Методические указания по выполнению практических работ

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПО ПРОФЕССИИЯМ: 262019.01 «Художник по костюму»

262019.02«Закройщик»

031601.01«Агент рекламный»

0801110.02«Контролер сберегательного банка»

Екатеринбург, 2014 год

Аннотация

Методические указания по выполнению практических работ составлены согласно учебной программе курса «МАТЕМАТИКА»

Методические указания содержат перечень контрольных работ, тестов для текущего контроля, а также инструкции по их выполнению, критерии их оценивания.

Выполнение практических работ позволит студентам не только закрепить теоретические знания, полученные на аудиторных лекционных занятиях, но и приобрести необходимые практические навыки, предусмотренные учебной программой.

Содержание

1. Введение

2. Перечень практических работ

3. Практические работы №№ 1 - 17

4. Использованная литература

ВВЕДЕНИЕ

Представленные методические указания полностью соответствуют учебной программе курса «МАТЕМАТИКА». Методические указания содержат разнообразные по содержанию и сложности задания, которые позволят студентам приобрести необходимые практические навыки по освоению курса «МАТЕМАТИКА» и подготовке к промежуточной аттестации.

Каждая контрольная работа рассчитана на 1,5 академических часа работы студента. Время, предлагаемое на выполнение тестовых заданий, зависит от объема и сложности заданий темы. Выполнение большинства тестовых заданий предусматривает выполнение полных расчетов, а не только выбор ответа. Работы и методические рекомендации представлены каждому студенту в печатном варианте.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

№п.п

Наименование темы

Номер

страницы

1.

Повторение курса алгебры 9- летней школы

1-5

2.

Показательная функция

6-11

3.

Тригонометрические формулы

12-15

4.

Тригонометрические уравнения

16-22

5.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

23-30

6.

Перпендикулярность в пространстве

31-37

7.

Тригонометрические функции

38-41

8.

Многогранники

42-45

9.

Логарифмическая функция

46-49

10.

Степенная функция

50-53

11.

Тела вращения

54-57

12.

Производная

58-62

13.

Применение производной к исследованию функций

63-69

14.

Интеграл и его применение

70-74

15.

16.

17.

Объемы тел

Векторы и координаты в пространстве

Элементы комбинаторики

75-77

78-81

82-85

Контрольная работа № 1

ТЕМА: Повторение курса алгебры 9- летней школы

Цель -демонстрация обучающимися знания основ курса алгебры 9 - летней школы, умений их применять при выполнении практических заданий, являющиеся подтверждением наличия у студентов базы для формирования компетенций будущего специалиста

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, линейки, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте задания по возрастанию сложности.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. Указывайте ответы, полученные при решении заданий.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий.

6. После выполнения работы, приступите к проверке правильности ее выполнения.

Критерии оценивания работы

Принципы оценивания:

1. Знает основных теоретических понятий и формул курса алгебры 9-летней школы, используемых при выполнении заданий.

2. Умеет выполнять арифметические действия, применяет свойства степени, преобразовывает алгебраические выражения, раскрывает пропорции, вычисляет проценты, решает линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы.

3. Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания

Количество баллов

оценка

12,5 баллов и более

« 5 »

8,5 - 12 баллов

« 4 »

6 - 8 баллов

« 3 »

Менее 6 баллов

« 2 »

-1-

ВАРИАНТ 1

1.вычислить: А) (1 2,1 - 4 ) : 1 - 1 балл

Б) - - + 1 балл

2. упростить выражение:

А) 4(7р -2) -5(-2р + 5) + 3(4р - 1) 0,5 балла

Б) (4 -3а + 5) (7а - 2) 1 балл

3. решить уравнение:

А) 2х - 9 = 0 0,5 балла Б) + 8х = 0 1 балл

В) 81 - 16 = 0 1 балл Г) (х - 4) + 4х + 2 = 0 1,5 балла

Д) + = 2,5 балла

4. решить неравенство:

А) 10х + 4 > 0 0,5 балла Б) + х - 4 0 1,5 балла

5. решить систему:

А) 3х - 2у = -8 1,5 балла Б) 3 - 4х > 5 1 балл

х + 3у = 1 6 + 9х 7

6.Упростить выражение:

+ : 2 балла

7. Построить график функции:

А) у = -6х + 2 1 балл

Б) у = + 2х - 3 1,5 балла

8. Билет на автобус стоит 220 рублей. Льготный билет для студентов на

15% дешевле. Сколько льготных билетов можно купить на 1400

рублей? 2,5 балла

-2-

ВАРИАНТ 2

1.вычислить: А) ( 2,5 - ) + 1,25 1 балл

Б) - - + 1 балл

2. упростить выражение:

А) -6(-5в +2) -9(-в + 3) + 2(7в - 4) 0,5 балла

Б) (6 -3у + 1) (2у - 3) 1 балл

3. решить уравнение:

А) 5х - 8 = 0 0,5 балла Б) - 10х = 0 1 балл

В) 4 - 9 = 0 1 балл Г) (х - 1) - х + 1 = 0 1,5 балла

Д) + = 2,5 балла

4. решить неравенство:

А) -2х + 7 0 0,5 балла Б) -2 х + 8 0 1,5 балла

5. решить систему:

А) -3х + у = -5 1,5 балла Б) 2 - 3х > 1 1 балл

5х + 2у = 23 3 + 2х < 2

1. Упростить выражение:

- 2 балла

2. Построить график функции:

А) у = 2х - 5 1 балл

Б) у = + 4х - 5 1,5 балла

8. Книга стоила 350 рублей. После уценки цена понизилась

на 12%. Сколько теперь таких книг можно купить на 2300

рублей? 2,5 балла

-3-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ

Вариант 1

1. А)

2. Б) -27

3. 2. А) 50р - 36

4. Б) 28 - 29

3. А) х = 4,5

Б) х = 0; х = -8

В) =

Г) = 1; = -2

Д) = 1; = -0,75

4. А) х > -

Б)

5. А) (-2; 1)

Б) х < - 0,5

6.

7. А) у у = -6х + 2 8. По 187 руб. - 7 книг

2

1

-4

Б) у = + 2х - 3

Координаты вершины: (-1; -5)

Пересечение параболы с осью ОХ: х = -3, х =1

У

-3 -1

-5 -4-

Вариант 2

1. А) -8,75

Б) -143

2. А) 53в - 47

Б) 12 - 24 + 11у -3

3. А) х = 1

Б) х = 0, х = 5

В) х =

Г) = 1; = -2

Д) ) = 2; = -4

4. А) х > 3,5

Б) х

5. А) (3;4)

Б) х < -0,5

6. 

7. А) у = 2х - 5 8. По 308 руб. - 7 шт.

у

1 2 х

-1

-3

Б) у = + 4х - 5

Координаты вершины: (-2;-9)

Пересечение параболы с осью ОХ: х= 1, х = -5

у

-5 -2 1 х

-9 -5-

Контрольная работа № 2

ТЕМА: Показательная функция

Цель - проверка знаний обучающимися понятий и свойств степени с целым, рациональным и действительным показателем; свойств и видов графика показательной функции; методов решения показательных уравнений и неравенств; умений их применять при выполнении практических заданий разного уровня сложности

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, линейки, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте задания по возрастанию сложности.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. Указывайте ответы, полученные при решении заданий.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий.

6. При решении показательных уравнений и неравенств предварительно определите методы их решения.

7. При выполнении заданий используйте справочные таблицы.

8. После выполнения работы, приступите к проверке правильности ее выполнения.

Принципы оценивания работы:

1. Знает основные теоретические понятия темы и методы решения показательных уравнений и неравенств, используемых при выполнении заданий.

2. Умеет применять свойства степени, преобразовывать степенные выражения, решать показательные уравнения, неравенства.

3. Умеет использовать свойства показательной функции при решении упражнений, строить графики показательной функции и выполнять их преобразования.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

-6-

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности:

№ задания

Количество баллов

1

0,5

2 а

0,5

б

1

в

1

г

1

3 а

0,5

б

1,5

в

1,5

4

2

5

3,5

6

4

Итого:

17 баллов

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

Количество баллов

оценка

10 баллов и более

« 5 »

5 - 9,5 баллов

« 4 »

3 - 4,5 баллов

« 3 »

Менее 3 баллов

« 2 »

-7-

Контрольная работа по теме: «Показательная функция»

Вариант 1 Вариант 2

1. Найти область определения функции:

у = у =

2. Решить уравнения:

А) = 81 А)

Б) - 6 = 80 Б)

В) + 9 = 0 В) + = 324

Г) = Г) =

3. Решить неравенство:

А) А)

Б) Б)

В) > 5 В) +

4. Построить график функции:

у = у = + 1

5. Решить неравенство:

(х - 6) ( - 64) > 0 ( - 125) ( - 81) < 0

6. Решить уравнение:

+ -24 = 0 + 5 - 2 = 0

-8-

Вариант 3 Вариант 4

1. Найти область определения функции:

у = у =

2.Решить уравнения:

А) = А)

Б) - = 110 Б)

В) - 3 = 0 В) - 5 = 108

Г) = Г) =

3. Решить неравенство:

А) А)

Б) Б)

В) В) -

4.Построить график функции:

у = - 1 у =

5.Решить неравенство:

(х + 5) ( - 64) > 0 ( - 36) ( - 1) < 0

6.Решить уравнение:

+ - 32 = 0 - = 4

-9-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. х

2. А) х = -0, 5 Б) х = 3 В) х = 0, х = 2 Г) х = 3

3. А) х Б) х

4. у = график получен сдвигом у = у = вдоль оси ОХ вправо на 2 у

4

1 х

5. х < 6, х > 8

Вариант 2

1. х ) ; +

2. А) х = -3,5 Б) х = 1 В) х = 2,5 Г) х = -4

3. А) х > Б ) х В) х

4. у = + 1

График получен сдвигом у = вдоль оси ОУ на 1 единицу вверх

У

5.х

2 6.х = -1

х

-10-

Вариант 4

1. х

2. А) х = - 8

Б) х = 0. Х = 1

В) х = 3

Г) х = 4

3. А) х < 3

Б) х

В) х

4. у = график получен сдвигом у = вдоль оси ОХ на 1 влево

У 16

4

1

-2

-1 1 х

5. х

6. х = 0

Вариант 3

1. х

2. А) х = 6

Б) х =

В) х = 0,5

Г) х = - 5

3. А) х < - 6

Б) х

В) х

4. у = график получен сдвигом у = вдоль оси ОУ на 1 вниз

У

5. х < - 5, х > 12

6. х = 2

5

1

-2 -1 1 х

-11-

Контрольная работа № 3

ТЕМА: Тригонометрические формулы

Цель - проверка знаний обучающимися понятий косинуса, синуса, тангенса, котангенса числа; их свойств и формул тригонометрии; умений их применять при выполнении практических заданий разного уровня сложности

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте задания по возрастанию сложности.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. Указывайте ответы, полученные при решении заданий.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий.

