Рабочая тетрадь по теме: Многогранники

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»

МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА

Рабочая тетрадь

студента (ки) группы

Фамилия ______________

Имя __________________

Отчество______________

Сызрань, 2015

§1. Призма. Поверхность, объем призмы

Задание 1. Среди изображенных тел обведите номера тех, которые являются многогранниками и закончите предложение.

Многогранник - это геометрическое тело, поверхность которого состоит __________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Выполните чертеж выпуклого многогранника и закончите предложение.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен _____________________________

________________________________________

________________________________________

Задание 3. Выполните чертеж наклонной призмы и отметьте ее элементы.

Призма _________________________________

Вершины _______________________________

Основания ______________________________

Боковые ребра___________________________ Боковые грани___________________________

Высота_________________________________

Диагональ_______________________________

Диагональное сечение____________________

Задание 4. Закончи предложение.

1. Высотой призмы называется

2. диагональю призмы называется

3. Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, проходящей через

4. Призма называется наклонной, если

5. Призма называется прямой, если

6. Призма называется правильной, если

7. Боковой поверхностью призмы называется

8. Параллелепипедом называется

9. прямоугольным параллелепипедом называется

10. Кубом называется

11. Примеры моделей призмы и параллелепипеда из Вашей профессии

Задание 5. Выполните задания.

5.1. Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются призмами

1

2

3

4

5

6

7

8

Ответ:________________________________________________________

5.2. Среди изображенных тел (задание 5.1.) выберите номера тех, которые являются параллелепипедами

Ответ: __________________________________________________________

Задание 6. Постройте сечения призмы, проходящее через заданные точки.

Задание 7. Ответьте на вопросы.

1. Какие многоугольники лежат в основаниях призмы?
   ____________________________________________________________________

2. Какими отрезками являются боковые ребра призмы?
   ____________________________________________________________________

3. Какими фигурами являются боковые грани призмы?

____________________________________________________________________

4. Что представляет собой диагональное сечение призмы?
   ____________________________________________________________________

5. Какими фигурами являются все грани параллелепипеда?
   ____________________________________________________________________

6. Какими фигурами являются все грани прямоугольного параллелепипеда?

____________________________________________________________________

7. Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?
   ____________________________________________________________________

8. Что является высотой прямой призмы?
   ____________________________________________________________________

9. Какие многоугольники являются основанием и боковой гранью пятиугольной призмы? _______________________________________________

10. Призма имеет 30 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

____________________________________________________________________

11. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?_________________

Задание 8. Заполните таблицу.

1

2

Элементы многогранника

Количество

1

2

НАЗВАНИЕ

Вершины

Грани

Ребра

Задание 9. Заполните пропуски, чтобы утверждения были верными.

1. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине _______ (>,<,=) 360⁰.

2. У параллепипеда противоположные грани ________ и _________.

3. Диагонали параллелепипеда пересекаются

__________ и _____________________________________________________.

4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен

5. Площадью полной поверхности призмы называется сумма

6. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению

Задание 10. Выберите верный ответ из числа предложенных.

1. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10 см?

а) 40см²; б) 400см²; в) 100см²; г) 400см.

2. Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром 6 см?

а) 36см²; б) 144см²; в) 216см²; г) 144см.

3. Чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его измерения равны 1, 2, 2?

а) 2; б) 3; в) ; г) 5.

5. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения, равные a=5см; b=8см; h=10см. Какова площадь его полной поверхности?

а) 400см²; б) 160см²; в) 280см²; г) 340см².

6. Сколько всего диагоналей можно провести в четырехугольной призме?

а) 2; б) 4; в) 6; г) 8.

Задание 11. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

В правильной четырехугольной призме диагональ равная 6см., образует с плоскостью основания угол, равный 30⁰. Найдите: а) высоту призмы; б) объем призмы.

А

А₁

В

С

В₁

С₁

D

D₁

6

Дано: АВСDA₁B₁C₁D₁ - правильная призма,

B₁D=6см., ∠B₁DВ=30⁰

Найти: а) В₁В; б)V_пр.

