- Преподавателю
- Математика
- ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов Учитель математики: Фролова Т. Н
ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов Учитель математики: Фролова Т. Н
| Раздел | Математика |
| Класс | 11 класс |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Фролова Т.Н. |
| Дата | 05.12.2015 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
12
| ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» |
|
Методическое пособие для учителя |
| Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями
и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов |
|
|
| Учитель математики: Фролова Т.Н. |
|
Костанай
|
Содержание
1. Преобразование тригонометрических выражений
1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
1.2 Формулы приведения.
1.3 Формулы сложения аргументов.
1.4 Формулы двойного аргумента.
1.5 Формулы половинного аргумента.
1.6 Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
1.7 Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).
2. Решение тригонометрических уравнений
2.1 Простейшие тригонометрические уравнения
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
2.3 Метод разложения на множители
2.4 Метод введения новой переменной
2.5 Метод введения вспомогательного угла
2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у=
и у=
2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
3. Решение тригонометрических неравенств.
3.1 Простейшие тригонометрические неравенства
3.2 Применение основных тригонометрических формул
3.3 Метод введения новой переменной
3.4 Метод интервалов
1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Есть несколько причин возникновения этих трудностей. Назовем основные, как мы считаем, две причины возникновения их. Во-первых, большое количество формул, которые необходимо знать и помнить. Во-вторых, отсутствие стандартных приемов тождественных преобразований тригонометрических выражений. В-третьих, формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.
Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Некоторые рекомендации могут быть полезны при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений:
1.Если выражение содержит разные тригонометрические одного аргумента, то следует все функции через одну или две функции. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус или косинус этого же угла.
2. Если в выражение выходят тригонометрические функции от разных аргументов, то попытайтесь свести все тригонометрические функции к одному аргументу.
3.Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрических функций через кофункцию.
4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда помочь в преобразовании тригонометрического выражения.
5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезно представить в виде суммы квадратов синуса и косинуса, т.е. 1=
6.Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля).
7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В простейших случаях он сводится к замене чисел 
и 1 тригонометрическими функциями соответствующих углов.
8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени.
9. Если данное выражение является однородным многочленом п-ой степени относительно
Характерная особенность тождественных преобразований тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же выражения.
Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривается в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы.
-
Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
-
Формулы приведения
-
Формулы сложения аргументов.
-
Формулы двойного аргумента.
-
Формулы половинного аргумента.
-
Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
-
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).
Занятие 1
1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента
По назначению одной из тригонометрических функций некоторого аргумента можно, используя приведенные ниже формулы, найти значения всех остальных. Применение этих формул значительно сокращает и упрощает процесс тригонометрических преобразований.
.
1+
.
1+
В скобках указаны значения аргумента, при которых тождества имеют числовой смысл.
1.Задание. Вычислить:
а) 2
б)
в)
г)
д)
е)
, если
ж)
Решение:
а) 2
Так как 
2
В следующих заданиях выражают искомую функцию через данную, используя тригонометрические формулы с учетом знака в указанном промежутке, затем подставляют данное значение и производят вычисления.
б)
Учитывая, что
- угол II четверти, найдем 
1+
1
= 
=
, 
.
в)
г)
д)
=
=
е), если
=
.
ж)
, возведём обе части равенства в квадрат:
=
.
Занятие 2.
2.Задание. Упростите:
а)
б)
в)
г)
д)1+
Решение:
а)=
б)
в)= 
г)
=
д)1+=1+
=(
Занятие 3
1.2 Применение формул приведения
Формулы приведения и формулы периодичности тригонометрических функций позволяют выразить значение тригонометрической функции угла любой величины через тригонометрические функции острого угла α.
Для того, чтобы усвоить все формулы приведения, нет необходимости их запоминать, достаточно уяснить два вопроса: какой знак и какое название будет иметь функция.
1.Какой знак? Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если считать, что
- угол I четверти.
2. Какое название?
Для углов 
Для углов 
3. Задание. Вычислите:
а)
г)
б)
-2
д)
в)
Решение:
а)
б)-2=-1-2
=-2.
в)
=
=
4. Задание. Упростите:
а)
б)
в)
-
г)
Решение:
а)
б)=
=
в) -=-
+
=
г)
Занятие 4.
1.3. Формулы сложения аргументов
Любую тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов можно выразить через тригонометрические функции этих углов.
