Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования (ССУЗ)

«Челябинский техникум промышленности и городского хозяйства имени Я.П.Осадчего»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Разработчик: Медведева Елена Николаевна

преподаватель математики

2015

«ЧТПиГХ им. Я.П.Осадчего»2014г.

Методические рекомендации по разработке методических указаний к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика»/Составитель Медведева Е.Н.. - Челябинск: ГБОУ СПО (ССУЗ) «Челябинский техникум промышленности и городского хозяйства имени Я.П.Осадчего», 2015. - 54 с.

Методические рекомендации по разработке методических указаний к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика» предназначены для всех направлений подготовки, реализуемых в ГБОУ СПО (ССУЗ) «Челябинский техникум промышленности и городского хозяйства имени Я.П.Осадчего».

Методические рекомендации разработаны в соответствии с Положением об образовательной деятельности в ГБОУ СПО (ССУЗ) «Челябинский техникум промышленности и городского хозяйства имени Я.П.Осадчего». Содержат требования к структуре, содержанию и оформлению методических указаний к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине.

Пояснительная записка

Методическое пособие по дисциплине «Математика» разработано согласно

рабочей программе учебной дисциплины, которая является частью примерной основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальности СПО Технология продукции общественного питания.

Математика в учреждениях СПО изучается с учетом профиля получаемого профессионального образования.

Программа предназначена для реализации государственных требований к самостоятельной работе студентов по ФГОС по специальностям СПО технического профиля.

Количество часов, отведенных на ВСР - 44 часа.

Назначение предмета «Математика» заключается в формировании математического мышления, логики и осознания важности теоретических знаний по предмету в профессиональной деятельности.

В результате освоения учебной дисциплины студент должен уметь:

- вычислять пределы числовых последовательностей и функций;

- находить производные функций;

- вычислять интегралы различными способами;

- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

- решать задачи на определение вероятности.

- находить числовые характеристики дискретной случайной величины.

- работать с интернетом, учебной, справочной и дополнительной

литературой по поиску информации.

В результате освоения учебной дисциплины студент должен знать:

- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

- основные понятие и методы математического анализа, теории вероятности и математической статистики;

- основные математические методы решения прикладных задач в профессиональной деятельности.

Содержание

Темы

Стр.,

Тема№1: Предел функции.(5 час.)

Тема№2: Производная функции. (5 час.)

Тема№3: Интеграл. Площади плоских фигур. (5 час.)

Тема№4: Дифференциальные уравнения 1-го порядка. (5 час.)

Тема№5: Дифференциальные уравнения 2-го порядка. (5 час.)

Тема№6: Вероятность события. (6 час.)

Тема№7: Закон распределения случайной величины. .(6 час.)

Тема№8: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. (7 час.)

6

13

19

28

37

41

49

51

Тема№1: Предел функции.

Цель:

• Продолжить формирование навыка работы с текстом;

• Повторить понятие предела функции и способы их вычисления;

• Продолжить развитие навыков практического применения знаний и умений по теме при выполнении упражнений.

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов - это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего - именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос - а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела - это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так - «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 1:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:
, .

Далее находим корни:
;

Таким образом:

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

;
,

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела:

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Пример 7

Найти предел

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

;
;

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Задание:

I. Выполните тестовое задание по теме:

1. По теореме о пределе частного равен

А)

Б)

В)

Г)

2. Значение предела равно

А) 0 б) 1 в) e г) ∞

3. Значение предела равно

А) 0 б) 1 в) e г) ∞

4. Значение предела равно

А) 0 б) 1 в) 2 г) 3 д) ∞

5. Значение предела равно

А) -0,5 б) 0 в) 1 г)3 д) ∞

6. Вычислить

7. Значение предела равно

А) -1 б) 0 в) 0,5 г) 1 д) ∞

8. Вычислить

9. Значение предела равно

А) -∞ б) 0 в) 0,5 г) 1 д) +∞

II. Используя приведенный выше теоретический материал, вычислите пределы следующих функций:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 1, п. 1.4.

2. Учебник В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики»,

Глава 5, п. 5.2.

Тема№2: Производная функции.

Цель:

• Продолжить формирование навыка работы с текстом;

• Повторить понятие производной и правила дифференцирования функций;

• Продолжить формирование навыка использовать полученные знания по теме при выполнении упражнений.

Правила дифференцирования и примеры вычисления производных

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

Таблица производных

Переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где - постоянное число (константа)

Пример 1

Найти производную функции

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

2) Производная суммы равна сумме производных

Пример 2

Найти производную функции

Решаем.