Решение.

1. ΔB₁ВD - прямоугольный, т.к.

2. B₁В - катет, лежащий против угла 30⁰.

, т.к.

B₁В=____ (см)

3. По т.Пифагора:

(см).

4. АВСD -

5. ΔABD - прямоугольный и равнобедренный, BD²=2AD², т.к.

Ответ:_________________________________.

Задание 12. Решите задачу.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 25 и 3. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 13. Решите задачу.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 16 см, а диагональ боковой грани - 8 см. Найдите диагональ призмы.

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 14. Составьте задачу на нахождение объема правильной призмы. Решите её.

Задача:

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

§2 Пирамида. Поверхность пирамиды

Задание 1. Выполните чертеж пирамиды и отметьте ее элементы

Пирамида ______________________________

Вершины _______________________________

Основание ______________________________

Боковые ребра___________________________ Боковые грани___________________________

Высота_________________________________

Задание 2. Закончите предложения.

1. Пирамида - это многогранник, который состоит ____________________

________________________________________________________________

2. Высотой пирамиды называется

3. Пирамида называется правильной, если

4. Апофемой правильной пирамиды называется

5. Площадью полной поверхности пирамиды называется

6. Площадью боковой поверхности пирамиды называется

7. Усеченная пирамида - нижний многогранник, отсекаемый от пирамиды плоскостью, параллельной

8. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью

10. Выпуклый многогранник называется правильным, если

11. Примеры моделей пирамиды и правильных многогранников из Вашей профессии:

Задание 3. Ответьте на вопросы.

1. Сколько сторон основания, боковых ребер, вершин имеет семиугольная пирамида?

2. Сколько оснований у усеченной пирамиды?

3. Какие многоугольники лежат в основаниях правильной усеченной шестиугольной пирамиды?

3. Сколько боковых граней у шестиугольной пирамиды?

3. Как называется точка пресечения всех боковых ребер пирамиды?

3. В каком взаимном расположении находятся ребро основания и апофема пирамиды?

4. Какая фигура может лежать в основании прямой четырехугольной пирамиды?

3. Из каких фигур состоит пирамида?

3. Сколько боковых ребер и сторон основания у десятиугольной пирамиды?

4. Сколько боковых ребер и сторон основания у семиугольной усеченной пирамиды?

5. Сколько (и какие) виды правильных выпуклых многогранников Вы знаете?

3. Какое наименьшее число ребер, граней, вершин имеет правильный многогранник?

Как он называется?

3. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильной пирамиды? Ответ поясните

Ответ поясните рисунком и соответствующими записями.Какой фигурой является диагональное сечение усеченной пирамиды?

Задание 3. Выполните задания.

3.1. Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются пирамидами.

1

2

3

4

5

6

7

8

Ответ:________________________________________________________

3.2. Среди изображенных тел (задание 3.1.) выберите номера тех, которые являются усеченными пирамидами.

Ответ:________________________________________________________

а) боковые ребра

б) основания3.3. Сделайте рисунок пятиугольной усеченной пирамиды, обозначьте ее и запишите:

Задание 4. Постройте сечение пирамиды, проходящей через заданные точки

D

N

K

M

A

B

С

C  (MDN).

D

N

K

M

A

B

С

Задание 5. Является ли закрашенная фигура сечением изображенного многогранника плоскостью PQR? Если нет, то выполните правильное построение.

Задание 6. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1. Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех ___________________________________________ основания.

2. Боковыми гранями правильной пирамиды являются

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на

4. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на

5. Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются

6. Апофема - это_________________________________________________

______________________________________________пирамиды.

7. У правильной пирамиды:

а) боковые грани

б) боковые ребра

в) двугранные углы при основании

г) двугранные углы при боковых ребрах

д) апофемы

8. Диагональное сечение усеченной пирамиды - сечение ее плоскостью, проходящей через два

боковых ребра пирамиды.

Задание 7. Постройте правильную пирамиду и выделите угол между одним из ее боковых ребер и плоскостью основания.