6. При доказательстве тригонометрических тождеств, предварительно проведите анализ и отбор использованных приемов и формул.

7. При выполнении заданий используйте справочные таблицы.

8. После выполнения работы, приступите к проверке правильности ее решения.

Принципы оценивания работы:

1.Знает основные теоретические понятия темы, основные тригонометрические формулы, алгоритм доказательства тригонометрического тождества.

2. Умеет применять понятия и формулы при вычислении значений косинусов, синусов, тангенсов, котангенсов углов.

3.Умеет анализировать и осуществлять отбор формул и приемов решения при доказательстве тождеств тригонометрии.

4.Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу

9 баллов и более

« 5 »

6 - 8,5 баллов

« 4 »

4,5- 5,5 баллов

« 3 »

Менее 4,5 баллов

« 2 »

-12-

Контрольная работа по теме: «Тригонометрические формулы»

ВАРИАНТ 1

1. Перевести из радиан в градусы и наоборот:

А) 0.5 баллов

Б) 320 0.5 баллов

2. Вычислить cos x, tg x, ctg x , если sin x = - и 1 балл

3. Вычислить: А) sin (-1110 0,5 баллов

Б) ctg 0,5 баллов

В) 1 балл

4. Упростить выражение:

А) + tg( - ) 1 балл

Б) - ctgx 1,5 балла

5. Доказать тождество:

А) = 2 балла

Б) 1 + - = 0 2 балла

6.Определить знак выражения:

ctg 620 1 балл

-13-

ВАРИАНТ 2

1.Перевести из радиан в градусы и наоборот:

А) 0.5 баллов

Б) 375 0.5 баллов

2. Вычислить cos x, tg x, sin x , если ctg x = и 1 балл

3. Вычислить: А) tg (-1290 0,5 баллов

Б) sin 0,5 баллов

В) 1,5 балла

4. Упростить выражение:

А) + sin 1 балл

Б) + ctgx ) ) 1,5 балла

5. Доказать тождество:

А) = 2 балла

Б) x = 2 балла

6.Определить знак выражения:

1 балл

-14-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1.А) 1008 Б)

2. cosx = - , tgx = , ctgx =

3. А) -0,5

Б) -

В) -1

4. А) 0

Б) 0

5. А) : = = x

Б) 1 + - = 1 + - = - = 0

6. ctg 620 > 0, т. к.

ctg 620 >0 , 620- 3 четверть > 0, - 1 четверть,

> 0, - 1 четверть

Вариант 2

1. А) 930 Б)

2. tgx = , cosx = , sinx =

3. А) -

Б) 0,5

В)

4. А)

Б) - = 1 + + = 1

5. А) : = =

Б) - = =

6. < 0

> 0, т.к. - 3 четверть, > 0, - 2 четверть,

< 0,

-15-

Контрольная работа № 4

ТЕМА: Тригонометрические уравнения

Цель - проверка знаний обучающимися основных понятий и формул для решения простейших тригонометрических уравнений; методов и приемов решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим; умений их применять при выполнении практических заданий разного уровня сложности

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте сначала задания по решению простейших тригонометрических уравнений.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. Указывайте ответы, полученные при решении заданий.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий.

6. При решении более сложных уравнений, предварительно проведите анализ и отбор методов, приемов и формул.

7. При выполнении заданий используйте справочные таблицы.

8. После выполнения работы, приступите к проверке правильности ее решения.

Принципы оценивания работы:

1.Знает основные теоретические понятия темы, основные тригонометрические формулы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

2. Умеет применять понятия и формулы при вычислении значений аркусов углов.

3.Умеет анализировать и осуществлять отбор формул и приемов при решении тригонометрических уравнений разного уровня сложности.

4.Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

-16-

9 баллов и более

« 5 »

6 - 8,5 баллов

« 4 »

3- 5,5 баллов

« 3 »

Менее 3 баллов

« 2 »

Вариант 1

Решить уравнения:

1. 4 0,5 балла

2. = - 1 0,5 балла

3. tg x + = 0 0,5 балла

4. 6x + cos x + 6 = 0 1,5 балла

5. = 0 1 балл

6. x - sin x + 1 = 0 1,5 балла

7. 2 + 3sin x + x = 0 1,5 балла

8. cos 2x = sin 3x - sin x 2 балла

9. 2 ctg + 3 = 0 0,5 балла

10.25 cos x = 8 sin x 1 балл

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2 0,5 балла

2. = 0 0,5 балла

3. tg x - = 0 0,5 балла

4. 2x + 9cos x + 3 = 0 1,5 балла

5. = 0 1 балл

6. 3x +2 sin 3x - 3 = 0 1,5 балла

7. 2-2x = 3sin x 2 балла

8. 1- 4 sin x + 4x = 0 1,5 балла

9. sin x - 1 балл

10. ctg = 0 0,5 балла

-17-

Вариант 3

Решить уравнения:

1. 0,5 балла

2. = 0 0,5 балла

3. tg x + 1 = 0 0,5 балла

4. 3x - cos x - 1 = 0 1,5 балла

5. = 0 1 балл

6. x + cos x = 0 1,5 балла

7. + 2sin x = 3 x 1,5 балла

8. sin 5x = sin 6x + sin 4x 2 балла

9. 3 sin x = 7 1 балл

10. 8 ctg 6x + 5 = 0 0,5 балла

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 0,5 балла

2. = 1 0,5 балла

3. tg x + = 0 0,5 балла

4. 6x + sin x + 6 = 0 1,5 балла

5. = 0 1 балл

6. 2x + sin 2x = 0 1,5 балла

7. -3-2 sinx + 5x = 0 1,5 балла

8. 9+ 30 sinx + 25x = 25 2 балла

9. 6ctg5x + 7 = 0 0,5 балла

10. cos = 0 0,5 балла

-18-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. Х = + , n

2. X = - + n

3. X = -+ , n

4. Корней нет, т. к.

5. Х = - + , n

6. Х = +2, n

7. Х = - ; X = -arctg +

8. Х = - + , n ; X = +

9. X =

10. X = -arctg +

Вариант 2

1. X = +

2. Х = + , n

3. Х = + , n

4. Х = + 2, n

5. Х = + , n

6. Х = + 2, n

7. X = arctg + ; X = arctg +

8. X = arctg + ; Х = + k

9. Х = + k

10. Х = + , n

-19-

Вариант 3

1. X =

2. Х = + , n

3. Х = - + , n

4. Х = +2, n ; X = arccos +

5. X =

6. Х = + , n ; Х = + 2, k

7. X = - arctg + ; Х = + k

8. Х = + k ; Х = n

9. X = arctg + 10. X = arctg+

Контрольный эталон выполнения заданий

Вариант 4

; x = = arccos + ;

Ответ: х = + 2, k

При выполнении задания проверяется:

- знание формулы решения простейшего тригонометрического уравнения cos x = a и умение ее использовать;

- умение применять освоенные алгоритмы в стандартной ситуации;

- умение пользоваться справочными материалами.

2. = 1 10. cos = 0

5x - = + , n ; 8x + = + , n ;

5x = + + , n ; 8 x = - + + , n ;

5x = + , n ; x = + , n ;

x = = + , n

Ответ: x = = + , n Ответ: x = + , n ;

При выполнении заданий проверяется:

- знание частных случаев решения уравнений вида sin x = a, cos x = а ;

- умение использовать наиболее рациональные приемы решения уравнений вида sin x = a, cos x = a ;

3. tg x + = 0 9. 6ctg5x + 7 = 0

tg x = - ; ctg 5x = - -20-

x = - + , n ; 5x = + , n ;

x = - + , n ; x = - + , n ;

x = - + , n ;

Ответ x = - + , n ; Ответ: x = - + , n ;

При выполнении заданий проверяется:

- знание формул решения уравнений вида tg x = a, ctg x = а ;

- умение использовать освоенные алгоритмы в стандартной ситуации;

4. 6x + sin x + 6 = 0

6(1 - + sin x + 6 = 0; -6 + sin x + 12 = 0;

sin x = t, -6 + t + 12 = 0; = 1,5 ; = - 1 . Тогда sin x = 1,5 и

sin x = - 1 . Уравнения корней не имеют, т.к.

При выполнении заданий проверяется:

• Знание методов решения тригонометрических уравнений;

• Умение применять методы при решении уравнений;

• Знание формул тригонометрии и умение их применять при решении уравнений;

• Знание области допустимых значений решения простейших тригонометрических уравнений;

• Умение решать квадратные уравнения;

= 0

= 0; cos x = ; x = = + k ;

tg 3x = 3x = arctg + , n ; + , n

Ответ: x = + k ; + , n

При выполнении заданий проверяется:

- Знание формул решения простейших тригонометрических уравнений;

• Владение приемами решения простейших тригонометрических уравнений;

• Умение применять основные теоретические понятия и формулы;

2x + sin 2x = 0

sin 2x = t, = -1

Тогда sin 2x = 0, 2x = , n x = , n

sin 2x = - 1, 2x = = - + k , x = - + k

Ответ: x = , n ; x = - + k

7.-3-2 sinx + 5x = 0 -21-

Разделим уравнение на x , тогда -3 x -2 tgx + 5 = 0. При tg x = t, получим = - . Значит tg x = 1, x = + k и tg x = - ,

x = - arctg + , n

Ответ: x = + k x = - arctg + , n

При выполнении заданий проверяется:

• Знание методов решения тригонометрических уравнений;

• Умение применять методы при решении уравнений;

• Знание области допустимых значений решения простейших тригонометрических уравнений;

8. 9+ 30 sinx + 25x = 25

Заменим 25 = 25 (х ), тогда уравнение приведется к виду:

-16 + 30 sinx = 0, значит 2sin x (-8 sin x + 15 cos x) = 0

Следовательно sin x = 0, x = k и -8 sin x + 15 cos x = 0,

Разделив уравнение на cos x получим: -8 tg x + 15 = 0, tg x = ,

x = arctg + , n

Ответ: x = arctg + , n

При выполнении заданий проверяется:

• Знание методов решения тригонометрических уравнений и умение их применять;

• Использование формул тригонометрии;

• Использование рациональных приемов решения тригонометрических уравнений;

-22-

Контрольная работа №4

Тема: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Цели - проверить знание обучающимися простейших фигур стереометрии, аксиом стереометрии и следствий из них;

случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

понимание метода «следов» при построении сечений тетраэдра и параллелепипеда; умений применять основные понятия темы при выполнении практических заданий разного уровня сложности, умений пользоваться символикой.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте сначала типовые задания.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. При решении каждой задачи необходимо делать чертеж, записывать символически условие и приводить обоснования своих рассуждений.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

8 баллов и более

« 5 »

5,5 - 7,5 баллов

« 4 »

3,5- 5 баллов

« 3 »

Менее 3,5 баллов

« 2 »

-23-

Вариант 1

1. Прямые в и с параллельны. Прямая р пересекает одну из параллельных прямых. Верно ли, что прямые р, в, с всегда лежат в одной плоскости? Ответ обосновать. (Если утверждение не верно, то приведите пример.)