Z)
Z)
5.Задание: а)
Решение: 
в) tq75 °= tq(45°+30
6.Задание: Вычислить:
а) 
и 
б) 
cos
(
в) tq
tq(α-
Решение:
а) Вычислим 
=
=, 
= - 
б) Вычислим cos и sin β с учетом четверти, которой принадлежат углы α и β:
cosα=
, sin =−
cos(α-β)= =cosα∙cos
+ sinα∙
+
=
в) Вычислим tq
cos β = 
=-
tq β = 
.
Вычислим теперь tq: tq(α-β) = 2
Занятие 5.
7.Задание: Упростите:
а) 
; в)
;
б)
; г) tqα
+
Решение:
а) = 
б)
= tqα.
в) = 
г) tqα+
Занятие 6.
1.4 Формулы двойного аргумента
Следующие формулы выражают тригонометрические функции произвольного угла через тригонометрические функции произвольного угла в два раза меньшего.
, (
+
, (
,
8.Задание: Вычислите:
а)
, 
б)
, 
в) 1+9
и 270
г) 4+2
если 
д) 
е) 
ж)
з)
Решение:
а), . Учитывая, что 
cosα =
=-
==2
.
б),
Найдём cosα из равенства: 1+
=
, т.е. 1+
=
Но , поэтому
. Тогда
в) 1+9 и 270
1+9
а угол 
четверти, то
1+9
г) 4+2
д) 
=
1+
е)
Воспользуемся искусственным приёмом: умножим и разделим заданное выражение на
2
, а затем воспользуемся формулой двойного аргумента:
Замечание: Произведение косинусов, аргументы которых удваиваются, можно упростить умножением и делением его на синус наименьшего угла с последующим «свёртыванием» числителя с помощью формулы двойного аргумента.
ж)
Умножим и разделим заданное выражение на 2
= 
з)=
Занятие 7.
9 Задание: Упростить:
а)
д)
б)
е)
в) (с
ж)
г)
з) 1-
Решение:
а) =
б) =
в) (с 
г)
д)
==
=
е) =
ж)=
з) 1-
Занятие 8.
1.5 Применение тригонометрических формул половинного аргумента
Формулами половинного аргумента называются формулы, выражающие значения тригонометрических функций аргумента 
через значения тригонометрических функций аргумента 
Формулы понижения степени рекомендуется использовать в преобразованиях выражений, содержащих степени тригонометрических функций.
Формулы понижения степени:
, (
)
10. Задание: Вычислить:
а) 
д)
е) 
в) 112
г) 
Решение:
а) 
Найдем сначала значение функции:
=
Так как 
в) 112=
г) 
+
д) = 
е) =
Занятие 9.
В некоторых случаях применяются для преобразования тригонометрических функций формулы универсальной подстановки. Эти формулы выражают тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. С помощью них можно представить все тригонометрические функции аргумента α в виде рациональных выражений относительно 
Эти формулы записываются в виде:
c
n∈Ζ
11. Задание: Вычислите:
а)
б) 
в) 
Решение:
а)
в)
180
=-
=-
=-
12.Задание: Упростите:
а) 
б)
в)
Решение:
а) =
б) =-
в)=
Занятие 10.
1.6 Применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
Часто необходимо сумму тригонометрических функций представить в виде произведения. Такое преобразование бывает полезно при решении тригонометрических уравнений, для того чтобы преобразовать в произведение левую часть уравнения, у которого правая часть равна нулю. После этого решение тригонометрического уравнения обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.
Следующие формулы позволяют выполнить такие преобразования:
13. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:
а) 
д)
б)1+
е) 3-4
в)
ж)
г)
з) 
Решение:
а) = 
б)1+
в)
Рекомендации: Выделите в рассматриваемом выражении те значения тригонометрических функций, у которых аргументы в сумме или разности дают угол, кратный
г)
д)
е) 3-4
ж)
з) 
14.Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:
а) 
б) 
в)
Решение:
а)
=
б) 
(
)=2
2
2
в) =
Занятие 11.
1.7 Применение формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Часто оказываются полезными формулы преобразования произведения тригоно-метрических функций в сумму или разность. Обычно они используются при упрощении тригонометрических выражений, при нахождении производных и интегралов от функций, содержащих тригонометрические выражения, а также при решении триго-нометрических уравнений и неравенств.
