Урок алгебры в 7 классе на тему «Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов»

Предмет: алгебра.

Тема урока: «Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов».

Класс: 7 класс.

Учебник + задачник: «Алгебра 7», 2007 г.

Авторы учебника: А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская, Л. А. Александрова.

Учитель: А.М. Воронина.

Технология развивающего обучения.

Тип урока: комбинированный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Цели урока:

• Образовательная: сформировать умение раскладывать многочлен на множители с помощью комбинации различных приемов;

• Развивающая: способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развития математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.

• Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения взаимо и самоконтроля своей деятельности, формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-познавательной деятельности.

Резерв урока: задача Авиценны.

Проблема урока:

Разложить на множители многочлен: а⁴ +64в⁴.

Оборудование: ПК, видеопроектор, экран, раздаточный материал (опорные карточки, карточки с заданиями), Медиапродукт : среда - Microsoft Office PowerPoint (наглядная презентация учебного материала).

1. Оформление: на доске записаны слова: «Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг», Ф. Хаусдорф. (Фе́ликс Хаусдо́рф- немецкий математик, один из основоположников современной топологии. Окончил Лейпцигский университет (1891)).

Этапы урока:

Первый этап. Мотивационно-ориентированный - вхождение в контакт, создание ситуации успеха, постановка учебной задачи.

Второй этап. Операционально-исполнительский - создание учебной ситуации, постановки учебной задачи, выявления путей достижения.

Третий этап. Рефлексивно-оценочный - ситуация оценки результатов деятельности.

Ход урока:

Домашние работы проверяют консультанты на перемене, обмен тетрадями.

I. Мотивационно - ориентировочный этап:

1. Вхождение в контакт (слова поддержки и одобрения, настрой на активную деятельность), создание ситуации успеха:

- Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня на уроке каждый из вас сможет показать свои знания по изученным ранее темам, поучаствовать во взаимоконтроле и самоконтроле своей деятельности. Сегодня вы откроете для себя много интересного из мира математики. Я уверена, что вы справитесь со своей работой самым наилучшим образом. Девизом урока будут слова: «Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг», Ф. Хаусдорф. Давайте попробуем сегодня на уроке определить, что же может нас с вами привести в восторг!

А сейчас запишите в тетрадях число, классная работа, тему урока.

Постановка целей и задач урока.

- Как вы думаете, исходя из темы урока, какую цель вы можете поставить перед собой? А какие задачи нужно постараться при этом решить? (выслушиваю, обобщаю цели и задачи, стоящие перед ребятами на уроке: показать свои умения раскладывать на множители многочлены различными способами, применять их в комплексе при выполнении различных заданий).

2. Актуализация знаний.

- Для начала внимательно рассмотрим следующие алгебраические выражения: (на экране и на карточках индивидуально)

Задание №1.

1. 3а²в(1 - 2а);

2. (х-2)(х² + 2х + 4)

3. 27х⁶у³-72х^4у4+ 48х²у⁵;

4. (5а + 1)²;

5. (9с -ав)(9с +ав);

6. m² -п² +d² +2md;

7. а² + 10а + 25 - у²;

8. х(х - 4)(25 + 3х);

9. х⁴ + 4у⁴;

10. -4а² + 40ав - 100в².

Предлагаю: распределить данные выражения на группы и объяснить, по какому признаку проведено распределение.

Варианты могут быть следующими: I группа включает выражения (1), (2), (4), (5), (8), поскольку в них есть произведение множителей; во II группу отнесутся тогда все остальные - в них нет произведения «скобок».

Однако найдутся ребята, которые заметят, что выражения из II группы неоднородны, в ней есть и трехчлены (3) и (10), и четырехчленны (6), (7), и даже двучлен (9).

- Мы займемся разложением на множители многочленов, подобных тем, которые вошли во вторую группу. Среди них будут и трехчлены, и четырехчленны, и двучлены. Поскольку различны рассматриваемые выражения, то различны и способы их разложения на множители. Важно учесть, что часто эти способы используются в сочетании друг с другом, комбинируются.

II. Операционально - исполнительский этап:

Задание №2. Учащимся демонстрирую таблицу (у каждого в карточке):

Формула-эталон

Ошибочные записи

(а-в)²=а²-2ав+в²

(а-в)²=а-2ав+в

(а-в)²=а²-2ав+в

(а-в)²=а²-ав+в²

(а-в⁾²=а²+2ав-в²

(а-в)²=а²-2ав-в²

Требуется указать, какая ошибка допущена в каждом выражении.

После обсуждения прошу привести пример многочлена, который можно разложить подобным образом. Выполняет разложение сосед по парте.

Задание №3.

Среди равенств, указанных ниже, найдите как правильные, так и содержащие ошибки. Исправьте ошибочные выражения.

1). х²+у²-2ху = (х-у)²;

2). m²+2mn-n² = (m-n)²;

3). 2pt-p²-t² = (p-t)²;

4). 2cd+c²+d² = (c+d)².

Задания №2 и №3 выполняются устно. Подводим итог: какой способ разложения на множители был применен нами в этих примерах? (с помощью формул сокращенного умножения: квадрата суммы или разности). Какая формула еще не использована нами при разложении многочлена на множители? (Разность квадратов).

