«Нестандартные методы решения уравнений»

«Нестандартные методы решения уравнений»

Кубанова Ольга Николаевна, учитель математики,

МБОУ «Плесецкая средняя школа»

« Процесс решения уравнения -

есть просто акт приведения его к более простой форме.

Но в некоторых формах его нелегко прочесть.

Решение его аналогично переводу

незнакомой фразы на понятный нам язык»

О.Лодж.

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приёмов, предназначенных для вполне определённых типов уравнений, но и теми «нестандартными» методами, о которых я хочу рассказать.

Суть этих методов - реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, то есть мы будем применять хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.

Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, нестандартные методы предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей у детей, а также повышение качества обучения математике.

Я остановлюсь на методе, где для решения уравнений используются свойства функций, входящих в уравнение.

1. Исследование области определений и области значений функций:

Заметим, что и и

Поэтому равенство невозможно.

Ответ: нет корней.

2. Свойства монотонности функций:

Это уравнение можно решить стандартным способом, а можно проще. В левой части уравнения - возрастающая функция, а в правой - убывающая. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 - корень уравнения, что можно проверить подстановкой.

Ответ: 1

3. Использование суперпозиций функций:

.

Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть , тогда . Рассмотрим функции: и . Эти функции взаимно обратные, возрастает, то равносильно уравнению .

Корень один, т.к. слева - возрастающая функция, справа - убывающая функция.

Ответ: -30

4. Использование « неотрицательности» функций:

.

Все слагаемые левой части неотрицательны, следовательно равенство возможно, только если каждое из слагаемых равно нулю.

Эти два равенства противоречат друг другу. Система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Чтобы использовать эти методы для решения уравнений, необходимо хорошо знать теоретический материал. Используя эти методы, экономится время, что позволяет решить больше заданий. А это немало важно при написании контрольных работ и сдаче ЕГЭ.

Свойства функций:

1. Область определения и область значения квадратного корня.

2. Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f(х)- функция, возрастающая на промежутке L, а у=g(x)- функция, убывающая на этом же промежутке L. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке L не более одного корня.

3. Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f(x) и g(x) взаимно обратны и функция f(x) возрастает, то уравнение f(x)=g(x) и уравнение f(x)=x равносильны.

4. «Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

1. Область определения и область значения квадратного корня.

2. Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f(х)- функция, возрастающая на промежутке L, а у=g(x)- функция, убывающая на этом же промежутке L. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке L не более одного корня.

3. Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f(x) и g(x) взаимно обратны и функция f(x) возрастает, то уравнение f(x)=g(x) и уравнение f(x)=x равносильны.

4. «Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

1. Область определения и область значения квадратного корня.

2. Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f(х)- функция, возрастающая на промежутке L, а у=g(x)- функция, убывающая на этом же промежутке L. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке L не более одного корня.

3. Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f(x) и g(x) взаимно обратны и функция f(x) возрастает, то уравнение f(x)=g(x) и уравнение f(x)=x равносильны.

4. «Неотрицательность» функций.