Методическая разработка по теме Многочлены

Методическая разработка темы «Многочлены»

Многочлены

Под многочленом понимается выражение вида: а₀хⁿ + а₁х^n-1 + … + а_n-1х + а_n, где а₀, а₁, а_n - произвольные действительные числа называемые коэффициентами многочлена, х - переменная, n - целое неотрицательное число.

Такая запись называется каноническим видом многочлена.

Если коэффициент а₀ при хⁿ отличен от нуля, то одночлен а₀хⁿ называют старшим членом многочлена, а₀ - старшим коэффициентом, а_n называют свободным членом многочлена.

Любое число, отличное от нуля, можно считать многочленом.

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то такой многочлен называется нулевым. Многочлен со старшим коэффициентом равным 1 называют приведенным.

Пусть P(х) = а₀хⁿ + а₁х^n-1 + … + а_n, а₀ ≠ 0, то число n называют степенью многочлена. Многочлены нулевой степени - это просто числа. Нулевые многочлены не имеют степени.

Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова, то есть многочлены имеют одну и ту же степень и коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных совпадают.

Если вместо переменной х в многочлен Р(х) подставить число с, то получится число, которое называется значением многочлена при х = с.

Значение любого многочлена при х = 0 равно его свободному члену, а сумма коэффициентов многочлена есть его значение в точке 1.

Корнем многочлена Р(х) называется такое число , что Р(a) = 0.

Упражнения

1. Выполните действия: (х³ + х - 1)(х² + х + 1) - (х - 1)(х⁴ + х² - 1).

2. Найдите свободные члены и суммы коэффициентов:

а) (х² + х - 1)²⁰⁰⁵

б) (3х² - 4х + 2)¹⁰⁰

3. Докажите тождества:

а) (х - 1)(х + 1)(х² + 1) = х⁴ - 1

б) (х - 1)(х + 1)(х² - х + 1)(х² + х + 1) = х⁶ - 1

4. Доказать, что (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а⁴ - полный квадрат.

Деление многочленов

Определение: Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х) ≠ 0, если существует такой многочлен R(х), что выполняется равенство Р(х) = Q(х)∙R(х).

Свойства делимости многочленов

1. Если два многочлена делятся на Q(х), то и их сумма и разность также делятся на Q(х).

2. Если Р(х) делится на Q(х), то и любое произведение Р(х)∙N(х) делятся на Q(х).

3. Если Р(х) делится на Q(х), а Q(х) делится на N(х), то и Р(х) делится на N(х).

Теорема 1 (о делении с остатком)

Пусть Р(х) и В(х) - два произвольные многочлена, причем многочлен В(х) ≠ 0. Тогда существует единственная пара многочленов Q(х) и R(х) таких, что выполняется равенство Р(х) = В(х) Q(х) + R(х) и многочлен R(х) либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен В(х)

Q(х) - называется неполным частным,

Р(х) - остаток.

При делении многочленов можно использовать деление «углом».

Пример 1. х⁴ - 11х² + 3х + 1 х² + х + 1

х⁴ + х³ + х² х² - х - 11 - неполное частное

- х³ - 12х² + 3х

- х³ - х² - х

-11х² + 4х + 1

- 11х² - 11х - 11

15х + 12 - остаток

х⁴ - 11х² + 3х + 1 = (х² + х + 1)(х² - х - 11) + (15х + 12)

Пример 2. 3х⁶ + 2х⁴ - 2х³ + х - 6 х⁴ + 2х + 2

3х⁶ + 6х³ + 6х² 3х² + 2

2х⁴ - 8х³ - 6х²

2х⁴ + 4х + 4

8х³ - 6х² - 3х - 10

3х⁶ + 2х⁴ + х - 6 = (х⁴ + 2х + 2)(3х² + 2) - (8х³ + 6х² + 3х + 10)

Пример 3. х⁴ - 10х³ + 35х² - 50х + 24 = (х - 1)(х³ - 9х² + 26х - 24)

Многочлен Р(х) делится на многочлен В(х) тогда и только тогда, когда существует многочлен Q(х) такой, что Р(х) = В(х) ∙ Q(х)

Пишут Р(х) В(х).

