Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды). Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

1. Пусть - последовательность элементов множества A (A = Z, Q, R, C). Будем записывать последовательность в виде

, (1)

где t - формальная переменная. Такая форма записи последовательности называется формальным степенным рядом. Конечную последовательность будем рассматривать как бесконечную последовательность, в которой . Слагаемые вида часто будем опускать и записывать конечную последовательность в виде . Множество формальных степенных рядов с коэффициентами из будем обозначать . Если , то коэффициент называется свободным членом формального степенного ряда и будем обозначать .

2. Введем на множестве формальных степенных рядов операции сложения и умножения.

Если

, ,

то

, (2)

, (3)

где

. (4)

Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:

, (5)

, (6)

(7)

Если , то определим противоположный ряд формулой

. (8)

Тогда

. (9)

Операция умножения в обладает свойствами:

, (10)

, (11)

(12)

. (13)

3. Определим для формального степенного ряда производную формулой

(14)

Производная обладает свойствами:

, (15)

. (16)

Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).

Если - произвольный формальный степенной ряд, а - формальный степенной ряд без свободного члена, т.е. , то определена подстановка

. (17)

4. Рассмотрим вопрос об обратимости формального степенного ряда. Формальный степенной ряд называется обратным к формальному степенному ряду , если

. (18)

Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается

.

Примеры.

1. Пусть . Тогда

(сумма бесконечной геометрической прогрессии).

2. (сумма конечной геометрической прогрессии).

Следующая теорема дает критерий обратимости формального степенного ряда.

Теорема. Формальный степенной ряд обратим тогда и только тогда, когда свободный член обратим в .

□ Если обратим в и , то . В частности, , т.е. обратим в .

Пусть и обратим в . Тогда

,

где - формальный степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии с подстановкой , т.е. определим

.

Непосредственная проверка приводит к равенству

, т.е. ■

5. В качестве приложения формальных степенных рядов рассмотрим рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Арифметика формальных степенных рядов позволяет в этом случае полностью решить вопрос вычисления таких последовательностей. В качестве примера рассмотрим числа Фибоначчи (см., например, [1]), т.е., последовательность , заданную условиями:

, , . (19)

Пусть - соответствующий формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство

Учитывая начальные условия , , получаем,

, т.е., , .

Таким образом, задача сводится к вычислению

.

Следовательно, , где и - корни уравнения , а и находим из начальных условий. Вычисляя - получаем:

; .

В итоге,

,

Итак, решение рекуррентного соотношения (19) сводится к решению линейного уравнения в R.

Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:

, (20)

- заданные числа (начальные условия).

Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения называется уравнение

(21)

Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые корни , то решения рекуррентного соотношения (20) имеют вид

, (22)

где - постоянные коэффициенты. (Коэффициенты можно определить из начальных условий .)

Таким образом, если характеристическое уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) - сумма геометрических прогрессий со знаменателями .

□ Пусть

Итак, удовлетворяет линейному уравнению

, (23)

где - многочлен степени . Отсюда

,

где - корни характеристического уравнения, а - постоянные коэффициенты. Следовательно, .■

Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (20) имеет корни кратностей соответственно, то при решении линейного уравнения (23) нужно воспользоваться равенством

(при этом полагаем, что ).

Отсюда следует

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет корни кратностей соответственно, то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий и их производных до порядка.

Литература.

1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике, Алгебра и анализ, «Наука», Библиотечка «Квант», вып. 22, 1982г.

Крапивин Александр Александрович,

преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей №1500, к.ф-м.н.

Тел. (495)994-5848, 8(916)550-7075.