Дипломная работа Применение непрерывности функции к решению алгебрагических задач

Российская федерация

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО

Курсы переподготовки учителей математики профильных

физико-математических классов

методическая разработка

по теме:

«Применение непрерывности функции к решению алгебраических задач»

для учащихся физико-математического класса

Выполнила:

Касацкая Н.В.

учитель математики

первой категории

МОУ СОШ №1

п. Клетня

Научный руководитель:

Ярославцева О.В. кандидат

физико-математических наук, доцент

Брянск-2009

Пояснительная записка

Человек постоянно стремится расширить свои знания и обогатить свою память. Но, как сказал еще древнегреческий философ Гераклит, многознание не научает мудрости. Мудрость - в знании оснований и причин. И в особенности логических оснований принимаемых положений. Без способности обосновывать имеющиеся убеждения, нет подлинного и твердого знания.

Старый символ мудрости - сова. В Древней Греции она считалась спутницей богини Афины Паллады, помогающей человеку в работе и в сражениях и олицетворяющей также мудрость. Вряд ли сова умнее других птиц. Но старый символ остался, и осталась глубокая мысль, что мудрость - это не просто обширные знания, но, прежде всего умение рассуждать.

Элективный курс « Применение непрерывности функции к решению алгебраических задач» введет школьников в мир основных принципов и операций человеческого мышления, изучаемых в математическом анализе.

Программа курса «Применение непрерывности функции к решению алгебраических задач» не связана с отдельно взятым предметом. Она знакомит школьников с комплексными проблемами и задачами, требующими синтеза знаний по ряду предметов.

Методические рекомендации по изучению данного курса.

Данный элективный курс предназначен для учащихся, выбирающих математический профиль обучения в старшей школе.

Курс расширяет и углубляет базовый уровень по математике, является предметно-ориентированным, несет в себе практическую направленность.

Одной из целей данного курса является формирование у учащихся умений решать различные по содержанию и уровню сложности задачи, отыскивать отличные способы их решения.

Достичь этого предполагается путем рассмотрения базовых ключевых моментов, используемых при решении задач, а так же тех ключевых моментов, которым в школьной программе отведено мало внимания.

Данный курс является развитием ранее приобретенных программных знаний, создает достаточно целое представление о теме, расширяет спектр задач, посильных для учащихся.

Предлагаемые задачи предполагают различные способы их решения, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, проявляющих интерес к математике, проверить свои способности.

Вместе с тем содержание курса позволяет ученику любого уровня проявить себя, т.к. включает в себя вопросы, доступные всем учащимся и может стать толчком в развитии интереса к предмету, вызвать желание узнать больше у тех школьников, у которых пока не проявляется заметных склонностей к математике.

Кроме того, данный курс подходит не только для реализации поставленных задач, но и для подготовке учащихся к решению заданий ЕГЭ по математике.

Набор задач на пункты разделен условно, так как при решении одной и той же задачи часто используются несколько теорем и формул, т.е. применяется материал из разных разделов математики. Это позволяет учителю менять порядок изучения тем, рассматривать ни все включенные в них вопросы, а отбирать материал по своему усмотрению в соответствие с возможностями и интересами учащихся, а также временем, отводимым на изучение курса.

Так как темы курса между собой строго не связаны, то учащиеся имеют возможность подключиться к занятиям в любой момент.

Курс является открытым: в нем можно добавлять новые фрагменты, изменять задачный материал по усмотрению учителя.

Основой проведения занятий является практикум по решению задач, который предполагает групповое, индивидуальное и дифференцированное обучение.

Курс заканчивается творческим отчетом учащихся, в котором они могут предложить различные способы решения задач по данной теме.

1. Цель курса:

1.Расширение и углубление знаний учащихся по теме «Применение непрерывности функции к решению алгебраических задач» в системе профильной подготовки.

2.Формирование математической культуры учащихся.

2. Задачи курса:

1.Познакомить учащихся с различными ключевыми моментами, которые используются при решении задач на применение непрерывности.

2.Развить способности учащихся к математической деятельности через решение задач.

3.Предоставить, учащимся самим проанализировать свои способности к математической деятельности через отыскание различных способов решения задач.

4.Подготовка учащихся к продолжению образования в других учебных заведениях.

Учебно-тематический план

№ п/п

Наименование разделов

Количество часов

Форма контроля

1.

Метод интервалов для непрерывных функций.

1

2.

Метод интервалов для рациональных функций и представленных в виде произведения линейных множителей.

2

Собеседование с учащимися

3.

Квадратные неравенства

1

Самостоятельная работа

4.

Неравенства вида .

1

Собеседование

5.

Показательные неравенства.

2

Самостоятельная работа

6.

Показательно-степенные неравенства

1

Тренинг

7.

Логарифмические неравенства , .

3

Самостоятельная работа

8.

Более сложные логарифмические и другие неравенства.

1

Самооценка или оценка товарищей.

9.

Более сложные примеры применения теоремы.

1

10.

Уравнения вида f(α(x)) = f(β(x)).

2

Собеседование

11.

Неравенства вида f(α(x)) > f(β(x)).

2

Самостоятельная работа

12.

Использование производной для решения уравнений и неравенств.

1

Собеседование

13.

Показательно-логарифмические неравенства.

2

Самостоятельная работа

14.

Урок - «марафон».

1

15.

Контрольная работа.

1

Глава1. Cодержание изучаемого курса

Теоремы о промежуточных значениях функций, непрерыв­ных на отрезке

Назовем функцию f непрерывной на промежут­ке X, если она непрерывна во всех точках этого промежутка (на концах промежутка, если они ему принадлежат, речь идет лишь об односторонней непрерывности). Мы изучим в этом пункте некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.

Пусть значения функции f в точках а и b имеют различные знаки. Тогда точки

А (а; f(а)) и B(b, f (b)) графика этой функции лежат по разные стороны от оси абсцисс. Если функция f непре­рывна на отрезке [а; b] то геометрически очевидно, что ее график

на этом отрезке является сплошной линией и потому должен в какой-то точке пересечь ось абсцисс (рис. 13).

Теорема 1. Пусть функция f не­прерывна на отрезке [а; b] и при­нимает на его концах значения раз­личных знаков. Тогда она обращает­ся в нуль хотя бы в одной точке с это­го отрезка.

При этом если функция f моно­тонна на [а; b], то она принимает значение 0 лишь один раз.

Доказательство теоремы дадим в виде серии задач:

а) Пусть f (a)<0. Обозначим через X множество точек отрез­ка [а; b] справа от которых есть точки того же отрезка, где функция f отрицательна. Через Y обозначим множество остальных точек отрезка [а; b]. Докажите, что множество Y расположено cправа от множества X.

б) Докажите, что в точке с, разделяющей множества X и Y, функция f равна нулю.

в) Проведите доказательство теоремы для случая, когда f(a)>0.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на этом отрезке любое значение µ, заключенное между f (а) и f (b).

Доказательство. Мы имеем; f(а)<µ<f(b). Рассмотрим вспомогательную функцию F = f - µ. Так как функ­ции f непрерывна на [а; b], то тем же свойством обладает на [a,b] и функция F как разность двух непрерывных функций. При этом F(a)= f (а) - µ.<0 и F(b) = f (b)-µ>0. По теоре­ме 1 найдется такая точка с, что F(c)=0. Но тогда f (с) -µ = 0, и потому f (с) = µ.

Например, функция х² непрерывна на отрезке [1; 4] и принимает на этом отрезке все значения, заключенные между 1² = 1 и 4² = 16. Множеством значений этой функции на отрезке [1; 4] является отрезок [1; 16].

Следствие 2. Если функция f непрерывна на отрезке [а; b] и не обращается в нуль внутри этого отрезка (т. е. на интервале (a b)), то она имеет один и тот же знак во всех его внутренних точках.

Доказательство. Если бы функция имела различные знаки в точках х₁ и х₂ из

(а; b) то по теореме 1 она обратилась бы в нуль хоть в одной внутренней точке отрезка [х₁, х₂]. Но эта точка внутренняя и для отрезка [a; b], a внутри [а; b] функция по условию не обращается в нуль. Значит, функция f не может иметь на [а; b] значений различных знаков.

Теорема 1 и ее следствие применяются при решении уравне­ний и неравенств.

Пример 1. Докажем, что уравнение x³- 3x +1 = 0 имеет корень на отрезке [0, 1], и найдем его с точностью до 0,1.

Решение. Функция f, где f (х) = x³- 3x +1 , непрерывна на всей числовой прямой, причем f(0)=1, f(l)= - l. По теоре­ме 1 она обращается в нуль хоть в одной точке отрезка [0; 1]. Можно доказать, что функция f убывает на этом отрезке и потому ее график пересекает его лишь в одной точке (т. е. уравнение х³ - Зх + 1 имеет лишь один корень на этом отрезке).

Чтобы найти корень с точностью до 0,05, разделим отрезок [0; 1] пополам и вычислим значение функции в точке 0,5. Имеем f (0,5) =-0,375. Так как f(0)>0, f(0,5)<0, то делим пополам отрезок [0; 0,5]. Так как f(0,25)= >0, то делим отрезок [0,25; 0,5] пополам. Деление продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше чем 0,1. Тогда середина этого отрезка будет значением корня с точностью до 0,05. В нашем случае этим значением является 0,34.

Описанный метод приближенного решения уравнений назы­вают заимствованным у артиллеристов названием «метод вилки».

При решении неравенств вида f(x)>0, где функция f непре­рывна на всей числовой оси, сначала решают уравнение f(x) = 0 и находят интервалы, на которые корни этого уравнения разби­вают числовую ось. Из следствия 2 вытекает, что на таких интер­валах функция f сохраняет постоянный знак. Поэтому доста­точно определить знак функции в какой-либо «пробной точке» взятого интервала, чтобы знать его на всем интервале. Если же функция f имеет точки разрыва, то числовую ось нужно делить на части не только точками, где f(x) = O, но и точками разрыва функции.

Метод интервалов для непрерывных функций

Пусть неравенство f (x)>0 и (или f (x)<0). Пусть М область существования функции f (x) - состоит из объединения конечного числа промежутков X_k, k=1, 2, …, n, занумерованных в порядке следования слева направо. При этом если n>1, то промежутки X₁ и X_nмогут быть бесконечными: (∞; а)или (-∞;а] и (b; + ∞) или [b; + ∞), а промежутки Х₂, …, Х_n-1 соответственно могут быть отрезками [c; d], полуинтервалами [c; d), (с; d) и интервалами (c; d), где a,b,c,d - конечные числа и с<d.