Упражнения

1. Найти неполное частное и остаток от деления:

а) х² - 2х + 1 на х - 1

б) х⁵ - 6х³ + 2х² - 4 на х² - х + 1

в) х⁴ + х² + 1 на х + 5

г) х⁷ - 1 на х³ + х + 1

2. При каком значении k выполняется деление без остатка многочлена

х³ + 6х² + kх + 12 на х + 4?

3. Делится ли многочлен х⁵ + 3х⁴ + 4х³ - 2х² + 5 - 5 без остатка на х² - 3х + 2?

Теорема Безу. Схема Горнера.

Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α) = 0.

Теорема 2. Если многочлен Р(х) делится на х - α, то α является корнем многочлена Р(х).

Теорема 3 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х - α равен Р(α), т.е. значению этого многочлена при х = α.

Пример 1. Найдите остаток от деления многочлена х⁴ + 5х³ - 3х + 6 на х + 3

α = - 3 Р(-3) = (-3)⁴ + 5(-3)³ - 3 ∙ (-3) + 6 = -39. Ответ: - 39.

Пример 2. Докажите, не выполняя деление, что 3х⁵ + 4х⁴ - х² - 18х делится на х + 2: α = -2 Р(-2) = 0. Т.к. остаток равен 0, то многочлен делится на х + 2.

Пример 3. Делится ли многочлен х¹⁰⁰ - 3х + 2 на х² - 1

х² - 1 = (х + 1)(х - 1)

Для того, чтобы многочлен делился на х² - 1, он должен делиться на х - 1 и на х + 1. Найдем остатки от деления

α = 1, Р(1) - 1¹⁰⁰ - 3 + 2 = 0; Р(х) х - 1

α = -1, Р(-1) = (-1)¹⁰⁰ + 3 + 2 = 6 Р(х) х + 1. Ответ: х¹⁰⁰ - 3х + 2 не делится на х² - 1

Пример 4. При каких а и в выполняется деление без остатка многочлена

х⁴ + 3х³ - 2х² + ах + в на многочлен х² - 3х + 2?

х² - 3х + 2 = (х - 1)(х - 2)

α = 1 Р(1) = 2 + а + в

α = 2 Р(2) = 32 + 2а + в.

По условию остатки равны 0, получаем

2 + а + в = 0 а = -30

32 + 2а + в = 6 в = 28

Схема Горнера

Деление многочлена Р(х) = а₀хⁿ + а₁х^{n - 1} + … + а_n на двучлен х - α удобно выполнять по схеме Горнера

Р(х) = (х - α) ∙ Q(х) + в_n, где Q(х) = в₀х^{n - 1} + в₁х^{n - 2} + … + в_{n - 1} в_n -остаток от деления

а₀

а₁

а₂

…

а_{n - 1}

а_n

α

в₀ = а₀

в₁ = а₁ + αв₀

в₂ = α₂ + αв₁

…

в_{n - 1} = а_{n - 1} + αв_{n - 2}

в_n = а_n + αв_{n - 1}

в_1, в_{2 …} заполняются так: берутстоящие над ней число первой строки и прибавляют к нему произведение α и предыдущего элемента второй строки:

Пример 1. Выполните деление многочлена

а) х³ + 4х² - 24 на х - 2 α = 2

1

4

0

-24

2

1

6

12

0

х³ + 4х² - 24 = (х - 2)(х² + 6х + 12)

б) х⁴ - 5х³ + 2х² + 3х - 7 на х - 2

1

-5

2

3

-7

2

1

-3

-4

-5

-17

х⁴ - 5х³ + 2х² + 3х - 7 = (х - 2)(х³ - 3х² - 4х - 5) - 17

в) 4х⁵ - 7х⁴ + 5х³ - 2х + 1 на х - 3

4

-7

5

0

-2

1

3

4

5

20

60

178

535

4х⁵ - 7х⁴ + 5х³ - 2х + 1 = (х - 3)(4х⁵ + 5х³ + 20х² + 60х + 178) + 535

Пример 2.

