Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям Яков Трахтенберг, математик, педагог.                                                           Актуальность темы Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.   Сегодня, в век развития э...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

МОУ «Новоуральская СОШ»

Муниципальная научно-практическая конференция НОУ «Поиск»









«Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц»

Секция: Математика, физика, информатика.





Выполнила: ученица 9а класса Каримжанова Гульнара Каирбаевна

Руководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики

п. Новоуральский,2010г.

Содержание:



  1. Введение………………………………………………………….2

  2. Основная часть

Тригонометрические функции……………………………….......3

  1. Наши исследования

Задача……………………………………………………..4-7

  1. Заключение……………………………………….………………7

  2. Информационные ресурсы…………………………………….. 8









I. Введение

Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям

Яков Трахтенберг,

математик, педагог.

Актуальность темы

Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.

Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.

Цель работы: найти способ вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.

Задача: вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.

Методы, используемые в работе:

1. Анализ литературы.

2. Метод моделирования.

3. Метод вычисления.

4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.

Гипотеза: любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц

Объект исследования: тригонометрические функции

Предмет исследования: тригонометрические функции sin 360 и cos 360

II. Основная часть

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.[1]

Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon - «треугольник» и metreo - «измеряю») - один из важнейших классов функций.

В 8 классе мы определили тригонометрические функции и выучили их значения для стандартных углов. Но в материалах Википедии - свободной энциклопедии мы видим таблицу «Значения тригонометрических функций нестандартных углов».[2]

В ней sin 36°= Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц , а cos 360 = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц . Мы решили найти значения этих величин.

III. Наши исследования

Пример. Вычислить sin 36° (без калькулятора и таблиц).

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Задачу решали геометрическим способом.

  1. Рассмотрим сектор BOA окружности с центром в точке O и радиуса 1, ∠BOA=72°. Тогда ∠OBA=∠OAB=54°.

Проведем хорду AB, на отрезке AK построим точку C так, чтобы BC=BA, при этом ∠BAC=∠ACB=54°, а ∠CBA=72°.

Пусть AB=x, тогда BC=x, x>0.



  1. Рассмотрим Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц и Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц . Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

∠AOB=∠CBA=72° ⇒ по второму признаку подобия Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц , а значит Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц ⇒ AC=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц, тогда CO=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц, KC=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц.

Так как Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц ⇒ xВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц, xВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц.

Так как Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц ⇒ -Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц.



  1. Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- прямоугольный (т.к. ∠В опирается на диаметр)

KB = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц



  1. ∠KBC = ∠KBA - ∠CBA = 90° - 72° = 18°

∠CBO = ∠CBA - ∠OBC = 72°- 54°=18° ⇒ BC - биссектриса Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц ⇒ справедлива пропорция Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц= (Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц= Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц ∙(4 - Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц )

4 - 4Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц + Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц = (Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц-2Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+1)∙(4-Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц)

4 - 4Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц + Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц = 4Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 8Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+ 4-Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+2Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц-Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

4 - 4Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц + Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц - 4Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+ 8Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 4+Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 2Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц = 0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 5Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+ 5Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц(Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 5Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+5)=0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=0 или Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц - 5Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+ 5=0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=0 ⇒ x=0, не удовл. усл. x>0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- 5Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц+5=0

Обозначим Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =t ⇒ Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц -5t+5=0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц= Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц; Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц не удовл. усл. -Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц<x<Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=-Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц не удовл. усл. x>0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=-Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц не удовл. усл. x>0

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицудовлетворяет всем условиям задачи ⇒ x=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц



  1. Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц- равнобедренный. OH - медиана, биссектриса, высота

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц - прямоугольный

∠HOA=36°, HA = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц , OA=1

sin 36° =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц⇒ sin 36°=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицx ⇒ sin 36° =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц



  1. cos 36=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц= Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

  2. Найдем sin 72°.

sin 2Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=2∙sinВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц∙cosВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

sin 72° = sin 2∙36° = 2∙sin 36°∙cos 36° = 2∙Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

cos 72° =Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц=Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц



  1. Аналогично можно вычислить sin 144°, cos 144°, sin 288°, cos 288° и т.д.

Вывод : Поставленную задачу решили. Без калькулятора и таблиц нашли sin 36° = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц , а cos 360 = Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблицВычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц .

IV. Заключение

Наши исследования подтвердили, что любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц.

Существует много приемов вычисления арифметических действий. Знание приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.















V. Информационные ресурсы.



  1. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.

  2. Википедия - свободная энциклопедия.

3. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. - 2007. - №7

4. ru.wikipedia. orgi/…/ Тригонометрические функции





© 2010-2022