0,5 балла

2. Точки М и К являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Плоскость проходит через точки М и К. Верно ли, что прямая АС параллельна плоскости ? Ответ обосновать.

0,5 балла

3. Прямая а параллельна стороне ВМ параллелограмма КСВМ и не лежит в его плоскости. Докажите, что прямые ВС и а скрещиваются.

1 балл

4. Дан тетраэдр МАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Е, Р, Т.

М

Е

А В 1,5 балла

Р Т

С

5. Дан тетраэдр РСКМ. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку А РКМ, параллельно грани СРМ.

1. балл

Р

А

А

С

М К

6. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки :

У А ; Т ; Х B. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки У, Т, Х.

1,5 балла

₁

X

B C

Y

A D -24-

7. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки :

У А ; S ; N . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки У , K, S 2 балла.

₁

B C

Y

A D

8. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки :

L C ; R ; E . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки L , R , E. 2 балла.

₁

E

L

B C

A D

Вариант 2

1. Прямые m и с пересекаются в точке В. Прямая а пересекает прямые m, c. Верно ли, что прямые a, m, с всегда лежат в одной плоскости? Ответ обосновать. (Если утверждение не верно, то приведите пример)

0,5 балла

2. Точки F и X являются серединами сторон АK и EС трапеции АKEС. Плоскость проходит через точки F и X. Верно ли, что прямая EК параллельна плоскости ? Ответ обосновать.

0,5 балла

3. Прямая c параллельна стороне NМ прямоугольника PENМ и не лежит в его плоскости. Докажите, что прямые NE и c скрещиваются.

1 балл

4. Дан тетраэдр RАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки L, S, Т.

1,5 баллаR

L 1,5 балла

С

S

A B

T

5.Дан тетраэдр TAEМ. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K TEМ, параллельно грани ATМ.

1. балл

-25-T

1,5 балла

K E

A M

6. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки:

Z C ; Т ; N D. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Z, Т, N.

1,5 балла

₁

Z

B C

N

A D

7. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки :

F A ; Y ; E . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Y , F, E. 2 балла.

₁

Y

B C

F E

A D

8. На ребрах параллелепипеда ABCD расположены точки :

S B ; M ; Z . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки S , M , Z. 2 балла.

₁

S

B M Z C

A D

-26-

Эталоны ответов ВАРИАНТ 1 Решение:

1. p Нет. 1) b c (по условию), значит

b , c

c 2) p b = O => ) p = O

b O

2. Решение:

B 1. M , K ( по условию) => MK

2. MA = MB, BK = KC (по условию) => MK - средняя

Линия треугольника АВС => MK AC

M K => AC (по признаку параллельности

прямой и плоскости)

A C

3. Решение:

1.a MB => a , MB

α 2. BC MB = B (по условию) => . BC = B

a 3. B ∉ BC и a -

M B скрещиваются (по признаку скрещивающихся

прямых)

K C

4. 1. РТ, ТЕ 2. Р АСВ и ТЕ МСВ ТЕ СВ = О

М

Е 3. РО АВ = N 4. NE

5. PTEN - искомое сечение

А N В

Р Т

С

O

-27-

5. 1. XS ǁ MP , X MK, S PK ( свойство 1 паралл. плоскостей)

Р 2. SY ǁ PC , Y CK

S 3. XY

А 4. XSY ǁ MPC (по признаку паралл. плоск.)

С

Y

М К

X

6. Решение:

1. XY, XT 2. YL ǁ XT (свойство 1)

_{1 3.} LT 4. YLTX - сечение

X L

B C

Y

A D

7. 1. ER, RL 2. RL BB₁ = O 3. OE AA₁ = K 4. KF ǁ RL (свойство 1)

5. YL ǁ KE 6. FY 7. KERLYF - сечение

₁

E

К L

B C

Y

A B

F

8. 1.SK 2. SK A₁B₁ = O 3. OY BB₁ = L 4. LS 5. FY ǁ SL (по свойству 1)

6. FK 7. YLSKF - сечение

₁

L F

B C

Y

-28-

ВАРИАНТ 2 Решение:

1.Да. m , c

(по следствию 2 из аксиом)

А m 2. m a = A, m c = K A

AK a (по аксиоме 2)

О

1. K c

2. 1. FK = AF, XE = XC (по условию) FX - средняя линия треугольника ACE

FX KE (по свойству средней линии)

K E 2. F (по условию) FX

3. EK ( по признаку параллельности прямой

F X плоскости)

A C

3. Решение:

1. cMN (по условию) => с , MN

α 2. EN MN = N (по условию) => EN = N

с 3. N ∉ NM и c -

M N скрещиваются (по признаку скрещивающихся

прямых)

P E

4. R 1.LS, ST 2. ST AC = O

L 3. LO AC = K 4. KT

5. KLST - сечение

С

K

S

A B

T

O

N5. T 1.BC , K (по свойству 1)

B 2. BN ǁ AT, N

3. NC

K E 4. BCN ǁ ATM (по признаку параллельности

прямой и плоскости)

C

A M

-29-

6. ₁

1. NZ, ZT 2.EN ǁ TZ ( по свойству 1)

Z 3.ET 4.TZNE- сечение

E

B C

N

A D

7. 1.YE 2. EM ǁ YF (по свойству 1) 3. YF AB = O 4.OE AD = L

5.LF 6. SM ǁ FL 7. YS 8. YSMELF - сечение

₁

Y

M

B C

F E

A D

• L

8. ₁

Y

S F

B M Z C

A D K

O

1.SM

2. FZ ǁ SM (по свойству 1)

3. AD ZF = O

4. MO CD = K

5. ZK

6. YF ǁ MK

7. YS

8. SMKZEYS- сечение

-30-

Контрольная работа №6

Тема: Перпендикулярность в пространстве

Цели - проверить знания и умения обучающихся по вычислению расстояний между точками, точкой или прямой с плоскостью, нахождению величины двугранного угла

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знание основных теоретических понятий темы и их роли в практической деятельности.

2. Знание правил построения расстояний от точки до прямой и плоскости,

линейного угла между плоскостями.

3. Умеет выполнять чертежи, иллюстрирующие условие задачи.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

5. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

9 баллов и более

« 5 »

5,5 - 8,5 баллов

« 4 »

3,5- 5 баллов

« 3 »

Менее 3,5 баллов

« 2 »

-31-

Вариант 1

1. Отрезки АВ, АС, АD попарно перпендикулярны.

Найти длину отрезка ВС, если АD = 4 см, DC = 5 см,

DB = 6 см. 0,5 балла

2. В вершину С равностороннего треугольника АВС опущен перпендикуляр МС к его плоскости, равный 12 см. Найти

расстояние от точки М до стороны ВА, если АС = 8 см. 1,5 балла

3. В тетраэдре МТКР, точка Е - середина ребра КР. КТ = РТ,

МК = МР. Доказать. Что прямая КР перпендикулярна

плоскости МЕТ. 1 балл

4. Точка А находится на расстоянии 5 см от всех вершин

равностороннего треугольника, сторона которого равна

4 см. Найти расстояние от точки А до плоскости этого

треугольника. 2,5 балла

5. Из точки Р к плоскости проведены наклонные РА и РВ,

длины которых равны соответственно 23 см и 33 см.

Найти расстояние от точки Р до плоскости, если отрезок

РС перпендикулярен плоскости, для проекциий

выполняется условие АС = ВС ( для упрощения 3.5 балла

вычислений рекомендуем обозначить одну из проекций х).

6. Найти угол между плоскостями треугольника АВС и

прямоугольника АВМК, если АВ = 5 дм, МС = 9 дм,

АС = 13 дм, ∠ ВСМ = 90. 4 балла

-32-

Вариант 2

1. Отрезки АВ, АС, АD попарно перпендикулярны.

Найти длину отрезка АС, если АВ = 5 см, DC =15 см,

DB = 10 см. 0,5 балла

2. В вершину Е треугольника ЕРК (Р =90 опущен

перпендикуляр DE к его плоскости. Найти

расстояние от точки D до прямой КР, если DK = 12 см,

EK = 10 см, РЕ = 4 см. 1,5 балла

3. Из точки О, взятой на высоте треугольника АВС,

проведен перпендикуляр ОМ к его плоскости.

Доказать, что плоскость проходящая через отрезки СА

и ОМ перпендикулярна прямой СВ. 1 балл

4. Точка D находится на расстоянии 3 см от плоскости

равностороннего треугольника АВС и на 5 см от каждой

из его вершин. Найти длину сторон треугольника. 2,5 балла

5. Из точки Т к плоскости проведен перпендикуляр ТМ и

наклонные ТВ и ТD. Найти длины наклонных, если их

проекции равны соответственно 1 см и 7 см, 2ТD = ТВ.

