Интегрированный урок по математике Площадь криволинейной трапеции

Интегрированный урок.

Методической основой интегрированного подхода к обучению является формирование у школьников знаний об окружающем мире, а также установление внутренних и межпредметных связей, преодоление дисциплинарной разобщенности научного знания.

В этой связи интегрированным уроком называют урок, для проведения которого привлекаются знания, умения и результаты анализа изучаемого материала методами других наук.

Межпредметные связи способствуют систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности, преодолению разобщенности в работе учителей.

Основой для медпредметных связей является соответствующее построение учебных планов и программ, предусматривающее согласованность целей, содержание и темпа изучения материала по различным предметам, рациональное распределение между ними объектов, подлежащих рассмотрению. В этой связи математика, как «царица наук» чаще всего востребована другими предметами. Но математика как учебный предмет имеет свою логику расположения материала, которую нельзя нарушить. Поэтому не всегда удается вовремя создать запас математических знаний и навыков, необходимых для раскрытия тех или иных вопросов на уроках других предметов.

Рассмотрим несколько примеров внутрипредметной и межпредметных связей, позволяющие создать интегрированные уроки.

Рассмотрим сравнительный анализ использования того или иного математического понятия в виде таблицы посредством перечисления ряда тем, в рамках исследования межпредметных связей двух предметов. Она поможет наглядно представить использование математических понятий в различных науках.

5 класс

Тема

Как используется

Связь с другим предметом

Натуральные числа

Конструирование одежды

Труд

Отрезок, луч, прямая, плоскость, шкала, диаграмма

Измерение температуры

Построение чертежей, выкроек

Равномерное движение

Шкала высот и глубин, природные ресурсы, 10 класс. Соотношение воды и суши.

Природоведение

Труд

Физика, 7 класс

География

Угол, треугольник, четырёхугольник

Изображение геометрических фигур

Построение чертежей

Строение органических веществ

Оптика, 11 класс

Рисование

Труд

Химия

Физика

Площади

Единицы площади

Площади фигур Задачи на составление алгоритма

География

Черчение

Информатика

Дробные числа

Гидросфера

Вычисления при построении выкроек

Вычисления в задачах

Природоведение

Труд

Физика

Метрическая система мер

Вычисления при построении выкроек

Площади фигур, 9 класс

Труд

Черчение

Среднее арифметическое

Атмосфера

Окислительно-восстановительная реакция, 10 класс

Составление алгоритма

Природоведение

Химия

Информатика

Проценты

Состав атмосферы

КПД, 7 - 8 класс

Расчетные задачи

Природоведение

Физика

Химия

6 класс

Делимость чисел

Составление плана местности

Устройство увеличительных приборов

Арабские и римские написания

География

Биология

История

Обыкновенные дроби

Виды напильников

Изучение рельефа

Старинные меры

«О повести временных лет»

Труд

География

История

Литература

Десятичные дроби

Измерение штангенциркулем

Охрана вод

Удобрения

Легкая атлетика

Труд

География

Биология

Физкультура

Пропорции

Изучение природных комплексов

Трёхсложный разбор стиха

Красота физкультуры. Человек в движении

География

Литература

Физкультура

Проценты

Свойства вод Мирового океана

Определение процента всхожести семян

«Левша»

География

Биология

Литература

Окружность, круг, длина окружности, площадь круга, сектор, шар

Построение юбки

Рост стебля. Годичные кольца

Число π в древней Греции, Египте

Мифы Древней Индии

Подвижные игры

Труд

Биология

История

Литература

Физкультура

Масштаб

Виды металлопроката

План и карта

«Корова» А. П. Платонова

Труд

География

Литература

Положительные и отрицательные числа

Сборка электрических цепей

Температура воды, воздуха

Древний Китай. Составление календаря

Труд

География

История

Числовая ось, координатная плоскость, графики

Понятие расстояния между точками. Годовой ход температуры

Поглощение листьями углекислого газа

«Кладовая Солнца» М. Пришвина

География

Биология

Литература

Пересечения прямых, перпендикулярные и параллельные прямые

Древнеегипетские пирамиды

Родная природа в стихотворениях поэтов ХIХ века

История

Литература

7 класс

Алгебраические выражения

Градуирование пружины и измерение сил динамометром

Физика

Степень с натуральным показателем

Единицы массы

Физика

Стандартный вид одночлена

Измерение объемов тел

Физика

Умножение одночленов

Измерение массы тела на рычажных весах

Физика

Делимость многочленов и одночленов

Графическое изображение сил, момент силы.

