Управление образования Гродненского облисполкома

Отдел образования Зельвенского райисполкома

УО «Государственная гимназия №1 г.п. Зельва»

Т.И. Лескевич

Геометрический метод решения текстовых задач на движение и работу.

Зельва

2013

ВВЕДЕНИЕ

Решениям задач уделяется достаточно много внимания в школе. Умение решать задачи современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Без умения решать задачи нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счет в сбербанке мы интересуемся размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие процент используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредит, налог на прибыль и т.д.

Для умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Решение текстовых задач различными способами - дело непростое, оно требует глубоких математических знаний. При решении одной текстовой задачи различными способами привлекается дополнительная информация, т.е. рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения.

В качестве основных способов в математике различают арифметический и алгебраический. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

Если использовать чертёж при решении, то можно легко дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

До настоящего времени вопрос о графическом способе решения задач не нашёл должного применения в школьной практике.

Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Следует отметить, что благодаря применению графического способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу - это важное политехническое умение.

Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом.

Графический способ решения любых задач и проблем очень удобен своей наглядностью, так как вырисовывается вся картина целиком, и не нужно удерживать в памяти разрозненные куски.

Решение задач на движение графическим способом

Немаловажное значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы:

По количеству движущихся объектов. От количества объектов, которые участвуют в движении, различают задачи на движение одного человека, одного велосипедиста, одной машины и т. д. и движение, в котором два и более участника.

По направлению движущихся объектов.

- движение навстречу друг другу или в разные стороны - противоположно направленное движение;

- движение в одном направлении - однонаправленное движение.

По времени начала движения.

- одновременное движение;

- разновременное движение.

Под геометрическим методом решения задач на движение будем понимать метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений.

Методы решения задач на движение использующие графики, обладают большой простотой и изяществом. Усвоение этой темы облегчит изучение одной из основных тем физики - кинематики. Применение графиков движения в решении задач придаёт содержанию задачи наглядность и прозрачность, что особенно бросается в глаза при сравнении подобных решений с решениями, использующими другие методы.

При решении следующих задач вводится система координат, причем на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат - пройденное расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной точки. Движущийся объект в любой момент времени занимает определённое положение, т.е. находится на определённом расстоянии от этой фиксированной точки, а значит, изображается некоторой точкой в данной системе координат. В процессе движения объекта изменяет своё положение и изображающая его точка, вычерчивая некоторую линию - график движения. Начерченный график - это

краткое и наглядное описание какого - либо процесса. Недаром говорят, что график - это «говорящая» линия, которая может многое рассказать, но она рассказывает только тем, кто умеет её читать.

Решение текстовых задач с помощью графического представления условия задачи может помочь в решении задач различных уровней сложности. С помощью графиков рационально решаются задачи, в которых описывается некоторый процесс: движения, работы, заполнения зала зрителями, горения свечи и т.д.

В разбираемых задачах будем считать движение равномерным и графики движения прямолинейными. Задачи, разбираемые в данной работе, отражают реальные процессы, взятые на основе жизненных наблюдений и статистических данных.

В школьных задачах, как правило, описываются процессы с постоянной скоростью его протекания. Поэтому, независимо от вида процесса, его характеристики (скорость протекания процесса, время -продолжительность процесса, результат процесса - пройденный путь, вспаханная площадь поля, выполненная работа с необозначенным содержанием и т.д.) связаны одной и той же линейной зависимостью: результат процесса равен произведению скорости и времени его протекания. Формулы выражения этой зависимости имеют вид S = vt, A = vt. График такой зависимости удобно изображать в системе координат: горизонтальная ось (Оx) - ось времени, вертикальная (OY) - ось результата процесса (например, пройденный путь). Графиком линейной зависимости служит прямая. Угол наклона прямой к оси абсцисс характеризует скорость процесса, а модуль тангенса этого угла равен численному значению скорости протекания процесса.

Для того, чтобы решить текстовую задачу с помощью графиков линейной функции, надо:

1. задать систему координат sOt с осью абсцисс Ot и осью ординат Os. Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние. По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.

2. Провести линии движения каждого из объектов, указанных в условии задачи, через координаты хотя бы двух точек прямых. Обычно скорость объекта даёт информацию о прохождении расстояния за одну единицу времени от начала его движения. Если объект начинает двигаться позже, то точка начала его движения смещена на заданное число единиц вправо от начала отсчета вдоль оси абсцисс. Если объект начинает двигаться с места, удаленного от начала отсчета на определённое расстояние, то точка начала его движения смещена вверх вдоль оси ординат.

