Методическая разработка элективного курса

«Средние величины и соотношения между ними»

Методическая разработка

элективного курса для 9 класса

Рагина Нина Ивановна-учитель

математики МБОУ СОШ №2

План:

1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

2.Определение средних величин

3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами

4. Геометрическая интерпретация связи средних величин

5.Применение средних величин при решении некоторых

геометрических и алгебраических задач

6.Средние величины, используемые в математической статистике и

экономике

1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

Понятие средней величины знакомо каждому из нас, так как они имеют большое значение в повседневной жизни. С помощью среднего можно, например, определить:

а) среднее потребление витаминов в течение года;

б) средний возраст учителей в школе;

в) средний процент качества знаний и т.д.

В экономике средние - это важнейшие показатели товарооборота, запасов, цен, прибыли, рентабельности и других показателей работы отраслей народного хозяйства.

Почему средние так прочно вошли в нашу жизнь? Потому что ,средняя - это один из приемов обобщений. Важность средних величин для науки и экономики отмечалась в работах многих ученых. Весьма широко применял средние и относительные величины английский ученый Кинг (1648-1712) при анализе данных населения Англии (средний доход на семью, средний подушевой доход и др.) Не обошлось и без курьезов. Так английский ученый Петти (1623-1673) предлагал использовать в качестве меры стоимости - затраты на среднее дневное пропитание одного взрослого работника. И его не смущала абстрактность средней, то, что данные конкретного человека могут с ней не совпадать. В качестве еще одного яркого примера приведу рассказ Г. Успенского «Живые цифры». Там средний доход определялся сложением 1 млн. рублей миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной и получалось, что он составлял 0,5 млн. рублей. Есть еще теория среднего человека» - это идеал человека, но в природе такого человека не существует.

Хотя средние - это обобщающие показатели, но они не всегда типичны и верны. Таким образом, средняя величина может быть как почти объективна, так и фиктивна, если она не рассчитана по однородной совокупности и теряет всякий смысл.

Школьникам средние знакомы как числовые величины. О них было известно еще более 2000 лет назад. Именно тогда стало известно неравенство, содержащееся в десятой книге «Начал» Евклида и гласящее: Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Доказательство основывалось на фундаментальном неравенстве, которое выражает неотрицательность квадрата любого числа

(l-m)²≥0( если(l-m)²=0 , то l=m);

l²+m²≥2lm, ≥lm; l²=a, m²=b, значит, ≥

Обобщив для 3,4,…,п неотрицательных чисел Огюстен Луи Коши в 1821 году доказал, что ;

Классическое доказательство основано на методе математической индукции

2.Определение средних величин

Общее определение средней величины:

Средней величиной действительных чисел называют число х, удовлетворяющее условию m < x < M, где

m- наименьшее среди этих чисел,

M - наибольшее.

Средняя одна, если эти числа равны.

Наиболее знакомы в школьной математике следующие средние величины:

Среднее- арифметическое:

Средним арифметическим действительных чисел а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называется действительное число А=А(а₁ ,а₂,…а_п)=

Пример:

Среднее геометрическое:

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел

а₁ ,а₂,…а_п ; (п2)называют действительное неотрицательное число

G = G(а₁ ,а₂,…а_п)= ;

Если a₁=a₂=…=a_n ,то G=a

Пример: ;

Для двух положительных чисел равенство двух отношений a:d=c:b, называют геометрической пропорцией, а числа с и d - средними членами пропорции.

Если с = d = х, то а : х = х : в; х²=ав; х = √ав - среднее геометрическое (или среднее пропорциональное) положительных чисел а и в.

Если а = в, то х = а.

С помощью G(а; в), где а›0, в›0 можно определить:

а) длину высоты прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу;

б) по заданному отрезку строить отрезки длины √а и др.

Между средним арифметическим и средним геометрическим есть замечательное соотношение - неравенство Коши, о котором упоминалось выше. Однако, наиболее знакомо неравенство Коши для п=2 (реже п=3).

В школьном курсе математики среднее арифметическое и среднее геометрическое встречаются довольно часто, например:

а) каждый член (кроме первого и последнего) арифметической прогрессии является средним арифметическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

б) каждый член (кроме первого и последнего) геометрической прогрессии является средним геометрическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

в) свойство средней линии трапеции;

г) свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу из вершины прямого угла.

