Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:

Обучающие:

Создать условия для:

1. обобщения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений», используя основные теории (введение определений аркфункций, формулы для решения тригонометрических уравнений, частные случаи, основные формулы тригонометрии);

2. совершенствования учебного процесса путем введения заданий от репродуктивных к конструктивным и к творческим, в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся.

Развивающие:

Способствовать:

1. развитию памяти, внимания, речи учащихся, способности к активной умственной деятельности;

2. формированию творческой активности, навыков самоконтроля и самооценки.

Воспитывающие:

Способствовать:

1. воспитанию ответственного отношения к учебному труду;

2. формированию системного мышления, обобщения;

3. созданию ситуации уверенности в собственных силах и, как следствие этого, ситуации успеха.

Оборудование:

• карточки-задания для устного счета, групповой работы;

• пакеты заданий для индивидуальной работы, дифференцированной самостоятельной работы;

• таблицы для самостоятельной работы

Используемая литература:

1. А.Н. Колмогоров. «Алгебра и начала анализа»,10 - 11 классы.

Структура урока:

1. Вводно- мотивационная часть (1 мин);

2. Воспроизведение и актуализация опорных знаний через устную работу с классом (6 мин);

3. Определение темы урока. Постановка цели урока (4 мин);

4. Повторение основных фактов через выполнение практических заданий в группах (10 мин + 10 мин обсуждение);

5. Индивидуальная дифференцированная работа с самопроверкой и самооценкой (10 мин);

6. Постановка индивидуального дифференцированного домашнего задания (2 мин);

7. Подведение итогов учебной деятельности (2 мин).

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Мотивация учебной деятельности.

Добрый день, ребята. Мы с вами на уроке математики - каждый из нас внимателен, мы думаем, слушаем. Уже много знаем и хотим показать знания. Имеем свое мнение, отстаивать свою точку зрения. Я желаю вам всем успеха.

Запишите, пожалуйста, в тетради дату.

Ребята слушают, они сосредоточены, внимательны.

Происходит включение учащихся в деловой ритм.

2. Актуализация и воспроизведение опорных знаний через устную работу

Устная работа: (На каждой парте лежат карточки: «+», «-», «1», «2», «3», «4»).

Учитель показывает карточку с заданием и проговаривает вопрос.

1) Какая окружность называется единичной?

,

2) В какой четверти находится угол?

3)Определить знак выражения:

4) Имеет ли смысл выражение и почему?

5) Записать на доске формулы для нахождения корней простейших тригонометрических уравнений.

Sin x =a; cos x =a; где \а\<1.

Совещаются, показывают карточку с правильным ответом.

Желающий ученик идет к доске и записывает.

3. Определение темы урока, постановка цели урока. (Работа в группах.)

Создает группы по 4 человека.

Каждой группе раздаются карточки с уравнениями.

Задание: Распределить данные уравнения на группы и объяснить, по какому признаку проведено распределение.

Как думаете, ребята, чем будем заниматься сегодня на уроке? Чему мы должны сегодня научиться?

Ребята работают в группах.

Каждая группа, обсудив, представляет свой ответ.

Решением тригонометрических уравнений? Научиться решать тригонометрические уравнения

4. Изучение новой темы

Раздаются пакеты с заданиями.

-Каждой группе необходимо сообща решить свое задание, а затем представить его решение на доске и объяснить суть решения для других групп, указав на основные теоретические понятия. Время на выполнение 10 мин.

Учитель следит за правильностью выполнения задания, контролирует, оказывает индивидуальную помощь.

Пока записывают решение на доске, остальные ребята отдыхают.

- Расслабьтесь, закройте на несколько минут глаза, подумайте о чем-нибудь приятном.

- Какой метод решения использовался?

- Чем это уравнение труднее предыдущего?

- Какие основные методы были использованы при решении данных уравнений?

- Какие уравнения вам были интересны

Ребята в группах по 4 человека, читают задание, обсуждают, начинают решать.

Повторяют теоретические вопросы, необходимые при решении.

Ребята записывают решение в тетради.

Представляют решение на доске и объясняют свой способ. Остальные слушают.

Группа 1. 2sinx - cos5x - cos5x = 0.

Решение:

сos5x (2sinx - 1) = 0

сos5x = 0 или 2sinx - 1 = 0

5x = /2 + n, n € Z sin x = ½

x = /10+πn/5, n € Z x = (-1)kπ/6+πk, k € Z

Ответ: /10+ πn/5, n € Z; (-1)kπ/6+πk, k € Z

- Метод разложения на множители.

Группа2. 4sin3x + cos²3x = 4

cos²3x = 1 - sin²3x

4sin3x + 1 - sin²3x - 4 = 0

-sin²3x + 4sin3x - 3 = 0

sin3x = t, |t| ≤ 1

t² - 4t + 3 = 0,

┌ t = 1, → ┌ sin3x = 1 частный случай

└ t = 3 └ sin3x = 3, решений нет

3x = π/2 + πn, n € Z

x = π/6 + πn/3, n € Z

Ответ: π/6 + πn/3, n € Z

Ребята задают вопросы.

Сначала его надо привести к квадратному, используя основное тождество.