15.Задание: Вычислите:
а)16
г)
б) 
д) 
в)
е)
Решение:
а)
16
б) 
=
в) В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму произведение трёх или более
тригонометрических функций, формулы применяют повторно.
=(
=
г)
Рекомендация.
Суммы 
и
е)
Занятие 12.
Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций
При вычислении значений тригонометрических функций от аркфункций необходимо знать, что:
-
-
0
и 
В тех случаях, когда аргумент выражен через обратные тригонометрические функции, надо преобразовать данное выражение таким образом, чтобы можно было воспользовать-ся определением обратных тригонометрических функций.
16.Задание: Вычислить:
а)
б)
в)
г) 
д)
е) 
ж)
з)
Решение:
а)
б)
Обозачим 
(
в)
Обозначим 
1+
=
г) 
Обозначим 
1+
= 1+9= 
д)
Обозначим 
е)
Обозначим 
1+
ж)
Обозначим: 
, 
, 
значений арккосинуса.
Тогда 
Замечание: Распространённая ошибка при решении таких задач состоит в том, что не учитывается величина аргумента 
Рассуждают так: по формуле синуса суммы чисел можно записать:
=
А затем делается ошибочный вывод о том, что 
не лежит в области значений арксинуса, так как 
.
з)
Обозначим:
=
, и 
=
, 
и 
, 
значений арккотангенса.
Тогда 
2. Решение тригонометрических уравнений
2.1 Простейшие тригонометрические уравнения
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
2.3 Метод разложения на множители
2.4 Метод введения новой переменной
2.5 Метод введения вспомогательного угла
2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у= и у=
2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Занятие 13.
Тема. Методы решение тригонометрических уравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только в аргументе тригонометрической функции. Основная цель при решении тригонометрических уравнений состоит в преобразовании тригонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравнениям, которые решаются стандартным способом.
В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, применять различные идеи, прежде чем удаётся найти тот способ или путь, который приведёт к цели. Успех в решении тригонометрических уравнений будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических формул и умений грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.
Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению нескольких простейших тригонометрических уравнений следующими методами:
-
разложение на множители;
-
введение новой переменной;
-
введение вспомогательного угла;
-
использование ограниченности функций у=
и у=
Важно отметить, что форма записи корней тригонометрического уравнения зависит от того, какой метод применяется для решения данного уравнения.
Рассмотрим основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений
Вид простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений
х=
х=arccosa+2
х=
х=
Частные случаи тригонометрических уравнений
=-1
=0
=1
x= -
+
x=
x=+
=-1
x= 
+2
x= +
x= 2
=-1
0
x= -
+
x=
x= +
=-1
x= 
+
x= +
x= +
1.Задание: Решите уравнение: 
Решение:
Ответ:
2.Задание: Решите уравнение
и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу (-
Решение:
А теперь выберем те значения переменной, которые принадлежат интервалу (-
:
=
(-
(-
(-
n = - 1
(-
n= - 2
(-
(-
=
Ответ:
3. Задание: Решите уравнение:
Решение: Пользуясь формулой понижения степени, получим:
Ответ:
4. Задание: Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
5.Задание: Решите уравнение:
Решение:
,
Ответ:,
6.Задание: Решите уравнение:
Решение: Поскольку 
Ответ: Решений нет.
Занятие 14.
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
1.
[
n,k 
Z
k Z
2.
[
n,k Z
k Z
3. 
[
n,k Z
4.
[
n,k Z
7.Задание: Решите уравнение: а)
Решение:
а)
[
n,k Z
Ответ:
б)
[
n,k Z
Ответ:
Z
[
[
n ,k Z
Ответ:
n,k Z
г)
[
n,k Z
Ответ:
, n,k Z
Занятие 15.
2.3 Метод разложения на множители
При решении тригонометрического уравнения данным методом можно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений: вынесение за скобки общего множителя; группировка; применение формул сокращенного умножения. Путём разложения на множители тригонометрическое уравнение приводится к виду, когда левая часть - произведение тригонометрических8 функций, а правая часть - нуль. Таким образом, исходное уравнение распадается на несколько простых уравнений.
Необходимо также знать следующие формулы:
-
сложение аргументов тригонометрических функций;
-
понижение степени тригонометрических функций;
-
преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;
-
преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Перейдём к решению тригонометрических уравнений данным методом.
8. Задание: Решите уравнение:
, 
Очевидно, что множество решений в первом случае является подмножеством решений во втором случае:
Ответ:
.