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования - постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями - сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Пример 3

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .

Пример 4

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций - квадратного трехчлена и логарифма .

4) Производная частного функций

Пример 5

Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Пример 7

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

5) Производная сложной функции

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто

Правило дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции - и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию - внутренней (или вложенной) функцией.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 8

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится.

В данном примере интуитивно понятно, что функция - это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а - внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая - внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней?

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус - будет внешней функцией:

Теперь самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 9

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Пример 10

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 11

Найти производную функции

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 12

Найти производную функции

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией - показательная функция.

Начинаем решать

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 13

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Получаем:

.

Задание. Используя теоретический материал, приведенный выше, выполните следующие задания:

I.Вычислите производные следующих функций:

1. ; 2 ; 3 ; 4. ;

5. y = ln (1 + 4x). 6. y = ; 7. y = 3log₂ 5x. 8. y =.

II. Выполните тест на нахождение производной сложной функции:

Тест.

Найти производные функций. (А., В., С. - ответы)

III. Выполнив правильно карточку программированного контроля, отгадайте зашифрованное слово:

Ответ

Задание

а

с

р

у

и

д

-1

14

4

1

3

-3

-24

24

18

-18

3

-3

24

-36

1

0

-1

36

-4

4

40

-42

36

-36

IV. Выполните тестовое задание по теме:

1. Если функция в точке а имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид:

   А)

   Б)

   В)

   Г)

   Д)

   Е)

2. Вторая производная функции y = e^x + x² - 1 равна:

А)e^x б)e^x + 1 в)e^x + 2 г)e^x + 2 х д)e^x + 2x - 1

3. Производная функции равна:

А) б) в) г) д)

4. Производная функции равна:

А) б) в) г) д) е)

5. Производная функции равна: а) б) в) г) д)

6. Конец формы

7. Конец формы

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 1, п. 1.6.

2. Учебник В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики»,

Глава 6, п. 6.1..

Тема№3: Интеграл Площади плоских фигур.

Цель:

• Продолжить систематизацию знаний по теме «Неопределенные и определенные интегралы»;

• Повторить методы геометрического приложения определенного интеграла;

• Продолжить закрепление навыка использования полученных знаний и умений по теме при выполнении упражнений.

Неопределенные и определенные интегралы и их свойства.

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.









Таблица интегралов

В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Непосредственное интегрирование.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Пример 1.

Вычислить .

Решение.

Пример 2.

Вычислить интеграл .

Решение.

Преобразуя выражение и применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем

Пример 3.

Вычислить .

Решение.

Воспользовавшись табличным интегралом , находим

Пример 4.

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

Первый из интегралов приведен к табличному виду.

Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции и правилом .

Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример 5.

Найти неопределенный интеграл .

Решение. Введем новую переменную .

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

Подведение под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду . Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся исходной переменной, то есть

Пример 6.

Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии:

Взглянув в таблицу производных, заключаем, что выражение в числителе можно подвести под знак дифференциала , поэтому
. То есть .

Пусть , тогда . Из таблицы первообразных видим, что . Возвращаемся к исходной переменной .

Без пояснения решение записывается так:

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы . Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример 7.

Вычислить неопределенный интеграл .

Решение:

Пусть , тогда

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как , то . Поэтому

Следовательно,

Определение. Если функция является первообразной для на отрезке , то число равное разности называется определённым интегралом от функции на отрезке и обозначается

Концы отрезка называются, соответственно, нижним и верхним пределом интегрирования.

Таким образом, по определению

Последняя формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Заметим, что значение определённого интеграла не зависит от выбора первообразной.

Свойства определённого интеграла

Свойство 1. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
Свойство 3. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак
Свойство 4. Для любых трёх чисел (точка с лежит между а и в) справедливо равенство
если только все три интеграла существуют.
Свойство 5 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что справедливо равенство:

Методы вычисления определенного интеграла

1. С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

2. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

3.Д ля определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

Пример 1.

Вычислить определенный интеграл:

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Из рассуждений следует и идея замены - неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые пределы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Определим криволинейные трапеции с основаниями на оси ох и оси оу и соответствующие формулы для вычисления их площадей.

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , прямыми , и осью ох, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси ох).

Площадь криволинейной трапеции (рис.1) с основанием на оси ох вычисляется по формуле

Рис. 1.

Если , т.е. криволинейная трапеция расположена ниже оси ох (рис.2), то её площадь вычисляется по формуле

.