Учителю на уроке желательно проиллюстрировать примеры и заодно повторить теорию.

Гораздо меньше известны в школьном курсе математики такие средние как среднее гармоническое и среднее квадратическое (квадратичное).

Средним гармоническим действительных положительных чисел

а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называют число Н = Н(а₁ ,а₂,…а_п) = ;

Пример:;

Средним квадратичным действительных чисел а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называют число Q = Q(а₁ ,а₂,…а_п) = .

Пример: Q = ;

Эти 2 средние присутствуют в школьном курсе как бы анонимно и даже, когда мы в задачах их явно используем, то чаще всего не называем. Однако, в учебнике алгебры за 8 класс под редакцией М.И Башмакова эти средние рассматриваются достаточно подробно на физических и геометрических задачах (беседа «Продолжим изучение средних величин» стр. 116-117)

Примеры:

1) Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если он из пункта А

до пункта В шел со скоростью V₁ км/ч, а обратно со скоростью V₂ км/ч.

Решение:

Пусть S - расстояние между А и В. V_cр= ;

Т.е. V_ср = Н- среднее гармоническое.

2) Определить общее сопротивление R параллельно соединенных проводников, если их сопротивления R₁ и R_2.

Решение:

; ;

Желательно дать учащимся два вида записи среднего гармонического, в частности при п=2:

;

3) Построить по заданным отрезкам а и в отрезок длины ;

4) Доказать, что в последовательности 1,1/2,1/3, …,1/п, (п3) каждый член, кроме первого и последнего является средним гармоническим соседних с ним членов.

Решение: рассмотрим последовательность (а_п), где а₁=1, а₂=1/2, …,а_п=1/п, надо показать, что а_к= Н(а_к-1;а_к+1)= 1/к .

Н(1/к-1;1/к+1) = .

Последовательность 1,1/2,1/3, …,1/п, (п3) - пример гармонической последовательности ( каждый член, кроме первого и последнего - среднее гармоническое равноотстоящих от него членов).

3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами

В каком же соотношении находятся все средние величины?

Сравнивая результаты примеров, получаем:

А (3,4,9,12) = 7

G (3,4,9,12) = 6

Н (3,4,9,12) =

Q (3,4,9,12) = 2,5

На основании числовых примеров выдвигаем гипотезу, что Н G A Q

Желательно, чтобы учащиеся сами сформулировали теорему для любых

положительных чисел а и в:

Теорема 1:

Для любых положительных чисел а и в справедливы следующие соотношения:

min {а,в} Н(а.в) G(а,в) А(а,в) Q(а,в) max(а,в),

где max(а,в) - наибольшее из чисел а и в,

min {а,в}- наименьшее из чисел а и в.

Доказательство:

1. Обоснование крайних соотношений достигается методом оценок заменить оба числа а и в соответственно на меньшее, точнее, на не большее) и на большее ( на не меньшее) в выражениях для среднего гармонического и среднего квадратического, а соотношение G(а,в) А(а,в) уже было доказано.

2. Докажем, что Н(а.в) G(а,в), т.е что ;

Для чисел применим неравенство Коши:

; по свойству числовых неравенств а ›0, в ›0 и а ≥ в, то

1/а 1/в, значит, .

3. Докажем, что А(а,в) Q(а,в), т.е .

Перейдя к равносильному неравенству (а + в)² 2(а²+ в²) и используя частный случай неравенства Коши - Буняковского:

(1а+1в) ² ((а²+в²)(1²+1²), значит, .

Теперь можно предложить ученикам сформулировать теорему для п положительных чисел:

Теорема 2: Для любого числа положительных чисел а₁ ,а₂,…а_п ; (п2)веры следующие соотношения:

min { а₁ ,а₂,…а_п ; } Н(а₁ ,а₂,…а_п ; ) G(а₁ ,а₂,…а_п ;) А(а₁ ,а₂,…а_п ;) Q(а₁ ,а₂,…а_п ;) max {а₁ ,а₂,…а_п ; }

Доказательство аналогично случаю для двух чисел .

