• Преподавателю
  • Математика
  • Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Красногвардейская школа №1»



Материал для подготовки к ЕГЭ

по теме:

«Применение производной.

Различные способы составления уравнения касательной к графику функции»



Составили учителя математики

Коваленко И.Н., Строган Л.А.





2015г.

Пояснительная записка

Задания на составление уравнения касательной к графику встречаются на вступительных экзаменах, на централизованном тестировании, в вариантах ЕГЭ. Данный материал содержит теорию и практические задания, поможет учащимся самостоятельно подготовиться по теме: «Применение производной».

Способы составления уравнения касательной

к графику функции

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точкеМатериал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.) равен производной функции в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Возьмем на касательной произвольную точку с координатамиМатериал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

И рассмотрим прямоугольный треугольник Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

В этом треугольнике Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Отсюда Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Или

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. и Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

а) Найдем значение функции в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

б) Найдем значение производной в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Сначала найдем производную функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Ответ: Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции., в которых касательная параллельна оси Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции., параллельных прямой Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Касательная параллельна прямой Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Приравняем производную к числу -1.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. или Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. или Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Найдем значение функции в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

б) Найдем уравнение касательной к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Найдем значение функции в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Ответ: Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

4. Написать уравнение касательной к кривой Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции., проходящей через точку Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Сначала проверим, не является ли точка Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в уравнение функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Пусть Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. - точка касания. Точка Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. принадлежит касательной к графику функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Значение функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. равно Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Найдем значение производной функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Сначала найдем производную функции Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Это сложная функция.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Производная в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. равна Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Подставим выражения для Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. и Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в уравнение касательной. Получим уравнение относительно Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Упростим числитель дроби и умножим обе части на Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. - это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Решим первое уравнение.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Решим квадратное уравнение, получим

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. или Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Второй корень не удовлетворяет условию Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции., следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции..

Напишем уравнение касательной к кривой Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в точке Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.. Для этого подставим значение Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. в уравнение Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции. - мы его уже записывали.

Получим:

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.

Ответ: Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.



© 2010-2022