Рис. 2.

Если для всех выполняется условие , т.е. , то площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций , и прямыми , , (рис.3), вычисляется по формуле

Рис. 3.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии, ограничивающие фигуру.

- парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).

- прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.

- аналитическое выражение оси ох.

- аналитическое выражение оси оу.

Рис. 4.

Построенная фигура (рис.4) является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле

.

, , .

Тогда (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Построим линии ограничивающие фигуру.

- парабола, симметричная относительно оси OY. Т.к. , то вершина .

Координаты вершины также можно определить по формуле

- ось OX.

Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.

Рис. 5.

Т.о. , на этом отрезке функция , поэтому .

.

Тогда (ед²).

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим линии, ограничивающие фигуру.

- парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

- прямая, если , то ,

если , то .

Найдём точки пересечения линий:

Т.о.

(рис.6).

Рис. 6.

(ед²).

Задание.

I. Используя различные методы интегрирования, выполните следующие задания:

1. Вычислить интеграл .

2. Вычислить интеграл .

3. Найти интеграл .

4. Вычислить интеграл .

5. Найти интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти интеграл .

8. Найти интеграл .

9. Найти интеграл .

10. Вычислить интеграл .

II. Используя геометрические приложения определенного интеграла, выполните следующие задания:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 1, п. 1.12. - 1.14..

2. Учебник В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики»,

Глава 7, п. 7.1. - 7.7.

Тема№4: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Цель:

• повторить понятие дифференциального уравнения;

• повторить способы решений дифференциальных уравнений первого порядка;

• продолжить развитие навыка анализа данного дифференциального уравнения с целью правильного выбора способа его решения;

• продолжить формирование навыка решения дифференциальных уравнений.

Опр. Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ( - произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем обозначение . Итак:

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части - только «игреки», в правой части - только «иксы».

Следующий этап - интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, - это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: .

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение:

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если - это константа, то - тоже некоторая константа, переобозначим её буквой :

Запомните «снос» константы - это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: .

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
- это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева - табличный, интеграл справа - берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение:
Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий

В данном примере переменные разделить нельзя.

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение: вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:

В результате все лямбды исчезли и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Как решить однородное дифференциальное уравнение?

Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.

Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:

Подставляем и в исходное уравнение :

Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантированно получим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и ту же замену: строго и, соответственно, строго .

После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения:

Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.

Если - это функция, зависящая от «икс», то .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части - только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:

Ответ: общий интеграл:

Пример 2

Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение

Решение: Проверим уравнение на однородность:

Таким образом, данное уравнение является однородным.
Очевидно, что является одним из решений уравнения.
Проведем замену:

После подстановки проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные и интегрируем:

Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену: :

Общий интеграл можно упростить:

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:
Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где - одинокая буковка «игрек» (функция), а - выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от«икс». В частности, может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

- Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:

- Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или -1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .

- Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: - это тоже линейное уравнение.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .

Как решить линейное уравнение?

Способ решения связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли.

, где и - некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем и в наше уравнение :

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:

У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .

Если , тогда из нашего уравнения получаем: или просто .

Уравнения записываем в систему:
.

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.

Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы :

Из второго уравнения находим функцию .


Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Вспоминаем, с чего всё начиналось: .
Обе функции найдены: ,

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид линейного уравнения. Проведем замену: и подставим и в исходное уравнение :

После подстановки проведем вынесение множителя за скобки.

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:

В результате: .

Из первого уравнения найдем функцию :

- найденную функцию подставим во второе уравнение системы :

Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:

Обе функции найдены: ,
Таким образом:
Общее решение:

Ответ: общее решение:

Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла.

Рассмотрим что-нибудь с дробями

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.

Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде :

Данное ДУ является линейным, проведем замену:

Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

- подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :

Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

В данном случае:

Ответ: частное решение:

Задание. Используя теоретический материал, приведенный выше, решите дифференциальные уравнения:

1. и найдите его частное решение, если у(1) = -2.

2. у' = ху⁴;

3. у' =

4. у' =

5. Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
   .

6. Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение:
   

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 4, п. 4.1. - 4.4.

2. Учебник В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики»,

Глава 11, п. 11.1., 11.2.

Тема№5: Дифференциальные уравнения второго порядка.

Цель:

• повторить понятие линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

• повторить способы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

• продолжить закрепление полученных знаний и умений по теме при выполнении упражнений.