Применение теоремы можно рассмотреть на примерах.

1.Докажите, что для любых положительных чисел а, в, с справедливо неравенство:

Доказательство:

Используя теорему 2: Н А

Имеем: ; отсюда .

2.Доказать, что для любых положительных а и в , а≠в и nєN справедливо:

;

Доказательство:

;

3. Доказать, что последовательности (1+1/п)^п и (1-1/п)^п- возрастающие, а последовательность (1+1/п)^п+1- убывающая.

Доказательство:

а) пусть а=1, в=1+1/п, тогда ( доказано выше),

, т.е (1+1/п)^п < (1+1/(п+1))^п+1, значит, последовательность (1+1/п)^п возрастает (по определению);

б) аналогично доказывается, что последовательность(1-1/п)^п-возрастающая,

(можно предложить учащимся доказать самостоятельно);

в) .

Последовательность а_п=возрастает, значит, последовательность 1/а_п - убывает.

4. Геометрическая интерпретация связи средних величин

Геометрическая интерпретация неравенств, связывающих средние величины, очень важна. Достаточно показать ее для двух положительных чисел на примере трапеции.

Рассмотрим произвольную трапецию MNPK с основаниями а и в.

Проведем прямые, параллельные

основаниям трапеции так, что

1) Прямая НН ₁ проходит через точку

пересечения диагоналей трапеции,

2) Прямая GG₁ делит трапецию на две подобных трапеции,

3) Прямая АА₁ проходит через середины боковых сторон трапеции,

4) Прямая НН ₁ делит трапецию на две равновеликие трапеции.

1)

a) Пусть НН ₁=х.

Треугольники MNK и HNO подобны (ученики самостоятельно доказывают)

MK:HO = NK:NO = b : HO ;

(NO+OK):NO =1+(из подобия треугольниковNOP и KOM)

Отсюда: MK:HO = ( a+ b) : a; HO=;

б) Треугольники OH₁K и NPK подобны,

значит, HP: OH₁=(NO+OK):OK,

NP: OH₁= ON:OK +1; т.е a: OH₁= ;

в) OH+OH₁ = = H(a; b) НН ₁ = H(a; b)

2) Пусть GG₁= х

Из подобия трапеций GNPG_! и MG G_!K:

а : x = x : b; отсюда, х = GG_{1 =} G(a; b)

3) АА₁ - средняя линия трапеции по определению, АА₁=, АА₁=А(a;b)

4) Пусть QQ₁= х, по условию:

(1) , с другой стороны,

(2). Имеем: ;

b²-x²=x²-a², х²=; т.е QQ₁=Q(a; b)

Таким образом, мы доказали, что в трапеции есть все вышеупомянутые средние. Осталось доказать что,

.

Можно привести такое доказательство:

a) NH:HM = a: b, a <b; ;

NG:GM=a: GG₁= ; 1› › , т.к <1, значит, НН ₁ GG₁,

б) GG₁<АА_1, т.к АА₁=1 , т.о НН ₁ GG₁ АА₁,

в) NQ:QM= h₁:h₂=, т.о

НН ₁ GG₁ АА₁ QQ₁, т.е . (ч. т. д )

Равенство будет, когда а = b, тогда фигура- параллелограмм и доказательство неинтересно, но можно задать ученикам вопрос: какая фигура будет в случае равенства а и b.

Вторая интерпретация теоремы 1 связана с прямоугольным треугольником. Целесообразно привести и ее, с целью повторить геометрию и показать красоту математических заключений.

1. Возьмем полуокружность с центром в точке О и диаметром ВС.

2. Проведем О Д ВС.

3. На продолжении ВС возьмем точку А произвольно и проведем АЕ - касательную к окружности.

4. Проведем ЕF BC/

5. Пусть АВ=а₁, АС=а₂, (а₁ а₂), тогда АО = (ВС= а₁ - а₂,

ОС = ½( а₁ -а₂), ОА = а₂-½( а₁ -а₂) =

6. Из треугольника ОЕА: АЕ =

7. Из треугольника ОДА: АД =

8. AF=AE²/OA, AF=.

Таким образом, АЕ - среднее геометрическое полож. чисел а₁ и а₂

АО - Среднее- арифметическое полож. чисел а₁ и а₂

АД - Среднее квадратичное полож. чисел а₁ и а₂

АF - среднее гармоническое полож. чисел а₁ и а₂

Предложить учащимся самим доказать (исходя из чертежа), что

AF<AE<OA<AD, а равенство при ?.

