Учебно-исследовательская работа по математике Математика и музыка

МБОУ- Старокулаткинская средняя общеобразовательная школа № 1

р.п. Старая Кулатка Ульяновской области

Учебно-исследовательская работа

по теме: «Математика и музыка»

Выполнил:

Ученик 9 «А» класса

Вальшин Айдар

Руководители:

учитель математики

Умярова Р. А.,

учитель информатики

Вальшина Г. Р.

2015год

Оглавление.

1

Цель, актуальность проекта

2

2.

Восприятие математики и музыки

3

3.

Математическая чистота звука

5

4.

Ритмы

5

5.

Прогрессии

6

6.

Математический анализ гармонии в музыке

6

7.

Заключение

7

8.

Список литературы

8

1.Цель проекта.

1. Найти общее между математикой и музыкой.

2. Великие математики - музыканты.

3. Ритм и математика.

4. Порядок в музыке и в математике.

5. Математика помогает в музыке.

6. Социологический опрос:

а) верно ли, что те учащиеся, которые занимаются в музыкальной школе имеют лучшие оценки по математике ?

б) влияние музыки на математические способности.

Методы исследования: сбор и анализ информации, изучение литературы.

Актуальность выбора темы.

Я закончил класс баян музыкальной школы. С большим увлечением посещал музыкальную школу. Сейчас в свободное время от учебы занимаюсь самостоятельно дома и участвую в региональных и муниципальных музыкальных творческих концертах. Теория музыки (сольфеджио) - давалась мне очень нелегко. Но когда я стал понимать, и заниматься дополнительно, то я полюбил занятия музыки. В общеобразовательной школе предложили написать исследовательскую работу на тему «Математика и музыка». Я задумался и не знал о чем писать? В какой связи находятся эти, казалось бы, на первый взгляд несовместимые предметы? Как подойти к этой теме? И начал искать материал по данной теме. Показалось интересным найти эти связи, найти ответ. На память пришло когда-то услышанное изречение, что «Математика и музыка - сестры». Каким образом?

2. Восприятие математики и музыки

Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Отсюда появляется термин «высота звука». Как измерить эту высоту?

Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. И это понятно: ведь ритм - один из важнейших элементов музыки. На уроке сольфеджио мы обычно при изучении произведения «прохлопываем » ритм. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. И вот что у нас получится (см. пример). Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4. Проанализировав все произведения музыкальной хрестоматии 3класса, я убедился еще раз в том, что в основе их лежит ритм (3/4, 6/8, 9/8, 12/8, 2/2 и т.д.) В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота(), половинная(), одна четверная(), одна восьмая(), одна шестнадцатая(). Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты() на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

= + Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/10

= + + = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 и т.д.

И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1 = + + + = 4/8 + 1/8 + 8/8 = 13/8 =+ +

Если все длительности в музыкальном произведении увеличить вдвое, произведение надо исполнять медленнее и наоборот.

Значения слов «пропорция» и «пропорциональность» существенно отличаются. В пропорции могут находиться лишь две такие величины, которые можно выразить в общих единицах измерения (например, 30 картин и 2 картины; 2 см длины и 4 см длины и т.д.) Создавая вариации на одну и ту же тему (а вариаций существует 3 типа: мелодические, ритмические, гармонические), композитор может изменять мелодический рисунок, изменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Он может изменить сразу 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией все больше уходя от начальной темы. Тогда может измениться фактура, ритм, регистр, жанр.

В музыке параллели встречаются в нотах. Прежде всего, это 5 прямых, образующих нотный стан. Почему ноты располагают на параллельных прямых?

Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки. Параллельные линии не только в нотном стане, но даже и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: например, струны арф, органные трубы. Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» - «идти рядом».

Параллели находим не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно двумя голосами, т.е. в унисон (например, мужским и женским голосом). Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.

В математике существуют противоположности: отрицательное число - положительное число, больше - меньше, простое число - составное число и т.д.

И в музыке существует пара противоположностей: медленно - быстро. Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений. Существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение. Есть в музыке противоположность - высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам.

3. Математическая частота звука.

Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими. Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями Даламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа.

4. Ритмы.

Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется как равномерное чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать общим понятием в области науки и искусства.

Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических ритмов являются периодические дроби (кстати, слово «период» также знакомо музыкантам).

5. Прогрессия

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Геометрическая прогрессия - числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Как ни странно, обе эти прогрессии «живут» и в музыке.

Интересно, что принцип построения длительностей соответствует принципу построения геометрической прогрессии. И если записать длительности от «целой» (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим:

В математике такая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, как бесконечная геометрическая прогрессия, модуль знаменателя которой меньше единицы (в данном случае - ).

Понятие арифметической прогрессии. Связано с музыкальным понятием квинтовый круг. Квинтовый круг представляет собой логику создания любой тональности. (Для того, чтобы записать музыку в какой-либо тональности, необходимо знать ее тонику и знаки при ключе. Квинтовый круг реализует данные условия). Принцип его построения предельно прост: с увеличением тоники тональности на квинту количество знаков в тональности увеличивается на единицу (здесь мы встречаемся фактически с двумя арифметическими прогрессиями).

6. Математический анализ гармонии в музыке.

С древних времен, математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки - временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы, поэтому я рискнул бы назвать музыкантов самыми первыми программистами. Инженеры заставляли воспроизводить мелодии самые первые ЭВМ. Правда, музыканты не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в ней не было ничего, кроме мертвых звуков. Видимо поэтому следующим периодом в развитии музыкальных компьютерных технологий стали исследования и разработки методов синтеза звука. На первых ЭВМ создание музыкального произведения было очень утомительным процессом. Такая музыкальная практика не могла быть массовой... Но исследователям феномена музыки хотелось пойти дальше, чем применение машины в виде электронной музыкальной шкатулки. Так возникло другое, вполне естественное направление в музыкальном использовании ЭВМ - порождение, генерация самого нотного текста. Что же в этой истории связано с Россией? Оказывается очень многое, если вспомнить о работах Л.Термена, Е.Мурзина, А.Володина, создавших уникальные средства синтеза звука, не «после», а «до» западных коллег, Р.Зарипова, посвятившего свои исследования анализу и генерации нотных текстов, А.Тангяна, работавшего над проблемами распознавания и автонотировки. Причем, это лишь те исследователи, работы которых признаны за пределами России...

7. Заключение

Связь музыки и математики - тема довольно емкая. Мне еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества - математики и музыки. Однако материал, с которым я познакомился, убедил меня в том, что «математика и музыка - сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать. В этом и состоит величайшая сила музыки. Сегодня музыка «вплетена» и в информатику. На компьютерах можно создавать музыку, создавать дополнительные голоса к основной мелодии, заменять один аккомпанемент другим, использовать любые музыкальные инструменты, - словом, выполнять аранжировку. Никому так и не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Это можно объяснить только тем, что нам неизвестно, что в действительности происходит в голове композитора, создающего шедевр…Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.

8. Список литературы

« В тональности ми мажор», Азевич Алексей.

«Рациональность и аффект», Хельга де ля Мотт-Хабер.

«Язык, музыка, математика», Б. Варга. Ю Дюмень, Э. Лопариц.

« Элективные курсы». Издательство «Учитель», 2006 год, г. Волгоград, Л. Сагателова, В. Студенецка.

file://localhost/Математика%20. и %20 Музыка.html.

file://localhost/Математика%20. и %50 Музыка.html.

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков и др. Математика. Учебник для 6-9 классов средней школы. - М., Просвещение, 1993-2014, №926

2. Н. Васюткин. "Золотая пропорция".

3. Математический энциклопедический словарь. - М., 1988.

4.Журнал «Начальная школа»

5. Энциклопедический словарь юного математика. - М., 1985.

6. Н.Д. Изместьева, Н.Л. Терский.

7. yandex.ru

8. google.ru

(Материал из Викицитатника )

В.П. Ковалев "Математика в музыке". Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции математических основ жизнеустройства.

О.Н.Макеева Научно-исследовательская работа по теме: «Математическое представление музыки».

Интернет ресурс: ru.wikibooks.org/wiki .Интернет ресурс: Letopisi.ru Проект «Музыкальная математика»А. Устинов «Музыка и математика»