В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков: и т.д.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений - однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и - константы (числа), а в правой части - строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и - константы, а - функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

- это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Рассмотрим два варианта развития событий:

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: , где - константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
Всё, что осталось сделать - записать ответ, руководствуясь формулой

Ответ: общее решение:

Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот: , но хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала -2, потом 1.

Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.

Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение должно удовлетворять исходному уравнению .

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, - различные действительные корни
Ответ: общее решение:

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где - константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:

Получены два кратных действительных корня

Ответ: общее решение:

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ,

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант , чтобы выполнялись ОБА условия.
Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие :

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: или просто

Далее берём наше общее решение и находим производную:

Используем второе начальное условие :

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: или просто

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы.

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

Всё, что осталось сделать - подставить найденные значения констант в общее решение :

Ответ: частное решение:

Пример 5

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:

То есть, общее решение в любом случае существует. Потому, что любое квадратное уравнение имеет два корня.

Задание: Используя приведенный выше теоретический материал, выполните следующие задания:

1. Решите линейное однородное уравнение 2-го порядка:

а) б)

2. Решите задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений:

а) ; у(0)=2, у'(0)=-2

б) ; у(0)=0, у'(0)=5

3. Составьте самостоятельно два линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка и решите их.

При составлении по возможности учтите, что одно из характеристических уравнений должно иметь два кратных действительных корня, а второе - два различных действительных корня.

4. Выполните тестовое задание по теме «Дифференциальные уравнения»:

1. Выбрать функцию, которая удовлетворяет данному уравнению путем её подстановки: xy´ = 2y

1) y=5x² 2) y=x³ 3) y=x² 4) y=x⁵

2. Определить тип уравнения по его виду xyy´ = 1−x²

1) с разделяющимися переменными 2) однородное относительно переменных

3) линейное относительно y и y

3. Выбрать уравнение с разделяющимися переменными

1) (1+e^2х )y²dy−e^х dx=0 2) 2x²y´=x²+y² 3) y´ = 2y−x+e^х

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка y´´−3y´+2y=0

1) y=С₁e^х +C₂e^2х 2) y=e^-2х (C₁cosx+C₂sinx) 3) y=(C₁+C₂x)e^х 4) y=C₁cosx+C₂sinx

5. Выбрать функцию, которая удовлетворяет уравнение x² y´ + y=0 путём подстановки

1) y=е^х 2) y= 3) y=5e^-2х + 4) y=e^-х

6. Выбрать уравнение с разделяющимися переменными

1) хy´=y² + 1 2) e^-уdx + (2y−xe^-у )dy=0 3) (x² + xy)dy+(y² − xy)dx=0 4) y´=

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 4, п. 4.6.

2. Учебник В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики»,

Глава 11, п. 11.5

Тема№6 : Вероятность события.

Цель:

• Продолжить формирование навыка работы с текстом, анализа прочитанного материала;

• повторить понятие случайного события, его виды, классическое определение вероятности, теоремы о сложении и умножении вероятностей;

• продолжить развитие навыка анализа задачи с целью правильного выбора способа ее решения;

• продолжить формирование навыка вычисления вероятности события.

Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий.
Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n.
Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P*(A) ≤ 1.

Опр. Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет.

Опр. Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может.

Опр. Два события называются несовместными , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример. В урне белые и черные шары. Вынимаем один шар. Событие А - шар белый. Событие В - шар черный.

Опр. Два события называются совместными , если появление одного из них не исключает возможность появления другого.

Пример. Бросаются 2 игральных кубика. Событие А - выпадение 6 на первом кубике. Событие В - выпадение 6 на втором кубике.

Опр. Группа событий А₁, А₂, … называется группой несовместных событий, если события, входящие в группу, попарно несовместны.

Пример. Производится выстрел по мишени. А₁ - попадание в десятку, А₂ - попадание в пятерку, А₃ - промах. А₁, А₂, А₃ - группа несовместных событий.

Опр. Группа событий А₁, А₂, … называется группой совместных событий, если совместны хотя бы два события из этой группы.

Пример. Производится 3 выстрела по мишени. А₁ - попадание при 1-м выстреле, А₂ - попадание6 при 2-м выстреле, А₃ - попадание при 3-м выстреле. А₁, А₂, А₃ - группа совместных событий

Опр. События называются единственно возможными, если при испытании неизбежно произойдет хотя бы одно из них.

Пример. Монету подбросили 2 раза. А₁ - ГГ, А₂ - РР, А₃ - ГР, А₄ - РГ - единственно возможны.

