Разработка урока геометрии в 9 классе
«Теорема косинусов»

Тема «Теорема косинусов»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Место урока - первый урок по данной теме

Цели урока:

Образовательные:

- доказать теорему косинусов и показать её применение при решении задач;

- способствовать усвоению всеми учащимися стандартного минимума по теме;

-формировать и совершенствовать надпредметные умения обобщать путем сравнения, постановки и решения проблем, оперировать уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением по аналогии.

Развивающие:

- развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;

- развивать психические свойства: память, вербальную и образную, произвольное внимание, воображение.

Воспитывающие: воспитывать чувство коллективизма.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3.Изучение нового материала. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

4.Закрепление .Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя.

2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

1. Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

2. Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа на доске.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90^o=0.

Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

• находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

Задача на применение теоремы:

в= 5, с=6,γ=60˚

Зная, что формула имеет вид a²=b²+c² - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b²+c²=2bc×cosγ+a².
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b²+c^2- a² =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

cosγ=b²+c²-a2/2bc.
Вопрос для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?

• Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариантам №1

Вариант №2

Вариант №3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cosα=19/96

 cosα=0

cosα = -7/32

α=79˚

 α= 90⁰

α = 103⁰

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

• Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

• Если cosα>0 , треугольник остроугольный;

• Если cosα=0 , треугольник прямоугольный;

• Если cosα<0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с - наибольшая сторона
- если с² < a² + b², то треугольник остроугольный;
- если с² = a² + b², то треугольник прямоугольный;
- если с² > a² + b², то треугольник тупоугольный.

Задача:№1031(а)

Построение перспективного плана дальнейшей работы.

-вопрос учителя: Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

-ответы учеников

- находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

- определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

- определять вид треугольника по трем известным сторонам

4этап. Закрепление.

Мини-тест

Мини-тест

Условие

Варианты ответа

В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны

p лежит угол α. Тогда справедлива следующая

формула:

А)  m² = n² + p² - 2 npcosα

Б) m =n²+ p²- 2 npcosα

В) p²=m²+ n² -2mn cosα ;

Г) p =m²+ n² -2mn cosα ;

Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Длины двух сторон треугольника равны и 3, а угол

между ними 45⁰. Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √5; Г) 5

В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Проверка.

№

Варианты ответа

1

В) p² =m ²+ n² -2mn cosα ;

2

В) тупоугольный.

3

В)√5

4

В) тупоугольный

Домашнее задание. П.98, № 1025(д).

5.Предлагаю выставить итоговую отметку. Оценки

Приложения № 1.

Разминка.

Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

1.sin( 90⁰ - α) = 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

2. cos( 90⁰ -α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

3. sin( 180⁰- α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180⁰ - α) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60⁰ = 1) 2) 3)

6. cos 30⁰ = 1) 2) 3)

7. cos 45⁰= 1. 2. 3.

8. sin 60⁰ = 1. 2. 3.

9. sin 30⁰ = 1. 2. 3.

10. sin 45⁰ = 1. 2. 3.