3. Место встречи нескольких объектов на координатной плоскости обозначено точкой пересечения прямых, изображающих их движение, значит, координаты этой точки дают информацию о времени встречи и удаленности места встречи от начала отсчета.

4. Разность скоростей движения двух объектов определяется длиной отрезка, состоящего из всех точек с абсциссой 1, расположенных между линиями движения этих объектов.

5. Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи. Поэтому очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осе координат. Иногда полезно за единичный отрезок на оси абсцисс брать количество клеток, кратное условиям задачи относительно времени, а на оси ординат - количество клеток, кратное условиям задачи относительно расстояния. Например, 12мин по времени требуют выбора числа клеток кратное 5, т.к. 12 мин составляет пятую часть часа.

6. Решение задач графическим методом требует творческого подхода и глубокого понимания процессов, описанных в задаче. Например, в задаче на движение навстречу графики имеют начала движений в точках с разными ординатами, а прямые носят разный характер монотонности: возрастание и убывание. В задаче на движение в одном направлении прямые одновременно или возрастают, или убывают с разной крутизной, пропорциональной разным скоростям движения объектов.

Изображая графики процессов, можно находить зависимости между величинами, применяя геометрические знания, а можно решать задачу привычным способом. Построенная модель зависимости между величинами помогает увидеть отношения между этими величинами. На этих двух подходах основано использовании графиков при решении текстовых задач.

Задачи приведенные дальше будут решены графическим методом, с достаточно подробным чертежом, описанием решения.

Задача 1.По городскому скверу, длина которого 500 м, одновременно начали прогуливаться два пожилых человека. Один прогуливается со скоростью 50 м/мин, а другой доходит до конца аллеи за 6 мин и с той же скоростью возвращается назад. Определить, сколько раз эти два пожилых человека встретятся в течение 25 минут?

S

500

0 6 10 12 18 20 24 30

Так как скорость первого 50 м /мин, то до конца сквера он доходит за 10 минут. Можно построить графики движения этих пожилых людей. По чертежу сразу видно, что графики пересекутся в трёх точках, значит пожилые люди встретятся 3 раза.

Ответ: 3 раза.

Задача 2. Расстояние между городами Н. и К. составляет примерно 60 км. Одновременно из этих городов, навстречу друг другу, выехали два автобуса. Первый автобус затратил на свой путь 1 час и 30 мин, а второй 1 час и 12 мин. На каком расстоянии от К. и через какое время с момента начала движения, автобусы встретятся.

Изобразим на чертеже графики движения автобусов между двумя городами. Так как автобусы выходят одновременно, но из различных точек, то и графики движения автобусов также будут выходить из различных точек, одна - из начала координат, другая - из точки, соответствующей 60 км на оси

s ОS. По оси ot отложим время движения этих автобусов.

Нов.

60

28

0 40 72 90 t

Графики движения автобусов пересеклись в одной точке, координаты этой точки соответствуют времени движения автобусов до встречи и расстоянию, которое автобусы проехали до места встречи.

Ответ: Расстояние от К. до места встречи автобусов равно 28 км; Автобусы встретились через 40 минут после начала движения.

Задача 3.От посёлка до станции велосипедист ехал со скоростью 10км/ч, а возвращался со скоростью 15км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 1ч меньше. Найдите расстояние от посёлка до станции.

Решение.

1. Зададим координатную плоскость sOt c осью абсцисс Оt, на которой отметим интервалы времени движения, и осью ординат Os, на которой отметим расстояние от посёлка до велосипедиста (Рис. 6).

2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат - в двух клетках 5км; по оси абсцисс - один час в 2 клетках (в 1 клетке - 30 мин.

3. Построим линию движения Iтуда: начало движения отметим точкой (0;0). Велосипедист ехал со скоростью 10км/ч, значит, прямая должна пройти через точку (1;10).

4. Построим линию движенияIIобратно: конец линии отметим точкой (1;0), т.к. велосипедист затратил на обратный путь на 1час меньше и вернулся в посёлок. Он ехал со скоростью 15км/ч, значит следующая точка прямой имеет координату (2;15).

5. Отметим A(3; 30) - точку пересечения прямыхI и II: её ордината покажет расстояние от посёлка до станции: s = 30 |=>30км - расстояние от посёлка до станции.

Ответ: 30км.