В случае же n=1 X₁ может быть любым из перечисленных промежутков, а также промежутком (­­­­­-∞; +∞).

Рассмотрим случай, когда на каждом из промежутков Х_k функция f(x) непрерывна и имеет конечное число нулей.

Сначала проверим справедливость неравенства в каждой точке - конце отрезка или полуинтервала X_k, k=1, 2, …, n.

Затем, исключив из множества М все эти концы отрезков и полуинтервалов и все нули функции f(x), получим множество М_1, состоящее только из интервалов (при этом некоторые из промежутков X_k могут разбиться на конечное число интервалов). На каждом из полученных интервалов функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль. Значит, на каждом из них она сохраняет постоянный знак, т.е. для каждого х из этого интервала она принимает либо только только положительные, либо только отрицательные значения. Выбирая в каждом из них некоторую точку х₀ и определяя знак f(x₀), этот знак ставят над каждым интервалом. Тогда решения неравенства f(x)>0 на множестве М₁ составляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак «+», а решения неравенства f(x)<0 на множестве М₁ оставляют объединение тех интервалов, над которыми поставлен знак «-». Объединяя решения, найденные на множестве М₁ и в точках - концах отрезков и полуинтервалов, получим множество всех решений данного неравенства.

ПРИМЕР 1. Решим неравенство

2(4-х)log₃(3+x)>0. (1)

Область существования функции

f(x)=2(4-x)log₃(3+x), (2)

множество М, состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям х²-1≥0 и 3+х>0, т.е. множество М есть объединение промежутков (-3; -1] и [1; +∞). Так как f(-1)=5 log₃2>0, f(1)=3log₃4>0, то точки х₁=-1, х₂=1 - концы полуинтервалов - удовлетворяют неравенству (1).

Нули функции (2) есть х₃=4, х₄=-2. Исключив их и концы полуинтервалов из множества М, получим множество М₁, состоящее только из интервалов (-3; -2), (-2; -1), (1; 4), (4;+ ∞) . Функция f(x) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции (2) на каждом из этих интервалов. Определим знак функции (2) на каждом из этих интервалов.

-3 - -2 + -1 1 + 4 -

Х

Поскольку -2,5 (-3; -2) и f (-2,5)<0 , -1,5 (-2; -1) и f (-1,5)>0, 2 (1; 4) и f(2)>0, 5 (4;+ ∞) и f(5)<0, то на интервалах (-3; -2) и (4; +∞) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (-2; -1) и (1; 4) - положительные значения.

Следовательно, множество всех решений неравенства (1) есть объединение интервалов (-2; -1) и (1; 4) и точек х₁=-1, х₂=1.

Ответ. (-2; -1] U [1; 4).

ПРИМЕР 2. Решим неравенство

. (3)

Область существования функции

f(x)=

состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

x+8≥0, x²-x+1>0 и log₂(x²-x+1)≠0, т.е. множество М есть объединение трех промежутков: [-8; 0), (0 ;1) и (1; -∞). Так как f(-8)=0, то точка х₀= - 8 не удовлетворяет неравенству (3).

-8 + -4 - -2 + -1 - 0 - 1 + -

Нули функции f(x) есть x₁=-1, x₂=, x₃₌-2, x₄=-4.

Исключив их и конец промежутка [-8 ;0) из множества М, получим множество М₁. состоящее только из интервалов (-8; -4), (-4; -2), (-2; -1), (-1;0), (0; 1), (1; ), (; +∞). Функция f(x) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции f(x) на каждом из них .

Поскольку -5(-8 ;-4) и f(-5)>0, -3(-4;-2) и f(-3)<0, -(-2; -1) и f(-)>0, -(-1; 0) и f(-)<0, (0;1) и f()<0, (1; ) и f()>0, 2(; +∞) и f(2)<0, то на интервалах (-4; -2), (-1;0), (0; 1) и ; +∞) функция f(x) принимает отрицательные значения.

Следовательно, множество всех решений неравенства (3) есть объединение интервалов (-4;-2)(-1;0) )(0;1) (; +∞).

Ответ: (-4;-2)(-1;0) )(0;1) (; +∞).

Если надо решить нестрогое неравенство f(x)≥0 (или f(x)≤0), то к полученному описанным выше способом множеству всех решений неравенства f(x)>0 (или f(x)<0 надо добавить все нули функции f(x).

ПРИМЕР 3. Решим неравенство

(4)

Область существования функции

f(x)=

состоит из всех х, которые одновременно удовлетворяют условиям трех интервалов: (-5; 0), (0; 2,5) и (2,5;+∞).

Нули функции f(x) есть х₁=-2,5, х₂=4. Исключив их из множества М, получим множество М₁, состоящее из интервалов (-5;-2,5), (-2,5;0), (0;2,5), (2,5; 4) и (4; +∞). Функция f(x) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак функции f(x) на каждом из них.

- + - + -

-5 -2,5 0 2,5 4

Поскольку -3(-5;-2,5) и f(-3)<0, -1(-2,5; 0) и f(-1)>0, 1(0; 2,5) и f(1)<0, 3(2,5; 4) и f(3)>0, 5(4; +∞) и f(5)>0, то на интервалах (-5; -2,5), (0;2,5) и 4;+∞) функция принимает отрицательные значения, а на интервалах (2,5;0) и 2,5;4) - положительные значения.

Следовательно, множество всех решений неравенства (4) есть объединение интервалов (-2,5; 0), (2,5; 4) и чисел х₁=-2,5 и х₂=4 - нулей функции f(x).

Ответ. (-2,5; 0)(2,5; 4].

Для самостоятельной работы:

1. В чем заключается метод интервалов для непрерывных функций?

Решите неравенства:

2 .а) б)

в) г) < 0.

3 . а) > 0; б) < 0;

в) > 0; г) < 0;

д) > 0; е) > 0.

4. а) (х² - 4х)≤ 0; б) (х² - х - 30) ≤ 0;

в) (х² - 6х + 8) ≥ 0; г) (х² - х - 12) ≥ 0.

5. а) (49х² - 35х + 4) ≥ 0; б) (21х² + 10х +1) ≤ 0;

в) ≤ 0; г) - .

6. а) ≤ 0; б) ≥ 0;

в) ≥ 0; г) ≤ 0.

7. а) ≤ 0; б) ≤ 0; в) ≤ 0; г) ≤ 0; д) ≤ 0; е) ≥ 0.

8. а) ≥ -1; б) ≥ 1.

9. а) ; б) > 0.

Квадратные неравенства.

Метод интервалов для рациональных функций

В школе, независимо от профиля, все изучают следующие методы решений неравенств:

а) решение линейных неравенств;

б) решение квадратичных неравенств;

в) метод интервалов для многочленов и рациональных функций. Многие школьники после изучения метода интервалов и квадра­тичные неравенства решают этим методом.

В классах с математическим профилем изучается обобщен­ный метод интервалов, который можно применять для произ­вольных непрерывных функций или их частного.

Исследование квадратного трехчлена, наравне с решением квадратного уравнения, является основной темой в школьной программе по неравенствам.

Что необходимо знать о квадратном трехчлене?

1. Уметь строить эскиз графика любого конкретного квад­ратного трехчлена

у(х) = ах² + вх + с, а ≠ 0.

Для построения эскиза можно использовать разные подходы.

а) Если у квадратного трехчлена есть корни, то надо уметь их найти. Зная, что вершина находится посередине между корнями, уметь найти координаты вершины. Затем построить параболу по трем найденным точкам.

б) Можно сразу воспользоваться соответствующими формулами

х_верш.= , у_верш.= , D =b²- 4ас

и построить эскиз графика (направление ветвей определяется знаком чис­ла а). При необходимости, можно найти корни.

Полезно уметь приводить квадратный трехчлен к канони­ческому виду с помощью выделения полного квадрата. Это уме­ние может пригодиться и при решении других задач. Произведем тождественные преобразования

aх ²+bx+c = a (x² +2x + ( )² - ( )²) + c = a (x + )² - a ( )² + c = a (x + )² - = a (x + )² - , D=b² - 4ac.

Отсюда сразу будет видно, как расположена наша парабола по сравнению с классической параболой у = х². Кроме того, хорошо видно, какова роль дискриминанта.

2. Знать, без построения эскиза, что у квадратного трехчле­на с положительным коэффициентом при квадрате переменной всегда есть минимальное значение, а у квадратного трехчлена с отрицательным коэффициентом при переменной всегда есть максимальное значение. Эти значения равны значению квадрат­ного трехчлена в вершине.

3. Уметь находить максимальное и минимальное значение квадратного трехчлена на заданном отрезке или другом задан­ном промежутке.

Это проще всего сделать, имея эскиз графика. Например, на рисунке 5 а), б), в) видны наибольшие и наименьшие значения квадратных трехчленов на отрезке [а;Ь].

у

у у

х

а в а в х а в х

Важнейшим методом решения неравенств является метод интервалов.

В 9 классе изучается метод интервалов, прежде всего для многочленов. Он основан на том, что двучлен (х - а) положи­телен при x > а и отрицателен при х < а, т. е. меняет знак при переходе через точку а.

Заметим, что

1) двучлен (х - а) в нечетной степени ведет себя так же, как (х - а),

2) двучлен (х - а) в четной степени ведет себя по-другому: он не меняет знак при переходе через точку а.

3) квадратный трехчлен, имеющий положительный коэф­фициент при x² и отрицательный дискриминант, всегда положи­телен и может быть опущен при решении любого неравенства.

4) при переходе через точку а может изменить знак только множитель (x-а)^k, выражение (х - Ь)^п, b≠ а при переходе через а знак не меняет.

Пример: Для функции f(x) = (x-1)² (x+1,5)³ (x-2) (x+2)⁴ (x-5)⁷решить неравенства а) f(х) > 0, б) f(х) < 0, в) f(х) ≥ 0, г) f(x) ≤ 0.

Решение: Для решения строгого неравенства наносим на числовую ось нули функции кружочками (дырками).

