Исследовательская работа по математике Мир флексагонов

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Демьяс»

Мир флексагонов

Секция «Современные проблемы в естественных науках»

Математика

Работу выполнила: Башаева Анастасия,

6 класс

Руководитель: Телешева Галина Львовна,

учитель математики

Демьяс

2014 г.

Оглавление

1. Цели и задачи исследования…………………………………………...……3

2. Введение……………………………………………………………………....4

3. История открытия флексагонов……………………………………………..6

4. Флексагоны. Виды флексагонов……………………………………….…….8

5. Складывание флексагонов …………….…...9

6. Применение флексагонов…………………………………………………..…13

7. Заключение………………………………………………………………….…14

8. Литература ……………………………………….. 15

Цели исследования:

Изучить информацию о флексагонах, научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.

Задачи исследования:

• теоретические: изучить схемы для складывания флексагонов, применение флексагонов в жизни человека;

• практические: создание моделей простейших флексагонов.

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот, и другой заняты поисками истиной красоты - того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель - показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Тема данной работы «Мир флексагонов». Актуальность темы очевидна, если посмотреть на мир флексагонов со стороны занимательной математики. Анализ структуры флексагонов очень трудоемок, статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например, таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают нам настроение и радуют глаз. К таким предметам и относятся флексагоны. В начале, может показаться, что это всего лишь игрушки, но они таят в себе много загадок и головоломок.

Практическая значимость данной работы исходит из возможности построения различного рода моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.

Структура работы:

• сбор и анализ информации - изучение материала по теме;

• составление реферата - объединение данных, оформление сведений;

• создание презентации - представление имеющейся информации, используя информационные технологии, в привлекательном виде;

• практическая часть на основе теоретической - создание материальной составляющей работы.

История открытия флексагонов

Благодаря разнице в системах измерения стран мира и различным дизайнерским решениям обычных для нас вещей, а именно, разница размера «официального» американского листа, который короче привычного для нас листа формата А4 на 18 мм, была открыта необычная математическая модель, занимательная игрушка под названием флексагон.

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - 82 способами…

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» - устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках.

Флексагоны. Виды флексагонов

Таким образом, флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу .

В Советском союзе, а в последствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей про эти занимательные головоломки. Были представлены развертки простейшего флексагона - с тремя сторонами, развертка гексагексафлексагона , крестообразная развертка тетрагексафлексагона, ряд исследований И.Д. Кана по гемитетра- и гемигексафлексагонам. Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Флексагоны бывают следующих видов:

• Унагексафлексагон.

• Дуогексафлексагон.

• Тригексафлексагон.

• Тетрагексафлексагон.

• Пентагексафлексагон.

• Гексагексафлексагон.

Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.) Тригексафлексагон: «три» - число поверхностей, «гекса» - число углов. Гексагексафлексагон: «гекса» - число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов

Складывание флексагонов Флексагоны низших порядков Унагексафлексагон

Полоска из трех треугольников, с соединенными концами, в виде листа Мёбиуса с треугольным краем. Это лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоин из шести треугольников, поэтому его можно назвать унагексафлексагоном, но при этом, у него нет шести сторон и он не может складываться. Следовательно, как представитель класса флексагонов, унагексафлексагон мало интересен.

Дуогексафлексагон

Шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (рис. 3). По сравнению с унагексафлексагоном он имеет две стороны, но также не складывается.

Рисунок 3 - Дуогексафлексагон

Тетрагексафлексагон

Существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски (рис. 4):

Рисунок 4 - Полоска бумаги для складывания тетрагексафлексагона

Пентагексафлексагон

Э

тот вид флексагона складывают полоски бумаги, изображенной на рис. 5:

Рисунок 5 - Полоска бумаги для складывания пентагексафлексагона

Гептагексафлексагон

Число форм таких флексагонов четыре, так как складывают его из трех полосок бумаги (рис. 7), при этом первую можно сложить двумя различными способами. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал "флексагонными улицами": их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на "пути Таккермана" они встречались по порядку номеров, как дома на улице [2].

Рисунок 7 - Полоски бумаги для складывания гептагексафлексагона

Складывание тригексафлексагона.

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.

Складывание гексагексафлексагона

Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

:

Применение флексагонов

Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей, нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.

Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.

Заключение

В данной работе мною были рассмотрены флексагоны. Большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника (детали машин). Подводя итог по данной работе, отмечу, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения простейших флексагонов. Найдены примеры практического применения флексагонов.

В жизни, на мой взгляд, флексагоны найдут свое применение в рекламных проектах, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы). Многогранник можно использовать в качестве открытки - трансформера. Можно сделать из многогранника необычную форму для фотографий. Большое применение многогранник найдет в дизайнерском деле, так как цикл перегибаний интересен при создании диванов, кресел, стульев и других предметов.

В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.

В дальнейшем я планирую изучать данную область и, возможно, научиться создавать новые модели флексагонов.

Литература

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. - М.: МИРОС. 1995г.

2. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985г.

3. http//jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm

4. http//models-paper.com›index.php…