Замечание: Средним геометрическим двух положительных чисел является также среднее геометрическое между их средним арифметическим и средним гармоническим. (Предложить сам-но в этом убедиться).

5.Применение средних величин при решении некоторых

геометрических и алгебраических задач

Есть много интересных геометрических интерпретаций частных случаев теоремы 1.

Пример 1.

a²/2 +b²/2 ≥ ab ( и далее )

Пример 2.

Можно предложить задачи:

1) Окружности диаметров а и в касаются внешним образом. Доказать, что отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками касания, равен среднему геометрическому их диаметров.

2. Окружности диаметров а и в не имеют общих точек, а отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками, равен среднему арифметическому диаметров. Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно среднему гармоническому диаметров.

3). Подумайте, как с помощью рисунка к задаче 1 доказать, что

Н(а; в) G(а; в)

( найти расстояние от точки касания окружностей до внешней касательной, а треугольник с вершинами в трех точках касания - прямоугольный).

Пример3. Неравенство Коши и объемы.

Ниже пример доказательства неравенства Коши применительно для трех положительных чисел, которое приведено в журнале « Квант», кроме этого еще некоторые задачи и упражнения, опубликованные в 1975-2000г в этом же журнале.

Применение средних величин при решении уравнений, неравенств и других задач.

1) Решить уравнение:

.

Решение:

Применим неравенство Коши к левой части уравнения:

(1)

Сложив (1) и (2): ;

Таким образом, х²-х+2х+1; (х-1)²0; х=1 Ответ: х=1.

2) Решить уравнение:

;о.о.у:

Решение:

Подстановка:

Уравнение принимает вид: ;

Применим н. Коши: ; значит, слагаемые равны (т.к неравенство обратилось в равенство)

; у≥0; у+3›0

3-у=; 4(3-у)²=1/4; 3-у=1/2; 1) у=5/22, , х =/2

2) у=7/2, х²=-13/4- корней нет.

Ответ: х =/2

3) Решить уравнение:

2х⁴+2у⁴ = 4ху - 1. (*)

Решение:

Применяя н. Коши: 2х⁴+2у⁴≥2, 2х⁴+2у⁴≥4х²у², (2ху-1)²0,

xy =1/2, у =1/2х.

Подставляя в уравнение (*) и решив его, получим:

4) Решить уравнение:

х²+6х+11.

Решение:

Применяя н. Коши: ,

,

Сложим обе части неравенств и получим, что 2.

а х²+6х+11=(х-3)²+2 ≥2 ,

Значит, уравнение имеет решение только тогда, когда его левая и правая части равны 2. Легко заметить, что х=3.

5) Доказать, что log₁₇19>log₁₉20.

Доказательство:

Докажем, что log₁₉20·log₁₉17<1.

По н. Коши log₁₉20·log₁₉17

Т.е log₁₇19>log₁₉20.

6) Решить неравенство: ((sin² ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log₂(3^x+3^-x) 1.

Решение:

Перепишем неравенство: (sin(x + y)+1)²+1≥1, 3^x+3^-x ≥ 2 (н. Коши), значит,

log₂(3^x+3^-x) ≥1.

Таким образом, неравенство имеет решение только в случае равенства:

((sin² ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log₂ (3^x+3^-x) = 1, значит,

.sin(x + y)=-1, а 3^х = 1.

Ответ:(0; -П/2+Пк; к є Z).

7) При каких х функция f(x)=(1+2х)⁴(1-2х)достигает

на отрезке[0; 1/2]наибольшего значения?

Решение:

f(x)=¼·(1+2х) (1+2х) (1+2х) (1+2х)(4-8х),

Найдем среднее арифметическое :

((1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (4-8х))=,

f(x) , значит,

f(x) достигает своего наибольшего значения, когда(1+2х)= (4-8х), х = 0,3

8) Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=.

Решение:

Записать =и применить н. Коши для знаменателя этой дроби.