Теперь расставим знаки (рис. 6). Замечаем, что при боль­ших х (х > 5) все множители положительны. При переходе через точку х = 5 функция меняет знак, т.к. (х - 5} входит в нечет­ной, седьмой, степени. По этой же причине при переходе через х = 2 функция опять меняет знак, а вот при переходе через точ­ку х = 1 функция не меняет знак, т. к. (х - 1) входит в четной, второй, степени, и т.д.

- - + + - +

-2 -1,5 1 2 5 х

Рис. 6

1. Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравен­ства а) (рис. 7) и записываем ответ: а) х Є( -1,5;1) U(1;2) U (5;+∞).

- - + + - +

-2 -1,5 1 2 5 х

Рис. 7

2. Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравен­ства б) (рис. 8) и записываем ответ: а) х Є (-∞;-2)U(-2;-1,5)U (2; 5).

- - + + - +

-2 -1,5 1 2 5 х

Рис. 8

3. Вспоминаем, что, по определению,

f(x) ≥0 ( ≤ 0) f(x) =0,

f(x) > 0 (<0).

Для решения нестрогих неравенств наносим нули-функции на числовую ось точками. Затем расставляем знаки в промежутках (рис. 9).

- - + + - +

-2 -1,5 1 2 5 х

Рис. 9

4. При этом промежутки интересующего нас знака замыка­ются и к ним добавляются остальные нули функции (рис. 10)

- - + + - +

x

-2 -1,5 1 2 5

Рис. 10

5. Теперь с рисунка 10 «снимаем» ответ: в) xЄ{-2}U[-1,5;2]U[5;+∞).

6. Отмечаем решение неравенства (рис. 11) и записываем ответ: г) х Є (-∞; 1,5] U{1}U [2; 5].

- - + + - +

-2 -1,5 1 2 5 х

Рис. 11

Ответ: а) xЄ (-1,5; 1) U (1; 2) U (5; +∞), б) х Є (-∞; -2) U (-2;-1,5) U (2; 5),

в) х Є {-2}U [-1,5; 2] U [5;+∞), г) х Є(-∞;1,5]U{1}U[2;5].

Метод интервалов легко распространяется на рациональ­ные функции.

Рациональные неравенства.

Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, т.е. в виде .

Неравенство, содержащее только рациональные функции, называется рациональным.
Неравенства вида или, или , где и -многочлены соответственно степеней n и m, т. е. , , наиболее часто решаются методом интервалов (промежутков). Этот метод основан на одном важном свойстве рациональной функции: в интервале между двумя соседними нулями рациональная функция сохраняет знак. Если рассматривается дробно-рациональная функция, то те значения переменной х, при котором функция обращается в нуль, будем называть нулями функции (точки числителя), а точки, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, - точками разрыва функции.
Сущность метода интервалов состоит в следующем. На числовой оси отмечают все нули и точки разрыва функции f(х) (если они есть). При этом числовая ось разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет постоянный знак. Чтобы установить этот знак, достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и определить знак функции в этой точке. Что касается самих точек, то в случае строгого неравенства точки обозначают светлыми кружками. Это означает, что сами точки не входят во множество решений данного неравенства. В случае нестрогого неравенства точки наносят на числовую прямую темными кружочками, а это означает, что сами точки также входят во множество решений данного неравенства. Понятно, что во всех случаях точки разрыва функции обозначают светлыми кружочками.
Следует отметить, что наибольшие трудности возникают при определении знаков промежутков.
При решении неравенств методом интервалов могут встретиться следующие типы неравенств:

1. Простейшие неравенства, представленные в виде произведения линейных множителей.

Пример 1.

Решить неравенство .

Решение.

Рассмотрим функцию .(1) Найдём нули функции, для чего решим уравнениеили , откуда . Отметим эти точки на числовой прямой. Так как мы решаем строгое неравенство, то все точки отмечаем светлыми кружками. На каждом из полученных
промежутков каждый из множителей сохраняет знак, и, следовательно, сохраняет знак все выражение.
Для определения знаков промежутков достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков и, пользуясь свойством чередования знаков, найдем знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка , так как в нем значение функции (1) заведомо положительно. Объясняется это тем, что при значения х, взятых правее наибольшего из нулей функции каждый из множителей положителен. Определим теперь, используя свойство
чередования знаков на числовой прямой, знаки данной функций в каждом из остальных промежутков:

- + - +

-6 -1 4

Как видно из рисунка, те значения х, при которых (заштрихованы), лежат в промежутках . Решение данного неравенства представляет собой объединение указанных промежутков.

Ответ: .

Пример 2.

Решить неравенство

Решение.

Решение данного неравенства полностью соответствует приведенному выше. Отличие состоит лишь в том, что неравенство нестрогое, а потому нули функции входят во множество решений.
Такие точки, как было отмечено ранее, отмечаем темными кружками.

Ответ: .

2. Простейшие неравенства, разлагающиеся на линейные множители.

Мы рассмотрели неравенство, левая часть которой уже была разложена на линейные множители, а в правой части число О. Рассмотрим неравенство, которое можно привести к аналогичному виду.

Пример З.

Решить неравенство

Решение.

Запишем неравенство в виде _.
Вынесем общий множитель х за скобки:
или
Решая методом интервалов, получим
.

Ответ:

З. Простейшие дробно - рациональные неравенства без кратных корней.

Пример 4.

Решить неравенство

Решение

Функция обращается в нуль в точках и претерпевает разрыв в точках . Эти 5 точек разбивают числовую прямую на 6 промежутков. Так как неравенство строгое, то все точки отмечаем светлыми кружками:

Нам надо решить неравенств. Решая методом интервалов, получим .

Заметим, что ответ можно записать иначе:

Ответ:

Пример 5.

Решить неравенство

Решение

В данном случае нули функции принадлежат множеству решений данного неравенства, поэтому на рисунке они отмечаются темными кружками, а точки разрыва функции светлыми.
Ответ: .

4. Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значения на числовой прямой.

Пример 6.

Решить неравенство

Решение

Запишем неравенство в виде .

Умножим обе части полученного неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

Заметим, что множитель при любом . В этом случае полученное неравенство равносильно неравенству .

Тогда . Решаем полученное неравенство методом интервалов:

Ответ:

Пример 7.

Решить неравенство

Решение

Перенесем 1 из правой части в левую и упростим полученную дробь: или ,

или .

Заметим, что при любом , так как дискриминант и а=1>0, тогда имеем равносильное неравенство , , откуда .

Ответ: .

5. Простейшие неравенства с кратными корнями.

Если в условии неравенства содержится множитель вида , где , то точку х=а будем называть двойной. Это означает, что при переходе через двойную точку функция не меняет знака.

Если же неравенство содержит множитель с нечетным показателем, то справа и слева от точки х=а функция имеет разные знаки. В этом случае точку х=а будем называть простой. Следовательно, при переходе через простую точку функция меняет знак.

Пример 8.

Найти область определения функции .

Решение

Нахождение области определения данной функции сводится к решению неравенства или , или .

Так как и при любом (так как D<0 b a=1>0),то полученное неравенство равносильно неравенству . Заметим, что х=2 - нуль функции, а точка х=-1 - точка разрыва функции. Отметим, что слева и справа от точки х=-1 функция не меняет знака.

Ответ: . -1 2 х

Задачи.

Группа А.

Решить неравенства

1. 2. _3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Найти наибольшее целое решение неравенства.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20.

Найти наибольшее целое отрицательное решение неравенства

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28.

Найти наименьшее целое число, входящее в область определения каждой функции:

29. 30. 31.

32. 33. 34.

35.

Группа В.

Найти наименьшее целое решение неравенства

1. 2. 3.

4. 5.6.

7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14. 15.

16. 17. 18.

Найдите длины интервалов, на которых выполняются неравенства

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

Найти середины интервалов, на которых выполняются неравенства:

28. 29. 30.

31. 32.

Найти среднее арифметическое целых решений неравенства:

33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40.

Найти наименьшие натуральные решения неравенств

41.42. 43.

44. 45. 46.

Найти наибольшее решение неравенств

47. 48. 49. .

Неравенство вида ≤

ОДЗ неравенства: f(x) ≥ 0,

g(x) ≥ 0.

В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, и возведение в квадрат приводит к равносильному неравенству f(x) ≤ g(x). Из этого неравенства видно, что не обязательно решать неравенcтво g(x) ≥ 0, а достаточно только решить f(х) ≥ 0.Поэтому ≤ , или ≥ , (*) g(x) ≥ 0, f(x) ≥ 0,

f(x) ≥ g(x); f(x) ≥ g(x).

Отсюда, в частности, вытекает полезное следствие:

Правило1. Знак разности - совпадает со знаком разности g(x) - g(x) в ОДЗ.

Пример: Решите неравенство ≤ .

Решение: Воспользуемся (*):

≤

2x + 1≤ x³ - 4x² + x + 5, (x - 1) (x + 1) (x - 4) ≥ 0,

2x + 1 ≥ 0; x ≥ - ; x Є [- ; 1] U [ 4;+ ∞).

-1 -0,5 1 4 x

Неравенства решили методом интервалов. Ответ: [- ; 1] U [ 4;+ ∞).

Показательные неравенства .

Показательными неравенствами называют неравенства вида где а > 0, . (1)

Решение показательных неравенств основано на
монотонности показательной функции.
Решение неравенств вида (1) и неравенств, сводящихся к этому виду, основано на следующих утверждениях: если а > 1, то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла ; если 0 <а< 1, то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .

Рассмотрим неравенство а^{f (x)}> а ^{g (x)} .

Пусть f(x) и g(х) - непрерывные функции на некотором промежутке X, а > 0. Тогда a^f(x), a^g(x) - тоже непрерывны на X, и к неравенству а^{f (x)} > а^{g (x)}применим метод интервалов. Его решение зависит от того, является ли число о большим или меньшим 1.

• Если а > 1, то f(х) > g(х) и (а - 1)(f(х) - g(х)) > 0.

• Если 0 < а < 1, то f(х) < g(х) и опять (а -1)(f(x) - g(х)) >0

Верно и обратное: если (а -1)(f(x) - g(х)) > 0, то

• при а > 1 имеем f(x) > g(х) и а^{f (x)} > а^{g (x)};

• если 0 < a < 1, то f(x) < g(х) и опять а^{f (x)} > а^{g (x)};

Таким образом, мы вывели условие равносильности

а^{f (x)} > а^{g (x)} , (а -1)(f(x) - g(х)) > 0. (**)

Теперь рассмотрим нестрогое неравенство а^{f (x)} ≤ а^{g (x)}, где а > 0. Тогда

а^{f (x)} ≤ а^{g (x)}, а^{f (x)} = а^{g (x)}, (а - 1)(f(х) - g(х))=0, (а - 1)(f(х) - g(х))≤0.

