Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

16



Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Треба математику не тільки викладати,

як науку абстрактну, а й переходити до

різноманітних практичных ії застосувань.

М.В.Остроградський.

Тема уроку: Роз`язування рівнянь з параметрами.(10клас).

Мета уроку: вивчити означення рівняння з параметрами,

навчитися розв`язувати лінійні та дробові

рівняння з параметрами,

розвивати логічне мислення учнів, вміння

аналізувати, робити висновки,

виховувати культуру математичної мови .

Тип уроку: комбінований .

Формувати компетентності:

- продуктивної творчої діяльності- вміння побачити та сформулювати проблему, знаходити нові рішення;

- інформаційні- розуміння та усвідомлення інформації, залу- чення власного досвіду;

- комунікативні - вмінні доводити власну точку зору;

4.)соціальні:-стимулювання пізнавальної активності учнів,

встановлення причинно-наслідкових зв`язків.

Хід уроку

1.Вступне слово вчителя.

Постановка проблеми.

Задачі з параметрами завжди зустрічалися на вступних іспитах до вищих навчальних закладів, і вже на протязі трьох років проведення тестування випускників середніх шкіл пропонуються при виконанні завдань високого рівня. Розв`язання задач з параметрами є одним із самих ефективних способів розвинення інтелектуальних здібностей учнів. Взагалі, при розв`язанні задач з хімії та фізики вам неодноразово приходилось розв`зувати задачі з параметрами.

Які рівняння можна вважати рівняннями з параметрами?

Які рівняння з параметрами ви вже роз`язували?

2.Актуалізація опорних знань учнів:

Розв`яжіть рівняння 2x-8=2x+6 ; та 2x-8=2x-8.

В обох випадках в результаті розв`язання ми отримали лінійне рівняння виду ax=b. Але від чого залежить його відповідь?

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами Розв`язування рівняння зручно записати у вигляді







Повторити загальний вигляд слідуючих функцій:

1).Пряма пропорційність y=kx (x ,y -змінні; k- параметр, Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами);

2).Лінійна функція y=kx+b ( x -змінна; a і b - параметри ) ;

3)Квадратне рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами (x- змінна; a ,b,. с -параметри, Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами).

3.Вивчення нового матеріалу.

Рівнянням зі змінною х і параметром а називається рівняння

виду f(x;а)=0.

Розв`язати рівняння з параметром - означає знайти для кожного допустимого значення а множину розв`зків рівняння.

Для розв`язування рівнянь з параметрами необхідно знати властивості елементарних функцій, властивості рівнянь і нерівностей і вміти їх досліджувати. Одним із важливих етапів розв`язування рівнянь з параметрами є запис відповіді.

Складання відповіді - це сбір отриманих раніше результатів. У відповіді дуже важливо відобразити всі етапи розв`язування приклада.

Розв`язувати рівняння з параметром доцільніше з а слідую чим планом.

План роз`язування рівнянь з параметрами.

1.Знайти критичні значення параметра.

2.Знайти розв`язкі рівняння для критичних значень параметра.

3.Знайти множини розв`язків на інтервалах між критичними значеннями параметра.

4.Побудувати графічну ілюстрацію і записати відповідь.

4.Сприймання і усвідомлення прийомів розв`язування

рівнянь з параметрами.

Колективне розв`язування вправ.

Приклад. Розв`язати рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Розв`язання.

Щоб знайти критичні значення параметра, необхідно знайти ті значення параметра, які обертають в нуль коефіцієнт при х.

  1. а =0 , 2х+1=0 , х= -0,5.

  2. Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиВідповідь. Якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами ,то розв`язків немає;

якщо а=1 , то х=-1 ;

якщо а=0 , то х=-0,5;

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Р`язування лінійних рівнянь з параметрами.

На початку уроку ми розглянули таблицю , в якій було показано, які можливі критичні значення лінійних рівнянь з параметрами.

За допомогою цієї схеми розв'яжіть рівняння з параметром.

Приклад 1. Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Розв`язання.

1Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами)а=0, рівняння приймає вигляд Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами ;це рівняння коренів немає;

2)а=2,рівняння приймає вигляд Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами; х є R.

3)Якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами ,то рівняння можливо перетворити до виду х=1/2а.

Відповідь: якщо а=0 ,то коренів немає, якщо а=2,то х є R , якщоРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами , то х=1\2а.

Приклад 2. Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Відповідь:

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

5.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

1.Для кожного допустимого значення а розв'язати рівняння :

а) (аРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами -9)х=а+3;

б) (а+1)х =аРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами -1.

2. а) Для яких значень t рівняння 3(2-х)=4(t-2х) має додаткові

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамирозв'язки ?

б) Для яких значень k рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

має від'ємні розв'язки ?

Питання вчителя : 1.Чи правильним шляхом пішли учні

при розв'язуванні вправ ?

2. З чим із сказаного ви згодні і чому ?

3. Для яких значень k рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

має єдиний розв'язок ; не має розв'язків ?

