- Преподавателю
- Математика
- Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами
Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Ботова С.А. |
Дата | 12.01.2016 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
16
Роз`язування рівнянь і нерівностей з параметрами
Треба математику не тільки викладати,
як науку абстрактну, а й переходити до
різноманітних практичных ії застосувань.
М.В.Остроградський.
Тема уроку: Роз`язування рівнянь з параметрами.(10клас).
Мета уроку: вивчити означення рівняння з параметрами,
навчитися розв`язувати лінійні та дробові
рівняння з параметрами,
розвивати логічне мислення учнів, вміння
аналізувати, робити висновки,
виховувати культуру математичної мови .
Тип уроку: комбінований .
Формувати компетентності:
- продуктивної творчої діяльності- вміння побачити та сформулювати проблему, знаходити нові рішення;
- інформаційні- розуміння та усвідомлення інформації, залу- чення власного досвіду;
- комунікативні - вмінні доводити власну точку зору;
4.)соціальні:-стимулювання пізнавальної активності учнів,
встановлення причинно-наслідкових зв`язків.
Хід уроку
1.Вступне слово вчителя.
Постановка проблеми.
Задачі з параметрами завжди зустрічалися на вступних іспитах до вищих навчальних закладів, і вже на протязі трьох років проведення тестування випускників середніх шкіл пропонуються при виконанні завдань високого рівня. Розв`язання задач з параметрами є одним із самих ефективних способів розвинення інтелектуальних здібностей учнів. Взагалі, при розв`язанні задач з хімії та фізики вам неодноразово приходилось розв`зувати задачі з параметрами.
Які рівняння можна вважати рівняннями з параметрами?
Які рівняння з параметрами ви вже роз`язували?
2.Актуалізація опорних знань учнів:
Розв`яжіть рівняння 2x-8=2x+6 ; та 2x-8=2x-8.
В обох випадках в результаті розв`язання ми отримали лінійне рівняння виду ax=b. Але від чого залежить його відповідь?
Розв`язування рівняння зручно записати у вигляді
Повторити загальний вигляд слідуючих функцій:
1).Пряма пропорційність y=kx (x ,y -змінні; k- параметр, );
2).Лінійна функція y=kx+b ( x -змінна; a і b - параметри ) ;
3)Квадратне рівняння (x- змінна; a ,b,. с -параметри, ).
3.Вивчення нового матеріалу.
Рівнянням зі змінною х і параметром а називається рівняння
виду f(x;а)=0.
Розв`язати рівняння з параметром - означає знайти для кожного допустимого значення а множину розв`зків рівняння.
Для розв`язування рівнянь з параметрами необхідно знати властивості елементарних функцій, властивості рівнянь і нерівностей і вміти їх досліджувати. Одним із важливих етапів розв`язування рівнянь з параметрами є запис відповіді.
Складання відповіді - це сбір отриманих раніше результатів. У відповіді дуже важливо відобразити всі етапи розв`язування приклада.
Розв`язувати рівняння з параметром доцільніше з а слідую чим планом.
План роз`язування рівнянь з параметрами.
1.Знайти критичні значення параметра.
2.Знайти розв`язкі рівняння для критичних значень параметра.
3.Знайти множини розв`язків на інтервалах між критичними значеннями параметра.
4.Побудувати графічну ілюстрацію і записати відповідь.
4.Сприймання і усвідомлення прийомів розв`язування
рівнянь з параметрами.
Колективне розв`язування вправ.
Приклад. Розв`язати рівняння
Розв`язання.
Щоб знайти критичні значення параметра, необхідно знайти ті значення параметра, які обертають в нуль коефіцієнт при х.
-
а =0 , 2х+1=0 , х= -0,5.
-
Відповідь. Якщо ,то розв`язків немає;
якщо а=1 , то х=-1 ;
якщо а=0 , то х=-0,5;
якщо
Р`язування лінійних рівнянь з параметрами.
На початку уроку ми розглянули таблицю , в якій було показано, які можливі критичні значення лінійних рівнянь з параметрами.
За допомогою цієї схеми розв'яжіть рівняння з параметром.
Приклад 1.
Розв`язання.
1)а=0, рівняння приймає вигляд ;це рівняння коренів немає;
2)а=2,рівняння приймає вигляд ; х є R.
3)Якщо ,то рівняння можливо перетворити до виду х=1/2а.
Відповідь: якщо а=0 ,то коренів немає, якщо а=2,то х є R , якщо , то х=1\2а.
Приклад 2.
Відповідь:
5.Осмислення вивченого матеріалу.
Виконання вправ.
1.Для кожного допустимого значення а розв'язати рівняння :
а) (а -9)х=а+3;
б) (а+1)х =а -1.
2. а) Для яких значень t рівняння 3(2-х)=4(t-2х) має додаткові
розв'язки ?
б) Для яких значень k рівняння
має від'ємні розв'язки ?
Питання вчителя : 1.Чи правильним шляхом пішли учні
при розв'язуванні вправ ?
2. З чим із сказаного ви згодні і чому ?