9.Задание: Решите уравнение: 
Решение:
Отбрасывая из множества решений 
Ответ:
10.Задание: Решите уравнение:2
Решение: 4
-
2) 
x=
Ответ:
х =
11.Задание: Решить уравнение:1+
Решение: 1+
(1-
(1-
1)1-
х=
2х=
х=
Ответ: х=
х=
12.Задание: Решить уравнение:
Решение: 
Применим формулу сложения аргументов:
5х=
х=
Ответ: х=
13.Задание: Решить уравнение: 
Решение:
Применим следующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
-2
5х=
х=
х= 
Решения вида
Ответ: х=
14.Задание: Решить уравнения:
а)
б) 
Решение:
следующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
2
2
1).
2). 
2х = 
5х=
х= 
х=
Ответ: х= х=
б)
.
2
=0
1). 
2).
3х= 
х=
+
Найдём целые решения двойного неравенства:
-
+
- 
-
n
Значит, х=- ; х= ; х=
Ответ: х 
.
Занятие 17.
15.Задание: Решите уравнение: 
Решение: .
следующую формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Ответ:
16.Задание: Решите уравнение:
Решение:
, т.к.
1).
2).
х= 
х=
Ответ: х=
х=
17.Задание: Решите уравнение: 2
Решение:
Если тригонометрическое уравнение содержит 
, 
2
1+
2
2).
2 х = 
х = 
2х=
х=
Ответ: х = 
х=
18.Задание: Решите уравнение: 
Решение: Применим формулы понижения степни:
-2
1).
2).
4 х= 2
х= 
2х=
х=
Ответ: х= 
х=
19.Задание: Найдите число решений уравнения:
2
-
Решение: 2(1-
-2
-
1
х= х=
k=0, х=0
k=1, х=
k=2, х=2 
При других значениях k корни уравнения не попадают в заданный промежуток.
Число решений уравнения равно 5.
Ответ:5.
Занятие 18.
2.4 Метод введения новой переменной
Данный способ решения тригонометрического уравнения заключается в следующем: исходное уравнение приводится к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции одного аргумента; затем решается полученное алгебраическое уравнение, что приводит к нескольким простейшим уравнениям, из которых находят значения неизвестного.
Часто перед введением новой переменной приходится делать некоторые тождественные преобразования. Если в уравнение входят тригонометрические функции одного аргумента, то надо выразить эти функции через одну из них, например, 
Рассмотрим тригонометрические уравнения, приводящие к квадратным уравнениям.
20.Задание: Решите уравнение: 2
Решение:
2
2
Замена: а=
-5а+2=0
=
;
.
Вернемся к замене:
1). 
2).
х=
Ответ: х=
21.Задание: Решите уравнение: 
Решение:
х-3
Замена: а=
-3а+1=0
= ;
.
Вернемся к замене:
1). 2).
х= х=
Ответ: х=
, х=
22.Задание: Решите уравнение:
Решение: Обозначим а=
3а-8
3
.
а=
х=
Ответ: х=
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции
Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.
I. Уравнения вида а
уравнением первой степени относительно 
Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на
При этом потери корней не происходит, т.к. если 
а
II. Уравнения вида а
уравнением второй степени относительно
Разделив обе части уравнения на
а
+
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23.Задание: Решите уравнение: 2
Решение:
2 |:
2
3х=arctg
х=
arctg
+
Ответ: х= arctg+.
24.Задание: Решите уравнение: 
Решение:
+
Замена: а=
1). =1 и 2).
х=
х= - arctg3+
Ответ: х=
х= - arctg3+
25.Задание: Решите уравнение:
Решение:
-
Замена: а=
1). = 
2).
х=
х= 
3+
Ответ: х=
х=3 +
Занятие 19.
2.5 Метод введения вспомогательного угла
Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента
, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.
26.Задание: Решите уравнение: 
Решение: 
х+
х
Ответ: х.
27.Задание: Решите уравнение: 3
4
Решение: Так как
Обозначим 
и 
x=
x=
Ответ: x=
Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а 
.
28.Задание: Найдите максимум и минимум функции: у=5 
.
Решение: у=
(
у=13 (
Обозначим
и 
arcsin 
у=13 (
у=13
Максимум исходная функция будет достигать при 
.
