Урок на тему Теорема Виета

Тема: "Теорема Виета"

Цели урока:

1. Обучающие: доказать теорему Виета, показать ее применение; рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета, сформировать умение использовать эту теорему.

2. Развивающие: развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.

3. Воспитательные: воспитывать такие качества, как познавательная активность, самостоятельность. Упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю и самоанализу.

Материалы.

1. Карточки "Теорема", "Условие", "Заключение", "Прямая теорема", "Обратная теорема".

2. Маркеры.

3. Листы бумаги формата А4.

4. Плакат с релаксацией.

Оборудование: ноутбук, проектор, слайдовая презентация.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I

Организационный момент.

Здравствуйте ребята, садитесь. Открыли тетради и записали дату сегодняшнего урока, тему урока запишем позже.

Рассаживаются по местам. Записывают дату.

II

Психологическая минутка.

Притча.

Ребята, хотите я расскажу вам историю?

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жил один мудрец, слава о котором прошла по всему городу. Но в этом же городе жил злой человек, который завидовал его славе. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет. Тогда станет ясно, кто из нас мудрее». Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка - живая или мертвая?» Но мудрец ответил: « Все в твоих руках…»Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. И уравнение со * не решается… Тогда вспомните слова мудреца «Все в твоих руках…»

Слушают учителя.

III

Повторение. Слайд № 1.

1591-ый год. Франция. На французском троне король Генрих IV. Идет война с Испанией. Слайд № 2.

Мы с вами в доме французского математика, адвоката по профессии Франсуа Виета (1540 - 1603).

Чем же занят хозяин? Он что-то пишет. Заглянем в его записи. Слайд №3. На протяжении всего урока мы будем наблюдать за его работой.

1. х² - 15х + 14 = 0;

2. 9 - 2х² - 3х = 0;

3. х² + 8х + 7 = 0;

4. 3х² - 2х = 4;

5. 6х² - 2 = 6х;

6. х² = - 9х - 20.

Что здесь записано?

Назовите общий вид квадратного уравнения.

А какое квадратное уравнение является приведённым? Слайд № 4.

А давайте-ка, ребята, разделите уравнения на две группы, признак деления определите сами и запишите в 2 столбика. слайд №5

Подсказка (стандартный вид квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0)

Подсказка (обратить внимание: а ≠ 1 (общ. вид),

а = 1 (привед. кв.ур.)

Что же у вас получилось? Как распределили уравнения?

В виде примеров деления продемонстрировать слайд №6.

1 способ: станд вида и уравн нестандарт вида

2 способ: непривед вида и привед

Cмотрят на слайды

Отвечают: записаны квадратные уравнения.

ax² + bx + c = 0

Квадратное уравнение, в котором первый коэф. равен 1.

Работа в парах.

1 гр. 2 гр.

(уравнения общего вида) (привед. кв. урав.)

9 - 2x² - 3x = 0 x² - 15x + 14 = 0

3x² - 2x = 4 x² + 8x + 7 = 0

6x² - 2 = 6x

x² = - 9x - 20

IV

Новый материал.

Тем временем, у месье Виета появились новые записи:

Слайд № 7.

Итак, как называются квадратные уравнения, у которых первый коэффиц равен 1?

Исследование.

1.Решите уравнения в тетради и приготовьтесь результаты занести в таблицу.

(1 гр решает 1 уравн, 2 гр-2-ое и т.д), 5 и 6 уравнение у доски решают Закамскова А и Перерва А)

2.Обмен информацией. А теперь вместе заполним таблицу. Проверим:

1 группу….. слайд № 8

2 группу….. слайд №9

3 группу….. слайд № 10

4 группу….. слайд №11

У доски получилось…. слайд № 12,слайд №13

3. Связывание информации.

Посмотрите внимательно, не видите ли вы какой-либо связи между столбцами таблицы? Слайд №14 .

Какова связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

(записать на левой боковой доске)

Сформулируйте это утверждение в общем виде, чтобы могли применять его для любых приведенных квадратных уравнений. Слайд № 15

На математическом языке запишем на доске и в тетради. Слайд №16

Как от квадр уравнения общего вида перейти к приведённому кв урав? Слайд №17

А теперь давайте сформулируем выводы для квадратного уравнения, котор записано в общем виде

и запишем в тетради. Слайд №18

Сравним ваши выводы с записями Франсуа Виета(слайд №19) и записями в учебнике на стр 168.

Слайд №20

Вот видите, ребята, мудрец был прав, действительно оказалось все в ваших руках. Вы сегодня сделали такое же открытие, что и великий французский математик Франсуа Виет 420 лет назад.

А как же мы назовем это утверждение?

А можно ли так назвать наш сегодняшний урок?

Записываем тему урока на доске и в тетради.

А можно ли применять теорему Виета для любых квадратных уравнений?

Утверждение мы сформулировали. Можем уверенно сказать, что она будет выполняться для любого квадратного уравнения?

Найдите среди табличек теорему, условие, заключение теоремы Виета.

А какая теорема является, обратной данной?

Попробуйте сконструировать обратную теорему, с которой мы познакомимся на следующем уроке.

