Статья по математике Ұлттық бірыңғай тестілеу емтиханының бір нұсқасын шешу үлгісі

Математика пәнінен Ұлттық бірыңғай тестілеу емтиханының бір нұсқасын шешу үлгісі

Альсейтов Амангелді Гумарович

«Альсейтов» білім беру орталығының директоры, математика пәнінің оқытушысы

Бұл еңбекте математика пәнінен Ұлттық бірыңғай тестілеу емтиханының бір нұсқасының (2012 жылғы жинақтың бірінші нұсқасы) толық шешуі келтіріледі.

1. 45 санының 30 % -ын табыңыз.

Шешуі. Берілген санның берілген пайызын (процентін) табу үшін берілген санды берілген пайыз мөлшеріне көбейтіп, нәтижесін жүзге бөледі: .

Жауабы. 13,5.

2. Өрнекті ықшамдаңыз: .

Шешуі.

( және теңдіктерін пайдаландық).

Жауабы. .

3. Өрнекті ықшамдаңыз: .

Шешуі. Ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарып, қысқаша көбейту формулаларын қолданамыз:

.

Жауабы. .

4. Теңдеуді шешіңіз: 45-2(3х-8) =31.

Шешуі. Бұл сызықтық теңдеу. 45-2(3х-8)=31, 45-6х+16=31,

-6х= -30, х= -30:(-6)=5.

Жауабы. 5.

5. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Бұл логарифмнің анықтамасын тікелей қолдану арқылы шешілетін теңдеу: , , .

Жауабы. 3.

6. Теңсіздікті шешіңіз: .

Шешуі. , ,

, , .

Жауабы. .

7. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: .

Шешуі. Жүйенің екінші теңдеуін қысқаша көбейту формуласын қолдана отырып көбейткіштерге жіктейміз де, әрі қарай қосу тәсілін қолданамыз: , , (екінші теңдеуде бірінші теңдеуден екендігін ескердік), , , , , , .

Жауабы. (16; 4).

8. 2x-y=11 теңдеуінің графигінің ординатасы нөлге тең нүктесінің абсциссасын табыңыз.

Шешуі. Есеп шартынан ордината нөлге тең, яғни теңдеудегі у-тің орнына 0 (нөл) қоямыз: 2х-0=11, x=11:2=5,5.

Жауабы. 5,5.

9. Тік төртбұрыштың бір бұрышының биссектрисасы оның қабырғасын қақ бөледі. Тік төртбұрыштың кіші қабырғасы 10 см-ге тең, оның периметрін табыңыз.

Шешуі. АВ мен СD кіші қабырғалар, ал АD мен ВС үлкен қабырғалар болсын. АК есеп шартындағы биссектриса делік. Есеп шартына сай см және болады. АК биссектриса болғандықтан, .

A

D

B

C

b

K₂

- ішкі айқыш бұрыштар, сондықтан АВК теңбүйірлі үшбұрыш болады да, см екендігі шығады. Сонда см болады да, тіктөртбұрыштың периметрі см болады.

Жауабы. 60 см.

10. Алманың бағасы қаңтар айының барысында 30 %-ға, ал ақпанның барысында 20 %-ға көтерілді. Осы екі айдың ішінде баға қанша пайызға көтерілді?

Шешуі. Алманың бағасы алғашқыда х болсын делік, сонда есеп шарттарына сәйкес келесі өрнекті аламыз:

=, яғни екі айдың ішінде баға 56 пайызға көтерілген.

Жауабы. 56 %-ға.

11. Теңдеуді шешіңіз: . Теңдеудің шешімдерінің қосындысын табыңыз.

Шешуі. Бұл квадраттық теңдеуге келтірілетін теңдеу. Теңдеудің екі жағын да өрнегіне көбейтіп, теңдеуін аламыз. Оны түрлендіріп, теңдеуіне келеміз. Одан алмастыруын енгізіп, квадраттық теңдеуін аламыз. Оның дискриминанты , және түбірлері . Сонда , және бұдан . Сонымен, теңдеудің шешімдерінің қосындысы .

Жауабы. .

12. Теңсіздікті шешіңіз: .

Шешуі. Теңсіздіктің сол жағын көбейткіштерге жіктеп, нөлдерін табамыз да, интервалдар тәсілін қолданамыз:

, бұдан .

-2

0

2

-

-

+

+

.

Жауабы. .

13. Ықшамдаңыз: .

Шешуі. Бірінші қосылғышқа (азайғышқа) айырманың синусының формуласын қолданамыз:

.

Жауабы. .

14. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: .

Шешуі. , , , , , ,

, .

Жауабы. n; ; n Z.

15. Теңсіздікті шешіңіз: .

Шешуі. , . −1cosх1 болғандықтан, теңсіздіктің шешімі жоқ.