Из двух решений выбрать одно, используя ограничения синуса.

Группа 3. 4sin²x + 2sinx cosx = 3

4sin²x + 2sinx cosx = 3sin²x + 3cos²x

sin²x + 2sinx cosx - 3cos²x = 0 | : cos²x ≠ 0

tg²x + 2tgx - 3 = 0

tgx = t

t² + 2t - 3 = 0

┌ t = 1,→ ┌ tgx = 1→┌ x = π/4 + πn, n € Z

└ t = -3 └ tgx = -3 └ x = -arctg3 + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn, n € Z; -arctg3 + πk, k € Z

Группа 4. √3sinx + cosx = √2

√3sinx + cosx = √2 | : 2

√3/2sinx + ½cosx = √2/2

sinπ/3 sinx + cosπ/3 cosx = √2/2

cos (x - π/3) = √2/2

x - π/3 = ± π/4 + 2πn, n € Z

x1 = π/3 + π/4 + 2πn = 7π/12 + 2πn, n € Z

x2 = π/3 - π/4 + 2πn = π/12 + 2πn, n € Z

Ответ: 7π/12 + 2πn; π/12 + 2πn, n € Z

Отвечают:

- Метод введения новой переменной, метод разложения на множители, решение уравнений делением на cos²x ≠ 0, применение формул сложения.

Высказывают свое мнение.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой

- Выберите задания с учетом таблицы.

На откидной доске заранее дана таблица:

Задание 1 - 1 б «5» - 4,5 б

Задание 2 - 2 б «4» - 3 б

Задание 1 - 3 б «3» - 1,2 б

Задание 4 - 4 б

Каждому ученику предлагается конверт с заданиями разного уровня сложности, задания внутри группы не повторяются.

Время на выполнение - 10 мин.

Учитель контролирует, но не помогает.

По истечении времени вывешивается таблица с ответами.

- Поднимите руки, получившие «5», «4», «3».

Учитель ставит оценки и говорит о том, что проверит у каждого решение после сдачи тетрадей.

Вывод:

- Я думаю, что каждый из вас определил свою дальнейшую деятельность, и продумал, над чем ему еще стоит работать.

Выбор решения - это чисто эвристическая, поисковая деятельность и, прежде чем применить формулу, нужно всегда «смотреть вперед», оценивать ее перспективность, т.е. предвидеть результат ее применения.

Право выбора метода, конечно, остается за вами.

Ребята выбирают свое задание и приступают к решению.

Решают самостоятельно.

Выполняют проверку и выставляют себе оценку.

Поднимают руки.

6. Постановка дифференцированного домашнего задания

№ 23 (2а, в) стр. 96 учебника

№ 24 (1а)

№ 25 (1а)

№ 24 (2а-в)

Выбирают и записывают свое задание.

6. Рефлексия (итог учебной деятельности)

Организация общения для самостоятельного подведения итогов.

Атмосфера урока:

- Что нового узнали?

- Какой вид деятельности понравился вам больше?

Составление картины деятельности на уроке и ее успешности.

«Мы узнали…»,

«Возникли проблемы…»,

«Использовали знания…»,

«Хотелось бы порешать…».

Приложение

Самостоятельная работа с самопроверкой

Вариант I

Решите уравнения:

1. 1 + sin2x = 0;

2. tg²x - 2tgx = 0;

3. 2cos²3x + sin3x - 1 = 0;

4. 3cos²x - 5sin²x = sin2x.

Вариант II

Решите уравнения:

1. cos2x + 1 = 0;

2. sin²x - sinx = 0;

3. 2cos²x + 5sinx - 4 = 0;

4. 4sin²x + sin2x = 3.

Вариант III

Решите уравнения:

1. sinx/2 - 1 = 0;

2. tg²x = tgx;

3. 3sin²x + 7cosx - 3 = 0;

4. 1 + 2sin²x = 2sin2x.

Вариант IV

Решите уравнения:

1. cosx/2 - 1 = 0;

2. 2sinxcosx = cosx;

3. 3cosx - 2sin²x = 0;

4. 7sin²x = 8sinxcosx - cos²x.

Ответы к заданиям самостоятельной работы

Задания

Вариант I

Вариант II

Вариант III

Вариант IV

1

-π /4 + π n,

n € Z

π /2 + π n, n € Z

π + 4π n, n € Z

4π n, n € Z

2

π n, n € Z

arctg2 + π k,

k € Z

π n, n € Z

π /2 + 2π k,

k € Z

π n, n € Z

π /4 + π k,

k € Z

π /2 + π n, n € Z

(-1)^kπ /6 + π k,

k € Z

3

π /6 + 2/3π n,

n € Z

(-1)^k+1π /18 +

π /3 k,

k € Z

π /2 +2π n, n € Z

π /2 + π n, n € Z

±π /3 + 2π n,

n € Z

4

-π /4 +π n, n € Z

arctg3/5 + π k,

k € Z

π /4 + π n, n € Z

-arctg3 + π k,

k € Z

π /4 + π n, n € Z

arctg1/3 + π k,

k € Z

π /4 + π n, n € Z

arctg1/7 + π k,

k € Z