Задание 8. Постройте четырехугольную пирамиду. Постройте отрезки, соединяющие середины боковых ребер пирамиды. Выпишите все пары параллельных отрезков.

Задание 9. Постройте четырехугольную пирамиду, одно ребро которой перпендикулярно плоскости основания.

Задание 10. Постройте треугольную пирамиду, одна грань которой перпендикулярна плоскости основания.

Задание 11. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану

В

А

С

D

S

O

4

5

α

Дано: SАВСD - правильная

пирамида,

SO⟘(A,B,C)

SO=4см.SD =5см.

Найти: ∠(SD,α)В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см., а боковое ребро - 5 см. Найдите угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания.

Решение.

1. SD- - наклонная к α, SO⟘α, значит ОD - проекция SD на плоскость α (ОD= пр_αSD).

2. ∠(SD,α)=_________ (по определению).

3. SO⟘α, ОDα, следовательно, SO⟘ОD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

4. ΔSOD - прямоугольный

Ответ:

Задание 12. Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7 см., а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45⁰. Найдите боковое ребро пирамиды.

Дано: SKMPL - правильная

пирамида,

SO⟘(K,M,P)

SO=7см. ∠(SL,β)=45⁰.

Найти: SLK

L

M

P

S

O

7

β

Решение.

1. LO - проекция SLна плоскость β (LO=пр_βSL),

т.к.

2. ∠(SL,β)=∠SLО, т.к.

3. SO⟘LО, т.к.

4. ΔSОL - прямоугольный, т.к.

5.

SL=

Ответ: SL=

Задача 13. Решите задачу, используя план решения

Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром 10 см.

Дано: ABCД - правильный тетраэдр,

AВ=10 см

Найти: DO

Решение.

1) AF - медиана _ΔABС, значит ВF = ______

2) Из _ΔABF по теореме _______ найдем АF

AF²=AB²- BF²

AF=________

3) О делит отрезок AF в отношении 2:1, поэтому АО=_____________________

4) Из _ΔADO по теореме Пифагора найдем DO

DO²=____________

DO = ____________

Ответ: ______см

Задание 14. Решите задачу

Апофема пирамиды равна 5см., а высота 4см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 15. Составьте задачу на нахождение поверхности прямой пирамиды. Решите её.

Задача:

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

§3. Цилиндр. Поверхность цилиндра

Задание 1. Среди изображенных тел обведите номера тех, которые являются телами вращения и закончите предложение.

1

2

3

4

5

Тело вращения - это объемные тела, которые получаются __________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Выполните чертеж цилиндра и подпишите его элементы

Задание 3. Закончите предложения

1.Цилиндр - это геометрическое тело, поверхность которого состоит

_____________________________________________________________

2. Основанием цилиндра называется

3. Высота цилиндра - это

4. Радиусом цилиндра называется

5. Образующей цилиндра называется

6. Осью цилиндра называется

7. Осевое сечение цилиндра - это

8. Цилиндр называется прямым, если

9. Примеры моделей цилиндров из Вашей профессии:

10. Поверхность, составленная из образующих называется___________

______________________________________________________________

Задание 4. Ответьте на вопросы

1. Какая фигура лежит в основании цилиндра?

2. Что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра?

3. Как найти площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Что представляет собой осевое сечение цилиндра?

5. Как найти площадь полной поверхности цилиндра?

6. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью перпендикулярной оси цилиндра?

7.Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью параллельной оси

цилиндра?

8. Что является высотой прямого цилиндра?

9. Может ли в осевой сечении цилиндра получиться квадрат?

10. Почему цилиндр называют телом вращения?_____________________

_______________________________________________________________

Задание 5. Как называется каждое сечение цилиндра.

____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Задание 6. Запишите формулы для вычисления площади боковой поверхности и полной поверхности цилиндра.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Что должно быть известно в этих случаях?

_______________________________________________________________

Задание 7. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1. Высота прямого цилиндра совпадает с ______________________________.

2. Боковая поверхность цилиндра составлена

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длине окружности основания на _______________________________________.

4. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме

_______________________________________________________________.

5. Равные круги, расположенные в параллельных плоскостях, называются ______________________________ цилиндра.

6. Цилиндр можно получить вращением ________________________ вокруг одной из его сторон.

7. Осевое сечение цилиндра - сечение плоскостью, проходящей

_______________________________________________________________.

8. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой ___________________________ , две стороны которого - ______________________________________ цилиндра, а две другие - ______________________. Такое сечение называется ____________________.

9. Все осевые сечения цилиндра - __________________________________ ___________________________________.

10. В сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию лежит _______________, равный _____________________________.

11. Цилиндр, основаниями которого являются круги, а образующие не перпендикулярны к плоскостям оснований, называется________________ .

Задание 8. Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра.

Задание 9. Определите верность утверждений (да или нет).

1. Радиусом цилиндра называется радиус его основания _________________.

2. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований __________.

3. Прямой цилиндр - это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси. _________

4. Образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. ___________

Задание 10. Выберите верный ответ из числа предложенных (ответ обведите).

1. Площадь основания цилиндра равна:

а) , б) в) , г)

2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

а) , б) в) , г)

3. Чему равна площадь осевого сечения цилиндра, если радиус цилиндра равен 2см., а высота цилиндра - 5см.

а) 10см., б) 5см., в) 20 см., г) невозможно найти

4. Сколько м² жести израсходовано на изготовление консервной банки диаметром 10 см и высотой 5 см?

а) 100 см², б) 50 см², в) 75 см², г) 60 см²

5. Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена труба длиной 8м и диаметром 32 м.

а) 256 м², б) 2,56 м², в) 2,56 м², г) 256 м²

Задание 11. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Дано: цилиндр

R=7

H=10/

Найти:

Решение:

1. 

2. 

3. 

4. Ответ:

Задание 12. Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания -5 м₂. Найдите высоту цилиндра.

Дано: цилиндр

Найти:

Решение:

1. , отсюда следует

2. , откуда AB=______________

3. Т.к. ABCD - ________________________,

4. Т.к. АВ= ______________ и , то ВС=__________

5. Значит, H=______________.

Ответ: Н=_________.

Задача 13. Решите задачу, используя план решения

Сечение, параллельное оси цилиндра - квадрат. Радиус цилиндра равен 5см., расстояние между осью цилиндра ОО₁ и плоскостью сечения равно 4см. Найдите площадь сечения.

Дано: цилиндр

ОО₁₌4см.

АВСD-квадрат.

Найти:

Решение:

1. .

2. Рассмотрим , ________/

По т.Пифагора

4. Т.к. АВСD-квадрат, АD=_________ и

Ответ: __________________.

Задание 14. Решите задачу

Найдите площадь поверхности (внешней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 15. Решите задачу

Высота цилиндра равна 12см., а радиус основания равен 10см. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 16. Составьте задачу на нахождение поверхности цилиндра. Решите её.

Задача:

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

§4. Конус. Поверхность конуса

Задание 1. Среди изображенных тел обведите номера тех, которые являются конусами и закончите предложение.

1

2

3

4

5

Конус - это тело, поверхность которого состоит _______________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Подпишите элементы конуса

Задание 3. Постройте усеченный конус и подпишите его элементы.

Задание 4. Закончите предложения

1.Усеченный конус - это часть конуса, расположенная

______________________________________________________________

3. Конус называется прямым, если ________________________________

______________________________________________________________

4. Высота конуса - это __________________________________________

______________________________________________________________

4. Радиусом конуса называется

5. Образующей конуса называется

6. Осью конуса называется

7. Осевое конуса цилиндра - это

8. Поверхность, составленная из образующих называется_____________

______________________________________________________________

9. Примеры моделей конусов из Вашей профессии:

______________________________________________________________

Задание 5. Ответьте на вопросы

1. Какая фигура лежит в основании конуса?

2. Что представляет собой развертка боковой поверхности конуса?

3. Как найти площадь боковой поверхности конуса?