Минимум исходная функция будет достигать при
Ответ:
Рассмотренный способ решения уравнения вида а 
является универсальным. Он также применяется в физике при сложении гармонических колебаний.
Занятие 20.
II.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у= и у=
29.Задание: Решить уравнение: 
5х+1=
х
Решение:5х+1=х
5х+1- х=0
5х+3х=0
Исходное уравнение равносильно системе:
Приравнивая правые части двух последних равенств, получаем уравнение:
3
То есть это уравнение имеет решение:
Подставим значения 
в решение исходного уравнения, получаем:
х=
= 
Ответ: х==
30.Задание: Решить уравнение: 
Решение:
Так как 
и 
то исходное уравнение равносильно системе:
Выберем общее решение:
В числителе дроби стоит нечётное число, а в знаменателе - чётное. Такая дробь не может принимать целые значения, а 
. Следовательно, исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: уравнение решений не имеет.
Приведённые типы уравнений и методы их решений, конечно, не исчерпывают всё разнообразие тригонометрических уравнений.
Занятие 21.
II.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения вида f (arcsinx)=0, f (arccosx)=0 и т.п. решаются методом введения новой переменной.
31.Задание: Решите уравнение:
Решение:
Замена: аrcsinх=а
2
аrcsinх=
sin
аrcsinх
Ответ:
sin
32.Задание: Решите уравнение: arctq(
Решение:
Замена: 
а
arctq(
arctq
Ответ:
33.Задание: Решите уравнение:6
Решение: 6
=
Замена: 
а
Ответ:
34.Задание: Решите уравнение: arctq (1+х)+ arctq (1-х)=
Решение:
Замена: arctq (1+х)=arctq (1-х)=
tq
tq
-
-
По услов
Взяв тангенс от обеих частей уравнения, получим следствие из него:
tq(
tq
Проверка:
1).
При проверке данного корня потребуется доказать или опровергнуть равенство:
arctq(1+
)+ arctq(1-
=
Замена: arctq(1+)=arctq(1-)=
tq
tq
- 
Значит: 0
tq(
2). х=-
arctq(1-)+arctq(1+)=
Два корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: х= 
.
35.Задание: Решите уравнение:
arccos
Решение:arccos
Замена:
- 0
, 
По условию:
,имеем:
х=
х(х-1)=0
Проверка:
1).
2).
arccos0 
arccos1
,верно 
Ответ:
3. Методы решения тригонометрических неравенств
3.1 Простейшие тригонометрические неравенства
3.2 Применение основных тригонометрических формул
3.3 Метод введения новой переменной
3.4 Метод интервалов
Методы решения тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств, по сравнению с другими типами неравенств, существенно отличается.
Решение тригонометрического неравенства можно свести к решению нескольких простейших неравенств следующими методами:
-
применение основных тригонометрических формул;
-
введение новой переменной.
При решении неравенств также можно использовать метод интервалов.
Занятие 22.
III.1 Решение простейших тригонометрических неравенств
Чтобы хорошо методикой решения тригонометрических неравенств, нужно сначала научиться записывать решения простейших неравенств, таких как:
tqх
сtqх
Для решения простейших тригонометрических неравенств обычно используют интерпретацию неравенства на графике функции или на единичной окружности.
1.Задание: Решить неравенство:
Решение:
Множество точек, ордината которых больше или равна 
, выделенная на рисунке.
Следовательно, решением неравенства будут все значения на промежутке
с периодом 2
То есть 
2
2
Ответ: х
2.Задание: Решите неравенство: 
Решение:
Обозначим 
получим 
На рисунке выделена соответствующая дуга 
множество).
2
2
Перейдём к переменной х:
2
2
6
6
Ответ: х(6
6
.
3.Задание: 
Решение:
Пусть 
Проведём линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке(1;0).
Период тангенса равен 
Поэтому решения находим на промежутке 
. Точки, тангенс которых больше 
, принадлежат лучу АТ.
Значит, 
arctq
Ответ: х 
,.
4.Задание:
Решение: 
Обозначим 
и решим неравенство
Проведём линию котангенсов, которая является касательной к окружности в точке (0;1).
Период котангенса равен Поэтому решения находим на промежутке ( 0;
Точки,
котангенс которых меньше 
принадлежат лучу АК.
Значит, arcсtq
Ответ: 
Занятие 23.