(k=0, єдиний розв'язок); (k=5,немає розв'язків )

6. Сприймання і усвідомлення методів розв'язування дро

бових рівнянь з параметрами.

Пригадати :

- які рівняння називаються дробовими ?

- що називається множиною допустимих значень дробового

рівняння?

Колективне розв'язування вправ.

Приклад 1. Для кожного допустимого значення параметра а

розв'язати рівняння

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Розв'язання.

У даному рівнянні допустимими є будь-які значення параметра

а є R. Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами, при Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами. Розв'яжемо спочатку перше рівняння системи. Критичними значеннями параметра є а=8/9 .

якщо а=8/9,тоРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами,

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Знайдемо ті значення параметра а, для яких знайдений розв'язок Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамирівняння задовольняє системі нерівностей:

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Самостійно побудуйте графічну ілюстрацію.

Відповідь: Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиякщо а=8/9 або

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамито рівняння коренів немає.

Приклад 2.

Залежно від значення параметра а ,розв'язати рівняння

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Відповідь : якщо а=1 або а=1,25 ,то розв'язків немає,

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Приклад 3.

При яких значеннях параметра а рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

має недодатні розв'язки? Знайти ці розв'язки.

Відповідь:

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

7.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

а)Для яких значень t рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами має додатні розв'язки?

б)Для яких значень k рівняння

-Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами має від'ємні розв'язки ?

в) Розв'язати рівняння :

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами; Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами .

8.Підведення підсумків уроку.

Проаналізуйте приклади, які ми розв'язували на уроці.

Які рівняння називаються рівняннями з параметрами ?

Що таке критичні значення параметра ?

Як визначити інтервал між критичними значеннями параметра ?

Як записати відповідь при розв'язанні рівнянь з параметрами ?

Що особливого у розв'язанні рівнянь з параметрами , на відміну від всіх відомих вам рівнянь ?

Параметр має противоречиві характеристики. З однієї сторони параметр в рівнянні треба вважати величиною відомою , а з іншої конкретне значення параметра - невідоме. З однієї сторони параметр величина постійна , а з іншої - вона може приймати різні значення. Тобто параметр - це невідома відома змінна , постійна величина. Цей «каламбур» дуже влучно відображає гнучкість параметра.

9.Домашнє завдання.

1.Розв`язати рівняння:

а) Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами;

б) Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

2.Знайти всі цілі корені рівнянь а) ах=а+5 ; б) Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Тема уроку: Розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.

(10 клас).

Мета уроку: формувати уміння розв'язувати рівняння з двома па-

раметрами та квадратні рівняння з параметрами;

розвивати вміння аналізувати, робити висновки, зна-

ходити власні оригінальні способи розв'язків задачі;

виховувати інтерес до навчання, творче мислення.

Форма роботи-групова.

Формувати компетентності:

-продуктивної творчої діяльності - вміння побачити та сформувати проблему, знаходити нові рішення, діяти в нестандартних ситуаціях;

-інформаційні - розуміння та усвідомлення інформації, залучення власного досвіду;

-комунікативні - розвитку культури математичного мовлення,

надання аргументованих відповідей, створення проблемних ситуацій;

-соціальні - формування власної оцінки і самооцінки, стимулювання пізнавальної активності учнів.

Хід уроку.

На дошці записано слова Рене Декарта:

«І чим важче доведення, тим більше задоволення тому, хто це доведення знайде.»

1.Перевірка домашнього завдання.

4 учня біля дошки обґрунтовують свої розв'язки.

2.Актуалізація опорних знань учнів.

Які рівняння називаються рівняннями з параметрами?

Як розв'язувати лінійні рівняння з параметрами?

Чим відрізняються розв'язання дробових рівнянь з параметрами від лінійних рівнянь з параметрами?

Як записувати відповідь при розв'язанні цих рівнянь?

3.Сприймання і усвідомлення особливостей розв'язування рівнянь з двома невідомими.

Досі рівняння з параметрами мало лише одну «відомо -невідому» величину а. Чи може наше рівняння мати больше таких величин ?

Учні обговорюють відповідь.

Наприклад як розв`язати рівняння ах=b ?

Скільки параметрів має це рівняння?

У якому вигляді можливо надати означення такого рівняння?

Заслуховуються і рецензуються відповіді учнів.

Вчитель. Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Нехай f(х,y,a.b)=0 ,де а і b-параметри, тоді:

1)називають недопустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 немає змісту ні для яких значень х і у;

2)називають допустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 має зміст для деяких значень х і у.

Розв`язати рівняння з параметрами а і b - означає знайти для кожного допустимого значення а і b , множину розв'язків рівняння.

Виконання вправ.

Група А виконує вправу ах -b-1 = х - а;

Група В виконує вправу х/а +х/b =0;

ГРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамирупа С виконує вправу

Після цього кожна з груп пропонує свої розв`язки біля дошки і обґрунтовує їх.

Рецензують їх розв'язки експерти з інших груп.