- Приведите пример многочлена, который можно разложить по этой формуле. (напр., а²-9=(а-3)(а+3)).

- А какие еще способы разложения на множители мы изучали?

Учащиеся вспоминают способы вынесения множителя за скобки и способ группировки по соответствующим опорным сигналам и на примерах:

I. O ·  + O ·  = O · ( +  )

II.+= ·( ) + O·( ) =

= ( )· ( + O)

15х³+3ху; 9а-9в-ав+а².

Изучение нового материала начинаем с письменной работы. Необходимо разложить на множители выражения (3) и (10), (6) и (7) из списка, приведенного в начале урока. С выражением (3) работаем под моим контролем, а с выражением (10) - самостоятельно. Так же и со второй парой.

(3) 27х⁶у³-72х^4у4+ 48х²у⁵.

Примерные рассуждения:

- С какого приема разложения следует начать?

- Вынести за скобки 3х²у³, в скобках: (9х⁴ - 24х²у +16у²).

(Анализируем выражение в скобках, выделяем квадрат разности и приходим к виду: 3х²у³(3х² - 4у)²).

Далее учащиеся раскладывают на множители выражения (6) и (7) из списка, причем (7) самостоятельно с последующей взаимопроверкой, а разложение на множители выражения (6) обсуждаем и приходим к выводу: 1 - используем метод группировки. (Попыток группировок можно рассмотреть несколько) и важно подвести учащихся к мысли, что удачным будет группировка 3-х положительных слагаемых и одно оставить без изменения:

m² -п² +d² +2md = (m²+ d² +2md) - п² = …

Возникает пауза, но сильный ученик быстро заметит, что в скобках формула:

…=(m + d)² - n²=….

- Что же вы остановились? (ребята, объясняют, что запись знакомая, но что с ней делать?!).

Предлагаю прочитать словами последнюю запись, с какого слова начинаем читать?

- Со слова «разность».

- А как охарактеризуем выражения, объединенные знаком «минус»?

- Квадраты, только разные: суммы и переменной.

Для выхода из создавшейся ситуации вспоминаем схему(опорный сигнал):

 ² -² = (  - ) · (  + )

-Что скрывается в данном примере под квадратом? Под треугольником?

Обобщаем: m² -п² +d² +2md = (m²+ d² +2md) - п² = (m + d)² - n² = (m+d - n)(m + d +n).

• Выполнили мы задание?

- Да!

Закрепление изученного.

Этап закрепления проходит в виде самостоятельной работы.

Разложить на множители выражения:

а) -5p² - 10pq - 5g²;

в) 9 - p² + q² - 6q;

б) m² - 2n - m -4n²;

д) m² - n² - 8 m + 16;

г) -12z³ - 12z² - 3z;

е) a⁴ + 64b⁴.

В ходе проверки самостоятельной работы в парах обращаем внимание на то, что никто не выполнил задание под буквой е). Возникает проблемная ситуация: «Можно ли разложить двучлены вида a⁴ + 64b⁴, х⁴ + 4у² на множители?»

Даю ориентиры:

- Есть ли общий множитель в данных двучленах? (Нет).

- Можно ли использовать какую-либо формулу сокращенного умножения при разложении? (Подобных формул нет).

- Возможна ли группировка? (Нет, только 2 слагаемых).

Вывод: подобные многочлены нельзя разложить на множители.

- Придумайте 2-3 примера многочленов, которые невозможно разложить на множители.

А в оставшееся время (если оно останется) подумаем над исторической задачей Авиценны (980 - 1037 г. г., среднеазиатский философ, врач, математик, поэт).

ЗАДАЧА:

Если число, будучи разделено на девять, дает в остатке один или восемь, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1.

Решение:

1 случай (в остатке 1). Пусть это число n = 9а + 1;

n²=(9а + 1)² = 81а² + 18а + 1 = 9(9а² + 2а) + 1.

2 случай (в остатке 8). m = 9а + 8;

m² = (9а + 8)² = 81а² + 144а + 64 = (81а² + 144а + 63) + 1 = 9(9а² +16а + 7) +1.

(решение комментирую).

III. Рефлексивно - оценочный этап

• Что сегодня на уроке мы повторили?

• Что вы для себя усвоили?

• Чему научились?

Отметьте в оценочной карточке ваше отношение к уроку:

• Я доволен уроком, мне очень понравилось.

• Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.

• Урок прошел для меня даром, ничего нового я на нем не узнал. Все, это я знаю.

• Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю Оценочная карточка:

Отношение к уроку и к своей работе

Оценивание

«+» или «-»

Я доволен уроком, мне очень понравилось.

Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.

Урок прошел для меня даром, ничего нового я на нем не узнал. Все, это я знаю.

Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю.

Оценка себе: уроку:

Оценки за урок.

Д/З: обязательный I уровень:§34, №1056 (а,б), №1060(а,б), №1061(а,б); II уровень: №1059 (а.б), №1063(а,в); №1062(а); III уровень: №1063(б,г) №1064(а,б). Индивидуально: сообщение об Авиценне.

- Спасибо, урок закончен. До свидания.