а^{f (x)} > а^{g (x)}; (а - 1)(f(х) - g(х))<0;

Итак, для любого а > 0 верно, что а^{f (x)} ≤ а^{g (x)}, (а - 1)(f(х) - g(х))≤0.

При рассмотрении неравенства а^{f (x)} < а^{g (x)} меняется знак произведения в (**), и мы получаем

Правило 2. Знак разности а^{f (x)} - а ^{g (x)} совпадает со зна­ком произведения (а -1)(f(x)- g(х)).

При конкретном а неравенство а^{f (x)} > а^{g (x)} конечно, может быть решено стандартным способом, и объем выкладок тот же. Но здесь есть некоторое преимущество - не надо задумываться над тем, какое а: больше оно или меньше 1.

Кроме того, из правила 2 следует, что для любой функции h(х) имеет место еще одно условие равносильности:

а^{f (x)} - а^{g (x)} ≥ 0 ( ≤ 0), ≥ 0 (≤ 0).

h(x)

А это условие может очень облегчить решение неравенств такого типа.

Пример: Решите неравенство ≥ 0.

Решение: Так как, в силу правила 2, знак разности (3 ͯ - 3⁰) совпадает со знаком произведения (3 - 1)(х - 0), знак разности (2^x2 - 2⁴) совпадает со знаком произведения (2 - 1)(х² - 4), то

≥ 0, ≥0, x ≠ -2,

≥ 0. X Є (0; 1] U (2; +∞)

Ответ: (0; 1] U (2; +∞).

Пример (МГУ, 1976, мехмат): Решите неравенство

≥ .

Решение: Запишем цепочку равносильностей, в которой третий переход осуществлен в силу правила 2:

≥ , ≤ 0, ≤ 0, ≤ 0,

X Є [-log₃ 2; 0) U (; 1]. Ответ: [-log₃ 2; 0) U (; 1].

Пример 1.

Решить неравенство: .

Решение

Имеем . Это неравенство равносильно неравенству того же смысла: , откуда находим

Ответ:.

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение: Так как , то данное неравенство примет вид . Поскольку , то полученное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: , откуда , т. е. .

Ответ: .

Пример 3

Решить неравенство:

Решение

Так как , то данное неравенство равносильно неравенству , то есть . Решая полученное неравенством методом интервалом, получим .

+ - +

2 3

Ответ:

Пример 4

Решить неравенство

Решение

Так как и , то данное неравенство запишем в виде .

Пусть , где , тогда или , . Так как , то, или , неравенство выполняется при у>9, тогда , откуда х>2.

Ответ: х> 2.

Пример 5. Решить неравенство 36^х - 2 · 18^х - 8 · 9^х > 0.

Решение.

Так как 9^х > 0 при всех х Є R, то, разделив обе части неравенства на 9^х ≠ 0, получим равносильное неравенство:

()^х - 2 ()^х - 8 > 0 или 4^х - 2·2^х - 8 >0;

пусть 2^х = t, где t > 0,тогда t² - 2t - 8 >0, t₁ = 4, t₂ = -2.

Так как t > 0, то t > 4 или 2^х > 4, откуда х > 2.

Ответ: х > 2.

Пример 6. Решить неравенство 25 • 2^х - 10^х + 5^х > 25.

Решение.

Применяя способ группировки, получим (25 • 2^х - 25) - (10^х - 5^х) > 0 или 25 • (2^х - 1) - 5^х • (2^х - 1) > 0, (2^х - 1) (25 - 5^х) > 0.

Полученное неравенство равносильно совокупнос­ти двух систем неравенств:

2^х - 1> 0, 2^х > 1, х > 0,

25 - 5^х > 0; 5^{х <} 25; х < 2, или

0 < х < 2.

2^х - 1> 0, х < 0,

25 - 5^х > 0; х < 2, нет решения.

Итак, решением исходного неравенства будет ре­шение системы 1).

Ответ; 0 < х< 2.

Пример 7. Решить неравенство 0,3²⁺⁴ + … ^+2х > 0,3⁷².

Решение

Так как 0 < 0,3 < 1, то данное неравенство равно­сильно неравенству 2 + 4 +... + 2х < 72 или 1 + 2 +... + х < 36. Заметим, что левая часть полученного не­равенства - возрастающая арифметическая прогрес­сия, где а₁ = 2, d = 2, а_n = 2х, х - натуральное число.

Тогда имеем х < 36 ;

х (х + 1) < 72; x² + х - 72 < 0; x₁ = -9; х₂ = 8.

8

-9 <x <8. + - +

Так как х - натуральное число, то х = 1, 2, 3.....7.

Ответ: х = 1, 2, 3, ..., 7.

Пример 8. Решить неравенство > 6,25.

Решение

Так как 6,25 = 6 = ^{- 2}, то неравенство запишется в виде >^{- 2}, откуда имеем равносильное неравенство или ,

, ,

Решая последнее неравенство методом интервалов, находим X₁ = -2, х₂ = - .

Ответ: - 2 < х < - .

Пример 9. Решить неравенство < 0.

Решение.

Так как х² + 2х + 5 = (х + I)² + 4 > 0 при любом х Є R, то, умножив обе части неравенства на х² + 2х + 5, получим равносильное неравенство< 0 или 3^{- (8 + х)} < 3⁴.

Учитывая, что 3 > 1, имеем равносильное неравен­ство того же смысла

- (8 + х)<4, 8 + х > -4, откуда >-12.

Ответ: х > -12.

Показательно-степенные неравенства

Это неравенства, в котором неизвестное находится одновременно и в показателе степени, и в основании степени.

Пример 10. Решить неравенство ( .

Решение

Возможны 2 случая: 1) х - 3 > 1, т. е. х > 4.

В этом случае данное неравенство равносильно не­равенству 2х² - 7х > 0. Таким образом, имеем систе­му неравенств

х > 4, х > 4,

2х² - 7х > 0; 2х (х - 3,5) 0, откуда находим х> 4.

2)0 < х - 3 < 1, т. е. 3 < х < 4.

В этом случае получим систему неравенств

3 < х < 4, 3 < х < 4,

2х² -7х < 0 или 2х (х - 3,5) < 0; 3< х < 3,5.

Ответ: 3< х < 3,5; х > 4.

Пример 11. Решить неравенство

≥ ( x² + x + 1)³.

Решение

х² + х + 1 > 0 при всех х е R, так как D < 0 и а = 1 >0.

Данное неравенство равносильно совокупности

двух систем неравенств:

x (x + 1) ≥ 0,

Общим решением системы 1) будет -2 < х < 1.

2) 0 < x² + x ≤ 0,

Аналогично, решая систему неравенств 2), имеем - , тогда решением исходного неравенства будет объединение решений 1) и 2).

Ответ: -2 < х < -1; - ≤ х ≤ 0 .

Задачи Группа А

Найти наибольшее целое значение х, удовлетворя­ющее неравенству:

1. 3^х < 9; 2.(^х > ; 3. 2^3х ≤ ;

< 9; 5. < 1; 6. ;

7.(0,1)^{3х - 9} < 0,001; 8. (; 9.; .

Найти наименьшее целое значение х, удовлетворя­ющее неравенству:

11. 0,13^{х - 4} ≤ 0,13^{2 - х}; 12. 3^{- 4х} < ; 13. 2^{-х + 5} <;

14. (0,2)^{- 2х/3} > 25; 15. 3 ^{6х - 2} ; 16. 2^{1,5х + 3} > 16.

Группа Б

Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяю­щее неравенству:

1. (; 2. ; 3. ;

4. 8 · ≤ (0, 5)^-1; 5. 6.

7. 8. 9. 25 · 0.04^2х > 0, 2^{х (3 - х)};

10. 9^{х+ 1} - 2·3^х < 7; 11. 0,7^{| х + 2|} ≥ 0,7^0,5; 12. .

Решить неравенства:

13. ( ; 14. 5^{2х + 1} > 5^х + 4; 15.

16. 1 < 17. 4^{х + 1,5} + 9^х < 9^{х + 1} ; 18. ;

19. ; 20. 21.

22. + ; 23. (0,3)^{2 + 4 + 6 + … + 2х} > (0,3) ⁹⁰.

Найти наименьшее целое значение х, удовлетворя­ющее неравенству:

23. 2·5^х-2-3^{х - 1}> 5·5^х-3 ^{х +2}; 24. 7 ^{х + 2} - 64 · 8^х < 42 · 7^х - 7· 8 ^{х + 1;}

25. ( ; 26. (; 27. ( ;

28. ; 29. ;

30. (; 31. 2 · 32. (;

33. (( ≥ 1; 34. ( ≤ 1; 35.| ;

36. ≥ 37. .

Логарифмические неравенства

Неравенство вида log_af(x) > 0 ( < 0)

Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Рассмотрим неравенство log_af(x) > 0 (< 0), где а - задан­ное положительное число, отличное от 1. ОДЗ: f(х) > 1

• Если а > 1, то log_af(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f(x) > 1(< 1), т. е. (а - 1)(f(x) - 1) >0 (< 0).

• Если 0 < а < 1, то 1оg_аf(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f(х) < 1 (> 1), т.е. опять (а - 1)(f( х) - 1) < 0(> 0).

И, наоборот, если (а - 1)(f(x) - 1) > 0 (< 0), то

• при а > 1 имеем f(x) > 1 (< 1), а тогда 1оg_a f(х) > 0 (< 0);

• при 0 < а < 1 имеем (х) < 1 (> 1), а тогда 1оg_а f(х) > 0 (< 0).

Следовательно, имеет место условие равносильности

1оg_af(x) > 0(<0); (а-1)(f(x)-1) >0 ( < 0). (***)

Можно записать полное условие равносильности, включа­ющее ОДЗ:

1оg_af(x) > 0 (<0);

f(x) > 0, (****)

(а-1)(f(x)-1) >0 ( < 0).