4.Сприймання і усвідомлення методів розв`язування квадратних рівнянь з параметрами.

Питання класу.

-дайте означення квадратного рівняння;

- за яких умов квадратне рівняння має два корені, один корінь, не має дійсних коренів;

- сформулюйте теорему Вієта;

- як ви вважаєте , якими будуть критичні значення параметрів a,b, с рівняння де х -невідома змінна?

Підвожу учнів до формулювання алгоритму розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами- якщо а=0, то отримуємо лінійне рівняння;

- якщо то кількість коренів залежить від знака дискримінанта Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Виконання вправ.

Група А.Розв'язати рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Відповідь :якщо m=0 , то Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Група В. Розв`язати рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Відповідь:якщо k=0 ,то х=-1/2;

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Група С.Розв'яжіть рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Відповідь: якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами то розв'язків немає;

якщо а=-2,то х=-2/3;

якщо Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

5.Підсумок уроку.

- Які особливості розв'язування рівнянь , що містять більше ніж один параметр?

- Які особливості розв'язування квадратних рівнянь з параметрами?

6.Домашнє завдання.

1.Скласти лінійне рівняння з двома параметрами.

2.Скласти квадратне рівняння з параметром . Яке б мало дві відповіді.

3.Розв'язати рівняння:Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Тема уроку: Графічні методи розв'язування задач з

параметрами.(10 клас).

Мета уроку: формувати уміння розв'язувати задачі з параметрами,

розвивати уяву, творче мислення, вміння аналізувати,

тренувати зорову пам'ять,

виховувати культуру графічних побудов.

Тип уроку - комбінований.

Формувати компетентності:

-продуктивної творчої діяльності -активізацію творчих здібностей учнів;

-інформаційні -використання додаткової інформації, вміння переробити інформацію для отримання розв`язку задачі;

-саморозвитку і самоосвіти -узагальненя власних знань,

- комунікативну - надання аргументованих відповідей, усні рецензії на відповіді;

- соціальну -підвищеня соціального статусу обдарованих учнів, виконання завдань різного рівня, створення проблемних ситуацій.

Хід уроку

1.Перевірка домашнього завдання .

Чотирьом групам учнів були запропоновані завдання повторити властивості і графики елементарних функций, геометричні перетворення графіків функций.

Учні доповідають біля дошки, використовуючи заготовлені заздалегіть плакати і приклади.

Група А -лінійна функція та ії перетворення.

Група В - квадратична функція та ії перетворення.

Група С - обернена пропорційність та ії перетворення.

Група D - графіки з мадулями та їх перетворення.

2.Сприймання і усвідомлення графічних методів розв`язування задач з параметрами.

Пояснення вчителя.

Які знання властивостей графіків функцій можуть допомогти при розв'язанні задач з параметрами ?

Побудова графічної моделі в системі координат х0а.

Параметр а розглядається , як рівноправна змінна з аргументом х.

1.Будуємо графічну модель задачі.

2.Використовуючи прямі а=const отримуємо потрібну інформацію (наприклад, кількість коренів рівняння залежно від значень параметра, властивості розв'язків рівняння).

Побудова графічної моделі в системі координат х0у.

Параметр а нерівноправний зі зміною х.

1.Зводимо рівняння f (x, a)=g (x, a) до вигляду Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

2.У системі координат х0у будуємо графік Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами і сукупність графіків Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

3.Аналізуючи гафічну модель, отримуємо потрібну інформацію.

Приклад. Визначте всі значення параметра а для яких рівняння

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамимає хоч один додатній корінь.

Розв'язання

Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

1.Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

2.Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Для кожного фіксованого значення параметра Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами параметра а розв` язками рівняння є абсцисами точок перетину даного графіка з горизонтальною прямою Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами , яка відповідає цьому значенню параметра.

Як ми бачимо з малюнка ,одна з точок перетину буде мати додатню абсцису тоді і тільки тоді, коли Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами . Це і є шукана

множина значень параметра.

Відповідь.Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

3.Осмислення вивченого матеріалу.

Виконання вправ.

1.Знайти всі значення параметра а для яких рівнянняРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

має точно 3 корені.

2.Для яких значень параметра а рівняння Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами має лише два

різні розв`язки?

3.Для яких значень параметра а має точно два розв'язки система рівнянь Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

4.Для якого найбільшого значення параметра а має тільки чотири розв'язки система Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

4.Перевірка знань учнів шляхом проведення самостійної роботи під копірку.

1 варіант. Знайти суму всіх значень параметра а для яких має єдиний розв'язок система Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрамиРоз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами

2 варіант. Для якого найменшого цілого додатного значення параметра а система Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами не має розв'язків?

5.Підсумок уроку.

Як побудувати графічну модель в системі координат х0а?

Як побудувати графічну модель в системі координат х0у?

Як отримати необхідну інформацію, аналізуючи графічну модель?

6.Домашнє завдання.

Проаналізувати виконання власної самостійної роботи та виконати завдання іншого варіанта.

Підготувати власні вправи з даної теми.

/

© 2010-2022