Найти по схеме Горнера значение многочлена х⁵ - 2х⁴ - х³ + 2х + 5 при х = 7

1

-2

-1

0

2

5

7

1

5

34

238

1668

11667

Р(7) = 11667

Упражнения

1. Докажите, что

а) (3х⁵ + 4х⁴ - х² - 18х) (х + 2)

б) (х⁹ + х⁸ + х⁷ + х⁶ + х⁵ + х⁴ + х³ + х² + х + 1) (х + 1)

2. При каких а и в многочлен х⁴ - 2х³ - 13х² + ах + в делится на х² - 5х + 1

3. Найдите Р(-1) и Р(), если Р(х) = 2х⁴ - 7х³ - 3х² + 5х - 1

4. Разделите 21 + у - 2у² - у³ на у + 3, используя схему Горнера.

Многочлены с целыми коэффициентами.

Теорема Безу и ее следствия дают способ разложения многочлена на множители, если известны его корни. Как отыскать эти корни?

Для многочлена с целыми коэффициентами помогает решить эту задачу теорема Эйзенштейна:

Если Р(х) = а₀хⁿ + … + аⁿ - многочлен с целыми коэффициентами, а х = - его рациональный корень (дробь - несокращаемая, g > 0), то р является делителем старшего коэффициента а₀.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

Следствие 2. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни многочлена, если они существуют, целые.

Пример 1. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен

Р(х) - 2х⁴ - 7х³ - 3х² + 5х + 1.

Ищем сначала целые корни среди делителей свободного члена: ±1

Р(1) = 2 - 7 - 3 + 5 - 1 ≠ 0

Р(-1) = 2 + 7 - 3 - 5 - 1 = 0; х = -1 - корень многочлена.

Делим Р(х) на х + 1

2

-7

-3

5

-1

-1

2

-9

6

-1

0

Р(х) = (х + 1)(2х³ - 9х² + 6х - 1)

Далее раскладываем на множители многочлен Q(х) = 2х³ - 9х² + 6х - 1

Q(1) ≠ 0; Q(-1) ≠ 0, т.е. целых корней нет.

Тогда ищем дробные корни: ±

Q() = 0

2

-9

6

-1

2

-8

2

0

Р(х) = (х + 1)(х - )(2х² - 8х + 2) = (х + 1)(2х - 1)(х² - 4х + 1)

Для отыскания корней многочлена можно применять следующие свойства:

1. Многочлен с положительными коэффициентами не может иметь положительных корней.

2. Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна 0.

3. Для того, чтобы число -1 являлось корнем многочлена необходимо и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов, стоящих на четных местах, равнялась сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Пример 2. Разложите на множители многочлен х⁴ + 2х³ - 2х² - 6х + 5.

Т.к. сумма коэффициентов равна нулю, то х =1 является корнем многочлена

1

2

-2

-6

5

1

1

3

1

-5

0

Р(х) = (х - 1)(х³ + 3х² + х - 5)

И снова сумма коэффициентов Q(х) = х³ + 3х² + х - 5 равна нулю, значит х = 1 - корень

1

3

1

-5

1

1

4

5

0

Р(х) = (х - 1)²(х² + 4х + 5)

Кратные корни

Может случиться, что Р(х) делится не только на х - α, но и на (х - α)^k, где k > 1.

В этом случае говорят, что α является кратным членом многочлена Р(х).

Если многочлен Р(х) делится на (х - α)^k и не делится на (х - α)^{k + 1}, то α называют конем многочлена Р(х) кратным k.

Пример 1. Р(х) = х³ - х² - 8х + 12 х = 2 является корнем многочлена.

Подставим вместо х = 2, получаем Q(2) = 0

Р(х) = (х - 2)²(х + 3). 2 не является корнем многочлена х + 3, т.е. многочлен делится на (х - 2)², а не делится на (х - 2)³, т.е. 2 - корень многочлена второй кратности.