Опр. События А₁, А₂…. Образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого испытания.

Пример. Стрелок стреляет в цель \. А - попадание. В - промах. А и В - полная группа событий.

Опр. События называются равновозможными, если имеются основания полагать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пример. Бросается игральный кубик. А₁ - появление 1, А₂ - появление 2, …

Задача 1
В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае А достоверно.
Задача 2
В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение. Синий шаров в урне нет, т.е. m=0, a n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие А - невозможное.
Задача 3
В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Решение. Здесь m=4, n=12 и P(A)=4/12=1/3.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Размещения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n^m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 1. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Число сочетаний из n элементов по m

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний обозначается C_n^m и вычисляется по формуле:

Пример 2. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 3. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Пример 4. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Основные теоремы теории вероятностей

На практике обычно требуется определить вероятность событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено.

Поэтому, как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных.

Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Этих теорем две:
• теорема сложения вероятностей;
• теорема умножения вероятностей.

Введем понятие о сумме событий и произведении событий.
Суммой двух событий А и В называется событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Геометрическая интерпретация:

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Геометрическая интерпретация:

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. В общем виде ее удобно записать:

Р(∑A_i) = ∑Р(A_i) (2)

Отметим следствия вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1: Если события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

∑Р(A_i) = 1 (3)

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, введем понятие «противоположные события».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие противоположное событию А принято обозначать .

Пример:
Событие А - безотказная работа всех элементов технической системы; - отказ хотя бы одного элемента.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P() =1 (4)

Следствие 2 есть частный случай следствия 1.

Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - P(AB) (5)

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - P(AB) - P(AС) - P(ВС) + Р(АВС) (6)

Из формул (5) и (6) можно записать аналогичную формулу для произведения событий

P(AB) = Р(А) + Р(В) - Р(А+В) (8)

Р(АВС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - P(A+B) - P(A+С) - P(В+С) + Р(А+В+С) (9)

Примеры.

1. В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Наугад вынимается 1 шар. Найти Р того, что шар - не белый.

1-ый способ. Р(А) =

2-ой способ. Р(А) = Р(В) + Р(С) = , где В - вынут красный шар, С - вынут синий шар.

3-й способ. Р(А) = 1-Р() = 1 - = , где - вынут белый шар.

2. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить «неуд» - 0,1, «уд» - 0,6, «хор» - 0,2, «отл» - 0,1.Какова вероятность получить положительную оценку?

1-й способ. Р(А) = Р(3)+Р(4)+Р(5)=0,6+0,2+0,1=0,9

2-способ.Р(А) = 1-Р(2)=1-0,1=0,9 (Р(2)=Р())

3. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку - с вероятностью 0,2, в восьмерку - с вероятностью 0,5. Сделан один выстрел. Какова вероятность следующих событий:

а) А - выбито не менее 8 очков: Р(≥8) = Р(8)+Р(9)+Р(10)=0,5+0,2+0,05=0,75

б) В - выбито менее 8 очков: Р(<8) = 1- Р(≥8)=0,25

в) С - выбито более 8 очков: Р(>8) = Р(9)+Р(10)=0,25

г) выбито не более 8 очков: Р(8) = 1- Р(>8)= 1 - 0,25 = 0,75.

Теорема умножения вероятностей

Введем понятие независимые и зависимые события.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В)

Пример1:
В урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события: А- появление белого шара у 1-го лица; В - появление белого шара у 2-го лица.
Решение: Р(А) до того как произошло событие В равно 2/3. Если событие В произошло, то Р(А)=1/2. Таким образом, событие А зависит от события В.

Пример2. В урне 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

1-й способ. А - 1-й шар черный, В - второй шар черный. Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = , где

Р(В/А) - вероятность того, что 2-й шар черный, при условии, что 1-й тоже черный.

2-й способ. Р(АВ) = =.

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) = P(A) (10)

а, условие зависимости: Р(А/В) ≠ P(A) (11)

Теорема умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности Р(АВ) = P(A)⋅Р(В/А) (12)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁А₂…А_n ) = P(A₁)⋅Р(А₂/А₁)⋅Р(А₃/А₁А₂)⋅…⋅Р(А_n/А1А2…А n-1) (13)

Следствие1: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

Следствие2: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(AВ)=P(А)⋅Р(В) (14)
Р(А₁А₂…А_n ) = P(A₁)⋅Р(А₂)⋅….⋅Р(А_n) (15)

Пример3.