4. Что представляет собой осевое сечение усеченного конуса?

5. Как найти площадь полной поверхности конуса?

6. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью перпендикулярной оси конуса? ________________________.

7. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса? _______________________________________

_______________________________________________________________

8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?_______________________________________________

9. Почему конус называют телом вращения?______________________

_____________________________________________________________

Задание 6. Запишите формулы для вычисления площади боковой поверхности и полной поверхности конуса и усеченного конуса.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Что должно быть известно в этих случаях?

_______________________________________________________________

Задание 7. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1. Поверхность конуса состоит из _______________________________ и _____________________________________________________________.

2. Боковая поверхность конуса составлена

3. У прямого конуса основание высоты ____________________ с центром основания.

4. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой ______________________________________________, у которого боковые стороны являются ________________________ конуса.

5. Равные круги, расположенные в параллельных плоскостях, называются ______________________________ цилиндра.

6. Усеченный конус вращения получается вращением _________________ ___________________________________ вокруг ее ___________________

____________________________, перпендикулярной основаниям.

7. Осевое сечение конуса - сечение плоскостью, проходящей

_______________________________________________________________.

7. Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых - _______________, а другую часть называют__________________________ _________________________.

8. Развёрткой боковой поверхности конуса является _______________________________________________________.

9. В сечении конуса плоскостью, параллельной основанию лежит __________________________.

Задание 8. Изобразите а) осевое сечение конуса; б) сечение конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину.

А

Б

В

Задание 9. Определите верность утверждений (да или нет).

1. Радиусом конуса называется радиус его основания _________________.

2. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания __________.

3. Прямой конус - это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его стороны как оси. _________

4. Образующие конуса параллельны и равны друг другу. ___________

Задание 10. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите площадь основания конуса.

.

Дано: конус

SA=12см.

.

Найти:

Решение:

1. ____________________________

2. Рассмотрим

Ответ:

Задание 11. Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

Радиус основания конуса R. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найти его площадь.

Дано: цилиндр

Найти:

Решение:

1. Т.к. , то

2. , значит AB=______________

3. По т.Пифагора

4. __________________

Ответ: _________.

Задача 12. Решите задачу, используя план решения

Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен 30⁰.

Дано: конус

.

.

Найти:

Решение:

1. Т.к. , то и

2. 

__________________

Ответ: __________________.

Задание 13. Решите задачу

Колпак к костюму клоуна имеет вид конуса, радиус основания которого равен 8см, а высота колпака 12см. Сколько метров ткани надо купить, чтобы обтянуть этот колпак.

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 14. Решите задачу

Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм^{2 ,} а площадь основания равна 8 дм².

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 15. Составьте задачу на нахождение поверхности конуса. Решите её.

Задача:

Дано:

Найти:

Решение

Ответ:

§5. Шар. Сфера

Задание 1. Среди изображенных объектов обведите номера тех, которые являются шаром и закончите предложение.

1

2

3

4

5

Шар - это тело, поверхность которого состоит ________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Постройте шар и подпишите его элементы.

Задание 3. Закончите предложения

1.Сфера - это

______________________________________________________________

2. Линия пересечения двух сфер есть______________________________

3. Центр шара- это _____________________________________________

______________________________________________________________

4. Диаметром шара называется

5. Концы любого диаметра шара называются

______________________________________________________________

6. Диаметральной плоскостью шара называется

______________________________________________________________

7. Касательная плоскость шара - это

8. Радиусом шара называется_____________________________________

______________________________________________________________

9. Примеры моделей шара (сферы) из Вашей профессии:

______________________________________________________________

Задание 4. Ответьте на вопросы

1. Как могут быть получены шар и сфера?

2. Сколько возможных случаев взаимного расположение сферы и плоскости?

3. Какие фигуры являются аналогами сферы и шара?

4. От чего зависит взаимное расположение сферы и плоскости?

5. Каково может быть соотношение между длиной радиуса сферы и расстоянием от центра сферы до плоскости, т.е. величин R и d?

6. Какой фигурой является сечение шара? __________________________.

