Исследовательские работы по математике

МБОУ «Игоревская СОШ» Смоленской области

Исследовательские работы по математике.

Учитель математики Кузнецова Валентина Петровна

21.11.2014

Работа №1

«Исследование площади прямоугольника данного периметра»

(Работа может быть проведена перед изучением темы «Функция» или в начале этой темы)

Ход работы:

1. Периметр прямоугольника равен 24 см², а его стороны а и в. Задайте формулой зависимость площади S (см²) прямоугольника от а.

Р=2(а+в) , а+в=Р:2 , в=Р:2- а

2. Заполните таблицу:

Р

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

а

1

2

3

4

5

5,5

6

6,2

6,8

7

8

9

10

в

3. Заполните таблицу:

S=ав

Р

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

а

1

2

3

4

5

5,5

6

6.2

6,8

7

8

9

10

S

4. При каком значении а получился прямоугольник наибольшей площади? Каково значение этой площади?

5. Выберите сами два любых допустимых значения а и вычислите значение S.

6. Удалось ли получить значение S большее, чем найденное ранее?

Какую ГИПОТЕЗУ (предположение) можно высказать на основании проведенного исследования?

ГИПОТЕЗА:

Работа №2

Построение графика зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объема жидкости.

(лабораторная, домашняя)

(Работа может быть проведена при изучении темы «График функции»)

Приборы и материалы: ведро, литровая банка, линейка.

Ход работы:

1. Налейте в ведро 1 л воды при помощи банки.

2. Измерьте высоту столба жидкости в ведре, опустив в воду линейку.

3. Запишите результаты измерений в таблицу.

4. Повторите действия 1 ,2 и 3, пока не заполнится ведро.

Объем воды V(куб. м)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Высота столба h (см)

5. Постройте график зависимости h от V (по оси Ох - V - 1 см соответствует 1 л воды, на оси Оу - h - 1см соответствует 2 см высоты столба жидкости ).

6. Какой график у вас получился - прямолинейный или криволинейный?

Выскажите ГИПОТЕЗУ.

ГИПОТЕЗА:

Работа №3

Исследование некоторых простейших множеств точек на координатной плоскости.

(Может быть проведена непосредственно перед изучением темы «Линейное уравнение с двумя переменными»)

Ход работы:

1. Постройте на координатной плоскости несколько точек, сумма абсциссы и ординаты которых равна 10.

х+у=10

Х

-4

-2

0

2

4

6

8

12

У

2. В чем особенность расположения построенных точек?

Выскажите ГИПОТЕЗУ о том, как располагаются на плоскости все точки, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 10.

ГИПОТЕЗА:

3. Постройте несколько точек, у которых сумма абсциссы и ординаты :

А) больше 10

Х

-1

3

5

7

9

у

13

Выскажите ГИПОТЕЗУ о расположении на плоскости точек, сумма координат которых больше 10.

ГИПОТЕЗА:

Б) меньше 10

Х

-3

-5

-7

8

10

у

9

Выскажите ГИПОТЕЗУ о расположении на плоскости точек, сумма координат которых меньше 10.

ГИПОТЕЗА:

При выполнении задания 3.А) и 3.Б) можно использовать для построения точек различные цвета.

Работа № 4

График расстояния от точки на прямой до начала координат.

(Может быть проведена в процессе изучения темы «График уравнения с двумя переменными» или при обобщающем повторении в конце учебного года).

Ход работы:

1. Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравнением

3х+4у=12.

4у=12-3х

У=3- 3 ∕4х

Х

0

4

у

2. Пусть х - абсцисса точки на прямой 3х+4у=12;

d - расстояние от этой точки до начала координат.

Измерьте расстояние от каждой точки до начала координат и заполните таблицу:

Х

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

у

3. Постройте график зависимости d от х.

4. Обсудите результаты. Выскажите ГИПОТЕЗУ.

ГИПОТЕЗА:

Работа № 5

График расстояния.

(Работа может быть проведена при изучении темы «График функции» или на следующих этапах повторения и закрепления этого материала)

Ход работы:

1. Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 5-х часов пути они сделали остановку на 1 час, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч. На рисунке изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной 5 км.

2. Определите на схеме точку, в которой находились туристы через 1 час после отправления из пункта А.

( МАСШТАБ 1:200000)

3. Найдите расстояние по прямой от этой точки до пункта А; до пункта В.

4. Заполните таблицу: t -время, d- расстояние (км)

t

0,5

1

1,5

2

3

4

5

6

7

7,5

8

d

5. Постройте график зависимости d от t

40В

А

35

30

25

20

15

10

5

Работа № 6

Исследование площади прямоугольника, вписанного в треугольник.

(Работа может быть проведена при изучении темы «Площади»)

Ход работы:

1.В треугольник АВС, основание которого 10 см, а высота 8 см, вписаны несколько прямоугольников, две вершины которых лежат на основании, а две другие - на боковых сторонах. (Смотрите чертеж)

А

В С

2. Учитывая, что можно построить сколько угодно вписанных треугольников, постройте самостоятельно прямоугольники с высотами, указанными в таблице:

Высота h (см)

0,5

1

2

3

3,5

4

5

6

7

7,5

Основание

а (см)

Площадь S (см²)

3. Измерьте основание каждого прямоугольника и вычислите S . Результаты запишите в таблицу.

4. При каком значении h у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Какова эта площадь?

5. Сравните высоту, основание и площадь этого прямоугольника с высотой, основанием и площадью треугольника АВС. Выскажите ГИПОТЕЗУ по результатам исследований.

ГИПОТЕЗА:

Работа №7

Исследование изменения правильной и неправильной дробей при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число.

(Работа может быть проведена при изучении темы «Неравенства»)

Ход работы:

1. К числителю и знаменателю дроби ½ прибавьте одно и то же положительное число х.

1+х

2. Заполните таблицу: если х = 1, то у = ------ (1)

2+х

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

Значения у округляйте до десятых.

3. Ответьте на вопрос: как изменяется значение правильной дроби при увеличении значения х ?

4. Проведите аналогичные исследования, взяв неправильную дробь, например 5/2.

5+х

5. Заполните таблицу: если х=1, то у = ------ (2)

2+х

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

6. Как изменяется значение неправильной дроби при увеличении значения х?

7. Сформулируйте ГИПОТЕЗУ об изменении значения правильной и неправильной дроби при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число.

ГИПОТЕЗА:

8. Дополнительное задание.

Постройте графики функций (1) и (2)

Работа №8

Исследование периметра прямоугольника данной площади.

(Работа может быть проведена при изучении темы «Квадратные корни»)

Ход работы:

1. Площадь прямоугольника 144см² , а его ширина а см. Найдите длину

в см и его периметр р см .

S=ав; в=S:а; Р=2(а+в)

2. Заполните таблицу:

S

144

144

144

144

144

144

144

144

144

144

144

144

а

2

4

6

8

9

10

12

16

18

24

48

64

в

р

3. Ответьте на вопрос: при каком значении а у вас получился наименьший периметр?

4. Сформулируйте ГИПОТЕЗУ о прямоугольнике данной площади, имеющем наименьший периметр.

ГИПОТЕЗА:

ОБОСНОВАНИЕ: ав=k; при а=в имеем

a²=k

a=√k

b=√k

a+b=2√k

Значит, надо доказать, что при а>0 и в>0 , произведение ав >0

а+в > 2√ ав

Дальнейшее очевидно.

Работа № 9

Исследование произведения отрезков хорд.

(Работа может быть проведена на уроке геометрии при изучении темы «Теорема о произведении отрезков хорд » или на уроке алгебры при изучении темы «Функция. График функции»)

Ход работы:

1. Постройте окружность радиусом 50 мм. Отметьте точку К на расстоянии 40 мм от центра.

2. Проведите хорду, проходящую через точку К. Обозначив длину одного из отрезков хорды буквой х (мм), а длину другого отрезка хорды буквой у (мм), постройте хорды, для которых в таблице указаны значения х. Измерьте длину второго отрезка. Найдите произведение ху. Заполните таблицу.

х

10

16

20

24

30

35

40

45

50

у

ху

3. Заметили ли вы какую-нибудь закономерность?

Сформулируйте ГИПОТЕЗУ.

ГИПОТЕЗА:

4. Какую длину имеет наибольшая из хорд? Каковы длины отрезков этой хорды?

5. Используя зависимость у от х , указанную в таблице, постройте график этой зависимости для множества всех хорд, проходящих через точку К.

Работа № 10

Вычисление площади треугольника.

(Работа может быть проведена при изучении темы «Площадь треугольника» на уроке геометрии или при изучении темы «Приближенные вычисления» на уроке алгебры)

Ход работы:

1. Постройте треугольник по координатам его вершин А(-6;-2) , В(-2;6), С(4;-1).

2. Найдите площадь этого треугольника двумя способами:

А) вычислением по формуле S=1/2ah (с построением высоты треугольника и измерением ее длины и длины основания)4

В) построением прямоугольника АКМР, стороны которого параллельны координатным осям и проходят через вершины данного треугольника АВС.

В этом случае площадь треугольника АВС равна разности площади прямоугольника АКМР и суммы площадей треугольников АКВ, ВМС и АСР.

3. Сравните площади, полученные первым и вторым способами. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения площади, полученного первым способом.

Работа № 11

Исследование площади треугольника, полученного при пересечении координатных осей прямой, проходящей через данную точку.

Ход работы:

1. Через точку С(5,4) проведена прямая, пересекающая координатные полуоси в точках А(х;0) и В(0:у).

у

В(0;у)

С(5;4)

х

О А(х;0)

2. Проводя через точку С (смотрите рисунок) другие прямые так, чтобы они пересекали полуось Ох в точках с указанными в таблице абсциссами, запишите в эту таблицу соответствующие значения ординат у точек пересечения этих прямых с полуосью Оу.

х

6

8

10

12

14

16

18

20

22

У

S

3. Для каждой пары значений х и у вычислите значение площади треугольника АОВ и запишите ее значение в таблицу.

4. Какое наименьшее значение площади у вас получилось? При каких значениях х и у? Как связаны координаты точки С с этими значениями х и у? Выскажите ГИПОТЕЗУ.

ГИПОТЕЗА:

Работа №12

(Работа может быть предложена учащимся в любом месте курса 9 класса)

1. Из пункта А в пункт В можно попасть, проехав 10 км по шоссе до пункта В₁ , а затем 4 км по грунтовой дороге В₁ В (смотрите рисунок)

В

г

р

у

н

т

о

в

а

я

В₁ х С А

По шоссе трактор может развить скорость 15 м/с , по грунтовой дороге

12 м/с , а по целине 10 м/с. Сколько времени потребуется трактору на путь из А в В по маршруту АВ₁В ?

2. Может ли трактор быстрее достичь пункта В, если свернет с шоссе на целину в пункте С ?

3. Задайте формулой зависимость времени t от расстояния х от точки С, в которой трактор сворачивает с шоссе на целину, до точки В_{1 .}

4. Заполните таблицу:

х(м)

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

t(с)

5. Найдите с точностью до 100 м на каком расстоянии от точки В₁

6. Выскажите ГИПОТЕЗУ.

7. Сделайте вывод.

Работа № 13

(Работа может быть выполнена при изучении тригонометрического материала в 9 классе)

1. Для изготовления водопойного желоба на животноводческой ферме сбили 3 одинаковых доски длиной 4 м и шириной 25 см. Вместимость желоба V

равна произведению площади трапеции на длину желоба

(Смотрите рисунок)

2. Задайте формулой зависимость вместимости желоба от тупого α угла при основании трапеции.

3. Заполните таблицу:

Α (град)

90

100

110

120

130

140

150

V

(куб. м)

4. При каком из заданных в таблице значений угла получится желоб наибольшей вместимости?

5. Выскажите ГИПОТЕЗУ.

ГИПОТЕЗА:

А D

В С

Работа № 14

Исследование формы прямоугольника, вписанного в окружность.

(Работа может быть проведена при изучении темы «Вписанные и описанные многоугольники» + тригонометрический материал).

1. В окружность радиусом R=5см вписан прямоугольник с основанием х см и высотой h см (Смотрите рисунок)

h

х

Величина х принимает значения, указанные в таблице:

х

h

S

2. Вычислите значение h в зависимости от х и найдите площадь прямоугольника S. Запишите результаты в таблицу.

3. При каких значениях h и х получился прямоугольник наибольшей площади? Сформулируйте ГИПОТЕЗУ о форме прямоугольника наибольшей площади.

ГИПОТЕЗА:

4. Выразите площадь прямоугольника через радиус R описанной окружности и угол α между основанием прямоугольника и его диагональю.

5. Исследовав эту формулу, докажите, что ваша гипотеза верна.