- Преподавателю
- Математика
- Методическая разработка по теме Площадь
Методическая разработка по теме Площадь
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Бершак Л.М. |
Дата | 22.01.2015 |
Формат | rar |
Изображения | Есть |
Решение задач по теме «Площадь»
§1. Использование аддитивности площади.
При решении задач, связанных с площадями фигур, часто помогает следующее свойство. Площадь плоской фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей.
Задача 1. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из её боковых сторон на длину перпендикуляра к этой стороне, опущенного на неё из середины другой стороны.
Доказательство.
Задача 2. В равностороннем треугольнике АВС стороны равны 2. Точка М середина стороны АВ.
Решение.
Задача 3.
Проведем через точку М прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть L и К точки её пересечения с прямыми ВС и AD соответственно. Положим ВС=а, тогда AD=3а. Если высота трапеции равна h, то площадь трапеции ABCD равна 2аh. По условию MN трапецию на две равновеликие части, площадь каждой части равна аh.
Учитывая, что BM=2AM, находим ML=2h/3, МК=h/3. Следовательно, площадь треугольника МВС составляет аh/3, а треугольника AMD - ah/2.
Поскольку четырехугольники MBCN и AMND равновеликие и площадь каждого равна аh, то оставшиеся их части - треугольники MCN и MND имеют соответственно площади 2аh/3 и ah/2. Высота, проведенная из вершины М, для этих треугольников общая, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований CN и ND, то есть CN :ND=4:3.
Ответ: 4:3.
Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса СD и медиана ВЕ перпендикулярны, причем ВЕ=m, CD=l.
Найти площадь треугольника АВС.
Решение.
Задача 5. Две медианы треугольника перпендикулярны между собой. Их длины равны m и n.
Найти площадь треугольника АВС.
Решение.
§2. Использование формул площади.
Задача 6. Дан треугольник АВС. Точка L делит ВС пополам. Точка К делит ВL пополам. Из вершины А через точки К и L проведены лучи и на них отложены вне треугольника отрезки LD и KF, причем LD=АL, KF=АК. Найти отношение площадей треугольника АВС и четырехугольника КLDF.
Решение.
Задача 7. В треугольнике АВС две стороны равны 3 и 7, а медиана к третьей стороне равна 4. Найти площадь треугольника АВС.
Решение.
Задача 8. В треугольнике АВС угол АВС равен 60º. Радиус вписанной окружности равен , а радиус описанной окружности равен . Найти
Решение
Задача 9. В треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен , расстояние от её центра до вершины С равно . Найти сумму длин сторон АС и ВС, если известно, что площадь треугольника АВС равна 30.
Решение.
Пусть О - центр вписанной окружности, М, N, К - точки касания со сторонами АВ, АС и ВС соответственно. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АМ=АN, ВМ=ВК. Значит, АВ=АМ+ВМ= АN +ВК=АС+ВС-СN-СК= =АС+ВС-2
Задача 10. Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности радиуса 1 с центром в точке О. Найти площадь трапеции, если известно, что ОА=3.
Решение.
Пусть М, N и Р - точки касания окружности со сторонами ВС, AD и AB соответственно.
М - середина ВС, N - середина AD. Найдем положение точки Р.
§3. Отношения отрезков и площадей.
Задача 11. Точка К делит медиану AD в отношении 3 : 1, считая от вершины. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС?
Решение.
Задача 12. Основание АС треугольника АВС равно 3см, а медиана АD равна 4см. Высота ВЕ делит АD пополам. Найти площадь треугольника АВС.
Решение.
Задача 13. В треугольнике АВС AD и CF - биссектрисы. Найти отношение площадей треугольников АВС и АFD, если АВ=21, АС=28, СВ=20.
Решение.
Задача 14. В треугольнике АВС на стороне АС выбрана точка М и на стороне ВС выбрана точка L так, что АМ=МС, ВL=2LС. Отрезки ВМ и АL пересекаются в точке К. Найти отношение площадей треугольника АКМ и треугольника ВКL.
Решение.
Задача 15. На сторонах ВС и CD параллелограмма АВСD расположены точки Е и F так, что ВЕ=2ЕС, СF=3FD. Диагональ ВD пересекает отрезки АЕ и АF в точках Р и Q. Найти отношение площади треугольника АРQ к площади параллелограмма.
Решение.
Задача 16. В треугольнике АВС АВ=13, ВС=21, АС=20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой ВК данного треугольника.
Решение.
Задача 17. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точки М и К - середины медиан АF и СН. Найти площадь треугольника ВМК.
Решение.
§4. Использование свойств замечательных линий в треугольнике, подобия треугольников и других теорем.
Задача 18. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD выбраны соответственно точки М и N. Прямые ВN и АМ пересекаются в точке К, при этом КN=3ВК, DN=2СN. Найти отношение ВМ:МС.
Решение.
Решение. Выполним дополнительное построение. .
Задача 19. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со стороной АD угол в 30º. Точка К - середина стороны СD. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Е. Найти длину диагонали АС, если расстояние от точки Е до прямой ВС равно 1.
Решение.
Задача 20. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=1 вписан в прямоугольник AMNK. Известно, что вершина С лежит на стороне MN, МС:СN=2:1, а точка В лежит на стороне NК прямоугольника. Найти площадь треугольника АВК.
Решение.
Для решения следующих задач напомним базовые знания и факты:
-
Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр).
-
Отрезок, соединяющий основания высот, отсекает треугольник, подобный данному.
-
В остроугольном треугольнике ортоцентр - центр вписанной окружности для треугольника, образованного основаниями высот.
-
Вершина треугольника, основания двух высот и ортоцентр лежат на одной окружности.
Задача 21. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AH, BN, CL. Точка М симметрична точке H Относительно прямой АС. Докажите, что М принадлежит прямой NL.
Доказательство.
Задача 22. Высоты AD и BL пересекаются в точке H. Через точку М, симметричную середине отрезка ВH относительно прямой ВС, провели прямую, перпендикулярную прямой АС. Докажите, что эта прямая пересекает ВС в точке D.
Доказательство.
Для решения задачи достаточно доказать, что прямая МD перпендикулярна прямой АС. Точки М и N симметричны относительно прямой АС. Отрезки МN и DH параллельны и равны (два перпендикуляра к одной прямой параллельны, МN - средняя линия треугольника ВDH). В таком случае MNDH - параллелограмм. Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, значит и вторая прямая ей перпендикулярна. Итак, прямая МD перпендикулярна прямой АС. Тогда прямые МD и перпендикуляр к АС совпадают.