Задача 4 .По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10км/ч, а вторая уменьшит на 10км/ч, то первая за 2 часа пройдёт столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью идут автомашины?

Решение.

1. Зададим координатную плоскость sOt c осью абсцисс Оt, на которой отметим интервалы времени движения, и осью ординат Os, на которой отметим расстояние, пройденное автомашинами .

2. Нанесём деления в масштабе по оси абсцисс - один час в 6 клетках (в 1 клетке - 12 мин); по оси ординат наносим деления, но не указываем масштаб.

3. Построим линию движения первой машиныI: начало движения в точке с

координатой (0;0). Далее отметим произвольную точку (2;s₁) на плоскости, т.к. машина с новой скоростью была в пути 2 часа.

4. Построим линию движения второй машиныII: начало движения в точке с координатой (0;0). Далее отметим произвольную точку (3;s₁) на плоскости, т.к. машина с новой скоростью была в пути 3 часа.

4. Определим скорость машин v до её изменения. Обозначим разность ординат точек, лежащих на прямых с абсциссой 1, значком ∆s. По условию этому отрезку соответствует длина (10+10) км, т.к. у одной из них скорость уменьшилась, а у другой скорость увеличилась на 10км/ч. Значит, линия движения машин до изменения скорости должна быть равноудалена от линийI и II и расположена на координатной плоскости между ними.. По графику Δs=2кл. соответствует 20км, v=5 кл., значит, решим пропорцию v = 50км/ч.

Ответ: 50км/ч.

Задача 5. Из пункта A выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта B, отстоящего от A на расстоянии 20км, выехал мотоциклист 16км/ч. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч. На каком расстоянии от пункта A мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение.

1.Зададим координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot, на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат Os, на которойбудем отмечать расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом .

2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат - в 2 клетках 8 км; по оси абсцисс-в 2клетках -1ч.

3. Построим линию движения мотоциклиста I: начало его движения отметим в начале координат В(0;0). Мотоциклист ехал со скоростью 16км/ч, значит, прямаяI должна пройти через точку с координатами (1;16).

4. Построим линию движения велосипедистаII: её начало будет в точкеА(0;20), т.к. пункт Bрасположен от пункта A на расстоянии 20км, и он выехал одновременно с мотоциклистом. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, значит, прямаяII должна пройти через точку с координатами (1;32).

5. Найдем Р(5; 80) - точкупересечения прямыхI и II, отражающих движение мотоциклиста и велосипедиста: ее ордината покажет расстояние от пунктаВ, на котором мотоциклист догонит велосипедиста.

Р(5; 80) |=>s = 80, |=>80 - 20 = 60(км) - расстояние от пункта А, на котором мотоциклист догонит велосипедиста..

Ответ: 60км.

Задача 6 Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй - 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.

Решение.

Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график .

Используя подобие треугольников BOM и LOH а так же треугольников AOH и MON можно составить пропорцию

Имеем:

;

= 144;

t = 12.

Значит, 12 + 16 = 28 (часов) - был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) - был в пути второй.

Ответ: 21 час и 28 часов.

Задача 7 Грибник и рыболов находятся на расстоянии 220 метров от охотника. Когда охотник догнал грибника, рыболов отставал от них на 180 метров. На каком расстоянии от рыболова был грибник, когда охотник догнал рыболова?

В прямоугольной системе координат построим графики движений грибника, рыболова и охотника (считаем, что они идут с постоянными скоростями). На чертеже точки пересечения графиков соответствуют встречи объектов в какой-то момент времени. Для любой точки графика с координатами (x;y) x - это момент времени, в который объект находится на расстоянии y от начальной точки.

В данной задаче за начальную точку возьмем точку, в которой находился охотник, когда он был на расстоянии 220 метров от рыболова и грибника. Здесь OA=220 метров, CD=180 метров, BE - искомый отрезок (обозначим его за x).

Ход решения:

1) OAC~EBC - по двум углам: C - общий, AOC=BEC - как накрест лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:

(1)

2) BAE~CAD - по двум углам: A - общий, AEB=ADC - как накрест лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:

(2)

3) Сложим уравнения (1) и (2), получим:

Ответ: 99 метров.

Задача 8 Автобус одного из пригородных маршрутов отправляется в сторону зоны отдыха, расстояние до которой 30 км. Он едет со скорость 60 км/ч. Через 5 минут после его отправления в ту же сторону отправляется легковой автомобиль, который через 10 минут после начала своего движения догонит автобус. На каком расстоянии от города произойдёт эта встреча? С какой средней скоростью движется автомобиль.