В первой урне 7 белых и 3 черных шара., во второй - 3 белых и 7 черных шаров. Из каждой урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

Пусть А - вынутый из первой урны шар белый, В - вынутый из второй урны шар белый.

А и В - независимы. , поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = =0,21.

Пример4. Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,9. Найти вероятность, что будет: а) два попадания; б) хотя бы одно попадание; в) ровно одно попадание.

Решение. Введем независимые события
А -попадание первого стрелка, ;
В - попадание второго стрелка, .

Противоположные события: - промах первого стрелка, - промах второго стрелка.

Найдем нужные вероятности.

а) Ровно два попадания. Это событие АВ, по теореме умножения вероятностей получаем:

б) Хотя бы одно попадание. Это событие А+В, его вероятность:

в) Ровно одно попадание, событие , его вероятность:

Пример 5. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.
Решение: Рассмотрим события: А - первая лампочка нестандартная, В - вторая лампочка нестандартная, С - обе лампочки нестандартные. Ясно, что С = А∙В. Событию А благоприятствуют 3 случая из 50 возможных, т.е. Р(А) = 3/50. Если событие А уже наступило, то событию В благоприятствуют два случая из 49 возможных, т.е. Р(В/А) = 2/49. Следовательно,
.

Пример 6. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.
Решение. Введем обозначения событий: A - первый взятый учебник имеет переплет, В - второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В, такова: P(B/А) = 2/5.
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна P(AB) = P(A) ∙ P(B/А) = 1/2·∙ 2/5 = 0,2.

Формула полной вероятности

Следствием основных теорем является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним изсобытий:Н₁,Н₂,….Н_n,
Образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае, вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе: Р(А)=∑Р(H_i)⋅P(A/H_i) (16)

Пример 1. Часы одной марки изготовляются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20% всей продукции, второй - 30%, третий - 50%. В продукции первого завода спешат 5% всех часов, второго - 3% , третьего - 2%. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат?

Решение: Пусть А - купленные часы спешат. Возможны гипотезы: А₁ - купленные часы изготовлены на первом заводе, А₂ - на втором заводе, А₃ - на третьем заводе. Р(А₁) = 0,2, Р(А₂) = 0,3, Р(А₃) = 0,5. Найдем условные вероятности наступления события А при осуществлении каждой из гипотез, то есть Р(А/А₁) = 0,05, Р(А/А₂) = 0,03, Р(А/А₃) = 0,02. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = Р(А₁)Р(А/А₁)+ Р(А₂ ) Р(А/А₂)+ Р(А₃)Р(А/А₃)=0,2·0,05+0,3·0,03+0,5·0,02 = 0,029.

Пример 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать два предположения: B₁ - деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) Р(А/B₁) = 2/3; B₂ - деталь произведена вторым автоматом, причем P(B₂) = 1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р(А/B₁)=0,6.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р(А/B₁)=0,84.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
Р(А)=Р(B₁) ∙Р(А/B₁)+Р(B₂) ∙Р(А/B₂)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна: , где .

Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Р=

Пример 3. В тире стрелок проводит 7 выстрелов по мишени с вероятностью попадания каждого 0,8. Какова вероятность того, что будет: а) ровно 4 попадания б) не менее 5 попаданий в) не более двух попаданий.

Решение. а) проводится независимых друг от друга испытаний с вероятностью попадания в мишень в каждом из них . Вероятность того, что будет точно попаданий вычисляем по формуле Бернулли:

б) событие , которое заключается в том, что при выстрелах будет не менее 5 попаданий, можно рассматривать как сумму трех несовместных событий: - 5 попаданий из 7, событие - 6 попаданий с 7 и - все 7 выстрелов метки.

По формуле Бернулли находим вероятности событий

Тогда вероятность события равна сумме найденных вероятностей

в) Подобным образом, вероятность события - не более двух попаданий при семи выстрелах можно вычислить, как сумму вероятностей трех событий:

- 2 попадания из 7,

- 1 из 7 ,

- ни одного попадания из 7 выстрелов (7 промахов).

На практике студенты часто забывают рассматривать событие - подобное отсутствию попаданий , поэтому не делайте подобных ошибок и хорошо запомните возможность возникновения такого варианта. Вероятности находим по знакомой уже формуле

Суммируя вероятности, получим

Однако, события (не более двух попаданий при семи выстрелах) и (не менее 5 попаданий при семи выстрелах) противоположны друг другу, поэтому

Задание. Используя теоретический материал, приведенный выше, выполните следующие задания:

I. Определите соответствие пунктов 1, 2, 3 пунктам а,в,с:

1. Равновозможное событие

2. Невозможное событие

3. Несовместные события

а. Не может произойти

в. Не могут произойти одновременно

с. Одно событие предпочтительнее, чем другое.