Жауабы. Шешімі жоқ.

16. Егер b₂ = 3, b₅ = 81 болса, геометриялық прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз.

Шешуі. болғандықтан, , және болады. Сондықтан, .

Жауабы. 1.

17. функциясының кему аралығын табыңыз.

Шешуі. Функцияның туындысын тауып, туындының таңбасы тұрақты болатын аралықтарды анықтаймыз; туынды оң болатын аралықтарда функция өседі, ал теріс болатын аралықтарда кемиді:

1

+

- 1

-

+

, . Соңғы теңдеудің түбірлері . Туынды [−1; 1] аралығында теріс болатындықтан, функция ол осы аралықта кемімелі болады.

Жауабы. [−1; 1].

18. функциясының нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. ; функцияның берілген нүктедегі мәні . Берілген функцияның туындысын табамыз: ; функцияның туындысының берілген нүктедегі мәні: . Жанама теңдеуі: .

Табылған мәндерді осы формулаға қойып, ізделінді жанаманың теңдеуін аламыз: , бұдан .

Жауабы. .

19. АВС үшбұрышының АК-биссектриса. ВК-ны табыңыз.

C

B

A

a

α/2

α/2

K

β

γ

Шешуі. Суреттегідей белгілеулер енгізіп, АВК үшбұрышына синустар теоремасын қолданамыз. . және келтіру формуласы бойынша болғандықтан, теңдеуінен (пропорциясынан) .

Жауабы. .

20. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Теңдеудің сол жағындағы жақшаларды ашып, теңдеудің оң жағындағы мүшені теңдеудің сол жағына шығарып, ұқсас мүшелерін біріктіреміз: ,

. Соңғы теңдеуді көбейткіштерге жіктеу тәсілімен шешеміз: , , , , . Көбейтінді нөлге тең болуы үшін көбейткіштердің бірі нөлге тең болуы керек болғандықтан, теңдеудің сол жағындағы көбейткіштерді жеке-жеке нөлге теңестіреміз:

1) ; бұдан ;

2) ; бұл квадраттық теңдеудің дискриминанты болғандықтан, бұл теңдеудің түбірі жоқ.

Жауабы. -1.

21. Есептеңіз: .

Шешуі. Берілген өрнектегі косинустардың аргументтерінің бірі екіншісінің аргументінен екі есе үлкен екенін байқаймыз (), бұл қос бұрыштың синусының формуласын қолдануға бағыт береді (). Осы мақсатпен берілген өрнекті өрнегіне көбейтеміз, сонда =

=.

Жауабы. .

22. а-ның қандай мәнінде мына сызықтармен шектелген фигураның ауданы 9-ға тең: , , ?

Шешуі. , бұдан .

Жауабы. 3.

23. Үшбұрышты дұрыс пирамиданың төбесіндегі жазық бұрышы 90-қа тең. Бүйір бетінің ауданы 192 см²-ге тең пирамиданың бүйір жағына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

Шешуі. Пирамиданың бүйір бетінің ауданы S_{бүйір беті}=3· S_{бүйір жағы}, сондықтан S_{бүйір жағы}=S_{бүйір беті}:3=192:3=64. Есеп шартына сәйкес пирамиданың бүйір жағы теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыш, оның гипотенузасын х десек, S_{бүйір жағы}==64. Бұдан х=16, және тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы гипотенузаның жартысына тең болатындықтан, ізделінді радиус см.

Жауабы. 8 см.

24. Конустың биіктігі 20-ға тең, табанының радиусы 25-ке тең. Конустың төбесі арқылы өтетін және конустың табанының центрінен қашықтығы 12-ге тең болатын қиманың ауданын табыңыз.

О

А

К

Е

С

В

Шешуі. Қима теңбүйірлі АВЕ үшбұрышы болады. ЕКО тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша , бұдан . ЕСО тікбұрышты үшбұрышынан тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына жүргізілген биіктіктің қасиеті бойынша және бұдан

.

Сонда ЕС=EK+CK=16+9=25. Әрі қарай, СКО тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

, бұдан . АСО тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

, сонда және қима ауданы .

Жауабы. 500.

25. АВСD дұрыс тетраэдр. +)-)+(-) векторлық өрнекті ықшамдаңыз.

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың барлық жақтары өзара тең дұрыс үшбұрыштар, сондықтан оның жағының қабырғаларының арасындағы бұрыштар 60°-тан. Тетраэдр қырының ұзындығын а десек, +)-)+(-)=

=-+∙-∙=-+∙∙cos60°-∙∙cos60°=0.

Жауабы. 0.

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

1. Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу-әдістемелік құрал. - Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. - 465 б.

2. Математика - 2012 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2012. - 134 б.

3. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). - Орал, 2012. - 156 б.

11