Изобразим графики движения автобуса и легкового автомобиля. Будем считать, что автобус и автомобиль двигаются со средней скоростью и двигаются равномерно. Так как автомобиль выехал на 5 минут позднее, то график его движения будет выходить не из начальной точки, а из точки, соответствующей на оси Оt 5 минутам.

s

30

15

0 5 15 25 30 t

Скорость движения автобуса 60 км/ч, значит, весь путь он проедет за 30 минут. Автобус и автомобиль встретились через 10 минут после начала движения автомобиля, т.е. через 15 минут после начала движения автобуса, который за 15 минут проедет 15 км, значит за 10 минут своего движения автомобиль проедет 15 км. 10 минут - шестая часть часа, значит, за час автомобиль проедет 15 км. х 6 = 90 км.

Ответ: Автомобиль двигался со скоростью = 90 км/ч.

Расстояние от города до места встречи автобуса и автомобиля равно 15 км.

Задача 9. Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода.

Решение:

Построим график зависимости пройденного пешеходом и велосипедистом пути от времени. Пусть p(x) - зависимость пройденного пешеходом пути от времени x, w(x) - зависимость пройденного велосипедистом пути от времени x.

Точка пересечения М графиков функций p(x) и w(x) соответствует моменту встречи пешехода и велосипедиста, точка L -прибытию пешехода в пункт N, точка С-прибытию велосипедиста в пункт О. Исходя из этого, время, за которое пешеход пройдёт путь ОN равно длине отрезка ОD

Ход решения:

1) MBC~MKN - по двум углам: MBC=MKN=90^о, KMN=BMC - как вертикальные.

Из подобия следует:

(1)

2) MLK~MBO - по двум углам: KLM=MOB - как накрест лежащие углы при параллельных прямых, MBO=MKL=90^о.Из подобия следует: (2)

3) Из равенств (1) и (2) получаем:

Обозначим BC через x. Тогда NK=OB=5/6 ч, CD=4 ч, KT=x, KL=x+4.

4) Подставим значения:

5) Так как OD=(x+5/6+4) - время прохождения пути пешеходом, то он проделал его за 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Задача 10 Из пункта М в N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта М выехал велосипедист, а еще через 30 мин - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от М к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч позже мотоциклиста?

Решение: 1 ч = 60 мин; 2 ч = 120 мин.

Пусть p(x) - зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) - зависимость преодоленного велосипедистом пути от времени х, m(x) - мотоциклистом. Построим графики этих функций на координатной плоскости.

Треугольники MOB и M₁OC₁ подобны (ÐMOB=Ð M₁OC₁ ,ÐOMB=Ð OM₁ C₁).
Тогда из подобия следует:
MB:C₁ M₁=BO:OC₁ (1)
Треугольники BOC и C₁OB₁ подобны
(ÐBOC = Ð C₁OB₁, ÐOBC = Ð OC₁B₁).
Из подобия следует следующее равенство:
BC:B₁ C₁=BO:OC₁ (2)
Из равенства (1), (2) получаем:

MB:C₁ M₁=BC:B₁ C₁ (3)
Пусть C₁M₁ = х , тогда: MB=120, BC=30,B₁ C₁=60-х
Подставляем значения в равенство (3):
120:х=30:(60-х) х=120(60-х):30 х=240-4х 5х=240 х=48(мин).
Задача 6.Из пункта А в пункт В вышел первый спортсмен. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел второй спортсмен. Они t встретились в полдень. Первый спортсмен достиг противоположного пункта в 16 ч, второй - в 21 ч. Определить, в какое время они вышли из своих пунктов.

Пусть АА₁ -график движения первого спортсмена из А в В; ВВ₁-график движения второго спортсмена из В в А. О-момент встречи (12ч). МА₁=16 16ч-12ч=4ч; NB₁=21ч-12ч=9ч; ВМ=АN=tч-время, пройденное спортсменами до встречи.

подобен , тогда

подобен , тогда

Таким образом, по смыслу задачи t=6ч.

Ответ: 6 часов.

Задача 11. Два пешехода одновременно выходят навстречу друг другу из пунктов А и В и встречаются через полчаса. Продолжая движение, первый прибывает в В на 11 мин раньше, чем второй в А. За какое время преодолел расстояние АВ каждый пешеход?
Пусть p(x) - зависимость пройденного первым пешеходом пути от времени х, q(x) -вторым пешеходом.