Условия равносильности (***) и (****) верны (для обоих зна­ков) и для нестрогого неравенства

1оg_af(x) ≥ 0; (а-1)(f(x)-1) ≥ 0.

Полное (с учетом ОДЗ) условие равносильности для нестрогого неравенства имеет вид

1оg_af(x) ≤ 0 (≥); f(x) > 0,

(а-1)(f(x)-1) ≤ 0 (≥0).

Пример: Решите неравенство 1оg_⅓(х - 4) > 0.

Решение: Воспользуемся (****):

1оg_⅓(х - 4) > 0, (х - 4) > 0, x > 4,

( -1) (x - 4 - 1) >0; x < 5; x Є ( 4; 5).

Ответ : ( 4; 5).

Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простей­ших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Кроме того, нет не­обходимости писать фразы о той или другой монотонности. Это особенно важно при решении тестов ЕГЭ, когда время для их решения ограничено. Из (***) следует

Правило 3. Знак 1оg_аf(x) совпадает со знаком произ­ведения (а - 1)(f(x) - 1) в ОДЗ.

Пример: Решите неравенство

> 0

Решение: В силу правила 3, знак со­впадает со знаком произведения ( - 1) ( -1) =(-) ().

Поэтом

> 0, - > 0, < 0.

Решаем неравенство методом интервалов.

+ + +

х

2 3

Ответ: ( 2; ) U ( ; 3).

Для сравнения попробуйте решить это неравенство обыч­ным способом.

Неравенство вида >

Рассмотрим неравенство > , где а > О, a≠ 1. ОДЗ определяется системой : f(х) >0,

g(х) > 0.

• Если а > 1, то> тогда и только тогда, когда f(х) > g(х), Д т. е. (а - 1)(f(x) - g(х)) > 0.

• Если 0 < а < 1, то > тогда и только тогда, когда f(x) < g(х), т.е. опять (а - 1)(f(x) - g(х)) > 0.

И, наоборот. Если (а - 1)(f(x) - g(х)) > 0, то

• при а > 1 имеем f(х) > g(х), а тогда >

• при 0 < а < 1 имеем f(x) < g(x), а тогда опять >

Мы получили условие равносильности

> (<),а - 1)(f(x) - g(х)) > 0 (< 0). (1*)

Можно записать полное условие равносильности, включа­ющее ОДЗ.

f(х) >0, (1)

> (<), g(х) > 0,

а - 1)(f(x) - g(х)) > 0 (< 0). Отсюда следует

Правило 4. Знак разности совпадает со знаком произведения (а - 1)(f(х) - g(х)) в ОДЗ.

При решении простейших логарифмических неравенств, ко­нечно, можно не использовать (***) и (****). Однако (***) и (****) дают возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычисле­ний.

Например, теперь можно очень просто решить неравенство вида

≥ 0 (≤ 0).

Воспользовавшись правилом 4, немедленно получаем, что

≥ 0 (≤ 0), ≥ 0 ( ≤ 0).

Условия равносильности (****) и (1) верны (для обоих зна­ков) и для нестрогого неравенства

≥ ( а - 1)(f(x) - g(х)) ≥ 0 или

f(х) >0,

≤ , g(х) > 0,

( а - 1)(f(x) - g(х)) ≤ 0.

Более сложные неравенства

Рассмотрим неравенство > 0, где а > 0, а ≠ 1, b > 0, ≠1. ОДЗ выражений, входящих в неравенство, определяется системой g_i(x)>0, i=1,2,3.

Решение рассматриваемого неравенства определяется зна­ками множителей. Воспользуемся тем, что в ОДЗ знак разности совпадает (в силу правила 4) со знаком про­изведения (а -1)(g₁(х) - g₂(x)), a знак совпадает в ОДЗ со знаком (b-1)( g₃ (x) - 1) в силу (1*). Поэтому

> 0 (≥ 0).

Замечательно то, что мы освобождаемся от всех логариф­мов за один шаг!

Пример: Решите неравенство

≥ 0.

Решение: Найдем ОДЗ:

3x² - 3x + 7 > 0,

-x² + x +6 > 0,

x≠ 0,7, x Є ( -2; 0,3) U (0,3;0,7) U (0,7;3).

x≠ 0,3;

Воспользуемся правилом 4 в ОДЗ:

≥ 0, = ≥ 0,

x Є (-∞; ) U{ } U ( ; +∞).

Теперь с учетом ОДЗ получаем ответ :

-2 3 x

Ответ: (-2;) U{ } U ( ; 3).

Пример (МГУ, 1974, геогр. ф-т): Решите неравенство

<0.

Решение: Найдем ОДЗ:

> 0, ,

> 0; (x - ) ( x - ) > 0; x Є (-,) U (, +∞).

Теперь воспользуемся (1*) для числителя и знаменателя: знак 1оg₃ ( x+ ) совпадает со знаком произведения (3-1) (x + -1), а знак

совпадает со знаком произведения (7-1) -1).

Поэтому в ОДЗ имеем

<0, < 0, < 0.

• + - +

- x

Рис.1

- - х

Рис. 2

Решая неравенство классическим методом интервалов (рис. 1), получаем, что

х Є(-∞; - ) U ( ; ).

Учтем ОДЗ (рис. 2) и получим ответ.

Ответ: (-,)U (, ).

Уравнения вида f(α(x)) = f(β(x))

ТЕОРЕМА. Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) на этом про­межутке. Тогда уравнение

f(α(x)) = f(β(x)) (1)

равносильно системе

α(x) = β (x),

α(x) Є M,

β (x) Є M.

Действительно, если х₀ - решение уравнения (1), то для этого числа имеют смысл числовые выражения и₁ = α (х₀) и и₂ = β (х₀), каждое из которых принадлежит области существования функции f(u), т. е. промежутку М, и f(u₁) = f(u₂). Покажем, что отсюда следует ра­венство α(x₀) = β(x₀). Пусть функция f(и) непрерывная возрастает на промежутке М. Тогда если и₁< u₂, то f(u₁)<f(u₂); если и₁>и₂, то f(и₁)>f(и₂), что противоре­чит условию f(и₁) = f(и₂). Следовательно, действительно и₁ = и₂, т. е. α(х₀) = β(х₀).

Аналогично показывается, что α(х₀) = β(x₀),еслифункция f(u) непрерывна и убывает на промежутке М. Сказанное выше означает, что любое решение уравне­ния (1) является решением системы (2).

Пусть теперь число х₁ является решением системы (2), Это означает, что имеют смысл числовые выражения v₁ = α(x₁) и v₂ = β(x₂), причем v₁ = v₂ Є М. Тогда так как функция определена на промежутке М, то справедливо равенство f(v₁) = f(v₂). Справедливость равенства f(α(х₁)) и f(β(x₁)) означает, что число х₁ есть решение уравнения (1). Итак, любое решение системы (2) явля­ется решением уравнения (1).

Таким образом, показано, что уравнение (1) и сис­тема (2) равносильны в случае, если известно, что либо уравнение, либо система имеет решения.

Покажем, что если уравнение (1) не имеет реше­ний, то и система (2) не имеет решений. Предположим противное, т. е. что система (2) имеет решения, но тог­да, по доказанному выше, и уравнение (1) имеет реше­ние, а это противоречит условию, что уравнение (1) не имеет решений. Аналогичными рассуждениями показы­вается, что если не имеет решений система (2), то и уравнение (1) не имеет решений. Следовательно, и в этом случае уравнение (1) равносильно системе (2).

В качестве следствий этой теоремы получим ряд ут­верждений. Доказательства этих утверждений похожи, по­этому ниже приведено лишь доказательство первого из них.

1. Пусть число а таково, что а>0, а≠1 . Тогда уравнение
) (3)

равносильно системе f(x) = g(x),

f(x) > 0, (4)

g(x) > 0.

Действительно, область существования функции y = есть промежуток (0; + ∞). Так как на этом про­межутке функция у = 1оg _au непрерывна и для а>1 воз­растает, а для 0<a<1 убывает, то по доказанной теореме уравнение (3) равносильно системе (4). Заметим, что в системе (4) любое из неравенств можно опустить, так как если для числа x₀ справедливо уравнение и одно из неравенств системы, то справедливо и другое не­равенство.

ПРИМЕР 1. Решим уравнение

Lg (x² - 4) = lg (6x + 4). (5)

Уравнение (5) равносильно системе

X² - 4= 6x + 4, (6)

6x + 4 > 0.

Уравнение системы (6) имеет два корня: x₁ = 3 + и x₂ = 3 - . Так как 6x₁ + 4 = 22 + 6 > 0, 6х₂+4=22 - 6<0, то система (6), а значит, и равносильное ей урав­нение (5) имеют единственное решение x₁.

Ответ. 3 + .

ПРИМЕР 2. Решим уравнение

. (7)

Уравнение (7) равносильно системе

Cos (x + , (8)

сos (x + ) > 0.

Поскольку для любого α справедливы формулы 1 +_соs 2α = 2 соз² α, sin 2α = 2 sin α соs α, соs α - siп α = соs(α + ), то система (8) равносильна системе

Cos (x + (1 - cos x) = 0, (9)

Cos (x + ) > 0.

Система (9) равносильна системе

Cos x = 1,

Cos (x + ) > 0. (10)

Решения первого уравнения системы (10) задаются серией x_n = 2, n Є. Так как cos(x_n+ ) =cos (, то все числа x_n являются решениями системы (10) и, следовательно, равносильного ей уравнения (7), Ответ. 2 , n Є

2. Для любого натурального числа 2т уравнение

=

равносильно системе

f (x) = g (x),

g (x) ≥ 0,

f (x) ≥ 0.

(11)

Заметим, что в системе (11) любое из неравенств мож­но опустить.

ПРИМЕР 3. Решим уравнение

= . (12)

Уравнение (12) равносильно системе

X² - 2x - 7 = 2x² - 9x - 15,

2x² - 9x - 15 ≥ 0. (13)

Система (13) имеет единственное решение x₁ = 8. Следо­вательно, уравнение (12), равносильное системе (13), имеет единственное решение x₁.

Ответ. 8.

Рассмотрим более сложные примеры применения теоремы.

ПРИМЕР 4. Решим уравнение

+ + = + + (14)

Область существования функции f(и) = + + есть промежуток [0; +∞). Так как эта функция непре­рывна и возрастает на этом промежутке, то уравнение (14) равносильно системе

Sin x = cos x ,

Sin x ≥ 0.