Равномерное движение

Физика

Начальные геометрические сведения

Плоскостная разметка при изготовлении детали

План, карта. Масштаб

Черви круглые и плоские

Труд

География

Биология

Признаки равенства треугольников

Измерение расстояний до недоступной точки, построение угла, равного данному

Центральное, параллельное и прямоугольное проецирование

География

Черчение

8 класс

Рациональные дроби

Газовые законы, плотность, скорость, время

Масштаб Расход воды в реке

Физика

География

Функция у = к/х

Выкройка платья

Изометрический процесс

Труд

Физика

Квадратные корни

Период маятника

Физика

Неравенства

Решение качественных задач

Коэффициент увлажнения

Физика

География

Приближенные вычисления

Изготовление деталей

Решение задач

Решение задач

Труд

Физика

Химия

Многоугольники

Развертки изделий

Кристаллическая решетка Съемка местности

Труд

Физика

География

Площадь четырехугольников

Механическая работа. Вывод формул при перемещении

План участка. Съемка местности

Задачи на площади

Физика

География

Информатика

Теорема Пифагора

Сложение сил. Движение по наклонной плоскости

Физика

Окружность

Токарные работы

Вращательное движение

Азимут. Определение координат в плоскости

Сечения

Труд

Физика

География

Черчение

9 класс

Квадратичная функция, её график

Равноускоренное движение. Движение по окружности. Взаимодействие тел.

Площади фигур. Площади поверхностей, 11 класс

Физика

Геометрия

Уравнения и системы уравнений

Решение задач

Мировой океан - главная часть гидросферы

Способы проектирования

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Декартовы координаты на плоскости

Физика

География

Черчение

Геометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессия

Основы кинематики. Основы динамики. Невесомость.

Четырехугольники. Теорема Фалеса.

Физика

Геометрия

Степень с рациональным показателем

Расчетные задачи

Объем тел, 11 класс

Физика

Геометрия

Тригонометрические выражения

Основы кинематики: Движение по окружности.

Декартовы координаты на плоскости

Физика

Геометрия

Приложение 1.

Алгебра с геометрией

Для повышения единства математической науки межпредметную связь можно осуществить на темах: «Уравнения и неравенства с двумя переменными».

Плоскую геометрическую фигуру мы рассматриваем как множество точек плоскости, из которых она состоит. Задать фигуру аналитически - значит записать такое соотношение

между координатами этих точек, по которому можно было бы определить. Принадлежит ли та или иная точка этой фигуре или нет.

1. Доказать, что четырехугольник, стороны которого принадлежат прямым

х = 2; х - 2у = 6; х = - 2; х - 2у + 2 = 0, является параллелограммом.

2. Доказать. Что четырехугольник, задаваемый системой неравенств

х ≤ 2х +7; у ≥ 2х + 3; х ≤ 0; у ≥ 0, является трапецией.

3. Какие геометрические фигуры задают следующие системы уравнений и неравенств:

а) 2х + 3у - 12 = 0, 1 ≤ х ≤ 4; б) х ≥ 0, у ≥ 0, у ≥ - 5х + 4.

4. С помощью уравнений и неравенств задать луч, квадрат, прямоугольник.

Когда известны неравенства. Можно предложить следующие задачи на определение расположения фигур относительно друг друга.

5. Не выполняя рисунка на координатной плоскости, выявить, пересекает ли прямую х + у - 6 = 0 отрезок, соединяющий точки

а) А( 1; - 4 ) и Р( - 7; 3 ); б) С( 5; 2 ) и Д( 10; - 7)

( Рассмотреть принадлежность координат точек неравенствами х + у - 6 ≤ 0; х + у - 6 ≥0).

6. Указать координаты каких-либо двух точек, если известно, что отрезок, их соединяющий, не пересекает прямую 3х - 5у = 4.

7. Укажите уравнение какой-либо прямой, которая пересекает отрезок, соединяющий точки А( - 2; 1 ) и В( 3; 5 ).

При решении систем уравнений способом подстановки можно рассмотреть такие задачи.

1. Определить, как расположена прямая относительно окружности, заданных уравнениями:

а) у = - х + 3 и х² + у² = 9; б) у = х + 10 и х² + у² = 9.

2. Определить точки пересечения параболы у = х² и гиперболы ху = 8.

При изучении графиков уравнений и неравенств можно решить следующие задачи.

1. Имеет ли ось симметрии график уравнения х - 3у + 1 = 0?

2. Сколько осей симметрии имеет график уравнения х² + у² = 16?

3. Записать уравнения осей симметрии фигуры, заданной системой неравенств 3 ≤х ≤ 7 и - 2 ≤ у ≤ 2. ( Это квадрат, его оси симметрии х = 5 и у = 0). Для определения других осей симметрии воспользуемся уравнением у = kх + b, получим систему уравнений 2 = 3k + 1, - 2 = 7k + 1. Решая которую, получим:

K = - 1, и = 5, у = - х + 5 и аналогично находим вторую ось симметрии.

При вычислении площадей геометрических фигур, заданных уравнениями, неравенствами или их системами, можно решить такие задачи.