3. Для яких значень k рівняння
має єдиний розв'язок ; не має розв'язків ?
(k=0, єдиний розв'язок); (k=5,немає розв'язків )
6. Сприймання і усвідомлення методів розв'язування дро
бових рівнянь з параметрами.
Пригадати :
- які рівняння називаються дробовими ?
- що називається множиною допустимих значень дробового
рівняння?
Колективне розв'язування вправ.
Приклад 1. Для кожного допустимого значення параметра а
розв'язати рівняння
Розв'язання.
У даному рівнянні допустимими є будь-які значення параметра
а є R. , при . Розв'яжемо спочатку перше рівняння системи. Критичними значеннями параметра є а=8/9 .
якщо а=8/9,то,
якщо
Знайдемо ті значення параметра а, для яких знайдений розв'язок рівняння задовольняє системі нерівностей:
Самостійно побудуйте графічну ілюстрацію.
Відповідь: якщо а=8/9 або
то рівняння коренів немає.
Приклад 2.
Залежно від значення параметра а ,розв'язати рівняння
Відповідь : якщо а=1 або а=1,25 ,то розв'язків немає,
якщо
Приклад 3.
При яких значеннях параметра а рівняння
має недодатні розв'язки? Знайти ці розв'язки.
Відповідь:
якщо
7.Осмислення вивченого матеріалу.
Виконання вправ.
а)Для яких значень t рівняння має додатні розв'язки?
б)Для яких значень k рівняння
- має від'ємні розв'язки ?
в) Розв'язати рівняння :
; .
8.Підведення підсумків уроку.
Проаналізуйте приклади, які ми розв'язували на уроці.
Які рівняння називаються рівняннями з параметрами ?
Що таке критичні значення параметра ?
Як визначити інтервал між критичними значеннями параметра ?
Як записати відповідь при розв'язанні рівнянь з параметрами ?
Що особливого у розв'язанні рівнянь з параметрами , на відміну від всіх відомих вам рівнянь ?
Параметр має противоречиві характеристики. З однієї сторони параметр в рівнянні треба вважати величиною відомою , а з іншої конкретне значення параметра - невідоме. З однієї сторони параметр величина постійна , а з іншої - вона може приймати різні значення. Тобто параметр - це невідома відома змінна , постійна величина. Цей «каламбур» дуже влучно відображає гнучкість параметра.
9.Домашнє завдання.
1.Розв`язати рівняння:
а) ;
б)
2.Знайти всі цілі корені рівнянь а) ах=а+5 ; б)
Тема уроку: Розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.
(10 клас).
Мета уроку: формувати уміння розв'язувати рівняння з двома па-
раметрами та квадратні рівняння з параметрами;
розвивати вміння аналізувати, робити висновки, зна-
ходити власні оригінальні способи розв'язків задачі;
виховувати інтерес до навчання, творче мислення.
Форма роботи-групова.
Формувати компетентності:
-продуктивної творчої діяльності - вміння побачити та сформувати проблему, знаходити нові рішення, діяти в нестандартних ситуаціях;
-інформаційні - розуміння та усвідомлення інформації, залучення власного досвіду;
-комунікативні - розвитку культури математичного мовлення,
надання аргументованих відповідей, створення проблемних ситуацій;
-соціальні - формування власної оцінки і самооцінки, стимулювання пізнавальної активності учнів.
Хід уроку.
На дошці записано слова Рене Декарта:
«І чим важче доведення, тим більше задоволення тому, хто це доведення знайде.»
1.Перевірка домашнього завдання.
4 учня біля дошки обґрунтовують свої розв'язки.
2.Актуалізація опорних знань учнів.
Які рівняння називаються рівняннями з параметрами?
Як розв'язувати лінійні рівняння з параметрами?
Чим відрізняються розв'язання дробових рівнянь з параметрами від лінійних рівнянь з параметрами?
Як записувати відповідь при розв'язанні цих рівнянь?
3.Сприймання і усвідомлення особливостей розв'язування рівнянь з двома невідомими.
Досі рівняння з параметрами мало лише одну «відомо -невідому» величину а. Чи може наше рівняння мати больше таких величин ?
Учні обговорюють відповідь.
Наприклад як розв`язати рівняння ах=b ?
Скільки параметрів має це рівняння?
У якому вигляді можливо надати означення такого рівняння?
Заслуховуються і рецензуються відповіді учнів.
Вчитель.
Нехай f(х,y,a.b)=0 ,де а і b-параметри, тоді:
1)називають недопустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 немає змісту ні для яких значень х і у;
2)називають допустимою системою значень параметрів, якщо вираз f(х,y,a.b)=0 має зміст для деяких значень х і у.
Розв`язати рівняння з параметрами а і b - означає знайти для кожного допустимого значення а і b , множину розв'язків рівняння.
Виконання вправ.
Група А виконує вправу ах -b-1 = х - а;
Група В виконує вправу х/а +х/b =0;
Група С виконує вправу
Після цього кожна з груп пропонує свої розв`язки біля дошки і обґрунтовує їх.
