Содержание

Введение 3

Признаки делимости чисел 4

Признак делимости на 2 4

Признак делимости на 3 4

Признак делимости на 4 4

Признак делимости на 5 4

Признак делимости на 6 5

Признак делимости на 7 5

Признак делимости на 8 5

Признак делимости на 9 6

Признак делимости на 10 6

Признак делимости на 11 6

Признак делимости на 12 7

Признак делимости на 13 7

Признак делимости на 14 7

Признак делимости на 15 7

Признак делимости на 17 8

Признак делимости на 18 8

Признак делимости на 19 8

Признак делимости на 20 8

Курьёз делимости 10

Заключение 11

Литература 12

Введение

На уроках математики мы стали часто иметь дело с примерами, в которых необходимо выполнять сокращение, то есть возникает необходимость определять какие общие множители есть у данных чисел. В этом нам может помочь знание признаков делимости на некоторые числа. В школьном курсе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Этого недостаточно и мы решили расширить круг наших познаний по этому вопросу. Так и началась работа над этой темой.

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть число является чётным.

Пример: делится ли на 2 число 216514?

Так как его последняя цифра делится на 2, т.е. это число чётное, то оно делится на 2.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример: делится ли число 486573 на 3 ?

Так как 4+8+6+5+7+3=33, а 33 делится на 3, то и 486573 делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, которое делится на 4.

Пример. Делится ли на 4 число 283912?

Так как 12 делится на 4, то и число 283912 делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или 5.

Пример. Делятся ли на 5 числа 12839120 и 78635?

Так как число 12839120 оканчивается на 0,

а число 78635 оканчивается на 5, то эти числа делятся на 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 в том, и только в том случае, если оно делится и на 2, и на 3.

Пример. Делится ли на 6 число 283902?

Так как 283902 четное число и делится на 3 (сумма его цифр равна 24), то это число делится на 6.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда, и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на число 7 .

Пример 1: 364 делится на 7, так как 36-(2 × 4) = 28 делится на 7.

Пример 2: 1029 делится на 7, так как 102-(2 × 9) = 102-18=84 делится на 7.

Признак делимости на 8

Если число, которое составляет последние три цифры данного многозначного числа, делится на 8, то и все число делится на 8.

На 8 делится всякое четное трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

Пример. Делится ли на 8 число 11592?

Выясним сначала делимость на 8 числа 592:

59+1=60

Число 60 делится на 4, значит, число 11592 делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример: делится ли на 9 число 14877?

Так как сумма его цифр 1+4+8+7+7=27 делится на 9, то и число 14877 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Пример: делится ли на 10 число 7645300?

Так как это число оканчивается на ноль, то оно делится на 10.

Признак делимости на 11

Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Пример 1. Делится ли на 11 число 3528041?

3+2+0+1=6, 5+8+4=17, 17-6=11

Ответ: число 3528041 делится на 11.

Пример 2. Делится ли на 11 число 573287?

5+3+8=16, 7+2+7=16

Ответ: число 573287 делится на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Пример: делится ли число 936 на 12 ?

Так как число 936 делится на 3 и на 4 значит число 936 делится на 12.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13

Пример: Делится ли на 13 число 845?

845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример: Делится ли на 14 число 448?

Число 448 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7 (четное и 44-(2 × 8)=44-16=28- делится на 7)

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример: делится ли на 15 число 18325?

Так как число 18325 делится на 3 и на 5, то оно делится на 15.

Признак делимости на 17

1. Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

Пример: делится ли число 442 на 17?

442→44+2 × 12=68. Поскольку 68 делится на 17, то и 442 делится на 17.

2. Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17

Пример: делится ли число 697 на 17?

697→69-7 × 5=69-35=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 697 делится на 17

Признак делимости на 18

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 2.

Пример: делится ли на 18 число 1386 ?

Так как число 1386 делится на 2 и на 9, то оно делится 18.

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19

Пример: делится ли на 19 число 646 ?

646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Примеры: на 20 делится число 3240 и число 111160.

Курьёз делимости

2438195760 3785942160

4753869120 4876391520

Эти четыре десятизначных числа содержат все цифры от 0 до 9 и каждое из этих чисел делится на 2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Заключение

Информацию по данной теме мы искали в литературе и интернет источниках. Все найденное поможет нам при решении примеров, сделает нашу работу легче и быстрее. И на математике мы поделились найденной информацией со своими одноклассниками.

Выполняя эту работу, мы хотели найти признаки делимости чисел до 20. Нам удалось найти все эти признаки делимости кроме делимости на число 16. Вернее, этот признак тоже был найден, но не как признак делимости на 16, а как признак делимости на число2 в некоторой степени. Зная, что мы могли бы использовать этот признак, но он для многозначных чисел ( 4 и более разрядов), а это нам не подходит, поэтому в нашей работе этот признак отсутствует.

Литература

1. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.-М., Издательский дом ОНИКС, 2000.

2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., Издательство технико-теоретической литературы, 1955.

3. intelmath.narod.ru/article_minmds.html

4. math.com.ua/articles/criterion_of_divisibility.html