Исследовательская работа по математике Геометрические паркеты

Введение.

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов - орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, укра­шают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора «Paint», входящего в стандартный пакет Microsoft Office.

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем - стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Павловского дворца

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические паркеты.

Паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

Вопрос №1

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу - они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Гео­метрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «нале­зут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º. (величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)

После преобразований получим:

m=2*n/(n-2).

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из:

• правильных треугольников;

• правильных шестиугольников;

• правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

2.2. Паркеты из комбинаций правильных многоугольников.

Мы уже знаем, , что плоскость в окрестностях какой-нибудь точки полностью, без пропусков, может быть заполнена только тремя видами правильных многогранников: треугольниками, квадратами или шестиугольниками.

Однако в данном случае мы пойдем несколько дальше и рассмотрим, какими комбинациями разных правильных многоугольников можно заполнить без щелей и пропусков плоскость вокруг этой точки.

Обозначим через п число сторон многоугольника, тогда сумма всех внутренних углов будет составлять (п-2)*180° , а каждый угол будет равен .

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой-то точки определенное число разных правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялась точно четырем прямым углам. Наименьшее число многоугольников, какое можно сгруппировать в данной точке плотно, без щелей, покрывая ими плоскость, равно 3, наибольшее же - 6.

Допустим, что первый тип этих фигур насчитывает n₁ сторон, второй - n₂, третий - n₃, причем .

Тогда соответствующие внутренние углы будут равны:

; ; ,

а их сумма, по одному углу из каждого многоугольника, будет составлять:

.

Сумма эта должна быть равна 360°. Отсюда вывод, что

,

что после преобразования дает:

и окончательно:

. (1)

Самым простым правильным многоугольником будет, конечно, треугольник.

Поэтому условимся, что , и попытаемся установить, какой еще многоугольник можно связать в одной точке с треугольником.

Тогда вышеприведенное равенство будет выглядеть так:

.

Откуда

,

при этом , так как при для п₃ получается значение 0 или отрицательное число, а при нельзя соблюсти условие, чтобы , потому что угол правильного

двенадцатиугольника насчитывает 150°, а угол равностороннего треугольника имеет 60°, что дает в сумме 210°; значит, 360° - 210° = 150°. Самым большим поэтому значением для может быть 12.

На основе этих положений можно установить, что

при будет

не будет целым числом,

При первой комбинации: , , , уложить паркет не удается. Правда, у одной стороны или у двух углов треугольника плоскость будет полностью и без пропусков заполнена этими тремя многоугольниками, однако данную комбинацию не удастся повторить у третьего угла треугольника.

Вторая и третья комбинации также не дают лучших результатов. Единственной комбинацией, которая позволяет заполнить плотно, без пустот и пропусков, плоскость не только вокруг одной точки, но и вокруг всего треугольника как целого, является комбинация комбинации: , , , (см.рис.).

Исследуем, какие результаты дает уравнение (1) при допущении, что . Тогда

Уравнение это, составленное при , составит условие: .

Получаем снова ряд комбинаций:

При будет

не будет целым числом,

Из всех этих комбинаций осуществимы только следующие: , , , а также , , . Они осуществимы в том смысле, что дадут полное заполнение плоскости при всех вершинах квадрата (см.рис.).

При ни одна комбинация невозможна. Это значит, что укладывание паркета правильными пятиугольниками требует в качестве дополнений неправильных многоугольников.

Следовательно, окончательно, при соблюдении условия, чтобы в каждой вершине сходились только три правильных многоугольника, получим четыре возможные комбинации, а именно: треугольники, двенадцатиугольники и двенадцатиугольники; квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники; квадраты, восьмиугольники и восьмиугольники; шестиугольники, шестиугольники и шестиугольники.

Перейдем теперь к комбинациям по четыре, то есть когда в точке соединения плиток должны сойтись четыре правильных многоугольника. Ранее приведенное уравнение принимает такой вид:

,

при этом .

После серии рассуждений, аналогичных приведенным, получим следующие комбинации:

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

Первая комбинация невыполнима. Однако, если бы допустили другие сочетания при третьих вершинах треугольников, получили бы узор, изображенный на рисунке .

Но в этом узоре треугольники, собранные в точке В, образуют, собственно говоря, шестиугольник, что привело бы эту комбинацию к уже рассмотренной комбинации по три (4, 6, 12).

Вторая комбинация дает такое расположение плиток .

Третья комбинация дает три очень интересных узора ( см.рис.).

Заметим, что все три узора, несмотря на различие в расположении плиток, отвечают принятому условию, чтобы в каждой узловой точке повторялось одно и то же сочетание.

Рассмотрим еще комбинацию по пять, то есть когда в одной точке сходится пять правильных многоугольников.

Аналогично предыдущим, уравнение будет выглядеть так:

,

при этом .

Получим только две комбинации:

1. , , , ,

2. , , , ,

Первая комбинация дает четыре очень интересных узора ( см.рис. ).

Зато вторая комбинация сочетаний по пять даст только один узор (рис. 342).

Сочетания по шесть, то есть сочетание шести многоугольников в одной точке, дадут только один ответ, а именно:

.

2.3.Паркеты из неправильных многоугольников.

Легко покрыть плоскость параллелограммами:

Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого:

Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников:

2.4. Паркеты из произвольных фигур

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае - многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим способы построения нового паркета, исходя из этого "расширенного" определения. Итак, как нарисовать паркет? (некоторые из возможных способов)

Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков...

Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:

Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников:

Способ третий. Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.

Пример (разбиения сетки из греческих крестов):

Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.

Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На первом рисунке есть еще один элемент - выпуклый четырехугольник.

3.1 Паркеты Эшера.

На рисунках представлено несколько фигур, получить мозаику из которых можно геометрической операцией параллельного переноса. На деле это означает, что фигурка смещается на некоторое расстояние и как бы вкладывается в предыдущую, не меняя своего положения. Если в качестве меры расстояния взять 1 клеточку, то рассчитав, на какое количество клеточек нужно смещать фигурку вверх и вправо, получим два числа, определяющих вектор перемещения. Интересно проследить связь между параллельными переносами и векторами, и возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Изменение вектора может привести к получению интересных мозаичных рисунков.

На рисунке показаны заполнения плоскости различными фигурами, дающими полностью покрытую плоскость мозаики. Эта мозаика отличается от предыдущих тем, что для заполнения плоскости образец нужно не только сдвинуть на определенное число клеток, но и использовать зеркальное отражение или повернуть относительно некоторой точки - центра симметрии

Общий принцип построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений, объектов с криволинейными формами) с использованием различных видов симметрии можно описать как постепенный переход от простых фигур " по тетрадным клеточкам" к более сложным. Начав с простых квадратов и четырехугольников, постепенно усложняя и развивая фигуры, получаем сначала примитивное схематичное изображение, затем добавлением деталей и скруглением форм получаем детализированное изображение со сглаженным контуром

Примеры паркетов

Заключение.

Я подробно изучила паркеты, поняла принципы их построения, а самое главное, получила эстетическое наслаждение от их красоты. Паркетов великое множество, но паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен, т.е. если он составлен из правильных многоугольников.

Выдвинутая мною гипотеза о том, что плоскость можно покрыть только правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками оказалась верна.

Практическую значимость работы вижу в ее дальнейшем применении учителями и учащимися. Считаю, что моя работа может быть использована учителями школьных предметов на своих уроках, факультативных занятиях и внеклассных мероприятиях.