Упражнения

1. Разложите на множители:

а) х³ - х² - 28х + 45

б) х³ - 6х² - х + 30

в) х⁴ - 7х³ + 8х² + 28х - 48

г) х³ - 2х² - 5х + 6

2. Сократите дробь:

3. Какую кратность имеет корень:

а) х = 2 многочлена х⁵ - 5х⁴ + 7х³ - 2х² + 4х - 8

б) х = 5 многочлена х⁵ - 15х⁴ + 76х³ - 140х² + 75х - 125

Подстановка делителей свободного члена может оказаться очень утомительным занятием. Чтобы уменьшить число проверяемых корней полезно воспользоваться следующей теоремой:

Пусть Р(х) - приведенный многочлен с целыми коэффициентами, α - его целый корень. Тогда для любого целого числа k число Р(k) делится на α - k.

Отбор проводят так: сначала берут делители свободного члена. Пусть это будут числа α₁, α_{2, …} α_n. После этого вычисляют Р(1). Если α_m - корень многочлена Р(х), то α_m - 1 должно быть делителем Р(1). Поэтому из чисел α₁, α₂, … α_n выбирают те, для которых α_m - 1 является делителем Р(1). После этого вычисляют Р(-1). Если и после этого осталось слишком много «претендентов», то вычисляют Р(2) и берут из оставшихся чисел, для которых α_m - 2 - делители Р(2).

Пример 1.

Найти целые корни многочлена Р(х) = х⁴ + х ³ - 11х² - 5х + 30.

Делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30. Р(1) = 16

Вычитаем из чисел единицу, получаем 0; -2; 1; -3; 2; -4; 4; -6; 5; -7; 9; -11; 14; -16; 29; -31.

Из них находим делители 16. Это -2; 1; 2; -4; 4; -16.

Получаем -1; 2; 3; -3; 5; -15 (среди них нужно искать корни).

Находим Р(-1) = 24.

К оставшимся числам прибавляем единицу, получаем 0; 3; 4; -2; 6; -14

Из них делители 24: 3; 4; -2; 6

Получаем: 2; 3; -3; 5

Р(2) = 16 + 8 - 44 - 10 + 30 = 0; х = 2 - корень многочлена

1

1

-11

-5

30

2

1

3

-5

-15

0

Р(х) = (х - 2)(х³ + 3х² - 5х - 15)

Р(3) ≠ 0

Р(-3) = 0 х = -3 - корень

1

3

-5

-15

-3

1

0

-5

0

Р(х) = (х - 2)(х + 3)(х² - 5)

Ответ: целые корни 2 и -3.

Пример 2.

Разложите многочлен на множители Р(х) = х⁴ - 7х³ + 8х² + 28х - 48

±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±16; ±24; ±48 - делители свободного члена

Р(1) = 1 - 7 + 8 + 28 - 48 = -18

0; -2; 1; -3; 2; -4; 3; -5; 5; -7; 7; -9; 11; -13; 15; -17; 23; -25; 47; -49

Делители -18: -2; 1; -3; 2; 3; -9

Получаем -1; 2; -2; 3; 4; -8

Р(-1) = 1 + 7 + 8 - 28 - 48 = - 60

0; 3; -1; 4; 5; -7

Делители -60: 3; -1; 4; 5

Получаем 2; -2; 3; 4

Р(2) = 16 - 56 + 32 + 56 - 48 = 0 х = 2 - корень

1

-7

8

28

-48

2

1

-5

-2

24

0

Р(х) = (х - 2)(х³ - 5х² - 2х + 24)

Р(-2) = -8 - 20 + 4 + 24 = 0 х = -2 - корень

1

-5

-2

24

-2

1

-7

12

0

Р(х) = (х - 2)(х + 2)(х² - 7х + 12)

Р(3) = 0

1

-7

12

3

1

-4

0

Р(х) = (х - 2)(х + 2)(х - 3)(х - 4)

Самостоятельная работа

1. Разделите многочлены с остатком:

а) х⁴ - 4х³ + 6х² - 7х + 2 на х² - х + 2

б) 2х³ + 3х² - 8 на х + 1

2. Найдите остаток от деления многочлена х⁵ - 17х + 1 на х + 2

3. Докажите, что многочлен (х + 1)⁶ - х⁶ - 2х - 1 делится на х(х + 1)(2х + 1)

4. Разложите многочлены на множители:

а) х⁵ - 2х⁴ - 4х³ + 4х² - 5х + 6

б) х³ - 6х² - х + 30

Ответы к самостоятельной работе

1. а) х⁴ - 4х³ + 6х² - 7х + 2 = (х² - х + 2)(х² - 3х + 1)

б) 2х³ + 3х² - 8 = (х + 1)(2х² + х - 1) - 7

2. Остаток равен 3.