7. Как найти радиус сечения шара? ________________________________

_______________________________________________________________

8. Как найти площадь сферы?______________________________________

9. Почему шар называют телом вращения?_________________________

______________________________________________________________

10. Сколько сфер можно провести через одну и ту же окружность ___________________________________.

11. При каком условии сечения сферы плоскостью равны? _____________

_______________________________________________________________.

Задание 5. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1. Поверхность шара - ___________________________________________.

2. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и
проходящий через центр, называется _________________________ шара, а концы этого отрезка -

3. Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения ___________________ вокруг __________________________ как оси.

4. Любое сечение шара плоскостью есть _______________. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в _____________ этого круга.

5. Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем _________________ радиус сечения.

6. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется
________________________ плоскостью. Касательная плоскость ________________________ радиусу, проведенному в точку касания.

7. Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они ______________________________. Их общая касательная плоскость _________________________________ линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).

10. Две сферы не имеют общих точек, когда ________________________________________________________________.

11. Все касательные, проведённые из данной точки к сфере, имеют _______________ длины.

12. Сечение шара диаметральной плоскостью называется ____________________________________________________________.

Задание 6. Изобразите а) диаметральную плоскость шара; б) касательную плоскость; в) любое сечение шара.

А

Б

В

Задание 7. Определите верность утверждений (да или нет).

1. Тело, ограниченное сферой, называется шаром _________________.

2. Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, параллелен к касательной плоскости __________.

3. Через любые две точки сферы проходит один большой круг ________.

4. Если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу, то сферы касаются ___________.

5. Центр шара является его центром симметрии _________.

Задание 8. Выберите верный ответ из числа предложенных (ответ обведите).

1. Сколько общих точек может иметь сфера и прямая:

а) две, одну, ни одной б) две в) одну г) ни одной

2. Сколько общих точек может иметь сфера и плоскость:

а) бесконечно много точек, принадлежащих окружности, одну, ни одной,

б) одну

в) ни одной,

г) бесконечно много точек, принадлежащих окружности

3. Шар, радиус которого 5 см, пересечен плоскостью на расстоянии 4 см от центра. Найти площадь сечения.

а) 9 см², б)  см², в) 3 см², г) 81 см²

4. Ребро куба равно 1. Найдите площадь большого круга, описанного около куба шара.

а) 93 см², б)  см², в)  см², г) 4 см²

5. Найдите радиус сферы, вписанной в цилиндр, образующая которого равна 16 м.

а) 8м, б) 16м, в) 4м, г) 32м.

Задание 9. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Дано: шар

R=41дм.

Найти:

Решение:

1. Так как, d

2. Рассмотрим треугольник AOK - _________________________.

По теореме Пифагора ___________________________.

2. Подставим значение радиуса в формулу площади круга

___________________________________________.

Ответ:

Задание 10. Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 14 см, 14 см и 15 см.

Дано: сфера,

Найти:

Решение:

1. Проведем перпендикуляр OL к плоскости треугольника.

2. Точка L - равноудалена от сторон треугольника ABC, то есть L-центр ______________________________________________ треугольника ABC.

3. Найдем ML.

, где p - полупериметр треугольника ABC.

Площадь найдем по формуле ____________________.

___________________________________________________________.

Отсюда, .

3. Рассмотрим .

По теореме ____________________

.

Ответ: _________.

Задача 11. Решите задачу, используя план решения

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Дано: сфера,

Найти:

Решение:

1. Рассмотрим .

По теореме Пифагора

.

Ответ: __________________.

Задание 12. Решите задачу, используя рисунок.

Вершины треугольника АВС лежат на сфере, радиус которой равен 13. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6, ВС = 8, АС=10.

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 13. Решите задачу

Два шара, радиусы которых равны 20 см., расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите площадь сечения, проходящего через линию пересечения поверхностей шара.

Дано:

___________________________

Найти:

Решение

Ответ:

Задание 14. Составьте задачу. Решите её.

Задача:

Дано:

Найти:

Решение

Ответ: