- Преподавателю
- Математика
- Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц
Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Головенская Н.А. |
Дата | 19.10.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
МОУ «Новоуральская СОШ»
Муниципальная научно-практическая конференция НОУ «Поиск»
«Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц»
Секция: Математика, физика, информатика.
Выполнила: ученица 9а класса Каримжанова Гульнара Каирбаевна
Руководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики
п. Новоуральский,2010г.
Содержание:
-
Введение………………………………………………………….2
-
Основная часть
Тригонометрические функции……………………………….......3
-
Наши исследования
Задача……………………………………………………..4-7
-
Заключение……………………………………….………………7
-
Информационные ресурсы…………………………………….. 8
I. Введение
Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг,
математик, педагог.
Актуальность темы
Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.
Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.
Цель работы: найти способ вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Задача: вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Методы, используемые в работе:
1. Анализ литературы.
2. Метод моделирования.
3. Метод вычисления.
4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.
Гипотеза: любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц
Объект исследования: тригонометрические функции
Предмет исследования: тригонометрические функции sin 360 и cos 360
II. Основная часть
Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.[1]
Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon - «треугольник» и metreo - «измеряю») - один из важнейших классов функций.
В 8 классе мы определили тригонометрические функции и выучили их значения для стандартных углов. Но в материалах Википедии - свободной энциклопедии мы видим таблицу «Значения тригонометрических функций нестандартных углов».[2]
В ней sin 36°= ∙ , а cos 360 = ∙ . Мы решили найти значения этих величин.
III. Наши исследования
Пример. Вычислить sin 36° (без калькулятора и таблиц).
Задачу решали геометрическим способом.
-
Рассмотрим сектор BOA окружности с центром в точке O и радиуса 1, ∠BOA=72°. Тогда ∠OBA=∠OAB=54°.
Проведем хорду AB, на отрезке AK построим точку C так, чтобы BC=BA, при этом ∠BAC=∠ACB=54°, а ∠CBA=72°.
Пусть AB=x, тогда BC=x, x>0.
-
Рассмотрим и .
∠AOB=∠CBA=72° ⇒ по второму признаку подобия , а значит ⇒ ⇒ AC=, тогда CO=, KC=.
Так как ⇒ x, x.
Так как ⇒ -.
-
- прямоугольный (т.к. ∠В опирается на диаметр)
KB = =
-
∠KBC = ∠KBA - ∠CBA = 90° - 72° = 18°
∠CBO = ∠CBA - ∠OBC = 72°- 54°=18° ⇒ BC - биссектриса ⇒ справедлива пропорция ⇒
= (
= ∙(4 - )
4 - 4 + = (-2+1)∙(4-)
4 - 4 + = 4- 8+ 4-+2-
4 - 4 + - 4+ 8- 4+- 2+ = 0
- 5+ 5=0
(- 5+5)=0
=0 или - 5+ 5=0
=0 ⇒ x=0, не удовл. усл. x>0
- 5+5=0
Обозначим =t ⇒ -5t+5=0
= =
=; =
= ⇒ =
= не удовл. усл. -<x<
=- не удовл. усл. x>0
= ⇒ =
=- не удовл. усл. x>0
=
удовлетворяет всем условиям задачи ⇒ x=
-
- равнобедренный. OH - медиана, биссектриса, высота
- прямоугольный
∠HOA=36°, HA = , OA=1
sin 36° =⇒ sin 36°==x ⇒ sin 36° =∙
-
cos 36== ==∙
-
Найдем sin 72°.
sin 2=2∙sin∙cos
sin 72° = sin 2∙36° = 2∙sin 36°∙cos 36° = 2∙∙∙∙=∙ ==
cos 72° ======
-
Аналогично можно вычислить sin 144°, cos 144°, sin 288°, cos 288° и т.д.
Вывод : Поставленную задачу решили. Без калькулятора и таблиц нашли sin 36° = ∙ , а cos 360 = ∙ .
IV. Заключение
Наши исследования подтвердили, что любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц.
Существует много приемов вычисления арифметических действий. Знание приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
V. Информационные ресурсы.
-
Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.
-
Википедия - свободная энциклопедия.
3. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. - 2007. - №7
4. ru.wikipedia. orgi/…/ Тригонометрические функции