3. (х + 1)⁶ - х⁶ - 2х - 1 х(х + 1)(2х + 1), т.к. Р(0) = 0, Р(-1) = 0, Р(-) = 0

4. а) х⁵ - 2х⁴ - 4х³ + 4х² - 5х + 6 = (х - 1)(х + 2)(х - 3)(х² + 1)

б) х³ - 6х² - х + 30 = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Уравнения высших степеней.

Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен, степень которого выше второй.

Для решения таких уравнений используются два основных метода решения: разложения на множители и метод введения новой переменной.

Метод разложения на множители

Р(х) = 0

Р₁(х) ∙ Р₂(х) … Р_n(х) = 0

Р₁(х) = 0 или … Р_n(х) = 0

Пример 1.

Решить уравнение: х³ + 4х² - 24 = 0

Найдем хотя бы один целый корень уравнения

х = 2 - корень

(х - 2)(х² + 6х + 12) = 0

х - 2 = 0 или х² + 6х + 12 = 0 D < 0, корней нет. Ответ х = 2

Пример 2.

2х³ - 7х² + 5х - 1 = 0

Делители свободного члена ±1

Р(1) ≠ 0, Р(-1) ≠ 0. целых корней нет.

Ищем рациональные корни : ±

Р() = 0 х = - корень

(х - )(2х² - 6х + 2) = 0

х_{1 =} или х² - 3х + 1 = 0

х_2,3 = Ответ: ;

Пример 3.

2х⁴ - 5х³ + 5х² - 2 = 0

Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то число 1 - корень уравнения

2

-5

5

0

-2

1

2

-3

2

2

0

(х - 1)(х + )(х² - 2х + 2) = 0

х₁ = 1 или х₂ = - или х² - 2х + 2 = 0 D < 0, корней нет. Ответ: 1; -

Пример 4.

х⁴ + х³ + 3х² + 2х + 2 = 0

1 способ.

Т.к. все коэффициенты многочлена положительные, то многочлен не может иметь положительных корней. Т.к. многочлен приведенный, то все рациональные корни, если они существуют, целые.

Делители свободного члена ±1; ±2.

Значит, нужно проверить только -1 и -2. Р(-1) ≠ 0; Р(-2) ≠ 0. Значит уравнение корней не имеет.

2 способ.

Представим 3х² как х² + 2х²

(х⁴ + х³ + х²) + (2х² + 2х + 2) = 0

х²(х² + х + 1) + 2/х² + х + 1) = 0

(х² + х + 1)(х² + 2) = 0

х² + х + 1 = 0 или х² + 2 = 0

D < 0, корней нет х² ≠ -2, корней нет

Ответ: корней нет.

Многочлен P(х) = а₀хⁿ + а₁х^n-1 + … + а_n называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой.

Тогда уравнение Р(х) = 0 называется возвратным, где Р(х) - возвратный многочлен.

Уравнение вида ах³ + вх² + вх + а = 0 называют возвратным уравнением 3-й степени.

Уравнение вида ах⁴ + вх³ + сх² + вх + а = 0 называют возвратным уравнением 4-й степени.

Пример 5. 2х³ + 7х² + 7х + 2 = 0

Это возвратное уравнение 3-й степени, у него сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Значит число 1 является корнем уравнения

(х + 1)(2х² + 5х + 2) = 0

х₁ = -1; х₂ = -; х₃ = -2.

Метод введения новой переменной

Пример 1. х⁴ - 2х² - 15 = 0

Такое уравнение называют биквадратным.

х² = t, t ≥ 0

t² - 2 t - 15 = 0; t₁ = -3; t₂ = 5

-3 исключаем, получаем х² = 5; х = ±.

Ответ: ±

Пример 2 х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24

(х² - 3х)(х² - 3х + 2) = 24

х² - 3х = у; у(у + 2) = 24

у₁ = 4; у₂ = -6

х² - 3х = 4 и х² - 3х = -6

х₁ = 4; х₂ = -1 х² - 3х + 6 = 0 корней нет.