Время, за которое первый пешеход пройдет путь АВ равно длине отрезка AG=BC; а время, затраченное вторым пешеходом на этот же путь равно длине отрезка AD . Таким образом, задача сводится к нахождению длин отрезков ВС и AD. Обозначим длину отрезка AE через x, AE = x = BF

Треугольники COF и AOE подобны по двум углам. Из подобия следует следующее равенство

(1) Треугольники DOE и BOF подобны по двум углам. Из их подобия следует следующее равенство:

Ответ: 55 мин, 66мин.

Задача 12 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. За какое время пройдет все расстояние первый, если он пришел в то место, из которого вышел второй, на 2,5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

Пусть АА₁ -график движения первого спортсмена из А в В; ВВ₁-график движения второго спортсмена из В в А. О-момент встречи. Тогда AN=BM=3ч ( время до встречи); CA₁=2,5ч BA₁-искомое время.

Пусть МС= NB₁=t.

подобен , тогда

подобен , тогда

Таким образом, по смыслу задачи t=2ч

BA₁=BM+MC+CA₁=3+2+2,5=7,5(ч). Ответ: 7,5часа

Задача 13 Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся как 3:2?

Решение Пусть q(x) - зависимость обработанной первой бригадой части участка земли за время х от времени х, зависимость p(x) отражает работу второй бригады. Построим графики этих соответствий на координатной плоскости. Точка пересечение графиков зависимостей p(x) и q(x) соответствует моменту окончания одновременного выполнения работы двумя бригадами.

Пусть v₁ и v₂ - скорости выполнения работы первой и второй бригадами соответственно. По условию задачи v₁ : v₂ = 3:2. С другой стороны, v₁ =АВ/ВН, а v₂ =АВ/ВG. Отсюда получаем, что v₁ : v₂ =BG:BH=3:2. Треугольники BOD и FOE подобны (ВОD= FОЕ как вертикальные, ОDВ= ОЕF=90^о ). Из подобия треугольников следует равенство: 1) Треугольники BOG и FOA подобны (ВОG= FОA как вертикальные, ОGВ= ОAF как накрест лежащие при параллельных ВН и АF и секущей AG). Из подобия треугольников следуют равенства: (2) Из равенств (1), (2) следует: . ВН=BD+DH=BD+EF=12+18=30 (ч).

BG = ∙ВН =∙30= 20 (ч).

Ответ: 20 ч., 30 ч.

Задача 14. Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней второй рабочий может выполнить все задание?

Решение.

АС и ВD-графики зависимости выполненного объёма работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно. ВF=АE =12дней-время совместной работы; АМ-время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работу(второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Известно, что 25 дней требуется рабочим, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда АМ=2∙25=50 дней. Пусть ED=х, тогда DМ=50-12-х=38-х,

FС=ВС-ВF=(38-х)-12=26-х.

подобен , тогда

подобен , тогда

Таким образом,

по смыслу задачи х=18

Не подходит, так как 12+18=30>25, значит, х=8, тогда

АD=12+8=20 дней;

ВС=12+26-х=12+26-8=30 (дней)

Ответ:30 дней.

Задача 15. Двое рабочих, из которых второй начал работать на 1,5 дня позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому рабочему для ее выполнения понадобилось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней второй рабочий выполнил бы эту работу?

АА₁ и ВВ₁-графики зависимости выполненного объёма работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно. МВ=1,5 дня; АD=7 дней; АЕ и КВ₁-время выполнения всей работы каждым рабочим в отдельности. АЕ=КВ₁+3;

В₁Е=АЕ-КВ₁=АЕ-1,5-(АЕ-3)=1,5.

Пусть СА₁=х, тогда DВ₁=х-1,5.

подобен , тогда

подобен , тогда

_{Таким образом}

по смыслу задачи х=7 дней.

КВ₁=АВ₁-АК=7+х-1,5-1,5=11 дней

Ответ:11 дней.

Задача 16. Юноша пошёл к железнодорожной станции, до которой от его дома было 10,5 км. Через полчаса из того же дома вслед за юношей по той же дороге вышел его брат, который, идя со скоростью 4 км/ч, догнал юношу, передал забытую им вещь, и тут же повернул обратно с прежней скоростью. С какой скоростью шёл юноша, если известно, что шёл он всю дорогу равномерно, а его брат вернулся в тот момент, когда юноша подошёл к станции.