( для упрощения вычислений рекомендуем обозначить

одну из проекций х). 3.5 балла

6. Через центр квадрата АВСD проведен перпендикуляр

ОН к его плоскости. Вычислить угол между плоскостями

ВСН и АВСD, если НВ = 5 дм, ВС = 6 дм. 4 балла

-33-

Эталоны ответов: ВАРИАНТ 1

1. С Решение:

5 1. ВАD, ∠ А = 90 ( по условию)⇒

ВА = ; ВА = ; ВА = 2 см

А 4 2. САD, ∠ А = 90 ( по условию)⇒

СА = ; СА = ; СА = 3 см

В 6 D 3. ВАС, ∠ А = 90 ( по условию)⇒

ВС = ; ВС = см . ОТВЕТ: см

2. М Решение: 1. АВС- правильный (по

12 условию) ⇒ КС - медиана, высота ⇒

8 А СК АВ

С 2. МС

8 СК - проекция ⇒ МК

8 К о трех перпендикулярах) ⇒ МК -

В расстояние от М до АВ

3. СКВ, ; СК = ; СК = 4

4. МСК, ; МК = ; МК = 8

ОТВЕТ: 8

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1. КРТ- равнобедренный (по условию) ⇒ ТЕ -

М медиана, высота ⇒ ТЕ РК

2. МКР - равнобедренный (по условию) ⇒

МЕ - медиана, высота ⇒ МЕ РК

К Т 3. Значит КР МЕТ (по признаку перпендикуляр-

ности прямой и плоскости )

Е

Р

4. А Решение:

1. ВСD - равносторонний (по условию)⇒

5 ТЕ- медиана, высота

2. ВD = ВС =СD - наклонные, ОВ = ОС = ОD

- проекции⇒ О- центр описанной окружн.

D О С около ВСD

4 3. ВD = DO ⇒ 4 ⇒

В DO = 4 см

4. AOD ; ∠ О = 90 AD = AD = 3 см

Ответ: 3 см

-34-

5. Р Решение:

1. Пусть ВС = х, тогда АС = х

23 33 2. АСР, ∠ С = 90 = - ⇒

= -

А С 3. РСВ, ∠ С = 90 = - ⇒

В = -

Β 4. Тогда - = -

529 - - 1089 + = 0 ; - 560 = 0; = 1008;

х = 12 см ⇒ РС = ; РС = 9 см

Ответ: 9 см

С

12 9

В Е М

5 13

А К

1. АВС, ∠ В = 90 = + ; = + ; 169 = 144 + 81⇒

ВС АВ

2. проводим СЕ ВМ ⇒ ВС - наклонная, ВЕ - проекция ⇒

- линейный угол двугранного угла между плоскостями АВМК и ВСМ

3. ВСМ, ∠ С = 90 tg; tg ; tg

Ответ:

ВАРИАНТ 2

1.

D Решение:

10 15 1. ВАD, ∠ А = 90 ( по условию)⇒

DА = ; DА = ; ВА = 5 см

6 А 2. САD, ∠ А = 90 ( по условию)⇒

СА = ; СА = ; СА = 5 см

В C

ОТВЕТ: 5 см

-35-

2. Решение:

D 1. DE (по условию) ⇒

DP - наклонная, ЕР - проекция

12 4 P 2. ЕР КР (по условию) ⇒DP PK (по

теореме о трех перпендикулярах) ⇒

E DP - расстояние от D до РК

10 3. DEK, ∠ E = 90 ( по условию)⇒

K = - ⇒ DE = ;

DE = ; DE = 2 см

4. DEР, ∠ E = 90 ( по условию) ; = + ⇒

DР = ; DP = ; DP = 2 см

Ответ: 2 см

3. Решение:

1. СВ АК (по условию) 2. МО АВС (по условию) ⇒ МО АК

3.Значит ВС АМК (по признаку

М В перпендикулярности прямой и плоскости)

А О К

С

4. . D Решение:

1. DO

5 DA = DC = DB - наклонные (по условию)

3 ОВ = ОС = ОА

- проекции⇒ О- центр описанной окружн.

A О С около ВСА

2. ВА = АO ⇒ ВА см

В

3. AOD ; ∠ О = 90 AО = AО = 4 см

4. 3. ВА = АO ⇒ ВА см

Ответ: см

5.

Т Решение:

1. ВМТ, ∠ М = 90

х 2х = - 1

2. DМТ, ∠ М = 90

В 1 М 7 D = - 49

3. Тогда - 49 = - 1

= 16, х = 4 см

4. 2 ТD = TB ⇒ TD = 8см

Ответ: 8 см -36-

6.

H

D C

A

O

A B

Решение:

1. ABCD - квадрат (по условию) ⇒ АС = DB, OB = CO

2. HB, HC - наклонные, ОВ и ОС - их проекции ⇒ HB = CH

3. Значит HBC- равнобедренный ⇒ HA - наклонная,

АО - проекция ⇒ АО ВС ( по обратной теореме о трех

перпендикулярах)

4. НАО - линейный угол двугр. угла

5. НАО = , НОА, ∠ О = 90 cos =

6. AB = 3 см

7. НАВ, ∠ А = 90 = 25 - 9, = 16, НА = 4 см ⇒ cos =

Ответ: = arccos

-37-

Контрольная работа № 7

ТЕМА: Тригонометрические функции

Цель - проверка знаний обучающимися графиков тригонометрических функций, их основных свойств ; умений их применять при выполнении практических заданий разного уровня сложности

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, карандаши, линейки

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомьтесь с заданиями работы и критериями их оценивания.

2. Выполняйте сначала задания базового уровня сложности на 0,5 и 1 балл.

3. С целью экономии времени, пропускайте задания, вызывающие затруднение.

4. Указывайте ответы, полученные при решении заданий.

5. В последнюю очередь приступайте к выполнению более сложных заданий на 1,5 и 2 балла.

6. При построении графиков тригонометрических функци, вспомните основные преобразования графиков.

7. При выполнении заданий используйте справочные таблицы.

8. После выполнения работы, приступите к проверке правильности ее решения.

Принципы оценивания работы:

1.Знает основные теоретические понятия темы, виды графиков и основные свойства тригонометрических функций.

2. Умеет применять понятия и свойства тригонометрических функций при выполнении практических заданий.

3.Умеет применять изученные ранее понятия и алгоритмы при решении практических заданий данной темы.

4.Умеет пользоваться справочными таблицами.

5. Владеет приемами преобразования графиков функций.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

-38-

12 баллов и более

« 5 »

8 - 11,5 баллов

« 4 »

5-7,5 баллов

« 3 »

Менее 5 баллов

« 2 »

Вариант 1

1. Найти область определения функции:

А) у = tg 3x 0,5 балла

Б) у = cos 0,5 балла

В) у = sin 1,5 балла

Г) у = lg cos x 2 балла

2. Найти множество значений функции:

А) у = 2 + sin x 0,5 балла

Б) у = 3cos x + 1 1 балл

В) у = sin + 1 2 балла

3. Выяснить четность или нечетность функции:

А) у = 5x - tg 6x 0,5 балла

Б) у = 1 балл

В) у = 1 - cos ( - x) 2 балла

4. Сравнить числа, используя свойства возрастания и

убывания функции:

А) cos и cos 0,5 балла

Б) tg и tg 1 балл

5. Построить график функции:

А) у = 2 + cos x 1,5 балла

Б) у = sin 3x 2 балла

6. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку

А) cos x = - 2 балла

Б) sin x = 1,5 балла

-39-

Вариант 2

1. Найти область определения функции:

А) у = сtg 5x 0,5 балла

Б) у = sin 0,5 балла

В) у = 1,5 балла

Г) у = 2 балла

2. Найти множество значений функции:

А) у = 3 - cos x 0,5 балла

Б) у = 4 sin x + 1 1 балл

В) у = 2x - cos 2x 2 балла

3. Выяснить четность или нечетность функции:

А) у = ctg 2x + 0,5 балла

Б) у = (cos x - ) 1 балл

В) у = 2 балла

4. Сравнить числа, используя свойства возрастания и

убывания функции:

А) sin и sin 0,5 балла

Б) cos (- ) и cos (- ) 1 балл

5. Построить график функции:

А) у = cos x - 1 1,5 балла

Б) y = 3 sin 2 балла

6. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку

А) sin x = 1,5 балла

Б) cos x = - 2 балла

-40-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. А) x + , n Б) x

В) x

Г) x

2. А) у 3] Б) у 4] В) у 1 ]

3. А) нечетная Б) четная В) четная

4. А) cos > cos

Б) tg > tg

5. А) график получается сдвигом у = cos x вдоль оси ОУ на 2 единицы

вверх

Б) график получается растяжением графика у = sin x вдоль оси ОХ на 3 единицы и сжатием в 2 раза вдоль оси ОУ

6. А) = , = -2

Б) =-1 , = -1

Вариант 2

1. A) х Б) x В) х

Г) х

2. А) у Б) у В) у

3. А) нечетная Б) нечетная В) четная

4. А) sin > sin Б) cos (- ) < cos (- )

5. Построить график функции:

А) график получен сдвигом у = cos x вдоль оси ОУ на 1 вниз

Б) график получен сжатием по оси ОХ в 2 раза графика у = sin x и

растяжением вдоль оси ОУ в 3 раза

6. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку

А) = ; =

Б) = ; = ; = 2

-41-

Контрольная работа № 8

Тема: Многогранники

Цели - проверить знания и умения обучающихся по вычислению элементов призмы и пирамиды, площади их оснований, боковой и полной поверхности.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы планиметрии, необходимые для вычисления элементов призмы и пирамиды.

3. Знает формулы для вычисления площади поверхности призмы и пирамиды.

4. Умеет выполнять чертежи, иллюстрирующие условие задачи.

5. Умеет пользоваться справочными таблицами.

6. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

4,5 - 5 баллов

« 5 »

3 - 4 баллов

« 4 »

1,5-2,5 баллов

« 3 »

Менее 5 баллов

« 2 »

-42-

ВАРИАНТ 1

1. АВС - прямая призма. Основанием призмы является

треугольник АВС, где , АВ = 10 см, ВС = 8 см. Высота призмы равна 13 см. Найти площадь полной поверхности призмы.

0,5 балла

2. Основанием прямой призмы ABCD является ромб.

Сторона ромба равна 6 см, а острый угол составляет 30

Диагональ боковой грани призмы А= 12 см. Найти

площадь основания и боковой поверхности призмы. 1 балл

3. KABCD - правильная пирамида. Угол наклона бокового ребра

к плоскости основания равен 60 Найти длину стороны основания

и площадь полной поверхности пирамиды, если диагональ основания BD = 8 см. 1,5 балла

4. TMNK - правильная пирамида, высота которой равна 7 см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 30

Найти длину бокового ребра, площади основания и боковой

поверхности. 2 балла

ВАРИАНТ 2

1. ABCD - прямая призма. Основанием призмы является

параллелограмм со сторонами AD = 6см, AB = 14 см и углом между ними 30 Диагональ боковой грани призмы A= 10 см. Найти высоту призмы, площадь полной поверхности.

