Методическая разработка по теме Площадь

Первоочередные цели разработки: познакомить обучающихся с методикой решения задач на нахождение площади плоских фигур.  Рассматриваются классы задач, объединённых общей идеей: использование аддитивности площади, использование формул площади, а также отношение отрезков и площадей.Задачи сопровождаются подробным решением, показываются приёмы решения каждого класса. Материал можно применять для работы на уроках геометрии в 8 и 9 классах, а также при повторении в 10 классе.Некоторые задачи можно исп...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат rar
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение задач по теме «Площадь»

§1. Использование аддитивности площади.

При решении задач, связанных с площадями фигур, часто помогает следующее свойство. Площадь плоской фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей.

Задача 1. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из её боковых сторон на длину перпендикуляра к этой стороне, опущенного на неё из середины другой стороны.

Методическая разработка по теме Площадь


Доказательство.


Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 2. Методическая разработка по теме ПлощадьВ равностороннем треугольнике АВС стороны равны 2. Точка М середина стороны АВ.

Методическая разработка по теме Площадь

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь


Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 3.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Проведем через точку М прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть L и К точки её пересечения с прямыми ВС и AD соответственно. Положим ВС=а, тогда AD=3а. Если высота трапеции равна h, то площадь трапеции ABCD равна h. По условию MN трапецию на две равновеликие части, площадь каждой части равна аh.

Учитывая, что BM=2AM, находим ML=2h/3, МК=h/3. Следовательно, площадь треугольника МВС составляет аh/3, а треугольника AMD - ah/2.

Поскольку четырехугольники MBCN и AMND равновеликие и площадь каждого равна аh, то оставшиеся их части - треугольники MCN и MND имеют соответственно площади h/3 и ah/2. Высота, проведенная из вершины М, для этих треугольников общая, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований CN и ND, то есть CN :ND=4:3.

Ответ: 4:3.

Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса СD и медиана ВЕ перпендикулярны, причем ВЕ=m, CD=l.

Найти площадь треугольника АВС.

Решение.

Методическая разработка по теме ПлощадьМетодическая разработка по теме ПлощадьЗадача 5. Две медианы треугольника перпендикулярны между собой. Их длины равны m и n.

Найти площадь треугольника АВС.

Методическая разработка по теме Площадь

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

§2. Использование формул площади.

Задача 6. Дан треугольник АВС. Точка L делит ВС пополам. Точка К делит ВL пополам. Из вершины А через точки К и L проведены лучи и на них отложены вне треугольника отрезки LD и KF, причем LDL, KF=Методическая разработка по теме ПлощадьАК. Найти отношение площадей треугольника АВС и четырехугольника КLDF.

Методическая разработка по теме Площадь

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 7. В треугольнике АВС две стороны равны 3 и 7, а медиана к третьей стороне равна 4. Найти площадь треугольника АВС.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 8. В треугольнике АВС угол АВС равен 60º. Радиус вписанной окружности равен Методическая разработка по теме Площадь, а радиус описанной окружности равен Методическая разработка по теме Площадь. Найти Методическая разработка по теме Площадь

Решение

Методическая разработка по теме ПлощадьМетодическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 9. В треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен Методическая разработка по теме Площадь, расстояние от её центра до вершины С равно Методическая разработка по теме Площадь. Найти сумму длин сторон АС и ВС, если известно, что площадь треугольника АВС равна 30.Методическая разработка по теме Площадь

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Пусть О - центр вписанной окружности, М, N, К - точки касания со сторонами АВ, АС и ВС соответственно. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АМ=АN, ВМ=ВК. Значит, АВ=АМ+ВМ= АN +ВК=АС+ВС-СN-СК= =АС+ВС-2Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 10. Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности радиуса 1 с центром в точке О. Найти площадь трапеции, если известно, что ОА=3.

Решение.

Пусть М, N и Р - точки касания окружности со сторонами ВС, AD и AB соответственно.

М - середина ВС, N - середина AD. Найдем положение точки Р.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

§3. Отношения отрезков и площадей.

Задача 11. Точка К делит медиану AD в отношении 3 : 1, считая от вершины. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС?

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 12. Основание АС треугольника АВС равно 3см, а медиана АD равна 4см. Высота ВЕ делит АD пополам. Найти площадь треугольника АВС.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь


Задача 13. В треугольнике АВС AD и CF - биссектрисы. Найти отношение площадей треугольников АВС и АFD, если АВ=21, АС=28, СВ=20.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь



Методическая разработка по теме Площадь

Задача 14. В треугольнике АВС на стороне АС выбрана точка М и на стороне ВС выбрана точка L так, что АМ=МС, ВL=2LС. Отрезки ВМ и АL пересекаются в точке К. Найти отношение площадей треугольника АКМ и треугольника ВКL.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 15. На сторонах ВС и CD параллелограмма АВСD расположены точки Е и F так, что ВЕ=2ЕС, СF=3FD. Диагональ ВD пересекает отрезки АЕ и АF в точках Р и Q. Найти отношение площади треугольника АРQ к площади параллелограмма.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 16. В треугольнике АВС АВ=13, ВС=21, АС=20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой ВК данного треугольника.

Решение.Методическая разработка по теме Площадь


Методическая разработка по теме Площадь

Задача 17. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точки М и К - середины медиан АF и СН. Найти площадь треугольника ВМК.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

§4. Использование свойств замечательных линий в треугольнике, подобия треугольников и других теорем.


Задача 18. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD выбраны соответственно точки М и N. Прямые ВN и АМ пересекаются в точке К, при этом КN=3ВК, DN=2СN. Найти отношение ВМ:МС.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Решение. Выполним дополнительное построение. Методическая разработка по теме Площадь.

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 19. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со стороной АD угол в 30º. Точка К - середина стороны СD. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Е. Найти длину диагонали АС, если расстояние от точки Е до прямой ВС равно 1.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 20. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=1 вписан в прямоугольник AMNK. Известно, что вершина С лежит на стороне MN, МС:СN=2:1, а точка В лежит на стороне NК прямоугольника. Найти площадь треугольника АВК.

Решение.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Для решения следующих задач напомним базовые знания и факты:

  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр).

  • Отрезок, соединяющий основания высот, отсекает треугольник, подобный данному.

Методическая разработка по теме Площадь

  • В остроугольном треугольнике ортоцентр - центр вписанной окружности для треугольника, образованного основаниями высот.

  • Вершина треугольника, основания двух высот и ортоцентр лежат на одной окружности.

Задача 21. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AH, BN, CL. Точка М симметрична точке H Относительно прямой АС. Докажите, что М принадлежит прямой NL.

Доказательство.

Методическая разработка по теме Площадь

Методическая разработка по теме Площадь

Задача 22. Высоты AD и BL пересекаются в точке H. Через точку М, симметричную середине отрезка ВH относительно прямой ВС, провели прямую, перпендикулярную прямой АС. Докажите, что эта прямая пересекает ВС в точке D.

Доказательство.

Методическая разработка по теме Площадь

Для решения задачи достаточно доказать, что прямая МD перпендикулярна прямой АС. Точки М и N симметричны относительно прямой АС. Отрезки МN и DH параллельны и равны (два перпендикуляра к одной прямой параллельны, МN - средняя линия треугольника ВDH). В таком случае MNDH - параллелограмм. Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, значит и вторая прямая ей перпендикулярна. Итак, прямая МD перпендикулярна прямой АС. Тогда прямые МD и перпендикуляр к АС совпадают.

© 2010-2022