Решение

1) Треугольник KLM - равнобедренный, KN=NM.
2) Треугольники ACM и ALN подобны, значит
CM:LN=AM:AN,
10,5:LN=(2х+0,5):(х+0,5)
LN=4х (так как скорость брата 4 км/ч)
10,5:4х=(2х+0,5)(х+0,5)

х=1,5
3)v=10,5:3,5; v=3.
Ответ: 3 км/ч.

Задача 17. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Ещё через час расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым-в два раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля больше скорости второго.(Известно, что третий автомобиль не обогнал первые два)

1. АС,AF,B₁P-графики движения Ι,ΙΙ,ΙΙΙ автомобилей соответственно.

АB₁и МB₁-расстояние между Ι и ΙΙΙ и между ΙΙ и ΙΙΙ автомобилями соответственно в момент выезда третьего автомобиля.

РС и РF-расстояния между Ι и ΙΙΙ и между ΙΙ и ΙΙΙ автомобилями соответственно через час после выезда третьего автомобиля.

Пусть СР =х, тогда ВВ₁=1,5х.

Пусть FР=у, тогда МВ₁=2у.

ВМ= ВВ₁- МВ₁; ВМ=1,5х-2у;

СF=СР-FР; СF=х-у.

2) Рассмотрим : ВМ-средняя линия, тогда ,

2ВМ=СF; 2(1,5х-2у)=х-у; 3х-4у=х-у; 2х=3у; .

3) Скорость первого автомобиля

;

Скорость второго автомобиля

;

_Ответ:

Задача 18 Три пловца должны проплыть из пункта A в пункт B и обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд - второй, еще через 5 секунд - третий. На пути из A до B прошли некоторую точку C одновременно. Третий пловец, доплыв до B и сразу повернув назад, встречает второго в 9 метрах от B, а первого - в 15 метрах от B. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние между A и B равно 55 метров.

Решение:

Построим график зависимости пройденного пешеходами и лыжником пути от времени. Пусть p(x) - зависимость пути, который проплыл первый пловец, от времени x, w(x) - зависимость пути, который проплыл второй пловец, от времени x, m(x) - зависимость пути, который проплыл третий пловец, от времени x. AD=DE=5 с, AB=55 м, BT=15 м, BM=9 м.

Ход решения:

1) DKG~IKH - по двум углам: DKG=IKH - как вертикальные углы, KDG=KIH - как накрест лежащие при параллельных прямых. Пусть h₁, h₂ - высоты этих треугольников соответственно. Из подобия следует:

(1)

2) ALG~JLH - по двум углам: ALG=JLH - как вертикальные углы, LAG=LJH - как накрест лежащие при параллельных прямых. Пусть h₃, h₄ - высоты этих треугольников соответственно.

Из подобия следует:

(2)

3) Из равенств (1),(2) следует:

Следовательно скорость первого пловца:

Ответ: 1 м/с

Тест2

1. Два станка сделали 220 деталей, к тому моменту как включили третий станок. Когда третий станок сделал столько деталей, сколько их сделал первый, второй сделал на 180 деталей меньше. На сколько больше деталей сделал первый станок в тот момент, когда третий сделал столько деталей, сколько сделал второй?

1) 88

2) 121

3) 150

4) 55

5) 99 *

2. Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа выехал велосипедист, а еще через час - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от M к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 час позже мотоциклиста?

1) 48

2) 40 *

3) 50

4) 25

5) 28

3. Из поселка в одном и том же направлении выехали последова-тельно с интервалом в 1 час три велосипедиста. Первый ехал со скоростью 12 км/ч, второй 10 км/ч, а третий, имея более высокую скорость, догнал сначала второго велосипедиста, а еще через 2 часа - первого. Какова скорость третьего велосипедиста?

1) 20 *

2) 30

3) 80

4) 40

5) 52

4. Два спортсмена начинают бег одновременно - первый из пункта A в пункт B, второй - из B в A. Они бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоянии 300 метров от пункта A. Пробежав дорожку до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 метров от пункта B. Найдите длину AB (в метрах).

1) 600

2) 400

3) 500 *

4) 650

5) 1000

5. На реке расположены пункты A и B. Одновременно из этих пунктов навстречу друг дугу отходят два одинаковых катера, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Катер, вышедший из A, возвращается обратно через час после выхода. Если бы катер, отправляющийся из A, вышел на 15 минут раньше катера, вышедшего из B, то встреча произошла бы на равном расстоянии от обоих пунктов. Через сколько часов возвращается катер, вышедший из B?