0,5 балла

2. ABC - правильная призма со стороной основания,

равной 10 см. Угол между диагональю боковой грани и стороной

основания призмы равен 60 Найти площадь основания и

боковой поверхности призмы. 1 балл

3. MABCD - правильная пирамида, высота которой равна 8 см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45

Найти площадь полной поверхности пирамиды. 1,5 балла

4.EADC - правильная пирамида, сторона ее основания равна

4 см. Угол между высотой пирамиды и боковым ребром равен

30 Найти площадь основания и боковой поверхности пирамиды.

2 балла

-43-

ВАРИАНТ 3

1. ABC - прямая призма. Основанием призмы является треугольник АВС, где АВ = 12 см, АС = 18 см.

Диагональ боковой грани C = 20 см Найти площадь основания

и боковой поверхности призмы. 0,5 балла

2. ABCD - правильная призма, диагональ основания

которой равна 10 см. Угол в боковой грани CA = 60

Найти высоту призмы, площади основания и боковой поверхности

призмы. 1 балл

3. KABCD - правильная пирамида. Угол наклона бокового ребра

к плоскости основания равен 60 Сторона основания равна 6 см.

Найти длину бокового ребра и площадь полной поверхности пирамиды. 1,5 балла

4. КАВС - правильная пирамида. Боковое ребро пирамиды равно 8 см и составляет с плоскостью основания угол 30 Найти площадь основания и боковой поверхности. 2 балла

ВАРИАНТ 4

1. ABCD - прямая призма. Основанием призмы является

прямоугольник ABCD, где АВ = 4 см, диагональ основания

АС = 8 см. Диагональ боковой грани С= 12 см. Найти

площадь основания и боковой поверхности. 0,5 балла

2. ABC - прямая призма. Основанием призмы является

треугольник АВС, где АС = ВС, АС = 12 см, ,

A= 45 Найти длину бокового ребра, площади основания и боковой поверхности. 1 балл

3. ТABCD - правильная пирамида. Диагональ основания равна 6

Угол между боковым ребром и высотой пирамиды равен 45

Найти площадь основания и боковой поверхности пирамиды.

1,5 балла

4. РABC - правильная пирамида, угол наклона бокового ребра

к плоскости основания равен 30. Высота пирамиды равна

10. м. найти площадь полной поверхности пирамиды.

2 балла

-44-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. = 24 ; = 312 ; = 336

2. = 18 ; = 144 ;

3. = 192

4. = 12,25 ; = 10,5 ;

Вариант 2

1. Н = 8 см; = 402

2. = 25 ; = 300 ;

3. = 136

4. = 12 ; = 12 ;

Вариант 3

1. = 36 ; = 4 ;

2. = 150 ; = 600 ;

3. АК = 6 см; = 36(1 +

4. = 36 ; = 36 ;

Вариант 4

1. = 16 ; = 64 ;

2. = 36 ; = 72 ;

3. = 36 ; = 36 ;

4. = 225( +

-45-

Контрольная работа №9

Тема: Логарифмическая функция

Цели - проверить знания обучающимися определения, свойств логарифма и логарифмической функции, формул преобразования логарифмических выражений, методов решения логарифмических уравнений и неравенств;

умений применять их при решении практических заданий.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы преобразования логарифмических выражений,

методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

3. Умеет применять формулы для преобразования логарифмических выражений.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

5. Умеет применять методы при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

5,5 - 7,5 баллов

« 3 »

8 - 11,5 баллов

« 4 »

12-16 баллов

«5»

Менее 5,5 баллов

« 2 »

-46-

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить:

0,5 балла

Б) 1 балл

В) 1,5 балла

2. Решить уравнения:

А) = -2 0,5 балла

Б) = 1 балл

В) = 2 1,5 балла

Г) ² x + 2 - 15 = 0 1 балл

Д) 2 балла

3. Решить неравенства:

А) < 3 1 балла

Б) ≥ 1,5 балла

В) 2 балла

Г) 2,5 балла

ВАРИАНТ 2

1. Вычислить:

0,5 балла

Б) 1 балл

В) 1,5 балла

2. Решить уравнения:

А) = 2 0,5 балла

Б) lg = lg (6x + 2) 1 балл

В) = 1,5 балла

Г) ² x + - 2 = 0 1 балл

Д) 2 балла

3. Решить неравенства:

А) > - 3 1 балла

Б) < 1,5 балла

В) 2 балла

Г) 2,5 балла

-47-

ВАРИАНТ 3

1. Вычислить:

0,5 балла

Б) 1 балл

В) 1,5 балла

2. Решить уравнения:

А) = 2 0,5 балла

Б) = 1 балл

В) = 1 1,5 балла

Г) x + 3 - 1 = 0 1 балл

Д) = 5 2 балла

3. Решить неравенства:

А) < -2 1 балла

Б) ≥ 1,5 балла

В) 2 балла

Г) 2,5 балла

ВАРИАНТ 4

4. Вычислить:

0,5 балла

Б)3 1 балл

В) 1,5 балла

5. Решить уравнения:

А) = -2 0,5 балла

Б) = 1 балл

В) = 1 1,5 балла

Г) ² x - = 6 1 балл

Д) = 2 балла

3. Решить неравенства:

А) < -1 1 балла

Б) ≥ 1,5 балла

В) 2 балла

Г) 2,5 балла

-48-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. А) Б) -1 В) -

2. А) х = 1 Б) = 7; = - 2 В) х = 3 Г) х = 16; х = Д) х =

3. А) х Б) х ; ) В) х > Г) х < -1; х > 9

Вариант 2

1. А) 625 Б) 1 В)

2. А) х = 13 Б) х = 2 В) х = 6 Г) х = 4; х = Д) х = 8

3. А) х Б) х В) х < 1, х > 6 г) х < 1, х > 2

Вариант 3

1. А) Б) 1 В) -2

2. А) х = 5 Б) х = 4 В) х = 3,5 Г) х = , х = Д) х = 11

3. А) х < -23 Б) х > - В) решений нет Г) х ;1)

Вариант 4

1. А) 125 Б) -1 В) -

2. А) х =12 Б) х = 2 В) х = 3, х = -1 Г) х = 8, х = Д) х = 4

3. А) х > 5 Б) х > В) х (5; 6) Г) х (-3; 1)

-49-

Контрольная работа №10

Тема: Степенная функция

Цели - проверить знания обучающимися приемов решения иррациональных уравнений и методов решения систем уравнений ; умений применять их при решении практических заданий.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает приемы решения иррациональных уравнений,

методы решения систем уравнений.

3. Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

3,5 - 4,5 баллов

« 3 »

5 - 6,5 баллов

« 4 »

7-10 баллов

«5»

Менее 3,5 баллов

« 2 »

-50-

ВАРИАНТ 1

Решить уравнения:

1. = 0,5 балла

2. = 5 - х 1 балл

3. + 4х = 0 1 балл

4. - = 1 1,5 балла

Решить системы уравнений:

5. х 1 балл

= 4

6. + ху - = 11 1 балл

х- 2у = 1

7. + = 3 2 балла

= 27

8.

= 2 балла

= 16

ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:

1. = 0,5 балла

2. = х - 1 1 балл

3. + 1 = -х 1 балл

4. + = 3 1,5 балла

Решить системы уравнений:

5. х 1 балл

- 3у = - 5

6. = 4 1 балл

х + у = 6

7. lg х + lg y = 1 2 балла

= 16

=3 2 балла

= 36

-51-

ВАРИАНТ 3

Решить уравнения:

1. = 0,5 балла

= х - 4 1 балл

+ 5х = 0 1 балл

4. = + 1,5 балла

Решить системы уравнений:

5. х 1 балл

7х - у = 5

+ ху = 6 1 балл

+ ху = 3

7. + = 2 балла

х + у - 20 = 0

8.

= 18 2 балла

= 16

ВАРИАНТ 4

Решить уравнения:

= 0,5 балла

= х + 2 1 балл

- х = 2 1 балл

+ = 6 1,5 балла

Решить системы уравнений:

5. х 1 балл

х -5 у = 3

+ 3х - 4у = 20 1 балл

- 2х + у = - 5

7. + = 2 2 балла

у - 2у + 9 = 0

8.

2 балла

3х + = 4

-52-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. х = -0,5 - посторонний корень

Ответ: корней нет

2. х = 8; х = -3 - посторонний корень

3. х = 4- посторонний корень ; х =- 2

Ответ: х = -2

4. Ответ: х = -1; х = 3

5. 

6. 

7. 

8. 

Вариант 2

1. х = 1- посторонний корень

Ответ: корней нет

2. х = 7, х = -3 - посторонний корень

Ответ: х = 7

3. х = 2, х = -2- посторонний корень

Ответ: х= 2

4. Ответ: х = 2, х = -1

5. 

6. 

7. 

8. 

Вариант 3

1. х= -2 - посторонний корень

Ответ: корней нет

2. х = 9, х = 1- посторонний корень

Ответ: х = 9

3. х = 2- посторонний корень, х = -3

Ответ: х = 2

4. х = 7- посторонний корень, х = -3

Ответ: х = 2

5. Ответ:

6. 

7. 

8. 

Вариант 4

1. х= 1 5.

2. х= - 1 6. (0; - 5), (1; -4)

3. х = -2 7. (1; 9), (- 2; - 4,5)

4. х = 1 8. 91; -1), (- 1, 28;2,8) -53-

Контрольная работа № 11

Тема: Тела вращения

Цели - проверить знания и умения обучающихся по вычислению элементов тел вращения, площади их сечений, оснований, боковой и полной поверхности.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы планиметрии, необходимые для вычисления элементов и площадей сечений.

3. Знает формулы для вычисления площади поверхности тел вращения.

4. Умеет выполнять чертежи, иллюстрирующие условие задачи.

5. Умеет пользоваться справочными таблицами.

6. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

4,5 - 5 баллов

« 3 »

4 - 5 баллов

« 4 »

5,5-7 баллов

« 5 »

Менее 4,5 баллов

« 2 »

-54-

Вариант 1

1.Диагональ осевого сечения цилиндра равна16 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 Найти высоту, площади оснований, боковой поверхности и площади осевого сечения цилиндра. 1 балл

2. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 48 ,

площадь основания конуса равна 64. 0,5 балла

3. Угол между образующей и осью конуса равен 45 конуса 6 см.

