Способы решения задач на проценты

Рассмотрены два типа задач на проценты, которые у учащихся вызывают при решении наибольшие затруднения: 1. Задачи на сплавы и смеси (условно назовём их «задачи о трёх процентах»). Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и в «Арифметике» Магницкого. В пособии показаны два способа решения таких задач: с помощью системы уравнений с двумя переменными и старинным способом - «рыбкой». 2. Задачи «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется», которые решен...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойя)

Пояснительная записка

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни.

Учащиеся встречаются с процентами на уроках математики, химии, физики, при чтении газет, просмотре телепередач.

Обучение решению задач на проценты всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. В повседневной жизни обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, изменение процентов банковского кредита. Всё это требует производить хотя бы несложные процентные расчёты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие ориентированы на поступление в высшие учебные заведения.

Практика показывает, что очень многие, окончившие школу, не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процента, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценного представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Данное пособие содержит подборку задач на проценты из сборников для подготовки к ЕНТ и в нем описаны наиболее рациональные способы их решения.

Рассмотрены два типа задач на проценты, которые у учащихся вызывают при решении наибольшие затруднения:

  1. Задачи на сплавы и смеси (условно назовём их «задачи о трёх процентах»). Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и в «Арифметике» Магницкого. В пособии показаны два способа решения таких задач: с помощью системы уравнений с двумя переменными и старинным способом - «рыбкой».

  2. Задачи «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется», которые решены тремя способами: при помощи отрезков, через площади прямоугольников и «уголком».

Решение задач на проценты - это несложный процесс, просто необходимо знать методы решения и иметь аналитическое мышление. Знание способов решения задач на проценты очень полезны, так как по данному принципу можно решать и сложные, и межпредметные, и логические задачи.

I тип задач: на сплавы и смеси (или задачи о трёх процентах)

Задача 1. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение

1-й способ

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмём для смешивания х г 5%-ного раствора кислоты (Способы решения задач на проценты г) и у г 40%-ного раствора (или Способы решения задач на проценты г).

Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е. Способы решения задач на проценты г, то получаем следующее уравнение: Способы решения задач на проценты

Кроме того, Способы решения задач на проценты

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

Способы решения задач на проценты

Из этой системы находим Способы решения задач на проценты,Способы решения задач на проценты

Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора-100 г.

2-й способ (старинный)

Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине - содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему:

Способы решения задач на проценты

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки.

Получится такая схема:

Способы решения задач на проценты

Из неё делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей или 10х, а 40%-ного - 25 частей или 25х. Составляем уравнение: Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты, отсюда Способы решения задач на проценты, а Способы решения задач на проценты, т.е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного - 100 г.

Предложенный способ «рыбки» позволяет экономить время. Поэтому следующие две задачи решим этим же старинным способом.

Вот одна из наиболее часто встречающихся задач на практике:

Задача 2. Имеется 240 г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6%-ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение

  1. По изложенному выше способу составляем схему:

    Способы решения задач на проценты

  2. Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты, отсюда Способы решения задач на процентыг

Ответ: 2560 г воды.

Задача 3. Имеется 50 г 80%-ной серной кислоты. Нужно получить 95%-ную серную кислоту. Сколько грамм 100%-ной серной кислоты надо добавить?

Решение

  1. По изложенному выше способу составляем схему:

Способы решения задач на проценты

  1. 80%-ному раствору соответствует 5х или 50 г, Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты, отсюда Способы решения задач на проценты, т.е. для получения 95%-ного раствора кислоты нужно взять 100%-ной кислоты 150 г.

II тип задач: «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется»

Задача 1. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12% воды. Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Решение

1-й способ (отрезками)

При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется!

Способы решения задач на проценты

Запишем решение по шагам:

  1. Способы решения задач на проценты - составляет сухое вещество в свежих грибах

  2. 100% - 22 кг

10% - х кг

Способы решения задач на проценты кг - масса сухого вещества в свежих грибах

  1. Способы решения задач на проценты - составляет сухое вещество в сухих грибах

  2. 88% - 2,2 кг

100% - х кг

Отсюда, Способы решения задач на проценты кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

2-й способ (через площади прямоугольников)

Способы решения задач на проценты

Решение

Запишем это решение по шагам:

  1. В прямоугольной системе координат на осях координат обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в процентах (в порядке возрастания)

  2. Через данные точки проводим прямые, перпендикулярные осям координат

  3. Находим площади полученных прямоугольников: Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты

  4. Приравнивая площади, получаем уравнение: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

3-й способ (уголком)

Способы решения задач на проценты

Решение

Запишем это решение по шагам:

  1. На сторонах угла обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в процентах

  2. Пересекаем стороны угла параллельными прямыми (Способы решения задач на проценты,Способы решения задач на проценты)

  3. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

Исходя из опыта работы, большая часть учащихся при решении задач «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется» предпочтение отдаёт третьему способу.

Поэтому следующие задачи решим наиболее рациональным способом - «уголком».

Задача 2. Имеется 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько кг воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?

Решение

«сухое вещество» - целлюлоза

Способы решения задач на проценты

  1. Пусть Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты - вода, которую надо выпарить

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты кг

Ответ: надо выпарить 200 кг воды

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 15 л морской, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решение

«сухое вещество» - соль

Способы решения задач на проценты

  1. Пусть Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты - вода, которую надо добавить

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты л.

Ответ: надо добавить 35 л воды.

Задача 4. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо добавить?

Решение

«сухое вещество» - йод

Способы решения задач на проценты

  1. Пусть Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты - спирт, который надо добавить.

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты г

Ответ: надо добавить 441 г спирта.

Задача 5. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Найти массу соли в первом растворе.

Решение

Будьте внимательны! В отличие от предыдущих задач, «вещество, которое не меняется» - вода. (Количество воды - постоянно, а соль добавляется.)

Способы решения задач на проценты

  1. Способы решения задач на проценты - воды в первом растворе

Способы решения задач на проценты - воды во втором растворе

  1. Пусть Способы решения задач на проценты, Способы решения задач на проценты г - добавка соли

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты г - первоначальный раствор.

  1. 100% - 120 г

40% - х г

Отсюда, Способы решения задач на процентыг

Ответ: 48 г соли в первоначальном растворе.

Задача 6. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Найти массу индийского чая в первоначальной смеси.

Решение

«Вещество, которое не меняется» - грузинский чай.

Способы решения задач на проценты

  1. Способы решения задач на проценты - грузинского чая в первой смеси

Способы решения задач на проценты - грузинского чая во второй смеси

  1. Пусть Способы решения задач на проценты - первая смесь, Способы решения задач на проценты - добавка индийского чая

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты г - первая смесь

  1. 100% - 440 г

30% - х г

Отсюда, Способы решения задач на проценты г

Ответ: 132 г индийского чая

Задача 7. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно прибавить к этому куску, чтобы получить сплав, который содержит 60% меди?

Решение

«Вещество, которое не меняется» - цинк

Способы решения задач на проценты

  1. Способы решения задач на проценты - цинка в первом сплаве

Способы решения задач на проценты - цинка во втором сплаве

  1. Пусть Способы решения задач на проценты - первый сплав, Способы решения задач на проценты - добавка меди

  2. Составляем пропорцию: Способы решения задач на проценты

Отсюда, Способы решения задач на проценты кг

Ответ: нужно добавить 13,5 кг меди.

Используемая литература



  1. Журнал «Математика в школе», 1997 г., № 1

  2. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г., «Математика 6 класс», часть 1

  3. Сборники тестов для подготовки к ЕНТ (2012, 2013, 2014 годы)

© 2010-2022