(15)

Уравнение системы (15) имеет серию решений x_n = + nЄ.

Так как sin x = sin ( + ) = (-1) ⁿ , то при любом n = 2k, k Є, число х_п удовлетворяет неравенству систе­мы (15), а при любом n = 2k + 1, k Є , число x _nне удов­летворяет этому неравенству. Это означает, что система (15), а значит, и равносильное ей уравнение (14) имеют решения x _k = + k Є

Ответ. + k Є

Отметим частный случай теоремы.

Пусть R - область существования функции f(u) и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на R, тогда равносильны уравнения f(α(х)) = f(β(x)) и α(x) = β(x)

ПРИМЕР 5. Решим уравнение

( = ( - . (16)

Область существования функции f(и) = ()^u + есть R. Так как эта функция непрерывна и убывает на R, то уравнение (16) равносильно уравнению

X² - 2x + 5 = 2x² - 3x - 1. (17)

Уравнение (17) имеет два корня: х₁ = -2 и x₂ = 3, тогда и равносильное ему уравнение (16) имеет те же корни.

Ответ. -2; 3.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

1.а) lg(x² - 17) = lg (11x - 45); б) lg(x² -7x + 14) = lg (3x - 16);

в)lg (25 - x²) = lg (2x - 10); г) lg (x² - 5x - 24) = lg (3x - 16).

2. а) =

б) = .

3.а) = ; б) = ;

в) = ; г) = .

4. а) arcsin(x² - 80,5) = arcsin(x - 8,5); б) arcsin(x² - 8) = arcsin(9x - 26);

в) arcos (x² - 9) = arcos (7x + 21); г) arcos (x² - 14) = arcos (x + 6).

5. а) =;

б) = .

6. а) = ;

б) = ;

в) ( = ( ;

г) ( = ( - (

7. a) + = + ;

б) + = + ;

в) + = + ;

г) + = + .

8. а) + + = + ;

б) + + = + + .

9. а) = ; б) = ;

в) = ; г) = .

10. а) = ;

б) = .

11. а) = ; б) = ;

в) = ; г) = .

Неравенства вида f (α(x))>f(β(x))

ТЕОРЕМА. Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М и пусть эта функция непрерыв­на на промежутке М. Тогда:

а) Если функция f(u) возрастает на этом проме­жутке М, то неравенство

f (α(x))>f(β(x)) равносильно системе

α(x) > β (x),

α (x) Є M,

β (x) Є M.

б) Если функция f(u) убывает на этом промежутке М, то неравенство

f (α(x))>f(β(x)) равносильно системе

α(x) < β (x),

α (x) Є M,

β (x) Є M.

Доказательство этой теоремы аналогично доказа­тельству теоремы в предыдущем пункте, и поэтому мы его опускаем.

В качестве следствии этой теоремы получим ряд ут­верждений.

1. Неравенство >

при а>1 равносильно двойному неравенству f(x) > g(x) > 0,

а при 0 <а<1 равносильно двойному неравенству 0 < f(x) < g(x).

ПРИМЕР 1. Решим неравенство

(1)

Неравенство (1) равносильно двойному неравенству

0 <x³ - x² - 2x < x³ - 3,

которое равносильно системе

x² > 0, (2)

x(x² -x - 2) > 0.

Множество всех решений первого неравенства системы (2) состоит из двух промежутков: (-∞; -3) и (1; +∞), мно­жество всех решений второго неравенства системы (2) также состоит из двух промежутков: (-1;0) и (2;+оо). Поэтому множество всех решений системы (2) есть промежуток (2; +∞). Следовательно, множество всех решений неравенст­ва (1), равносильного системе (2), есть тот же промежуток.

Ответ. (2; +∞).

2. Для любого четного числа 2т, m Є неравенство

>

равносильно двойному неравенству f (x) > g(x) ≥ 0.

ПРИМЕР 2. Решим неравенство

(3)

Неравенство (3) равносильно двойному неравенству 0 ≤ , которое равносильно системе

> 0,

≥ 0. (4)

Множество всех решений системы (4) составляют два промежутка: (-3- -3] и (-3 + ; +∞). Следовательно, множество всех решений неравенства (3), равносильного си­стеме (4), есть то же множество.

Ответ. (-3- -3] U (-3 + ; +∞).

Рассмотрим более сложные примеры применения теоремы.

ПРИМЕР 3. Решим неравенство

+ + > + + . (5)

Область существования функции y = + + (6)

есть промежуток (0; + ∞). Так как на этом промежутке функция (6) непрерывна и возрастает, то неравенство (5) равносильно системе

х + 2>-2х + 3 ,

х + 2>0,

-2х + 3 > 0. (7)

Множество всех решений системы (7) есть промежуток ( ; ).Следовательно, множество всех решений неравенства (5), равносильного системе (7), есть тот же про­межуток.

Ответ: ( ; ).

Приведем частный случай теоремы.

Пусть R - область существования функции f(u) и пусть эта функция непрерывна на R. Тогда:

а) Если функция f(и) возрастает на R, то равно­сильны неравенства f(α(х)) > f(β(х)) и α(х)>β (х).

б) Если функция f(u) убывает на R, то равносиль­ны неравенства f(α(x)) > f(β(х)) и α(х)<β(х).

ПРИМЕР 4. Решим неравенство

+ < + e^{x + 2}. (8)

Область существования функции

Y = + e^u (9)

есть R. На этом множестве функция (9) непрерывна и возрастает, поэтому неравенство (8) равносильно неравенству < х + 2, которое можно переписать в виде

> 0. (10)

Множество всех решений неравенства (10), а зна­чит, и равносильного ему неравенства (8) составляют два промежутка: (-; 1) и (; + ∞).

Ответ. (-; 1) U (; + ∞).

Для самостоятельной работы.

Решите неравенства:

1. а)> б) > ;

в) < ; г) < .

2) а) > ; б) > ;

в) > .

3) а) arcsin (x² - 2x) < arcsin (x² + x - 1); б) arcsin (2x² + 1) < arcsin (2x² - x);

в) arccos < arcos (x² + x - 1); г) arcos > arcos .

4) а) + < + ;

б) + < + .

5) а) + lg( < + lg(;

б) + > + .

6) а) + + > + + .

7) а) + + ;

б) ( - 3)^{х - 5} - > ( - .

8) а) ; б) ;

в) г) .

9) а) < 0; б) < 0; в) < 0; г) < 0;

д) > 0; е) > 0.

10) а) ; б) ;

в) ; г) .

11) а) ; б).

12) а) ≤ 2 + ; б) ≤ 2 + .

13) а) ≥ ; б) ≥ ;

в) ≥ ; г) ≥ .

Использование производной для решения уравнений и неравенств

При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором про­межутке функций, в него входящих. При этом часто поль­зуются производными.

ПРИМЕР 1. Решим уравнение

Х⁵ + х³ - = 0 (1)

Рассмотрим функцию f (х) = х⁵ + х³ - . Область существования этой функции есть промежуток Х = ( - ∞; .

Функция f(х) имеет внутри промежутка X положительную производную f' (x) = 5x⁴+ Зх² +.

Следовательно, функция f(х) возрастает на промежутке X, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это озна­чает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко ви­деть, что число х₁ =-1 удовлетворяет уравнению (1). Следова­тельно, уравнение (1) имеет единственный корень х₁.

Ответ. - 1.

ПРИМЕР 2. Решим неравенство

20x ⁷ + 28 x ⁵ + 210x - 35 sin2х>0. (2)

Рассмотрим функцию f(x) = 20x ⁷ + 28 x ⁵ + 210x - 35 sin2х. Поскольку эта функция на интервале Х = (-∞; +∞) имеет производную f '(x) = 140x⁶ + 140х⁴ + 210-70соs 2х, которая положительна на этом интервале, то функция f(х) возрас­тает на интервале X. Так как функция f непрерывна на ин­тервале X, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. Следовательно, уравнение f(х)=0 может иметь не более одного корня. Легко видеть, что число x₁ = 0 является корнем уравнения f(x) = 0. Поскольку функция f(х) непрерывна и возрастает на интервале X, то f(х)<0 при x < 0 и f (х)>0 при x > 0. Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка (0; +∞).

Ответ. (0; +∞).

ПРИМЕР 3. Решим неравенство

е^х ≤ 1+ х. (3)

Обе части неравенства (3) определены на интервале Х = (- ∞; + ∞). Рассмотрим функцию f(x) = e^x - x - 1. Эта функция на интервале X имеет производную f'(х) = е^x - x - 1.

Так как f '(x)>0 для любого x из интервала (0; +∞) b на промежутке [0; +∞) функция f(х) непрерывна, то на промежутке [0; + ∞) функция f(х) возрастает. Поскольку f(0) = 0, то f(x)>0 для любого x Є (0; +∞). Поэтому любое x Є(0; + ∞) не является решением неравенства (3), а число x₀ = 0 является его решением.

Так как f'(x)< О для любого х из интервала (-∞; 0) н на промежутке (-∞; 0] функция f(х) непрерывна, то на промежутке (-∞; 0] функция f(x) убывает. Поскольку f(0) = 0, то f(x)>0 для любого x Є(-; 0). Поэтому любое x Є (-оо; 0) также не является решением неравенства (3). Та­ким образом, неравенство (3) имеет единственное решение x₀.

Ответ. 0.

ПРИМЕР 4. Выясним, сколько действительных корней имеет уравнение

x³ - x² - x + 0,1 = 0. (4)

Рассмотрим функцию f (х) = x³ - x² - x + 0,1. Она на ин­тервале (-∞; +∞) имеет производную f'(x) = 3x² - 2x -1.

Производная обращается в нуль в двух точках: х₁ = - и х₂= 1. Так как f'(х)>0 для любого х из интервалов (-∞; - ) и (1; +∞), то на каждом из промежутков (-∞; - ]и [1; +∞] функция f(х) возрастает. Так как f '(х) <0 для любого х из промежутка (- ;1), то на промежутке [ - ; 1] функция /(х) убывает.

Так как = = - ∞, f(х₁)>0, f(х_г)<0 и функция f(х) непрерывна на каж­дом из интервалов (-∞; x₁), (х₁, х₂) и (x ₂; +∞), то на каждом из них есть единственная точка, в которой эта функция об­ращается в нуль. Следовательно, функция имеет три нуля, т, е. уравнение (4) имеет три действительных корня.

