения тригонометрических уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

В статье рассматриваются различные способы решения одного уравнения с целью углубления, систематизации и совершенствования знаний учащихся по теме "Тригонометрические уравнения". Материал статьи адресован учащимся старших классов, а также студентам физико-математических специальностей, проходящим педагогическую практику в школе.

Ключевые слова: тригонометрические уравнения, функции половинного аргумента, вспомогательный угол, формулы понижения степени, метод оценивания, формулы приведения.

К сожалению, не существует общего метода решения, следуя которому можно было решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. В процессе решения тригонометрических уравнений надо особенно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних корней.

Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение - значит найти все его корни - все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Выделим методы решения тригонометрических уравнений

1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

2. Подстановка через функции половинного аргумента.

3. Введение вспомогательного угла.

4. Использование формул понижения степени.

5. Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества.

6. Способ замены sin x=a, cos x=b.

7. Графический способ.

8. Использование формул приведения и формул сложения.

9. Использование универсальных тригонометрических подстановок.

10. Метод оценивания.

Рассмотрим уравнение и решим его наибольшим количеством способов.

Способ 1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат

или

При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие.

При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями "теневого" уравнения (- sin x - cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же. Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.

Способ 2. Подстановка через функции половинного аргумента

Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения . Выразим sin x, cos x и 1 через формулы половинного аргумента:

Делим обе части уравнения на или выносим за знак скобки.

2. :

или

(2):

или

(разделим на )

Способ 3. Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение

Разделим левую и правую часть уравнения на:. Так как , то существует угол φ такой, что при этом Тогда уравнение примет вид . Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.

()

Это уравнение разбивается на два:

(1):

(2):

Способ 4. Использование формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

Решается с помощью второго способа.

Способ 5. Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества

возводим обе части в квадрат

или

Способ 6. Способ замены sin x=a, cos x=b

Способ 7. Графический способ

Построим графики функций f(x)= и h(x)= (Рис.1)

Рис.1

Способ 8. Использование формул приведения и формул сложения

Способ 9. Использование универсальных тригонометрических подстановок

Они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию -

тангенс половинного угла.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул неопределенны при Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

Способ 10. Метод оценивания. (Оценивание рассматривается по четвертям)

Уравнение f(x) = g(x). Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений

I: корней нет

II: корней нет

III: корней нет

IV: корней нет

(Нужно проверить граничные точки)

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: Учебник (базовый уровень). 18-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-464с.

2. Мордкович А.Г.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник (профильный уровень). 10-е изд., испр.-М.: Мнемозина, 2009.-399с.