1) 2

2) 1,5 *

3) 3,5

4) 4

5) 1

6. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля с одинаковой скоростью. Первый повернул обратно, как только встретился с пешеходом, вышедшим из B в 8:00, а второй доехав до B в 9:00, вернулся в A через 10 минут после возращения в A первого автомобиля. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости человека?

1) 6

2) 10

3) 12

4) 11 *

5) 16

7. Три мотоциклиста проезжают с постоянными, но различными скоростями один и тот же участок AB дороги. Сначала пункт A проехал первый мотоциклист, а спустя 5 секунд в том же направлении второй и третий. Через некоторое время первого мотоциклиста обогнал третий, а через 10 секунд - второй. За какое время (в секундах) первый проходит весь путь (AB), если второй проехал это расстояние за 1 минуту, а третий - за 40 секунд?

1) 70

2) 80 *

3) 60

4) 75

5) 50

8. Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии 80 километров от А, выехал мотоциклист. Навстречу ему из пункта В, находящегося между А и С на расстоянии 5 километров от С, выехал велосипедист, а из пункта С - автомобиль. Через сколько минут встретились мотоциклист и велосипедист, если известно, что это произошло через 20 минут после того, как автомобиль догнал велосипедиста, а мотоциклист до встречи с автомобилем провел в пути вдвое больше времени, чем велосипедист до того, как его догнал автомобиль?

1) 32,5

2) 18,5

3) 16,5

4) 40,5

5) 37,5 *

9. Первым отправился по намеченному пути путешественник A. Второй путешественник Б отправился следом за А через 45 минут со скорость v₂, намериваясь догнать путешественника А, скорость которого v₁. Через сколько минут после отправления путешественника А с тур базы должен выехать велосипедист В, чтобы догнать А, одновременно с Б, если известно, что В поедет со скоростью v₃?

1)

2)

3)

4)

5)

10. Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый из них вышел на полчаса раньше второго, и при встречи оказалось, что он прошел на 12 километров меньше, чем второй. Первый пришел в пункт В через 8 часов, второй - в пункт А - через 9 часов после встречи. Найдите скорости туристов (км/ч).

1) 4;2

2) 6;4 *

3) 4;10

4) 6;10

5) 2;4

КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

Задача 1:

Краткое решение:

Откуда х = 99.

Ответ: 99 деталей.

Задача 2:

Краткое решение:

,

х = 40 мин.

Ответ: 40 минут.

Задача 3:

Краткое решение:

Обозначим: v - скорость третьего велосипедиста.

12(4+t)=v(t+2)=y,

10(1+t)=vt=x.

Разделим первое уравнение на второе, получим: , откуда t = 1

Подставим во второе уравнение t = 1, получим v = 20.Ответ: 20 км/ч.

Задача 4:

Краткое решение:

АВ = 500 м.

Ответ: 500 метров

Задача 5:

Краткое решение:

Треугольники AEC и DEB подобны с коэффициентом подобия 3/2.

Следовательно: .

Катер, вышедший из В возвращается через 1,5 часа.

Ответ 1,5 часа.

Задача 6

Краткое решение:

Одно и тоже расстояние пешеход проходит за 55 минут, а автомобиль - за 5 минут, следовательно, скорость автомобиля в 11 раз больше.

Ответ: В 11 раз.

Задача 7:

Краткое решение:

, , .

Выполним почленное умножение этих равенств, получим:

Ответ: 80 секунд.

Задача 8

Краткое решение:

AN = NK = x. Значит, CLB=LFM, следовательно, CB = MF = 5.

BMFA - трапеция, LE - средняя линия. Поэтому LE = (75+5)/2=40.

Треугольники LDE и MDF подобны. Следовательно,

DF = n, EF = AE = 7n.

Ответ: 35,5 минут.

Задача 9

Краткое решение:

, (1)

(2)

Из равенства (1) следует, что

(3)

Подставив в равенство (2) выражение (3), получим

Ответ:

Задача 10

Краткое решение:

36:6 = 6 (км/ч) - скорость первого туриста;

48:12 = 4 (км/ч) - скорость второго туриста.

Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч.

Тест1

1.На реке расположены пункты A и B, причем, ниже по реке, на расстоянии 20 км от A Катер направляется из A в B , затем сразу возвращается в A и снова следует в B. Одновременно с катером из A отправляется плот. При возвращении из B катер встретил плот в 4 км от A. На каком расстоянии (в км) от A катер нагонит плот, следуя вторично в B?