Ответ. Уравнение имеет три действительных корня.

ПРИМЕР 5. Решим уравнение

(5)

Обе части уравнения (5) определены на отрезке [2; 4]. Рассмотрим функцию f(x) = .

Эта функция на интервале (2; 4) имеет производную

f' (x) = (x - 2) ^{- ¾} - (4 -x) ^{- ¾},

которая обращается в нуль в единственной точке х₀ = 3. Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [2; 4], то она до­стигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел f (2) = , f (3) = 2 и f (4) = .

Так как f(3) > f(2) = f(4), то наибольшее значение 2 на отрезке [2; 4] функция f(х) достигает в единственной точке х₀=3. Следовательно, уравнение (5) имеет единственный ко­рень x₀.

Ответ. 3.

Пример 6. Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение х⁴- х² + а² _3а = 1 имеет три различных корня.

Уравнение четвёртой степени не может иметь ровно три различных корня. Следовательно, данное уравнение при искомых значениях параметра имеет корень кратности два. Если α- корень кратности два, а β и γ - остальные корни уравнения, то f(x) = х⁴ - х² + а² -3а -1 = (х - α)² (х - β) (х - γ).

Тогда производная функции f `(x) = 4х³ - 2х имеет тот же корень.

Решим уравнение 4х³ - 2х = 0, х = 0, х = .

Найдём те значения параметра, при которых производная является корнем исходной функции, а из них выберем отвечающие условию задачи.

1. х = 0. Получаем а² - 3а - 1 = 0 , а = . При данных значениях параметра получим уравнение вида х = 0,

х⁴ - х² = 0, х = 0,

х = 1,

х = -1.

Следовательно, найденные значения параметра отвечают условию задачи.

2. х = . Получим, что + а² -3а - 1 = 0, а² -3а - 1 = , а² -3а - = 0,

а = .

При найденных значениях параметра получим, что уравнение будет иметь два корня кратности два, т.к.при каждом из этих значений параметра каждое из чисел - корни.

Ответ: .

Для самостоятельной работы.

Решите уравнение :

1)a) x⁵ + x³ + 1 - = 0; б) x⁵ + x³ - 37 - = 0.

2)а) - = 0; б) - = 0.

Решите неравенство:

1) а)х² - 1 > 2lnx; б) ; в) x - <ln (x + 1).

2) a)12 x⁵ + 10x³ +35x - 17 sin 2x > 0; б) 10 x⁵ + 25 x³ +39x + 11 - 11cos2x > 0.

3) a) 3 x⁵ + 10x³ +15x + lg x- 28 > 0; б) x⁵ + x³ +10x + - 61 > 0.

4) Сколько действительных корней имеет уравнение:

а) 2х⁴ - 4х² + 1 =0; б) 2х⁴ - 8х + 1 = 0.

Показательно-логарифмические неравенства

Это неравенства, содержащие неизвестное в осно­вании и в показателе степени, причем показатель сте­пени содержит логарифмы.

Пример 1. Решить неравенство > 10.

Решение

Так как х > 0, то, прологарифмировав обе части неравенства по основанию 10, получим равносильное неравенство: lg х^{lg x} > lg 10 или lg ² х > 1, откуда

|lg х|>1,lg х > 1 и lg х < -1.

Если lg х > 1, то х > 10; если lg x < -1, то 0 < x < 0,1.

Ответ: 0 < х < 0,1; х > 10.

Пример 2. Решить неравенство <

Решение

Так как х > 0, то, прологарифмировав обе части неравенства по основанию 10, получим

· lg x < lg x + 1 или lg² x + 2 lg x - 3 < 0.

Пусть lg x = t, тогда t² + 2t - 3 < 0, откуда имеем -3 < t < 1 . Учитывая подстановку, получим -3 < lg х < 1, откуда 10 ^{- 3} < х < 10.

Ответ: 0,001 < х < 10.

Пример 3. Решить неравенство х^{lg² х - lgx + 1} > 10 .

Решение

Так как х > 0, то имеем равносильное неравенство

(lg²x - lg x + 1) lg x > 1 или lg²x (lg x - 1) + (lg x - 1) > 0, (lg x - 1) (lg²x + 1) >0, откуда lgx - 1 > 0 (ввиду того, что lg²x + 1 >0 при всех х > 0), тогда lg x > 1, откуда х > 10.

Ответ: х > 10.

Пример 14. Решить неравенство

< 3.

Решение.

Пусть, , где t > 0, x > 0. Тогда t + < 3 или I² - 3t + 2 < 0, откуда находим 1 < t < 2. Значит, 1 < < 2 или, логарифмируя обе чаcти по основанию 2, имеем 0 < log₂² x < 1, или log₂² x < 1,

х ≠ 1 | log₂ x| < 1 или

- 1 < log₂x < 1, < х < 2.

Ответ: < х < 2; 1 < х < 2.

Задачи

Группа А

Н айти наибольшее целое значение х, удовлетворя­ющее неравенству:

1.1оg₈ (4 - 2х) > 2; 2. > -2; 3 < -2;

4. lg x < 2 - lg 4; 5. > ;

6. + ; 7. ;

8. 1оg₃ (7 - х) > 1; 9. ; 10. 1оg₃ ( 7x - 5) > 1;

11. 1оg₅ (3x + 1) < 2; 12. ≥ -2; 13. 4;

14. ≥ ; 15.

Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. lg (

21. ; 22. lg (

23. 24.

25. .

Группа Б

Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

1. Log²₂ x > 4 log ₂x - 3; 2. ;

3. 3 ; 4. Log₃ x < log ₃ 72 - log ₃ 8;

5. 4 log_0,6 x ≥ log _0,6 8 + log_0,6 2; 6. Log₂ (7 - x) + log₂x ≥ 1 + log ₂3;

7. lg x + lg (7 - x) > 1; 8. ;

9. lg ( 8x - 16) < lg (3x + 1); 10. Log₂ log_√5 (x - 1) <1; 11. Log ₃

12. 13. 14. ;

15. .

Решить неравенство:

16. ; 17. 18.

19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. (3х - 1)

24.; 25. ; 26. Lg² (- x) - lg x² - 3 > 0;

27.; 28. ; 29. ;

30. ; 31. ; 32. ;

33.; 34. )≤ 0; 35. ;

36. 37. ;

38. ; 39. ;

40. 41. ;

42. 43. ;

44. ; 45. ;

46. ; 47. ;

48. ; 49.

Контрольная работа

Вариант -1

1. Решить неравенство:

Решение.

, или ,, или , , так как , то

Ответ:

2. Решить неравенство (х² - х + 1)^х < 1.

Решение

Заметим, что х² - х + 1 > 0 при всех х є R, так как дискриминант трехчлена D <0 и а = 1>0.

Запишем данное неравенство в вид

(х² - х + 1)^x < (х² - х + 1)°. (1)

При этом возможны 2 случая: 1) 0< х²-х+1<1; 2) х²- х + 1> 1.

Следовательно, неравенство (1) равносильно сово­купности двух систем:

х²-х+1< 1, х²- х + 1> 1

х>0, х<0.

или

х(х - 1) < О, х(х -1) > О,

х>0, х<0.

Ответ: х <0; 0< х < 1.

3. Решить неравенство

Решение.

Запишем данное неравенство в виде , так как при любом , то получим равносильное неравенство . Решая методом интервалов, имеем .

Ответ: .

4. При всех а решите неравенство

Решение. При любом фиксированном значении а это обычное рациональное неравенство. Поэтому к нему можно применить метод интервалов. Для этого нужно расположить на числовой оси числа а и а + 1, в которых обращаются в нуль числитель и знаменатель соответственно.

+ - +

а а + 1

Ответ: х є [а; а +1) при любом а.

5. (ЕГЭ С-5). Найдите значения параметра, при каждом из которых сумма выражений при всех допустимых значениях х.

Решение. ,

а> 0,

а ≠ 1,

|х| ≤ 1,

.

а> 0,

а ≠ 1,

|х| ≤ 1,

(а - 1) ((

Сделаем следующую замену переменной. Так как |х| ≤ 1, то положим х = sin t, Получим систему

а> 0, a > 1,

а ≠ 1, ( cost + 4)² < a + 9,

(а - 1) (cos²t + 8 cost + 7 - a) < 0;

0 < a < 1,

(cost + 4)² > a + 9.

Очевидно, что при любом значении а є (0;1) неравенство второй системы не может быть верным при любом значении переменной t, т.к. 9 < (cost + 4)² < 25.

Следовательно, остаются те значения параметра, при которых неравенство первой системы верно.

Очевидно, что это происходит при любом а ≥ 16.

Ответ: [16;+∞)

Вариант - 2

1. Решите неравенство:

Решение .

Запишем неравенство в виде . Пусть , где , тогда . Решим полученное неравенство методом интервалов, для чего найдем корни трехчлена , , . Так как , то , т. е. , откуда х >0.

Ответ: х >0

2. Решить неравенство (х² - 4х)^{х + 2} ≤ 1.

Решение

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

1. Х² - 4х ≥ 1, Х² - 4х - 1 ≥ 0,

Х + 2 ≤ 0; х ≤ - 2.

Решим неравенство методом интервалов:

= 4 + 1 =5 > 0, х_{1 , 2} = 2 . + - +

2 - 2 +

Тогда решением системы 1) будет: х ≤ -2.

0<х²-4х<1, х² - 4х ≤ 1, х² - 4х - 1 ≤ 0,

2) х +2 ≥ о х² - 4х > 0, х(х - 4) > 0,

х ≥ - 2, х ≥ - 2.

Решением неравенства х² - 4х - 1 < 0 будет 2 - ≤ х ≤ 2 +

Решением неравенства х (х - 4) > 0 будет х < 0, х > 4.

Тогда решением системы неравенств 2) будет 2 - ≤ х < 0, 4 < х ≤ 2 +

Объединяя 1) и 2), получим решение исходного не­равенства.

Ответ: х<-2, - < х <0, 4< х ≤ 2 + .

3. Решить неравенство

Решение.

Нули функции:

Точки разрыва функции:

Двойные точки:

+ - - - + - +

-3 -1 0 2 4 6

На рисунке нули функции отмечены закрашенными кружками, а точки разрыва - светлыми. Как видно, слева и справа от двойных точек -1 и 0 функция не меняет знака. Следовательно, получим или короче .