5.Задание: -
Решение: -
=
=
Первое решение: 
Второе решение:
В ответе объединяем оба промежутка
Ответ: х
6.Задание: Решите неравенство: 
Решение: -
Выделяем точки, абсциссы которых больше-
еньше .
Если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ можно записать на любой дуге, уменьшив период в 2 раза.
Ответ: х
Занятие 24.
III.2 Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путём применения основных тригонометрических формул
В большинстве случаев решение тригонометрического неравенства можно свести при помощи тождественных тригонометрических преобразований и введения новой переменной к решению одного или нескольких простейших неравенств.
7.Задание: Решите неравенство:tg(
)-1
Решение: Применяя формулы приведения, получим:
-сtg
сtg
ctg
сtgt
0+
0+
2
Ответ: х
8.Задание: Решите неравенство:
Решение:
Левую часть неравенства преобразуем по формуле косинуса суммы двух аргументов:
Замена:
2
+
+
+
Ответ: x
+
,
9.Задание: Решите неравенство:
Решение:
Раскроем квадрат суммы двух выражений и воспользуемся формулами:
1+
Замена:
Ответ: x
10.Задание: Решите неравенство:
.
Решение:
Левую часть неравенства преобразуем по формуле:
Замена:
=
Ответ: x
11.Задание: Решите неравенство: 3-4
.
Решение:
Используя формулу понижения степени 2
3-2(1+
1-2
2
Замена: 2х=t
=-
-
-
-
Ответ: x
12.Задание: Решите неравенство: 2·(
Решение:
2·(
Введём вспомогательный угол, используя табличные значения:
=
Замена:
Ответ: x
Замечание. Введением вспомогательного угла мы также могли получить неравенство:
.
Его решение будет (
)
13.Задание: Решите неравенство: 
укажите сумму натуральных чисел, меньших 10, удовлетворяющих этому неравенству.
Решение:
Замечание. Если для решения подобных уравнений один из основных приемов-деление на любое из выражений и , то в неравенствах так поступать нельзя, в силу того, что неизвестен знак делителя, либо придется рассмотреть два возможных случая.
Решим данное неравенство методом введения вспомогательного угла. Разделим неравенство на 
Замена:
2
При 
(
), где 
(
;
), где 
Натуральные числа, меньшие 10, принадлежащие этим решениям:
1,2,3,8,9.
Ответ:
Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путем введения новой переменной
14.Задание: Решите неравенство: 
Решение:
1-
Замена:
2
2(t+)(t-2)
Правая часть неравенства выполняется для любого значения х. Решим 
Ответ: x
.
15.Задание: Решите неравенство: 
Решение:
Замена:
(t+2)(t-1)
-2
-2
Ответ:
(
),
16.Задание: Решите неравенство: 
Решение:
Замена:
t
или 
1). t 2).
, 
решений нет 
-
Ответ:
.
Неравенства вида R(
, где R - рациональная функция, называются однородными неравенства второй степени относительно 
Почленным делением на 
неравенства приводятся к квадратным относительно tgx 
ctgx.
17.Задание: Решите неравенство: 
Решение:
Почленно разделим на 
Разобьём решение на 2 случая:
1).
Замена:
(t+3)(t-1)
a)t
arctg1=
-
2).Рассмотрим случай 
Тогда 
Подставим эти значения в исходное неравенство:
1+0-3
Значит, случай удовлетворяет исходному неравенству и включается в ответ.
Ответ: х
18.Задание: Решите неравенство: 3
Решение:
3
6
Будем решать неравенство почленным делением на 
Разобьём решение на два случая:
ctg x-7
Замена: ctgх=t
(t+7)(t-1)
t
или t
a) t
ctgх
-7
б) t
2)Рассмотрим случай
Тогда 
, а 
Подставим эти значения в исходное неравенство:
3·0+8
Значит случай 
Ответ: х
Неравенства вида R(tgx, sin2x, cosx)
формул универсальной подстановки:
; cos2x=
приводятся к рациональным относительно tgx.
19.Задание: Решите неравенство: 2cos2x+
Решение:
2cos2x+
2
Замена:
2
-
+
-
Ответ: х
Метод интервалов
Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства методом интервалов:
1.Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит нуль, а другая его часть (например, левая) представлена в виде произведения.
2.Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.
3.Расставьте на единичной окружности все найденные значения.