1. Найти площадь треугольника, заданного системой: у ≤ х + 3; у ≤ - х + 3; у ≥ 0.

2. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямыми у - 2х = - 2; у = - 4х + 24; осью абсцисс.

При изучении осевой симметрии:

3. Даны точки А( 1; 4 ), В( - 1; 4 ), С( 1; - 4 ), Д( 4; - 1 ), Е( 4; 1 ). Есть ли среди них симметричные друг другу относительно оси абсцисс, оси ординат, прямой у = х, прямой у = - х?

4. Записать уравнение прямой, симметричной прямой х - у + 2 = 0 относительно оси абсцисс, оси ординат, прямой у = х, у = - х?

5. Графики каких уравнений отобразятся сами на себя при осевой симметрии относительно осей координат и прямых у = х и у = - х?

6. Графики каких уравнений и неравенств симметричны относительно осей координат и прямых у = х и у = - х?

1. Х + у = 2; 2) ху = 6; 3) у = х²; 4) х² + у² = 16; 5) х⁴ + 3у⁴ ˃ 3; 6) х³ - у³ ˂ 8; 7) х³ + у³ - 3ху = 1; 8) х⁴ + 2х²у² + у⁴ = 9.

Приведенные упражнения показывают возможность осуществить взаимную связь курсов алгебры и геометрии. При этом повторяется пройденный материал, органически включаясь в новый.

Приложение 2.

Физика и математика.

Основные пробелы в математике, представляющие собой серьезную помеху на пути формирования у учащихся физических понятий и практических действий:

1. В физике и технике результаты измерений всех величин и все расчеты с ними выражаются с помощью десятичных дробей. Для учащихся, начавших изучать физику, большую трудность представляют умножение и деление десятичных дробей.

2. В физике часто приходится производить преобразование единиц измерения, например, калории в Джоули и обратно, часы в минуты, минуты в часы и секунды, м² в см² и т.д. Избежать эти трудности можно, если на уроках математики хорошо отработаны преобразования единиц измерения длин, площадей, объемов.

3. К началу изучения физики учащиеся должны хорошо знать единицы измерения длин, площади, объема, веса, температуры.

4. В физике и технике имеют дело с приближенными величинами, а на уроках математики школьники имеют дело в основном с точными числами. И даже после изучения темы «Приближенные вычисления» решаются задачи с точными данными.

5. На уроках физики ребята оперируют величинами, обозначенными буквами. Но буквенные обозначения вводятся и на уроках математики. Однако, одна и та же зависимость , например. У = ах² и S =аt²/2, воспринимается учащимися как разные вещи. Причина в том, что учителя математики дают ту или иную формулу в одной «одёжке», нет представления её в разных ситуациях. Тем самым слабо усваивается функциональная зависимость. При изучении функции у = ах можно включить

6. физические формулы: А = FS, m = pV, S = vt и решать задачи с физическим содержанием на применение этих формул.

При изучении функции у = а/х используются формулы: P = F/S, a = F/m, I = U/R.

При изучении функции у = ах² используются формулы: S = at²/2, W = mv²/2, W = CU²/2,W = LI²/2.

Поэтому при изучении каждой новой формулы необходимо выяснить характер функциональной зависимости.

7. В понимании функциональной зависимости величин велика роль графической интерпретации. Хорошо, если на уроках математики будут рассматриваться графики зависимости физических величин.

Примеры задач, которые можно решать на уроках математики.

1. Имеются два слитка из разных сплавов, каждый массой в 720 г. Плотность первого сплава на 1 г/см³ меньше плотности второго сплава. Найдите объем каждого слитка, если известно, что объем одного из них на 10 см³ больше другого. ( Решение с помощью уравнения 720/х - 720/(х + 10) = 1)

2. На столе находится гиря массой в 200 г. Когда её перевернули, площадь опоры уменьшилась на 1,5 ∙ 10^-3 м², а давление на стол увеличилось на 1,2 ∙ 10³ Па. Найти площадь опоры в каждом из этих случаев. Считать g = 10 м/с².

( 2/( х -1,5 ∙ 10^-3) - 2/х = 1,2 ∙ 10³)

3. При перемещении тела вдоль пути АВСД на участке АВ, ВС и СД была совершена работа, равная 36 Дж, 40 Дж и 63 Дж. Из-за различного характера поверхностей этих участков сила F₂ на 2Н меньше силы F₁ и на 1Н больше силы F₃. Найти силы F_1, F₂, F₃, если известно, что участки АС и СД имеют одинаковую длину.

( 36/(х + 2) + 40/х = 63/(х - 1) )

4. К выпрямителю с напряжением22 В подключен реостат. Когда напряжение возросло на 10%, а сопротивление реостата уменьшилось на 9 Oм, сила тока в цепи увеличилась на 1,1 А. Найти первоначальное сопротивление реостата.

( 24,2/(х - 9) - 22/х = 1,1)