1)10 2)12 3)4 4)5 5)10

2. Из города A в город B в 10 ч. утра выехал велосипедист. Три часа спустя из города B в город A по той же дороге выехал мотоциклист. Велосипедист и мотоциклист движутся с постоянными скоростями. В пути они встретились у придорожного кафе и остановились. После часового отдыха они продолжили каждый свой путь. Мотоциклист и велосипедист прибыли соответственно в города A и B одновременно в 17 ч. того же дня. Найти время встречи у кафе велосипедиста и мотоциклиста.

1)14

2)12

3)13

4)1 5

5)14.5

3. Из деревни в одном и том же направлении выходят три пешехода:- второй через 2 минуты после первого, а третий - через три минуты после второго. Через 5 минут после своего выхода из деревни третий пешеход догнал второго, а еще через 2 минуты он догнал первого пешехода. Через сколько минут после своего выхода из деревни второй пешеход догонит первого?

1)18

2)12

3)15

4)50

5)28

4. Два мотоциклиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми 240 км. и через 3 часа встречаются не останавливаясь, они продолжают движение с той же скоростью, и первый прибывает в B на 2, 5 часа раньше, чем второй в A. Определите скорость каждого мотоциклиста.

1)36 и 48 2)35 и 42 3)35 и 45 4)40 и 48 5)50 и 56

5. Из пункта М в N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта М выехал велосипедист, а еще через час - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от М к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч позже мотоциклиста?

1)48

2)40

3)50

4)25

5)28

6. Из двух городов A и B одновременно навстречу друг другу с постоянными скоростями выехали два автомобиля. Первый автомобиль приехал в город B через 16 часов после встречи, а второй - в город A через 25 часов после встречи. За какое время первый автомобиль проезжает путь от A до B?

1)48

2)36

3)50

4)40

5)41

7. Из A и B вышли навстречу друг другу два туриста, турист, вышедший из пункта A вышел на 3 часа позже, а при встрече оказалось, что он прошел на 12 км меньше. Первый пришел в пункт A через 8 часов, а второй - через 9 часов после встречи. Найдите скорости туристов (в км/ч)

1)1и 2

2)3 и 4

3)5 и 6

4)4 и 2

5)5 и 8

8. Чан заполняется двумя кранами за 1час. Наполнение чана только через кран A я а 22 минуты дольше, чем через кран B. За какой промежуток времени (в мин.) каждый кран отдельно может наполнить чан?

1)66и 88

2)110 и 132 3)90 и 112 4)116и 136 5)114 и 134

9. Из пунктов A и C в пункт B выехали одновременно два всадника и прибыли туда одновременно через 3 часа. Пункт C находится на 6 км дальше от пункта В, чем пункт A . Найдите расстояние от C до B , если всадник, выехавший из С проезжал каждый километр на 1 мин cкорее, чем всадник, выехавший из A.

1)16

2)20

3)5

4)6

5)10

10. Два спортсмена начинают бег одновременно - первый из A в B, второй из B в A . Они бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от A . Пробежав дорожку до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 м от B. Найти длину AB .

Задача 1 Решения

На расстоянии 5 км катет нагонит плот.

Ответ:5 км.

Задача 2. Решение.

Если остановки у кафе не будет, то прямые - графики движений - пересекутся в одной точке. Ее координаты соответствуют моменту встречи у кафе. Время прибытия станет равным 16 ч.

Время встречи у кафе 14 часов

Ответ:14 часов.

Задача 3. Решение.

Второй пешеход догонит первого через 28 минут.

Ответ: 28 минут.

Задача 4. Решение.

первый мотоциклист затратит на весь путь 5 часов, а второй-7,5 ч.

V₁=240:5=48(км/ч).

V₂=240:2,5=32(км/ч)

Ответ: 48км/ч, 32км/ч.

Задача 5. Решение.

Ответ: 40 мин.

Задача 6 Решения

Первый автомобиль проезжает путь от А до Б за 36 часов.

Ответ: 36 часов.

Задача 7. Решение

3х=36,

2х=24.

Ответ: 4 км/ч, 3 км/ч.

Задача 8. Решение

Первый кран наполняет чан за 110мин, второй-за 132 мин.

Ответ: 110мин,132 мин.

Задача 9. Краткое решение.

Ответ: 36 км.

Задача 10. Краткое решение.

Ответ: 500м