Если кому- то трудно выучить теорему в том виде, в котором вы её сейчас вывели, то, может быть, вам помогут следующие стихи:

(ориентируемся на запись на слайде x² + b/аx + c/а = =0) слайд №21

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни и дробь уж готова?

В числителе c, в знаменателе a.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда

В числителе b в знаменателе a.

С доказательством теоремы мы сейчас ознакомимся, а на следующем уроке вы докажите её сами и еще рассмотрим несколько важных свойств.

Слайды №22 и №23 Запоминаем. Кто готов повторить записи на листочке? Получит 5-ку.

Приведенные квадратные уравнения.

x² +5x + 6 = 0

x² - 4x + 3 = 0

x² +5x +4=0

x² -5x + 6 = 0

x² +x -12 = 0

x² +5x - 6 = 0

отвечают: называются приведенными квадратными уравнениями

x² + px + q = 0

Каждая группа решает по одному уравнению. У доски два человека решают уравнения.

(работа в парах)

По одному ученику из каждой группы дают ответ.

Ответ: Есть связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.

Ответ: Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пусть х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения

x² + px + q = 0, тогда х₁ + х₂ = - p,

x₁ ∙ x₂ = q.

Записывают в тетради.

Разделить обе части уравнения на а

ax² + bx + c = 0

x² + b/ax + c/a = 0

x² + px + q = 0

Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0, тогда х₁ + х₂ = - p= -b/a,

x₁ ∙ x₂ = q = c/a.

Читают Теорему Виета.

Теорема Виета

Да можно.

Записывают тему урока в тетради

Ответ (да или нет)

Нет, мы увидели закономерность на примерах. Так как все примеры рассмотреть невозможно, то это не является доказательством.

Таблички выбирают и говорят где что.

Теорема, в которой условием явл. заключение данной теоремы, а заключением-условие данной теоремы, наз обратной данной.

Повторяют стихи.

Смотрят на слайды.

V

Физминутка.

Для профилактики близорукости (исходное положение сидя, каждое повторяется 2-3 раза):

1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.

2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, открыть веки.

3. Руки на пояс, повернуть голову вправо, посмотреть на локоть правой руки; повернуть голову влево, посмотреть на локоть левой руки, вернуться в исходное положение.

4. Поднять глаза кверху, сделать ими круговые движения по часовой стрелке, затем против часовой стрелки.

При работе в паре Лучше выбирать себе партнера со схожим ростом и весом. Это условие обязательное.

Станьте спиной друг к другу. Поднимите и скрестите руки. Крепко сожмите ладони друг друга. По очереди отрывайте друг друга от пола.

Начиная выполнять упражнение, осторожно наклоняйтесь вперед, удерживая вашего напарника за спиной. Теперь медленно прогибайтесь назад и ставьте его на пол. При наклоне равномерно выполняйте выдох, при разгибании - вдох.

Выполняйте упражнение медленно. Важно, чтобы ваш партнер висел неподвижно у вас за спиной и не раскачивался. Но не как «мешок с картошкой». Он должен очень внимательно пассивно выполнять это упражнение вместе с вами.

Для начала 3 подъема-опускания за подход будет достаточно.

Выполняют упражнения

VI

Закрепление.

Учебник: №29.2(в), 29.3)в), 29.4(в), 29.7(в)

Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения

Образец записи: х₁ + х₂ = Слайд№24

х₁ ∙ х₂ =

Сконструировать уравнение по его корням: №29.9(в), 29.11

Слайд №17

2 и -5; -3 и 7; -12 и 3; 45 и -1; -8 и -16;

Решить у доски три уравнения (D>0,D=0,D<0)

Слайд №18

а) х² + 5х - 6 = 0;

б) y² - 10y + 25 = 0;

в) х² + 9х + 22 = 0.

Когда можно применять теорему?

Зачем она нужна?

Заключение: скажем большое спасибо Франсуа Виету за его замечательное открытие и из 1591 года вернемся в наше время, потому что урок наш заканчивается.

Два человека у доски.

Каждое уравнение решают два человека двумя способами (по формуле и по теореме Виета)

D≥0

Упрощает решение квадратных уравнений.

VII

Рефлексия. слайд №19(практическое значение)

1) Одно из самых важных достижений Франсуа Виета.

2)Кто же запомнил теорему Виета?;

3)Когда можно её применять?

4)Зачем нужна? Назовите практическое значение теоремы.

Теорема Виета. Франсуа Виет дорожил установленной зависимостью между корнями кв уравнения и его коэффициентами, т.е той зависимостью, кот называется теоремой Виета.

Формулируют.

D≥0

-Упрощает решение квадратных уравнений, позволяет подбором находить корни

-Можно найти сумму корней и произведение корней, не решая уравнение.

-Можно составить кв уравнение, зная корни

-Зная один корень, можно найти другой

-Определить знаки корней

VIII

Домашнее задание.

Слайд № 20.

1)Учебник: №29.5, №29.6, №29.10; (буква у каждой группы своя)

2) Какой вклад внес Ф. Виет в развитие математики и в противостояние против Испании (литература: Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978).

3) Сочинить стихотворение о теореме Виета.

IХ

Уходя с урока поставьте точку под изображением, соответствующим вашему настроению.