Ответ: наименьшее значение f(x) равно 0

наибольшее значение (x )равно ½.

Предложить ученикам решить самостоятельно или на усмотрение учителя такие задачи:

а)Найти наименьшее значение f(x)=; где х - положительное число;

б) Найти наибольшее значение f(x)=на отрезке [-2;2].

9)Доказать, что если А+В+С= π, то ( sin)^-1 + ( sin)^-1 + (sin)^-1 1

При доказательстве воспользоваться неравенством Коши для левой части, а произведение sin sin sinпреобразовать и записать как

и т. д.

Аналогичные задания можно дать домой, например:

а) если А+В+С= π, то 8cosA cosB cosC1;

б) если А+В+С= π, то tg²A+ tg²B+ tg²C ≥ 9.

Очень хороша задача прикладного характера про дешевый ящик:

2 стенки ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и объем 1м³, изготавливаются из одного материала , 4 другие из материала, который в 8 раз дешевле.

При каких размерах x, y, z ящика стоимость материалов, нужных для его изготовления, минимальна ?

Решение:

1) по условию xyz = 1;

2) пусть стоимость второго материала р рублей;

3) возможны случаи: а) стенки смежные,

б) стенки не смежные.

а) пусть стенки смежные

и стоимость 1м³ второго материала - Р рублей, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

S₁ = 8p( xy + yz) + p( xy + yz + 2xz) = pxyz (9/z + 9/x +2/y) = p ((9/z + 9/x 2/y).

б) пусть стенки не смежные, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

S₂ = 8p2xy + p( 2xz + 2yz)=2pxyz( 8/z + 1/y + 1/x) = 2p( 8/z + 1/y + 1/x).

Применим н. Коши:

(9/z + 9/x +2/y) ≥ 3, S₁ ≥ 9 p ;

( 8/z + 1/y + 1/x) ≥ 3= 6, S₂ ≥ 12p,

Но 9 p ≥ 12p, значит, стоимость S₂ будет минимальна тогда и только тогда, когда будет минимальна сумма ( 8/z + 1/y + 1/x), а это будет, когда в неравенстве Коши будет равенство, т. е:

8/z = 1/y = 1/x, учитывая, что xyz=1, получаем: x=0,5; y=0,5; z=4.

Ответ: стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика минимальна, если его стенки имеют форму квадрата со стороной 0,5м, а расстояние между ними равно 4м.

На усмотрение учителя число примеров на применение средних величин(в основном, неравенства Коши) можно увеличить или уменьшить.

В математике существуют и другие средние величины, например, среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

Есть способ введения понятия средней величины с помощью так называемого предельного перехода. Его суть - определить среднюю величину нового вида как предел последовательности, члены которой формируются с помощью уже введенных и изученных средних величин.

Пусть а>в, а>0, в>0, тогда образуем две последовательности:

которые обладают следующими свойствами:

А) (а_п)- убывающая и ограниченная снизу,

Б) (в_п)-возрастающая и ограничена сверху

В) обе последовательности сходятся к конечным пределам и они совпадают.

Определение:

Общий предел последовательностей (а_п) и (в_п) называют средним арифметико-геометрическим чисел а и в.

Если повторить такое построение, но среднее геометрическое заменить на среднее гармоническое, то получим (а_п ) и (в_п), обладающие свойствами А-В, но общий предел равен , то это арифметико-гармоническое.

Есть еще симметрические средние величины, но их определение достаточно сложно для учеников и учитель должен сам решить давать в конкретном классе эти величины подробно или нет.

6.Средние величины, используемые в математической статистике и экономике

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения, которые получают, применяя средние величины.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется в статистике общей средней. Средние, вычисленные для каждой группы, называются групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, а групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось по регионам. Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону - это групповые средние, а соответственно исчисленной по всей территории СССР - это общая средняя. Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления.

Существуют две категории средних величин:

1. Степенные средние.

К ним относятся:

Средняя арифметическая

Средняя гармоническая

Средняя геометрическая

2. Структурные средние:

Мода

Медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от целей исследования, экономической сущности усредняемого характера имеющихся исходных данных.

Если учитель захочет дать более подробно материал по этой теме, то

источников достаточно.

25