Ответ:

4. При всех а решите неравенство > 0.

Решение. А может быть как меньше 1,так и больше или равно 1. рассмотрим три случая. + - +

1. Пусть а < 1.

а 1 х

метод интервалов даёт часть ответа: если а < 1, то х є (- ∞; а) U (1; +∞).

2. Пусть а = 1. Тогда получаем неравенство > 0, при х ≠ 1 равносильное верному неравенству 1 > 0. его решение - вся область определения неравенства, т.е. (- ∞; 1) U (1; +∞).

3. Пусть а > 1. Тогда имеем + - +

1 а х

Метод интервалов приводит к частичному ответу: если а > 1, то х є (- ∞; 1) U (а; +∞).

Объединим части ответов и получим окончательный результат.

Ответ: Если а < 1, то х є (- ∞; а) U (1; +∞);а = 1, то х є (- ∞; 1) U (1; +∞); если а > 1, то х є (- ∞; 1) U (а; +∞).

5.(ЕГЭ С-5). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 1 + имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Запишем систему, равносильную данному неравенству.

1 +

а> 0,

4х² + 4х + 7 > ах² + а.

Так как дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего под знаком логарифма в левой части неравенства, отрицателен, а его старший коэффициент положителен, то этот трёхчлен принимает только положительные значения. Выражение ах² + а = а(х² + 1), поэтому для его положительности достаточно указать, что а > 0.

Таким образом, необходимо найти положительные значения параметра, при каждом из которых неравенство, входящее в систему, имеет хотя бы одно решение.

а> 0, а> 0,

4х² + 4х + 7 > ах² + а; (4 - а)х² + 4х + 7 - а > 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если 0 <а< 4, то неравенство системы всегда имеет бесконечное число решений, что следует из того, что ветви графика у = (4 - а)х² + 4х + 7 - а направлены вверх.

2. Если а = 4, то получим неравенство 4х + 3 > 0, которое также имеет бесконечное число решений.

3. Если а > 4, то первый коэффициент квадратного трёхчлена у = (4 - а)х² + 4х + 7 - а становится отрицательным, и для того чтобы неравенство имело бы хотя одно решение, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена принимал неотрицательные значения.

Таким образом, искомые значения параметра задаются системой:

а> 4,

4 - (4 - а)(7 - а) ≥ 0.

а> 4, а> 4, а> 4,

4 - (4 - а)(7 - а) ≥ 0; а² - 11а + 24 ≤ 0; 3≤а ≤ 8; 4 < а ≤ 8.

Объединяя найденные значения параметра, получим, что условию задачи удовлетворяет любое значении а є (0; 8].

Ответ: (0; 8].

Глава 2.

Разработка урока по теме: « Логарифмические неравенства»

Сближение теории с практикой даёт самые благотворительные результаты,

И не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием её.

П. Л. Чебышев.

Цели урока:

• Продолжить работу над определением логарифма; формировать знания, умения и навыки по данной теме;

• Развивать интенсивное и творческое мышление, желание поиска решения; развивать навыки коллективного труда;

• Содействовать воспитанию интереса к математике; укреплять благоприятный климат в классе.

Тип урока: урок закрепления материала по данной теме.

Оборудование: компьютер, мультимидийный проектор.

Структура урока:

1. Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока).

2. Активизация познавательной деятельности ( устная работа).

3. Отработка знаний, умений и навыков по данной теме.

4. Работа в группах.

5. Сравнение и решение задач (по одной) каждой группы и решение этой задачи (с помощью мультимидийного проектора).

6. Решение системы двух неравенств.

7. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Давайте подумаем и ответим: « Чем мы сегодня будем заниматься?»

Сегодня на уроке мы должны продолжить изучение тем: «Логарифмическая функция» и «Решение логарифмических неравенств».

Итак, как вы думаете, какова цель нашего урока?

2. повторение теоретического материала (фронтальный опрос) и решение устных упражнений.

1. какая функция называется логарифмической?

(на экране: у = log_аx).

2. сформулируйте свойства логарифмической функции

а) при а > 1

На экране:

б) при 0 <а < 1.

На экране:

б)

3. что называется логарифмом числа, а по основанию а?

На экране: logb = x, .

4. перечислите свойства логарифмов.

На экране: а > 0, а ≠ 1, в > 0, с > 0.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. b^r=r,

6. , x є Z.

5. Какое уравнение называется логарифмическим? На экране:.

6. Сформулируйте достаточное следствие монотонности логарифмической функции.

На экране: равенство , где а > 0, а ≠ 1, t>0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t > s.

7. Какие неравенства называются логарифмическими?

На экране: ,

, а > 0, а≠ 1.

8. Что следует из того, что f(x) > 0, g(x) > 0.

На экране: 1)при а> 1, равносильно системе неравенств: f(x) > 0,

g(x) > 0

f(x) ≥ g(x).

2) при 0 < а < 1, неравенство равносильно системе: f(x) > 0,

g(x) > 0

f (x) ≤ g(x).

Решите устно неравенства:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

На экране:

а) х - 3 > 0, х > 3,

х - 3 < 5², х < 28.

Ответ: (3;28).

б) х> 0, х > 0,

х ≥ (1\3)², х ≥ (1\9)².

Ответ: [ 1\9; + ∞).

в) 2х - 4 > 0, х > 2,

14 - х >0, х < 14,

2х - 4 > 14 - х, х > 6.

Ответ: (6; 14).

г) 2х - 4 > 0, х > 2,

14 - х >0, х < 14,

2х - 4 < 14 - х, х < 6.

Ответ: (6; 14).

Отвечают.

Отвечают

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Отвечают.

Решают.

3. отработка знаний, умений и навыков по данной теме.

Из учебника (Мордкович 10-11) выполняются задания: 1581(в,г), 1582 (в,г), 1583 (в,г), 1585 (в,г);

в) у доски, г) самостоятельно (проверяем с помощью проектора)

4. работа в группах.

Карточка для 1 группы (слабая).

1) ,

2) ,

3) .

Карточка для второй группы.

1) ,

2) ,

3) .

Карточка для группы № 3.

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Карточка для четвёртой группы.

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

5. Каждая группа защищает решения задания под № 2. По окончанию работы учитель демонстрирует решение этих номер на экране.(смотри слайды)

6. Решить систему двух неравенств. (Решение выполняется у доски).

, х² - 5х - 4 < 2,

; х² + 3 > 0,

4х > 0,

х² + 3 ≤ 4х;

х² - 5х - 6 < 0, (х - 6) (х + 1) < 0,

х > 0, х > 0,

х² - 4х + 3 ≤ 0, х² + 3 > 0,

х² + 3 > 0; (х - 3) (х - 1) ≤ 0.

Ответ: [1; 3].

7. подведение итогов урока и домашнее задание.

Чем мы сегодня занимались? (отвечают ученики).

Что мы узнали нового? (отвечают ученики).

Какие решали задачи? (отвечают ученики).

Домашнее задание. № 1593.1588.

Решить неравенства:

1),

2) .

Заключение

Одним из важных качеств любого учителя является его профессионализм, который может быть выражен и проявляться в различных видах его педагогической деятельности. Любой учитель-профессионал всегда находится в творческом поиске идей и задач, которые он может и должен решать (реализовать), применяя всё своё мастерство.

Наверное, каждому учителю приходилось в разной форме сталкиваться с подготовкой к Единому государственному экзамену, с подготовкой учащихся к сдаче вступительных или выпускных экзаменов. Буду надеяться, что, изучив данную работу, многие для себя учителя найдут достаточно полезной и важной информации.

При подготовке и выполнении работы я сделала для себя некоторые важные выводы:

• На изучение данной темы в курсе математики отводится недостаточно часов для реализации целостной подготовки выпускников. Поэтому данную тему необходимо включать в планирование спецкурса, факультативных занятий.

• Предложенные в работе практические упражнения по теме учитель профильных классов может использовать при организации работы с учащимися на уроках, факультативах, спецкурсах и индивидуальных занятиях.

Работа представляет практический интерес для учителей профильных классов и может быть использована при подготовке к занятиям и в других, не профильных классах, подобранные упражнения позволяют это сделать.

Цели работы достигнуты и выявляются новые перспективы для дальнейших исследований по теме.

Список используемой литературы:

1. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10-11 классов средних школ/Под редакцией А.Н.Колмогорова.- М.:Просвещение,2001.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11профильных классов/Под редакцией А.Г.Мордковича.-М.:Мнемозина,2005.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11класса общеобразовательных учреждений/Под редакцией С.М.Никольского.-М.:Просвещение,2003.

4. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для уч.школ и классов с углубленным изучением математики/Под редакцией Н.Я.Виленкина.-М.:Просвещение,2001.

5. Алгебра и начала анализа в 10-11 классах: Пособие для учителей/Под редакцией А.М.Абрамова.-М.Просвещение,1998.

6. КутеповА.К.,РубановА.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для учебных заведений. -М.Высшая школа,1974.

7. М.Л.Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.Просвещение,1994.

8. Тренировочные тематические задания пов. сложности для подготовки к ЕГЭ.-Волгоград.:Учитель,2007.

9. А.Г.Клово. Новые КИМы 2007г, математика.-М.:ООО «Рустест»,2007.

10. ЕГЭ-2007. Реальные тесты. - М.:Фолио,2007.

11. ГлейзерГ.И.История математики в школе (IX-X классы) - М.Просвещение, 1983.

12. Журнал «Математика в школе».

13. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ по математике.-ООО «Медиахауз»,издание. ООО «Издательство «Экзамен»,разработка,2007.

14. Вступительные испытания под редакцией Ф.Ф.Лысенко. математика ЕГЭ - 2008. издательство «ЛЕГИОН».

15. Э.Н.Балаян. Репетитор по математике для поступающих в вузы. Ростов -на -Дону «Феникс», 2005.

16. С.И.Колесникова. Математика, интенсивный курс подготовки к единому государственному экзамену. Москва, АЙРИС ПРЕСС - 2007.

17. А.Р.Рязановский, В.В.Мирошин. Математика. Решение задач повышенной сложности. Москва, «Интеллект - центр» - 2007.

18. А.И.Козко, В.Г.Чирский. Задачи с параметрами. Издательство «Экзамен» - 2007.