Найти площадь полной поверхности конуса. 0,5 балла

4. Цилиндр получен вращением прямоугольника KCDE вокруг стороны DT,

если ЕС = 10 см; Найти площадь полной поверхности цилиндра. 1 балл

5. Расстояние от центра сферы, радиусом 15 см, до секущей плоскости

равно 12 см. Найти площадь сечения. 1 балл

6. Образующая конуса равна 20 см. Угол при вершине конуса равен 90

Найти площадь основания и боковой поверхности конуса. 1 балл

7. Высота цилиндра равна 4 см. Площадь сечения цилиндра плоскостью,

параллельной его оси, равна 128 Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости составляет 2 см. Найти радиус основания цилиндра. 2 балла

Вариант 2

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 88 Площадь основания цилиндра составляет 16 Найти высоту цилиндра. 0,5 балла

2. Образующая конуса равна 14 см и составляет с плоскостью основания угол 60 Найти площади основания, боковой поверхности конуса.

1 балл

3. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АКВ

вокруг стороны КВ, где АВ = 12 см,

Найти площадь полной поверхности конуса. 1 балл

4. Шар, радиуса 16 см, пересечен плоскостью, удаленной от его центра,

на расстояние 12 см. Найти площадь сечения. 1 балл

5. Высота конуса равна 6 см. Площадь осевого сечения составляет

120 Найти площадь основания и боковой поверхности

конуса. 0,5 балла

6. Цилиндр получен вращением квадрата MNKT, вокруг

стороны КТ. Найти площадь полной поверхности цилиндра,

если диагональ квадрата равна 8 1 балл

7. Высота цилиндра равна 18 см, а радиус 8 см.

Найти площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его

оси, если расстояние от оси до секущей плоскости равно 4 см.

2 балла

-55-

Вариант 3

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24 см и составляет с

диаметром основания угол 30 Найти радиус цилиндра, площадь основания, осевого сечения, боковой поверхности цилиндра. 1 балл

2. Высота конуса равна 3 см. Площадь осевого сечения конуса составляет

45 Найти радиус основания конуса. 0,5 балла

3. Угол при вершине конуса равен 120Образующая конуса равна

10 см. Найти площадь полной поверхности конуса. 1 балл

4. Цилиндр получен вращением квадрата ВКМС , вокруг стороны

КМ. Диагональ квадрата составляет 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра. 1 балл

5. Шар пересечен плоскостью, удаленной от центра на расстояние

8см. Площадь сечения составляет 36. Найти радиус шара. 1 балл

6. Угол наклона образующей конуса к плоскости основания равен

30 конуса равна 16 см. Найти площадь полной

поверхности конуса. 1 балл

7. Высота цилиндра равна 6 см. Сечением цилиндра плоскостью,

параллельной оси, является квадрат. Найти расстояние от оси

до секущей плоскости, если радиус цилиндра равен 8 см. 2 балла

Вариант 4

1. Угол высотой и образующей конуса составляет 60 Высота конуса равна 15 см. Найти площадь полной поверхности конуса. 0,5 балла

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 60 см². Площадь основания

равна 25 см². Найти высоту, площади основания и боковой

поверхности цилиндра. 0,5 балла

3. Конус получен вращением, вокруг стороны СМ, треугольника КСМ,

где Сторона КМ равна 20 см. Найти

площадь полной поверхности конуса. 1 балл

4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол 60 Найти площадь полной поверхности цилиндра. 1 балл

5. Высота цилиндра равна 12 см, площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси равна 72 см². Расстояние

от оси до секущей плоскости равна 4 см. Найти радиус

цилиндра. 2 балла

6. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения равно 6 см.

длина окружности, полученной в сечении равна 16 1 балл

7. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник.

Радиус конуса равен 5 см. Найти площадь осевого сечения и боковой поверхности конуса. 1 балл

-56-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. Н = 4 см, S _{бок. пов}. = 32 S _{осев. сеч.} = 32 см²

2. Н = 3 см

3. S _{полн. пов}. = 64 (1 + ) см²

4. S _{полн. пов}. = 50 (1 + ) см²

5. S _сеч. = 81 см²

6. S _{бок. пов.} = 200 см²

7. R = 2 см

Вариант 2

1. Н = 11 см

2. Н = 7 см, S _осн. = 49 , S _{бок. пов}. = 98

3. S _{полн. пов}. = 12 (7 + ) см²

4. S _сеч. = 112 см²

5. S _осн. = 400 , S _{бок. пов}. = 240

6. S _{полн. пов}. = 240

7. S _сеч. = 144 см²

Вариант 3

1. R = 6 см, S _осн. = 108S _{бок. пов}. = 144S _{осев. сеч.} = 144 см²

2. S _{полн. пов}. = 15 (15 + ) см²

3. S _{полн. пов}. = 25 (1+ ) см²

4. S _{полн. пов}. = 64

5. R = 10 см

6. S _{полн. пов}. = 256 (2+ ) см²

7. см

Вариант 4

1. S _{полн. пов}. = 25 (2+ ) см²

2. Н = 12 см

3. S _{полн. пов}. = 100 (1+ ) см²

4. S _{полн. пов}. = 81 (1+ ) см²

5. R = 5 см

6. R = 10 см

7. S _{осев. сеч.} = 25 см², S _{бок. пов}. = 25

-57-

Контрольная работа № 12

Тема: Производная

Цели - проверить знания студентами теоретических основ темы, умения вычислять производные простых и сложных функций,

решать уравнения и неравенства производной.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы и правила вычисления производных степенных, элементарных функций.

3. Умеет вычислять производные функций, их значения в точке,

решать уравнения и неравенства с производной, составлять уравнение касательной к графику функции в точке.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

5. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

5 -8,5 баллов

« 3 »

9-10,5 баллов

« 4 »

11-13,5 баллов

« 5 »

Менее 5 баллов

« 2 »

-58-

Вариант 1

1. Найти производные функций:

А) 6 -3 + 2 - х 0,5 балла

Б) 8х + -3 1 балл

В) 6 - 12 + 7 1 балл

Г) 9 + 4 - 10 0,5 балл

Д) - 6 + - 2х 1,5 балла

2. Найти у (2), если у(х) = 2 -3 + 5 1 балл

3. Решить уравнение f ′(x) = 0, если

А) f (x) = -4 + 2х - 7 1 балл

Б) f (x) = + - 6х 1,5 балла

4. Решить неравенство:

А) у (х) ≤ 0,если у(х) = 9 - 4х + 50 1 балл

Б) ) у (х) > 0, если у(х) = 2 - 9 + 12х 2 балла

5. Составить уравнение касательной к графику функции

f (x) = 4 - 2х + 1 в точке = -3 2, 5 балла

Вариант 2

1. Найти производные функций:

А) 10 -3 + 5 - 7 0,5 балла

Б) 12 - - 6 ln x 1 балла

В) 8 - 16 + 4 1 балл

Г) 2 + 1,5 балла

Д) 7 + cos x - 3 ln x 0,5 балла

2. Найти g (-1), если g (х) = 4 - 3 + 2х 1 балл

3. Решить уравнение у′(x) = 0, если

А) у(х) = 7х - 3 + 3 1 балл

Б) у(х) = - 12х 1,5 балла

4. Решить неравенство:

А) у (х) < 0, если у(х) = 2 - х - 1 балл

Б) у (х) 0, если у(х) = - 3 2 балла

5. Составить уравнение касательной к графику функции

f (x) = 5 -3х+ 2 в точке = - 1 2, 5 балла

-59-

Вариант 3

1. Найти производные функций:

А) 4 - 15 + 35х - 0,5 балла

Б) 5cos x + - 0,5 1 балл

В) -9 + 1,5 балла

Г) 8 - 3sin x + 5 1 балл

Д) 2ln x + 6х - 0,5 балла

2. Найти f (-3), если f(х) = - 6 + 1 1 балл

3. Решить уравнение f ′(x) = 0, если

А) f(x) = -3 + 6x + 8 1 балл

Б) f(х) = - 2 1,5 балла

4. Решить неравенство:

А) у (х) 0, если у(х) = 4 - 5х + 3 1 балл

Б) у (х) < 0, если у(х) = - 12 - 27х 2 балла

5. Составить уравнение касательной к графику функции

f (x) = -2х + 5 в точке = - 2 2, 5 балла

Вариант 4

1. Найти производные функций:

А) 7 - 3 + 16 -4 0,5 балла

Б) + 13sin x -4 ln x 1,5 балла

В) 12 - + 14х 1 балл

Г) + 17 -8 1 балл

Д) 19 - 4 + 13cos x 0,5 балла

2. Найти у (-2), если у(х) = 4 -5 + 3 1 балл

3. Решить уравнение у′(x) = 0, если

А) у(х) = + 4х - 9 1 балла

Б) у(х) = 2 + 3 - 2 1,5 балла

4. Решить неравенство:

А) у (х) ≤ 0, если у(х) = 13 -2 + 7х 1 балл

Б) у (х) 0, если у(х) = 2 - 9 - 60х 2 балла

5. Составить уравнение касательной к графику функции

f (x) = + 5 в точке = 1 2, 5 балла

-60-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. А) 30 - 12 + 6 - 1

Б) 8 + + 3sin x

В) - 24х +7

Г) +

Д) - - 4х

2. у (2) =40

3. А) х = Б) х = 2, х = -3

4. А) х ≤ Б) х < 1, х > 2

5. у = 107х + 320

Вариант 2

1. А) 30 - 12 + 40

Б) 24х + -

В) 8cos x - + 4

Г) - -

Д) 35 -6sin x-

2. g (-1) = 13

3. А) х = 1

Б) = ±

4. А) х > -

Б) х ≤ 0, х ≥ 2

5. у = -23х - 13

-61-

Вариант 3

1. А) 12 - 30х + 35 -9

Б) -5sin x + -

В) - 9 +

Г) - 3cos x

Д) + 6 -

2. f (-3) = 63

3. А) х = 1

Б) х = 0, х = -2, х = 2

4. А) х >

Б) х

5. у = -34х - 43

Вариант 4

1. А) 70 - 12 + 32х -12

Б) - + 13cos x -

В) -

Д) 19 -32 - 13sin x

2. у (-2) = 28

3. А) х = -2

Б) х = -1, х = 0

4. А) х ≥ 1

Б) х ≤ -2, х ≥ 5

5. у = -2х + 4

-62-

Контрольная работа № 13

Тема: Применение производной к исследованию функций

Цели - проверить знания и умения студентов применять производную к исследованию функций, построению графиков.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1.Знает основные теоретические понятия темы, схему исследования функции для построения графика.

2. Знает алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции.