II. Решите задачи:

1. В ящике 30 шаров: 6 белых, 9 черных, 15 красных. Найдите вероятность (Р) того, что:

А) вынут красный шар;

В) вынут белый или черный шар.

2. Задано натуральное число не превышающее 70. Найдите вероятность (Р) того, что:

А) Это число четное.

В) Это число делится на 5.

3. В колоде 36 карт. Наугад вынимается одна карта. Какое событие наиболее вероятно: выбранная карта дама пик или выбранная карта туз?

4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

5. Сколькими способами можно выбрать из класса, насчитывающего 40 учеников старосту, его заместителя и физорга?

6. Сколькими способами можно заполнить карточки «Спортлото» 6 из 49?

7. На тарелке 3 пирожка с капустой, 6 пирожков с рисом и 12 пирожков с картошкой. Наугад выбирают три пирожка. Какова вероятность того, что они все с картошкой?

8. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует за смену наладки, равна 0,2, а второй - 0,3. Какова вероятность того, что оба станка потребуют за смену наладки?

9. Используя формулу полной вероятности, решите задачу:

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности попадания в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Вероятности того, что в данной кассе есть билеты, равна соответственно 0,6; 0,9; 0,7. Какова вероятность того, что пассажир приобретет билет?

Литература: 1. Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 7, п. 7.1. - 7.4.

2. Учебник Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ 11», Глава 12,

§1

Тема№7: Закон распределения случайной величины.

Цель:

• Продолжить формирование навыка работы с текстом, анализа прочитанного

• материала;

• повторить понятие случайной величины и закона ее распределения;

• продолжить развитие навыка анализа задачи с целью правильного выбора способа ее решения;

• продолжить закрепление навыка составления закона распределения случайной величины.

Опр. Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения - соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

Опр. Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан таблицей:

Значения x_i

x₁

x₂

x₃

...

x_n

Вероятности p_i

p₁

p₂

p₃

...

p_n

События X = x_i (i = 1, 2, 3,…,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р₁+р₂+р₃+…+р_n = ∑p_i =1

Пример 1.

Найти закон распределения числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что выпадет одно из данных значений равна 1/6. Закон распределения представим в виде таблицы:

Значения x_i

1

2

3

4

5

6

Вероятности p_i

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Пример 2.

Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 - выигрыш в 100 рублей, на 20 - выигрыш в 50 рублей, на 50 - выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X - выигрыша на один билет.

Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

Значения x_i

0

10

50

100

500

Вероятности p_i

0,915

0,05

0,02

0,01

0,005

Пример 3.

Написать закон распределения случайной величины X - отметки на экзамене для группы, в которой 3 отличника, 12 студентов имеют хорошие и отличные оценки, а 15 студентов имеют удовлетворительные оценки.

Решение.

Случайная величина X может принимать следующие значения: 2, 3, 4 и 5. Найдем вероятности этих событий, т.е. Р(Х=2), Р(Х=3), Р(Х=4) и Р(Х=5):

Р(Х=2)=0/30=0 Р(Х=3)=15/30=0,5

Р(Х=4)=12/30=0,4 Р(Х=5)=3/30=0,1

Закон распределения случайной величины X имеет следующий вид:

Х

2

3

4

5

Р

0

0,5

0,4

0,1

Пример 4.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х₁=0 (ни один из элементов устройства не отказал), х₂=1 (отказал один элемент), х₃=2 (отказало два элемента) и х₄=3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
P₃(0)=С₃⁰ p⁰ q^3-0 =q³ =0,9³ =0,729;
P₃(1)=С₃¹ p¹ q^3-1 =3*0,1*0,9² =0,243;
P₃(2)=С₃² p² q^3-2 =3*0,1²*0,9=0,027;
P₃(3)=С₃³ p³ q^3-3 =р³=0,1³ =0,001;
Проверка: ∑p_i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

Значения x_i

0

1

2

3

Вероятности p_i

0,729

0,243

0,027

0,001

Пример 5. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Случайная величина Х - число попаданий в мишень при трех выстрелах. Возможные значения Х: =0,=1, =2, =3. Вероятность того, что произойдут k попаданий (k=0, 1, 2, 3) при трех выстрелах подсчитывается по формуле Бернулли (5.7):

(0£ k£ 3),

где вероятность попадания при одном выстреле p=0,6 , q - вероятность промаха, q=1-0,6=0,4.