Рецензують їх розв'язки експерти з інших груп.
4.Сприймання і усвідомлення методів розв`язування квадратних рівнянь з параметрами.
Питання класу.
-дайте означення квадратного рівняння;
- за яких умов квадратне рівняння має два корені, один корінь, не має дійсних коренів;
- сформулюйте теорему Вієта;
- як ви вважаєте , якими будуть критичні значення параметрів a,b, с рівняння де х -невідома змінна?
Підвожу учнів до формулювання алгоритму розв'язування квадратних рівнянь з параметрами.
- якщо а=0, то отримуємо лінійне рівняння;
- якщо то кількість коренів залежить від знака дискримінанта
Виконання вправ.
Група А.Розв'язати рівняння
Відповідь :якщо m=0 , то
якщо
Група В. Розв`язати рівняння
Відповідь:якщо k=0 ,то х=-1/2;
якщо
Група С.Розв'яжіть рівняння
Відповідь: якщо то розв'язків немає;
якщо а=-2,то х=-2/3;
якщо
5.Підсумок уроку.
- Які особливості розв'язування рівнянь , що містять більше ніж один параметр?
- Які особливості розв'язування квадратних рівнянь з параметрами?
6.Домашнє завдання.
1.Скласти лінійне рівняння з двома параметрами.
2.Скласти квадратне рівняння з параметром . Яке б мало дві відповіді.
3.Розв'язати рівняння:
Тема уроку: Графічні методи розв'язування задач з
параметрами.(10 клас).
Мета уроку: формувати уміння розв'язувати задачі з параметрами,
розвивати уяву, творче мислення, вміння аналізувати,
тренувати зорову пам'ять,
виховувати культуру графічних побудов.
Тип уроку - комбінований.
Формувати компетентності:
-продуктивної творчої діяльності -активізацію творчих здібностей учнів;
-інформаційні -використання додаткової інформації, вміння переробити інформацію для отримання розв`язку задачі;
-саморозвитку і самоосвіти -узагальненя власних знань,
- комунікативну - надання аргументованих відповідей, усні рецензії на відповіді;
- соціальну -підвищеня соціального статусу обдарованих учнів, виконання завдань різного рівня, створення проблемних ситуацій.
Хід уроку
1.Перевірка домашнього завдання .
Чотирьом групам учнів були запропоновані завдання повторити властивості і графики елементарних функций, геометричні перетворення графіків функций.
Учні доповідають біля дошки, використовуючи заготовлені заздалегіть плакати і приклади.
Група А -лінійна функція та ії перетворення.
Група В - квадратична функція та ії перетворення.
Група С - обернена пропорційність та ії перетворення.
Група D - графіки з мадулями та їх перетворення.
2.Сприймання і усвідомлення графічних методів розв`язування задач з параметрами.
Пояснення вчителя.
Які знання властивостей графіків функцій можуть допомогти при розв'язанні задач з параметрами ?
Побудова графічної моделі в системі координат х0а.
Параметр а розглядається , як рівноправна змінна з аргументом х.
1.Будуємо графічну модель задачі.
2.Використовуючи прямі а=const отримуємо потрібну інформацію (наприклад, кількість коренів рівняння залежно від значень параметра, властивості розв'язків рівняння).
Побудова графічної моделі в системі координат х0у.
Параметр а нерівноправний зі зміною х.
1.Зводимо рівняння f (x, a)=g (x, a) до вигляду
2.У системі координат х0у будуємо графік і сукупність графіків
3.Аналізуючи гафічну модель, отримуємо потрібну інформацію.
Приклад. Визначте всі значення параметра а для яких рівняння
має хоч один додатній корінь.
Розв'язання
1.
2.
Для кожного фіксованого значення параметра параметра а розв` язками рівняння є абсцисами точок перетину даного графіка з горизонтальною прямою , яка відповідає цьому значенню параметра.
Як ми бачимо з малюнка ,одна з точок перетину буде мати додатню абсцису тоді і тільки тоді, коли . Це і є шукана
множина значень параметра.
Відповідь.
3.Осмислення вивченого матеріалу.
Виконання вправ.
1.Знайти всі значення параметра а для яких рівняння
має точно 3 корені.
2.Для яких значень параметра а рівняння має лише два
різні розв`язки?
3.Для яких значень параметра а має точно два розв'язки система рівнянь
4.Для якого найбільшого значення параметра а має тільки чотири розв'язки система
4.Перевірка знань учнів шляхом проведення самостійної роботи під копірку.
1 варіант. Знайти суму всіх значень параметра а для яких має єдиний розв'язок система
2 варіант. Для якого найменшого цілого додатного значення параметра а система не має розв'язків?
5.Підсумок уроку.
Як побудувати графічну модель в системі координат х0а?
Як побудувати графічну модель в системі координат х0у?
Як отримати необхідну інформацію, аналізуючи графічну модель?
6.Домашнє завдання.
Проаналізувати виконання власної самостійної роботи та виконати завдання іншого варіанта.
Підготувати власні вправи з даної теми.
/