Ответ: -1; 4.

Пример 3 (х² + х + 1)² - 3х² - 3х - 7 = 0

(х² + х + 1)² - 3х² - 3х - 3 - 4 = 0

(х² + х + 1)² - 3(х² + х + 1) - 4 = 0

х² + х + 1 = t

t² - 3t - 4 = 0

t₁ = -1; t₂ = 4

х² + х + 1 = -1 и х² + х + 1 = 4

D < 0, корней нет х_1,2 =

Ответ:

Пример 4. х⁴ + х³ - 4х² + х + 1 = 0

Это возвратное уравнение 4-й степени, х = 0 не является его корнем; тогда разделим обе его части на х²

х² + х - 4 + + = 0

(х² + ) + (х + ) - 4 = 0

х + = у

Возведем обе части в квадрат

х² + 2 ∙ х ∙ + = у², отсюда х² + = у² - 2

у² - 2 + у - 4 = 0

у² + у - 6 = 0, у₁ = -3; у₂ = 2

х + = -3 и х + = 2

х_1,2 = х_3,4 = 1

Ответ: 1; .

Пример 5. 6х⁴ - 35х³ + 62х² - 35х + 6 = 0 / : х²

6х² - 35х + 62 - + = 0

6(х² + ) - 35(х + ) + 62 = 0

х + = у

6(у² - 2) - 35у + 62 = 0

6у² - 35у + 50 = 0; у₁ = ; у₂ =

х + = и х + =

х₁ = 2; х₂ = х₃ = 3; х₄ =

Ответ: ; ; 2; 3.

Пример 6. 4х³ - 10х² + 14х - 5 = 0 / ∙2

8х³ - 5 ∙ 4х² + 14 ∙ 2х - 10 = 0

(2х)³ - 5(2х)² + 14(2х) - 10 = 0

2х = у

у³ - 5у² + 14у - 10 = 0

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 - корень уравнения.

(у - 1)(у² - 4у + 10) = 0

у₁ = 1 или у² - 4у + 10 = 0

D < 0, корней нет

2х = 1

х =

Ответ:

Упражнения

1. Решите уравнения:

а) х³ - 5х + 4 = 0

б) 8х³ - 4х + 1 = 0

в) 2х⁴ - 5х³ - х² + 3х + 1 = 0

г) (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = 9

д) х⁴ - 2х³ - х² - 2х + 1 = 0

е) х⁴ + х³ - 16х² + 2х + 4 = 0

ж) 5х + = 2х² + + 4

2. Найдите а и решите уравнение

а) 6х³ - 2(а - 9)х² - 3(а - 1)х + а = 0, если х = - корень уравнения

б) 2х³ - (а + 4)х² + 2(а - 1)х + а = 0, х = 0,5

3. Многочлен Р(х) = 2х³ + х² + ах + в при делении на х + 1 дает остаток 18,

а на х - 2 делится без остатка. Найти корни многочлена.

4. Многочлен Р(х) = х³ + ах² + вх + с при делении на х + 1 и на х + 2 дает остаток 12, один из корней Р(х) равен 1. Найти остальные корни.

5. Решите уравнения

а) х⁴ + х³ - 4х² + х + 1 = 0

б) 6х⁴ + 5х³ - 38х² + 5х + 6 = 0

в) х³ - 3х² - 3х + 1 = 0

г) 3х³ - 7х² - 7х + 3 = 0

Контрольная работа по теме «Многочлены»

1. Разложите многочлен х⁴ + 2х³ - 13х² - 38х - 24 на множители.

2. Решите уравнения:

а) х³ - 5х² + 3х + 1 = 0

б) х⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 = 0

3. При каких значениях а и в многочлен 2х⁴ + 3х³ - ах² + вх - 3 делится без остатка на х + 3, а при делении на х - 2 дает остаток, равный 5?

4. Выполните деление с остатком х³ -3х + 2 на х - 2.

Ответы:

1. Р(х) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х - 4)

2. а) 1; 2 ± б) 2 ± ;

3. а = 10; в = -4.

4. х³ -3х + 2 = (х - 2)(х² + 2х + 1) + 4.