Математический конкурс Задача недели

Тттттт

Задача

недели

Задача №1

Отцу 56 лет, а сыну 14. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?

Решение:

Через 28 лет. Разность возраста отца и сына остается постоянной и равной 56 - 14 = 42 годам. Отец будет в два раза старше сына,

когда ему будет 42 * 2 = 84 года,

т.е. через 84 - 56 = 28 лет.

Задача №2

Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?

Решение:

Ответ: девочка. Пусть у Антона х одноклассниц, тогда одноклассников - 4х. Предположим, что Женя - мальчик, тогда одноклассниц и одноклассников у него столько же, сколько у Антона. Из условия задачи следует, что 4х - х = 17. Так как 17 не делится на 3, то это уравнение не имеет натуральных решений, то есть наше предположение неверно.

Предположим, что Женя - девочка, тогда у нее (х - 1) одноклассница и (4х + 1) одноклассник. Следовательно, (4х + 1) - (х - 1) =1. Отсюда х = 5. Таким образом, при таком предположении условие задачи выполняется.

Задача №3

Из 81 монеты одна фальшивая:

она тяжелее остальных.

Найдите её

за 4 взвешивания

на чашечных весах.

Решение:

Делим 81 монету на три кучки по 27 монет в каждой.
Первым взвешиванием двух кучек обнаруживаем самую тяжелую из трех.
Делим 27 монет на три кучки по 9 монет в каждой.
Взвешиваем две из них, обнаруживаем самую тяжелую из трех.
Делим 9 монет на три кучки по 3 монеты.
Взвешиваем две кучки, обнаруживаем самую тяжелую.

Дальше взвешиваем две монеты из оставшихся трех.

Задача №4

Владелец маленького магазинчика заплатил 1000 рублей за упаковку авторучек. Когда он продал две трети этих авторучек, то вернул три четверти денег, затраченных на их покупку. Сколько денег он получит, продав всю упаковку?

Решение:

За 2/3 всех авторучек продавец выручил ¾ от 1000 рублей, то есть 750 рублей.

Значит, за оставшуюся 1/3 ручек он выручит

в 2 раза меньше денег,

то есть 750:2=375 рублей.

Тогда всего он получит

750 + 375 = 1125 рублей.

Задача №5

Сережа очень любит поспать, и спит не меньше 10 часов в сутки. Сейчас ему 10 лет. Сколько часов он мог проспать за все эти годы?

1. 15 000

2. 25 000

3. 36 000

4. 40 000

5. 100 000

Решение:

Сосчитаем самое маленькое число часов, которое мог проспать Сережа. Если не считать високосные годы, то получим 365*10*10=36500 часов, а поскольку за это время было не меньше, чем 2 високосных года, в качестве самой маленькой из возможных величин получаем 36500+20=36520 часов. Таким образом, ответы 1, 2 и 3 надо отвергнуть. С другой стороны за 10 лет Сережиной жизни было не больше, чем 3 високосных года, значит, всего прошло не больше, чем 365*24*10+3*24=87672 часа, значит, и проспать больше этого времени он не мог, так что ответ 4 тоже не подходит. А вот число 40000, как и любое другое число, лежащее между найденными нами величинами, может служить верным ответом .

Задача №6

В стране Смешляндии у каждого жителя левая нога на один или два размера больше, чем правая, хотя в магазинах обувь продается парами одного размера. Компания друзей решила сэкономить и купить туфли вместе. В результате каждый из них получил пару подходящей обуви, и еще остались один башмак 45 размера и один башмак 36 размера. Самое маленькое число друзей, из которых могла состоять такая компания равно _?

Решение:

В такой компании могло быть 5 друзей. Например, с такими размерами обуви: 36 и 38,

38 и 40, 40 и 42, 42 и 44, 44 и 45.

Четырех человек явно не хватает,

ведь разрыв между 36 и 45 размерами

составляет 9, а каждый новый член компании сокращает этот разрыв не больше, чем на 2.

Задача №7

Сократите дробь:

К*А*Р*Л*С*О*Н

В*А*Р*Е*Н*Ь*Е

Разным буквам соответствуют разные цифры, * - знак умножения.

Решение:

В словах КАРЛСОН и ВАРЕНЬЕ используется десять различных букв, а это значит, что будут использованы все десять цифр, т. е. вместо одной буквы придется поставить 0. Нуль можно поставить только в числителе, тогда значение выражения будет равно нулю.

Задача №8

Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая - половину остатка и ещё пол-яйца, а третья - последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?

Решение:

Покупка второй покупательницы была больше покупки третьей на две половинки яйца и составила 10+1 =11 яиц. Покупка первой покупательницы составила 21+1=22 яйца. А всего у колхозницы было 10+11+22 = 43 яйца.

Задача №9

В один сосуд входит 3 л,

а в другой - 5 л.

Как с помощью этих сосудов налить во второй сосуд 4 л воды из водопроводного крана?

Решение:

Наполнить водой 5-литровый сосуд, отлить из него 3 л, оставшиеся 2 л перелить в 3-литровый сосуд. Снова налить 5-литровый сосуд и 1 л отлить в 3-литровый сосуд.

Можно оформить решение и в виде таблицы:

3 л

5 л

0

5

3

2

0

2

2

0

2

5

3

4

Задача №10

После рыбалки два рыбака решили сварить уху. Один выделил для этого 5 рыб, а второй - 3. Когда уха была готова, к ним подошел прохожий и попросил разрешения позавтракать вместе с ними. Рыболовы согласились и разделили всю рыбу на три равные порции. После завтрака прохожий уплатил рыболовам 8 рублей. Как рыболовы должны разделить между собой эти деньги?

Решение:

7 руб. и 1 руб. Прохожий уплатил 8 руб. за третью часть завтрака. Поэтому весь завтрак стоил 24 руб., а одна рыбка - 3 руб. Рыба первого рыболова стоила 15 руб., а второго - 9 руб. Вычтя стоимость завтрака 8 руб., получаем 7 руб. и 1 руб.