4.Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом из полученных промежутков. Для этого:
а)возьмите произвольное числоиз данного интервала и не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел;
б)подставьте число 
5.Поставьте на этом интервале контрольную точку Х следующим образом:
-
если выражение получилось больше нуля, то Х ставится вне окружности;
-
если выражение получилось меньше нуля, то Х ставится внутри окружности.
В приведенных ниже примерах точка Х обозначена звёздочкой*.
6.Начиная с точки Х, проведите плавную линию так, чтобы она проходила через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Х.
7.Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что корень четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка четной кратности не дает возможность волнообразной линии, идущей от точки Х, перейти в иную область.
8.Определие нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:
а) если выражение, стоящее в левой части неравенства больше нуля, то выбираем участки фигуры, лежащей вне окружности;
б)если выражение, стоящее в левой части неравенства меньше нуля, то выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной окружности.
9.Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам.
Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.
20.Задание: Решите неравенство:
Решение:
1) 2)
х=
x=
k=0
x=
n=-1
x=
k=1
x=
n=0
x=
n=1
x=
n=2
x=
-
Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками.
Поставим контрольную точку, положим 
Тогда
Кривая знаков ведётся изнутри окружности.
Решению исходного неравенства соответствуют дуги окружности в тех областях, которые отмечены знаком « - ».
При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей(она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим.
В таком случае следует к меньшему значению 
отнять 
Окончательное решение можно записать в виде совокупности интервалов.
Ответ:
.
21.Задание: Решите уравнение: 
Решение:
х-3
Замена: а=
-3а+1=0
= ;.
Вернемся к замене:
1). 
2).
х= х=
Ответ: х=, х=
22.Задание: Решите уравнение:
Решение: Обозначим а=
3а-8
3
.
а=
х=
Ответ: х=
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции
Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.
I. Уравнения вида а уравнением первой степени относительно
Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на При этом потери корней не происходит, т.к. если
а
II. Уравнения вида а уравнением второй степени относительно
Разделив обе части уравнения на
а+
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23.Задание: Решите уравнение: 2
Решение:
2 |:
2
3х=arctg
х= arctg+
Ответ: х= arctg+.
24.Задание: Решите уравнение:
Решение:
+
Замена: а=
1). =1 и 2).
х= х= - arctg3+
Ответ: х=х= - arctg3+
25.Задание: Решите уравнение:
Решение:
-
Замена: а=
1). = 2).
х= х= 3+
Ответ: х=х=3 +
II.5 Метод введения вспомогательного угла
Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.
26.Задание: Решите уравнение:
Решение:
х+
х
Ответ: х.
27.Задание: Решите уравнение: 34
Решение: Так как
Обозначим и
x=
x=
Ответ: x=
Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а .
*****Сделав замену α = cos2x; (|α|≤1), получаем квадратное неравенство:
2α2 + 13α - 7 < 0
(α + 7)(2α - 1) < 0
α 
Тогда исходное неравенство сводится к простейшему тригонометрическому неравенству:
Cos2x <
Или cost < , если t = 2x.
T 
2x 
; n 
X
Ответ: 
26. Решите неравенство: 
≥ 0
Решение:
-
Рассмотрим выражение
-1≤cosx≤1
то есть 
Тогда 
для всех x
-
Рассмотрим выражение
-1≤sinx≤1
то есть 
Тогда 
для всех x
-
≥ 0
Следовательно, исходное неравенство равносильно:
0
0
x
; n
Ответ:
; n
27. Решите неравенство: sin3x > cos3x.
Решение:
sin3x - cos3x >0
Умножим неравенство на 
, для того чтобы ввести вспомогательный угол :
Sin3x∙
- cos3x∙ > 0
Sin3x ∙ cos - cos3x ∙ sin > 0
Sin 
> 0
Сделаем замену t = 3x - :
Sin t > 0
t 
; n Z
2
< 3x - < + 2
x 
; n
Ответ: 
; n
28. Решите неравенство: 
< 0
Решение:
tg < 0
Сделаем замену: t = 3x -
tgt < 0
t 
- +
-
-
x 
Ответ: 
Занятие 24.
29. Найдите область определения функции y = 
Решение:
y = 
D (y): 1-2sin2x 
0
sin2x 
sin t , где t = 2x.
t 
; n
2x ; n
x
Ответ: 
30. Решите неравенство : 
Решение:
Так как 
, выражение в знаменателе не может быть отрицательным. Тогда исходное равносильно системе:
Для x
решением дано системы будет:
Общее значение:
x
Ответ: 