Олимпиадные задания по математике 11 класс

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Олимпиадные задания по математике 11 класс


Задачи и задания олимпиад по математике 11 класс


1.
Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007k, но не делится на 2008k. (Напомним, что n! = 1·2·3·4·… ·n).

2.
Может ли вершина параболы y = 4x2 - 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

3.
(an) - арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2008 - наименьшая среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии?

4.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, ?С=120°. Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла - точка С? Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

5.
Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

6.
Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

7.
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

8.
Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

9.
Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

10.
Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?

Ответы и решения задач по математике 11 класс

Решение задач по математике 11 класс

1.
Разложим число 2007 на простые множители: 2007 = 32 ? 223.
В разложении на простые множители числа 2007! показатель степени у числа 3 будет достаточно большим, так как множитель 3 входит в разложение каждого третьего числа. Множитель 223 входит только в разложение чисел вида 223р, где р - натуральное число, не превосходящее 9. Таким образом, в разложение числа 2007! на простые множители число 223 войдет с показателем 9. Следовательно, число 2008! будет делиться на 2007k, где k=9.

2.
Координаты вершины параболы x0 = (a + 1)/2, y0 = 4((a + 1)/2)2 - 4(a +1)(a + 1)/2 + a = -a2 - a - 1 = -(a + 1/2)2 - 3/4. Так как у0 < 0 при любых значениях а, то во второй координатной четверти вершина параболы находиться не может.

3.
Так как разность прогрессия положительна, то прогрессия - возрастающая. Следовательно, описанная ситуация возможна тогда и только тогда, когда члены прогрессия с первого по 2008-ой - отрицательны, а начиная с 2009-го - положительны. Таким образом, S2008 будет наименьшей, тогда и только тогда, когда а2008 < 0, a2009 > 0. Отсюда получаем систему неравенств

Олимпиадные задания по математике 11 класс

4.
Если вершина А и В лежат на одной стороне треугольника, то вершина С лежит на отрезке прямой, параллельной этой стороне. Длина этого отрезка равна 8 - ?3. Пусть вершины А и В лежат на двух сторонах равностороннего треугольника с общей вершиной О. Тогда вокруг четырехугольника АСВО можно описать окружность (четырехугольник является вписанным). В этой окружности углы ВАС и ВОС равны, так как опираются на одну и ту же дугу с хордой ВС. Следовательно, угол ВОС равен 30°. Следовательно, третья вершина треугольника - точка С - лежит на биссектрисе угла равностороннего треугольника. Длина соответствующего отрезка биссектрисы равна 1. Итак, точка С может лежать на стороне некоторого равностороннего треугольника и на некоторых отрезках биссектрис внутренних углов этого треугольника. Длина шести звеньев этой линии равна 27 - 3?3.

Олимпиадные задания по математике 11 класс

5.
если m + n - четно, то выигрывает второй игрок, если m + n - нечетно, то выигрывает первый. В начале игры веревочек единичной длины было m(n + 1) + n(m + 1) = 2mn + m + n. Это число имеет ту же четность, что и число m + n. Последний ход в игре разрушает последний замкнутый контур. Докажем, что граница любого замкнутого конура содержит четное количество веревочек единичной длины. Действительно, рассмотрим границу произвольного замкнутого контура. Каждый вертикальный столбец исходной сетки содержит четное количество горизонтальных веревочек единичной длины из этой границы (возможно, и нулевое), т. к. войдя в замкнутый контур, например, снизу, мы обязаны из него выйти. Аналогично, каждая горизонтальная строка исходной сетки содержит четное количество вертикальных веревочек единичной длины. Таким образом, общее количество единичных веревочек на границе замкнутого контура - четно. Выигрышная стратегия для любого игрока состоит в том, чтобы не разрушать последний замкнутый контур, пока

Отношение двух наименьших трёхзначных простых чисел равно Олимпиадные задания по математике 11 класс=0,980583…

Найдите несколько таких простых дробей с числителями и знаменателями, не превосходящими 50, произведение которых отличалось бы от Олимпиадные задания по математике 11 класс менее чем на 10-5

Вот интересно, если бы нам потребовалось найти обыкновенную дробь, приближающую пи до двух десятичных знаков, и мы решали бы задачу "в лоб", то записали бы Олимпиадные задания по математике 11 класс. Дробь довольно громоздкая, и никаких идей, как бы уменьшить числитель и знаменатель, не теряя в точности, на поверхности не лежит. Поэтому нужен другой способ.

Хорошие рациональные приближения можно получать, зная свойство медианты дробей: если две дроби Олимпиадные задания по математике 11 класс, то Олимпиадные задания по математике 11 класс. Дробь, числитель которой равен сумме числителей двух дробей, а знаменатель - сумме знаменателей, называется медиантной дробью и на числовой прямой находится между двумя дробями.
Начнём с очевидного неравенства:
Олимпиадные задания по математике 11 класс
Медиантой крайних дробей будет дробь 7/2=3,5>p
Олимпиадные задания по математике 11 класс
Далее 10/3=3,33…>p
Олимпиадные задания по математике 11 класс
Продолжая находить медианты, получим:
Олимпиадные задания по математике 11 класс
Вот мы и получили приближение, дающее 2 верных знака. Продолжая процесс, заметим, что теперь медианты будут приближаться к числу пи слева:
Олимпиадные задания по математике 11 класс
Последнее приближение слева даёт 4 верных знака числа пи с недостатком. А следующая медианта, Олимпиадные задания по математике 11 класс=3,1415929… даёт с избытком 6 десятичных знаков! Её можно легко запомнить так: выпишем первые 3 нечётные цифры, каждую по 2 раза: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Затем первые 3 цифры образуют знаменатель дроби, 113, а вторые три - числитель, 355.

А для запоминания собственно числа пи есть много мнемонических фраз, самая простая:

Решение

Хотя число Олимпиадные задания по математике 11 класс само является рациональным, применим к нему метод поиска рациональных приближений через медианты. Мы придём к неравенству Олимпиадные задания по математике 11 класс

Будем продолжать находить медианты левой подходящей дроби и дроби Олимпиадные задания по математике 11 класс, пока у медиант не будет достигнута требуемая точность

Среди дробей попадётся число Олимпиадные задания по математике 11 класс

Среди других интересных вариантов ответа стоит назвать дробь Олимпиадные задания по математике 11 класс

Задача 3. Сумма ряда
Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности

Олимпиадные задания по математике 11 класс

Решение

Сначала найдём закономерность. Понятно, что знаменатели представляют собой последовательные степени двойки.

Рассмотрим последовательность числителей и вычислим разности первого и второго порядка:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12

1, 0, 1, 1, 2, 3, 5

Можно заметить, что разности второго порядка - это последовательность Фибоначчи! Попробуем обнаружить некий рекуррентный закон среди разностей первого порядка.

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12 - Здесь каждый последующий член на единицу больше суммы двух предыдущих. Это позволяет найти закономерность в исходной последовательности:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25 - Олимпиадные задания по математике 11 класс ,если начинать с индекса, равного 1

Можно для неё вывести формулу общего члена и таким образом свернуть ряд, но можно заметить, что последовательность

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25, …

представляет собой разность последовательностей Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

и натурального ряда

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Так что искомая сумма равна

Олимпиадные задания по математике 11 класс

Подробнее о том, как вычисляются эти суммы можно почитать в статье о суммировании бесконечных рядов.


© 2010-2022