===0,064;

===3=0,288;

===3=0,432;

===0,216.

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Задание: Используя приведенный выше теоретический материал, решите следующие задачи:

1. Выпущено 1500 лотерейных билетов: на 20 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 15 - выигрыш в 150 рублей, на 30 - выигрыш в 150 рублей, на 150 - выигрыш в 100 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X - выигрыша на один билет.

2. Составить закон распределения случайной величины X - отметки на экзамене для группы, в которой 2 отличника, 12 студентов имеют хорошие и отличные оценки, а 16 студентов имеют удовлетворительные оценки.

3. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,3. Составить закон распределения числа промахов.

4. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Литература: Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 7, п. 7.9.

Тема № 8: Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение

случайной величины.

Цель:

• Продолжить формирование навыка работы с текстом, анализа прочитанного

• материала;

• повторить понятия математического ожидания и дисперсии случайной величины;

• продолжить развитие навыка анализа задачи с целью правильного выбора способа ее решения;

• продолжить закрепление навыка вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Закон распределения полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) = С

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х).

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х

49

50

51

р

0,1

0,8

0,1

Y

0

100

p

0,5

0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D(X) = M (X - M(X))².

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1. D(X) = M(X ²) - M ²(X).

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Пример 1. Законы распределения двух случайных величин и заданы таблицами:

Вычислить математическое ожидание и

Решение. Находим математическое ожидание по классической формуле

Пример 2. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:

Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

Решение. Согласно свойствами дисперсии получим:

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины (4Х + 5) если М(Х) = 2.

М(4Х + 5) = М(4Х) + М(5) = 4М(Х) + 5 = 4 ^. 2 + 5 = 13

Задание: Используя приведенный выше теоретический материал, выполните следующие упражнения:

1. Законы распределения двух случайных величин и заданы таблицами:

х_i

-2

-0,4

1

2

3

p_i

0,1

0.4

0.2

0.2

0.1

у_i

-5

-4

-1

2

4

p_i

0,2

0.3

0.1

0.3

0.1

Вычислить математическое ожидание и

2. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:

х_i

-7

-5

1

2

5

p_i

0,2

0.1

0.5

0.1

0.1

Вычислить дисперсию

3. Законы распределения двух случайных величин и заданы таблицами:

x_i

2

-3

p_i

0,7

0,3

x_i

30

50

60

p_i

0,3

0,2

0,5

Вычислите: , , D(X), D(Y), M(5X-Y), D(3X+3Y)

4. Выполните тестовое задание по «Теории вероятностей»:

1.Вероятность появления случайного события заключена в пределах

А) [0 ;1]; б) [0;+ ∞); в) [-1; 1].

2.Вероятность достоверного события равна

А) 0; б) 0,25; в) 0,5; г) 1.

3. Вероятность невозможного события равна

А) 0; б) 0,25; в) 0,5; г) 1.

4. Если два события не могут произойти одновременно, то они называются:

А) невозможными; б) совместными; в) независимыми; г) несовместными.

5.Если два события могут произойти одновременно, то они называются:

А) зависимыми; б) совместными; в) независимыми; г) несовместными.

6. Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет король пик?

А) 1/52; б) 1/4; в) 1/13; г) 1/52

7.Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет король?

А) 1/52; б) 1/4; в) 1/13; г) 1/52

8. Чему равно математическое ожидание постоянной величины?

А) 0; б) 1; в) этой величине; г) квадрату этой величины.

9.Чему равна дисперсия постоянной величины?

А) 0; б) этой величине; в) квадрату этой величины.

10.Как называются два события, сумма которых есть событие достоверное, а произведение - событие невозможное?

А) противоположные; б) несовместные; в) равносильные; г) совместные.

11. Отношением числа случаев, благоприятствующих событию A, к числу всех возможных случаев называется...

А) вероятность; б) математическое ожидание; в) число сочетаний;

Г) число размещений.

12. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 6 очками:

А) 1/9; б) 1/6; в) 1/2; г) 1/36.

13. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 1 или 3:

А) 1/3; б) 1/2; в) 1/6.

14.В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают 1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь - бракованная.

А) 1/3; б) 1/15; в) 12/15; г) 3/15.

15.Сколькими способами можно поставить 5 человек в очередь?

А) 25; б) 120; в) 5; г) 100.

16. Какое событие называется случайным? Запишите ответ.

Литература: Учебник С.Г. Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Глава 7, п. 7.10.