3. Умеет применять освоенные алгоритмы при выполнении практических заданий.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

5 -8,5 баллов

« 3 »

9-10,5 баллов

« 4 »

11-13,5 баллов

« 5 »

Менее 5 баллов

« 2 »

-63-

Вариант 1

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

у(х) = 8 - 12 + 17 1 балл

2. Найти экстремумы функции:

f(х) = - 4 -8 - 3 1, 5 балла

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

А) у(х) = 2+ 4 на отрезке 2 балла

Б) f(х) = + на отрезке 2,5 балла

4. Исследовать функцию и построить ее график:

А) у(х) = 2 +3 - 12х + 1 3 балла

Б) у(х) = - + 4х - 3 2,5 балла

В) f(х) = 2 - 4 + 5 3 балла

Вариант 2

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

у(х) = - 4,5 + 1 1 балл

2. Найти экстремумы функции:

f(х) = - 2 - 13 1, 5 балла

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

А) у(х) = 0,2 на отрезке 2 балла

Б) f(х) = х + на отрезке 2,5 балла

4. Исследовать функцию и построить ее график:

А) у(х) = 2 + 9 + 15х 3 балла

Б) у(х) = - +6х - 5 2,5 балла

В) f(х) = - 8 + 3 3 балла

-64-

Вариант 3

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

у(х) = 6 - 9 + 10 1 балл

2. Найти экстремумы функции:

f(х) = - + 2 1, 5 балла

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

А) у(х) = 2 на отрезке 2 балла

Б) f(х) = 2 - 4х на отрезке 2,5 балла

4. Исследовать функцию и построить ее график:

А) у(х) = 2 + 6 - 2 3 балла

Б) у(х) = - + х + 2 2,5 балла

В) f(х) = - 16х - 1 3 балла

Вариант 4

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

у(х) = - + 8 - 16+ 9 1 балл

2. Найти экстремумы функции:

f(х) = - 3 - 3 1,5 балла

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

А) у(х) = 4+ 7 на отрезке 2 балла

Б) f(х) = + на отрезке 2,5 балла

4. Исследовать функцию и построить ее график:

А) у(х) = - 2 + 1 3 балла

Б) у(х) = - + 6х - 5 2,5 балла

В) f(х) = - + 2 + 2 3 балла

-65-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. При х функция убывает, при х функция возрастает

2. При х = 0 максимум функции, при х = -1 и х = 4 минимум функции

3. А) = у(±2) = 48, = у(±1) = -4

Б) = f(2) = 12, = f(-1) = - 15

4. А) у

20

10

5

-3 -2 1 2 х

-6

Б) у

1

х

1 2 3

-3 у

20

В)

10

5

3

-2 -1 0 1 2 х

-66-

Вариант 2

1. При х функция убывает, при х функция возрастает

2. При х = 0 максимум функции, при х = ± 0,5 минимум функции

3. А) = у(0) = -3, = у(2) = - 18,26

Б) = f(2) = 2, = f(1) = 2

4. А) у 30

25

18

10

Х

-6 -5 -1 0

-7

Б) у

0 1 2 х

-2

-5

В) у

12

3 х

-3 -2 0 2 3

-13

-67-

Вариант 3

1. При х функция убывает, при х функция возрастает

2. При х = 2 минимум функции

3. А) = у(2) = 48, = у(-2) = -80

Б) = f(1) = -3, = f(4) = - 12

4. А) у

6

Х

-3 -2 1

-2

Б) у

2

1

Х

0

0,5 1

В) 40

у

30

20

10

8

1 2

-4

-68-

Вариант 4

1. При х функция убывает,

при х функция возрастает

2. При х = 0 максимум функции, при х = ± 1 минимум функции

3. А) = у(0) = 7, = у(-1) = -4

Б) = f(1) = 2, = f(3) = 28

4. А) у

4

1

Х

-1 1

У 1 1,5 2 х

Б)

-1

-5

В) у

3

2

-2 -1 1 2 х

-6

-69-

Контрольная работа № 14

Тема: Интеграл и его применение

Цели - проверить знания, умения студентов по вычислению первообразных простых и сложных функций, интегралов функций, применению интеграла к нахождению площадей фигур, при решении заданий разного уровня сложности.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1.Знает основные теоретические понятия темы: первообразной, интеграла, криволинейной трапеции; формул и правил их вычисления.

2. Знает случаи вычисления площадей фигур с помощью интеграла.

3.Умеет применять освоенные алгоритмы при выполнении практических заданий.

4. Умеет пользоваться справочными таблицами.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

6,5 -8,5 баллов

« 3 »

9-11 баллов

« 4 »

18,5 баллов и более

« 5 »

Менее 6,5 баллов

« 2 »

-70-

Вариант 1

1. Найти первообразные функций:

А) f(x) = 6 - 14 + 4x -3 0,5 баллов

Б) f(x) = + 7 - 1 балл

В) f(x) = 8cos x - + 6 1 балл

Г) f(x) = - sin + 2 балла

2. Вычислить интеграл:

А) 0,5 баллов

Б) dx 0,5 баллов

В) dx 1 балл

Г) dx 1,5 балла

Д) 1 балл

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

А) у = + 4, у = 0, х = -2, х = 3 2 балла

Б) у = - + 7х, у = 0 2,5 балла

В) у = + 3, у = 0, х = 1, х = 3 2 балла

Г) у = , у = 6 - х, у = 0 3 балла

Д) у = + 1, у = + 3 3 балла

Вариант 2

1. Найти первообразные функций:

А) f(x) = 16 - 24 + 8x -13 0,5 баллов

Б) f(x) = + 7sin x - 1 балл

В) f(x) = 10 - + 14 1 балл

Г) f(x) = - cos + 2 балла

2. Вычислить интеграл:

А) 0,5 баллов

Б) dx 0,5 баллов

В) dx 1 балл

Г) dx 1,5 балла dx 1 балл

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

А) у = + 6, у = 0, х = -1, х = 2 2 балла

Б) у = - + 4х, у = 0 2,5 балла

В) у = - 1, у = 0, х = 1, х = 2 2 балла

Г) у = , у = 2 - 2х, х = 1 3 балла

Д) у = , у = + 2 3 балла -71-

Вариант 3

1. Найти первообразные функций:

А) f(x) = 21 - 12 + 6x -1 0,5 баллов

Б) f(x) = + 40 cоs x + 1 балл

В) f(x) = 17 - + 36 1 балл

Г) f(x) = - sin 13х + 2 балла

2. Вычислить интеграл:

А) 0,5 баллов

Б) dx 0,5 баллов

В) dx 1 балл

Г) dx 1,5 баллов

dx 1 балл

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

А) у = , у = 0, х = -2, х = 2 2 балла

Б) у = - + х, у = 0 2,5 балла

В) у = + 2, у = 0, х = 0, х = 2 2 балла

Г) у = , у = - 2х, у = 0 3 балла

Д) у = , у =4х - 3 балла

Вариант 4

1. Найти первообразные функций:

А) f(x) = 6 - 35 + 7 -3 0,5 баллов

Б) f(x) = + 4sin x - 1 балл

В) f(x) = -3 + + 42 1 балл

Г) f(x) = - - cos + 2 балла

2. Вычислить интеграл:

А) 0,5 баллов

Б) dx 0,5 баллов

В) dx 1 балл

Г) dx 1,5 балла dx 1 балл

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

А) у = + 5, у = 0, х = -1, х = 1 2 балла

Б) у = - + 6х, у = 0 2,5 балла

В) у = + 1, у = 0, х = 0, х = 2 2 балла

Г) у = , у= 7 3 балла

Д) у = , у = + 2х , у = 0 3 балла -72-

Вариант 1

1. A) F(x) = 2 + 2 -3x + c

Б) F(x) =5 lnx + 7 + + c

В) F(x) = 8sinx - + 2+ c

Г) F(x) = ln - 4cos + c

2. A) 21 Б) 50 В) -13,5 Г) 7 Д) 0

3. А) S = 26 кв. ед.

Б) S = 85 кв. ед.

В) S = 3 кв. ед.

Г) S = 8 кв. ед.

Д) S = 4 кв. ед.

Вариант 2

1. А) F(x) = 2 - 4 + 4 - 13х + с

Б) F(x) = 9lnx + 7 cosx + + c

В) F(x) = 10 - + 2 + с

Г) F(x) = -0,2 ln + 9 cos + + c

2. А) -6 Б) 82 В) 1,5 Г) 1 Д) 0

3. А) S = 21кв. ед.

Б) S = 10 кв. ед.

В) S = 2 кв. ед.

Г) S = кв. ед

Д) S = 5 кв. ед

-73-

Вариант 3

1. А) F(x) = 3 - 4 + 3

Б) F(x) = 11lnx - 40 sinx - + c

В) F(x) = 17 - + 6 + с

Г) F(x) = ln - sin13x + + c

2. А) - 16 Б) 36 В) - Г) 1 Д) 0

3. А) S = 5 кв. ед

Б) S = кв. ед

В) S = 8 кв. ед.

Г) S = 3 кв. ед.

Д) S = кв. ед

Вариант 4

1. А) F(x) = 10 -7 + 7х - + с

Б) F(x) = 12lnx - 4cosx + + c

В) F(x) = - - 3 + + с

Г) F(x) = -2ln - sin + + c

2. А) 8 Б) 29 В) -30 Г ) 8 Д) -9

3. А) S = 10 кв. ед.

Б) S = 36 кв. ед.

В) S = 6 кв. ед.

Г) S = 10 кв. ед.

Д) S = 1 кв. ед.

-74-

Контрольная работа № 15

Тема: Объемы тел

Цели - проверить знания и умения обучающихся по вычислению объемов многогранников, тел вращения, применения формул объемов тел при решении практических заданий.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы планиметрии, необходимые для вычисления элементов многогранников и тел вращения.

3. Знает формулы для вычисления объемов тел .

4. Умеет выполнять чертежи, иллюстрирующие условие задачи.

5. Умеет пользоваться справочными таблицами.

6. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

3,5 - 4,5 баллов

« 3 »

5 - 7 баллов

« 4 »

7,5 - 10,5 баллов

« 5 »

Менее 3,5 баллов

« 2 »

-75-

Вариант 1

1. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁ является квадрат. Диагональ боковой грани равна 14 см. Найти объем параллелепипеда. 1,5 балла

2. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 6 см. Угол между диагональю боковой грани и стороной основания составляет 60. Найти объем призмы. 2 балла

3. Цилиндр получен вращением прямоугольника АВКС вокруг стороны КС. Угол между диагональю прямоугольника АК и стороной основания КС составляет 45 Найти объем цилиндра

0,5 балла

4. Угол при вершине конуса составляет 90

Найти объем конуса. 1,5 балла

5. Площадь сечения шара плоскостью, удаленной от центра на расстояние

4 см, равна 48. Найти объем шара. 2 балла

6. Сколько кожи потребуется на покрытие футбольного мяча радиуса 12см? На швы добавить 6% от площади поверхности мяча. 3 балла

Вариант 2

1. Диагональ куба равна 16 см и составляет с плоскостью основания угол 30Найти объем куба. 1,5 балла

2. Основанием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС, где АС = 8 см, ВС = 6 см.

Угол между диагональю А1В и стороной основания АВ равен 30Найти объем призмы. 2 балла

3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см и составляет с плоскостью основания угол 60. Найти объем цилиндра. 0,5 балла

4. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АРС, вокруг стороны СР, Найти объем конуса,

АС = 9 см. 1,5 балла

5. Шар и конус имеют равные объемы. Их диаметры равны. Выразить высоту конуса через радиус сферы. 2 балла

6. В аквариум цилиндрической формы, диаметром 50 см, наполненный водой до некоторого уровня, опустили два одинаковых устройства сферической формы для очистки воды. Диаметр этих устройств 5см.

На сколько изменится уровень воды в аквариуме? 3 балла

-76-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

Вариант 1

1. 288

2. 486

3. 1000

4. 486

5. 682

6. 541,44

Вариант 2

1. 768

2. 336

3. 250

4. 243

5. Н = 2R

6. На

-77-

Контрольная работа № 16

Тема: Векторы и координаты в пространстве

Цели - проверить знания студентами теоретических понятий темы, применения правил и формул действий над векторами, их координатами при решении практических заданий.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает правила и формулы действий над векторами в пространстве.

3. Знает формулы для вычисления координат вектора, угла между векторами и длины вектора .

4. Умеет выполнять чертежи, иллюстрирующие условие задачи.

5. Умеет пользоваться справочными таблицами.

6. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

5 - 7 баллов

« 3 »

7,5 - 9 баллов

« 4 »

9,5 - 11,5 баллов

« 5 »

Менее 5 баллов

« 2 »

-78-

Вариант 1

1. Упростить выражение:

АК + СМ + КР + ЕМ + СА 0,5 балла

2. Вектора b и m ак ычисления координат вектора, угла между векторами и длины вектора, n и m коллинеарны. Доказать, что коллинеарны

векторы b - n и m. 1 балл

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е

серединой ребра DD_. Разложить вектор ВЕ по векторам ВА, ВС, ВВ₁.

1,5 балла

4. Даны вектора с , к , n . Найти

координаты вектора: 3к - 0,5с + 2n . 1 балл

5. Найти длину вектора АС, если А( -5; 2; 3) , С ( 4; -5; -1).

0,5 балла

6. Лежат ли точки М ( 1; -4; 11) , Т ( -1; 8; 6) , Р ( 5; -28; 21) на одной прямой? 2,5 балла

7. Даны вектора а , в , с . Найти длину

вектора 2а - в + 4с. 1,5 балла

8. Найти угол между прямыми АВ и СD, если А (1; 0; -1), В ( 2; 1; 0) ,

С (0; -2; -1) , D (-2; -1; 0). 2 балла

9. Даны вектора m , n . Выяснить являются ли эти вектора перпендикулярными ? 1 балл

10. Выяснить является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, если известно, что А ( 3; -1; -1) , В ( 5; 2; -2), С ( -2; 0; -3) , D (0; 3; -2).

3,5 балла

-79-

Вариант 2

1. Упростить выражение:

МЕ + KD + NB + ЕN + BD 0,5 балла

2. Вектора c и b ак ычисления координат вектора, угла между векторами и длины вектора, a и b коллинеарны. Доказать, что коллинеарны

векторы c +2 a и b. 1 балл

3. В тетраэдре ABCD точка К является серединой медианы, проведенной к ребру AD из вершины В.

Разложить вектор СК через вектора СА, СВ, СD.

1,5 балла

4. Даны вектора к , с , d . Найти

координаты вектора: 2c - 0,5k + 3d . 1 балл

5. Найти длину вектора RH, если R( -1; 3; -1) , H ( 2; -1; -1).

0,5 балла

6. Лежат ли точки М (- 1; 2; -2) , A ( -2; 4; -1) , К ( 1; -2; -4) на одной прямой? 2,5 балла

7. Даны вектора n , в , d .Найти длину

вектора 2в - d + 3n. 1,5 балла

8. Найти угол между прямыми КА и СВ, если А (2; -1; 1), К ( -1;- 1; -2) ,

С (3; -2; 0), В (1; -1; -2). 2 балла

9. Даны вектора а , в . Выяснить являются ли эти вектора перпендикулярными ? 1 балл

10. Определить вид треугольника ABC, если известно, что А ( 3; -2; -1) , В ( -1; 3; 2), С ( 3; -2 ; 5).

3.5 балла

-80-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

ВАРИАНТ1

1. 0

2. в = m, n = m ⇒ b - n = (k₁ - k₂) m ⇒ b - n и m коллинеарны

3. ВЕ = ВА + ВС + 0,5ВВ₁

4. 

5. 

6. МР = -2 МТ ⇒ точки лежат на одной прямой

7. 2

8. 90

9. Вектора перпендикулярны

10. Не является параллелограммом

ВАРИАНТ 2

1. МК

2. с= в, 2а = в ⇒ с +2 а= (k₁ + k₂) в ⇒ с +2 а и в коллинеарны

3. СК = 0,25 CD + 0,5 ВС + 0,25СА

4. 

5. 5

6. АК = 3МТ ⇒ точки лежат на одной прямой

7. 

8. 

9. Вектора перпендикулярны

10. = ⇒ треугольник равнобедренный

-81-

Контрольная работа № 17

Тема: Элементы комбинаторики

Цели - проверить знания студентами теоретических понятий темы: перестановок, размещений, сочетаний, умения применять их при решении практических комбинаторных задач.

Материальное обеспечение - карточки с заданиями, инструкции по их оцениванию, методические рекомендации в электронном варианте, справочные таблицы, линейки, карандаши.

Принципы оценивания:

1. Знает основные теоретические понятия темы и их роль в практической деятельности.

2. Знает формулы для вычисления перестановок, размещений и сочетаний.

3. Умеет анализировать условие задачи и определять вид соединения элементов.

4. Умеет применять знания при выполнении практических расчетов.

Критерии оценивания работы

Уровень сформированности знаний и умений по теме определяет сумма баллов, набранных при выполнении заданий. Количество баллов за каждое задание зависит от уровня его сложности.

Полученная сумма баллов переводится в традиционную «5» - балльную шкалу:

5,5 - 7,5 баллов

« 3 »

8 - 9,5 баллов

« 4 »

5,5 - 7,5 баллов

« 5 »

Менее 5,5 баллов

« 2 »

-82-

ВАРИАНТ 1

1. Сколько шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5,6 так, чтобы первой была цифра 3? 0,5 балла

2. В соревнованиях по легкой атлетике участвует 8 команд. Сколько существует различных возможностей занять командами первых двух мест? 1 балл

3. Сколькими способами можно выбрать четырех делегатов, из 15 человек по списку, на студенческую конференцию ? 1 балл

4. В коробке осталось 7 конфет с яблочной и 5 конфет с вишневой начинкой. Сколькими способами из них можно выбрать 3 конфеты с яблочной и 2 с вишневой начинкой ? 2 балла

5. Сколькими способами можно составить график очередности дежурства

из 6 человек? 0,5 балла

6. Сколько существует способов обозначения вершин пятиугольника буквами А, К, Р, Т, С, В, М ? 1 балл

7. В учебной мастерской 16 ламп освещения. Сколько существует разных вариантов освещения, при которых в целях экономии энергии, должно светиться 12 ламп ? 1 балл

8. Зачетная работа студента содержит по 14 вопросов из 4 специальных предметов. Сколькими способами студент может выбрать из этих вопросов следующий набор: 4 вопроса по технологии, 3- по материаловедению, 5 - по конструированию, 2- по технике безопасности ? 3 балла

9. Сколькими способами можно разместить 4 группы студентов в 4 аудитории техникума (по одной в каждой)? 0,5 балла

10. Из 6 теннисистов необходимо послать на турнир четырех человек.

Сколькими способами можно это сделать ? 1 балл

-83-

ВАРИАНТ 2

1. На полке стоит 20 книг, среди которых 6 книг разных авторов и 14 книг одного автора. Сколькими способами можно расставить их на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом ? 0,5 балла

2. Группе студентов из 30 человек, в которой 16 девушек, предложили

12 билетов в театр. Сколько существует способов получения билетов

в театр девушками, если их распространили случайным образом ?

1 балл

3. Среди студентов техникума на участие в конкурсе профессионального мастерства претендуют 5 юношей и 4 девушки. Сколькими способами можно выбрать из этого состава двух юношей и двух девушек?

2 балла

4. Сколькими способами на экзамене из 25 билетов можно вытянуть первые два? 1 балл

5. Сколькими способами можно рассадить 4 студентов, сдающих задолженности, на 30 стульев, имеющихся в кабинете? 0,5 балла

6. Группа дизайнеров изучает на первом курсе 6 гуманитарных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание

на среду, если в этот день должно быть 4 пары? 1 балл

7. Сколькими способами можно составить из партии полотенец, состоящей из 12 штук, комплект из 8 полотенец, для контроля их качества? 1 балл

8. Новогодний подарок содержит 5 наименований конфет, по 8 штук каждого вида. Сколькими способами ребенок может выбрать из подарка следующий набор: 3 штуки- первого вида, 2 штуки - второго типа, 4 штуки - третьего вида, 5 штук- четвертого вида, 6 штук - пятого вида? 3 балла

9. Сколькими способами можно составить график дежурства в классе

для 7 студентов? 0,5 балла

10. В группе 35 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту,

его заместителя и казначея? 1 балл

-84-

ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ:

ВАРИАНТ 1

1. 120

2. 56

3. 1365

4. 45

5. 720

6. 360

7. 1820

8. 3458

9. 24

10. 15

ВАРИАНТ 2

1. 1440

2. 240

3. 300

4. 16

5. 27405

6. 2520

7. 495

8. 238

9. 5040

10. 13800

-85-