Исследовательская работа по математике Применение правилных многоугольников (9 класс)

Введение

В 8 классе по геометрии мы изучили тему «многоугольники». В 9 кассе мы продолжили изучение этой темы, познакомились с таким понятием, как «правильные многоугольники». Мне захотелось узнать, где можно найти применение этим знаниям.

Актуальность: в повседневной жизни человек регулярно сталкивается с понятием «правильный многоугольник»: в архитектуре, дизайне, спорте и даже в природе, значит каждый из нас должен иметь представление о том, что такое правильный многоугольник и какие существуют возможности его применения в жизни.
Со времён Пифагора известны они.
В них равные стороны и равны углы.
Их встретим в орнаментах и на паркетах
В стихотворениях разных поэтов.
И даже пчёлы с ними работают,
Строя в их форме домики-соты.
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.

В последние годы появились необыкновенные "паркеты", они украшают площади и улицы, придавая им неповторимый колорит. Благоустройству уделяется большое внимание. Территория нашей школы нуждается в замене асфальтового покрытия порога . Как же создать такую красоту и нам? Ответ на этот вопрос я попытался найти при разработке данного проекта. В процессе работы возникло много вопросов, при решении которых пришлось расширить область исследования. Изначально я хотел выяснить только закономерность укладки тротуарной плитки исходя из знаний геометрии, но помимо этого, для создания дизайн - проекта необходимо было собрать информацию об истории использования данного способа мощения, преимуществе выбранного нами материала, стоимости тротуарной плитки, поэтому моя работа получилась такой разноплановой.

Цель работы

1. Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы.
2. Изучение геометрических приёмов составления паркетов и их практическое применение при укладке тротуарной плитки.
3. Развитие умений и навыков исследовательской работы и прикладное применение знаний в создании дизайн-проекта.

4. Составление сметы расходов

Гипотеза

Расчеты для укладки тротуарной плитки производятся по тем же принципам, что и для паркетов.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Математические основы паркетов

Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

Выясним, из каких правильных многоугольников можно составить паркет?

Геометрические фигуры могут "встретиться" в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или "налезут" друг на друга).

Главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m*180º*(n-2)/n=360º.

Величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n

После преобразований получим:

m=2*n/(n-2), m - натуральное число .

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333…

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников (п > 7; 8; 9… построить нельзя!

Паркет можно построить из:

• правильных треугольников;
• правильных шестиугольников;
• правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

Возникает вопрос:

Можно ли составить паркеты из разных правильных многоугольников?

Если использовать квадраты и треугольники, то можно получить более красивые рисунки.

Из каких правильных разноименных многоугольников можно составить паркет?

Выясним условия, при которых окрестность точки можно замостить без пропусков и перекрытий комбинациями разных правильных многоугольников.

Величина каждого угла 180º*(n-2)/n

<180º, в то же время 180º*(n-2)/n >

60º, (т. к. внутренний угол правильного треугольника 60º),

т. е. 60º ≤ 180º*(n-2)/n <180º

360º/2=180º, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками.

360º/3=120º < 180º, наименьшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки, равно 3.

360º/4=90º < 180º

360º/5=72º < 180º

360º/6=60º < 180º, наибольшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы окрестность точки, равно 6.

Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками.

Таким образом, решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях.

Эти паркеты нарисованы в программе Microsoft Office Excel с помощью инструментов панели рисования.

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с покрытиями плоскости многоугольниками: полы в жилых домах застилают паркетами, стены ванных комнат покрывают кафельными плитками, современные здания украшают орнаментами, площади и тротуары мостят тротуарной плиткой.

История мощения улиц прямоугольными кусками камней с ровной поверхностью уходит своими корнями в очень древние времена. Форма используемого при данной работе камня в виде бруска дало название самому виду дорожного покрытия - брусчатка. Первые свидетельства использования брусчатки известны еще со времен Древней Греции, где ей уже мостили улицы. Такие ценные качества камня, как прочность, износоустойчивость и долговечность в сочетании с экологичностью делали брусчатку все более популярной. В древности процесс изготовления брусчатки был очень трудоемким и, в связи с практически полным отсутствием каких-либо механизмов, выполнялся вручную. Разумеется, этот метод изготовления брусчатки абсолютно неприемлем в наши дни. На смену использованию природного камня пришел такой современный и практичный строительный материал, как тротуарный камень из бетона, который получил название - тротуарная плитка. Использование бетона в изготовлении тротуарной плитки значительно удешевляет получаемый продукт, не уступая по прочности и долговечности первоисточнику - природному камню. Тротуарная плитка пригодна для всех типов поверхности дорожного покрытия и любых нагрузок.

Существуют разные виды тротуарной плитки:

И виды укладки тротуарной плитки:

Я буду рассматривать только покрытия из плитки, составленные из равных между собой многоугольников.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Измерение параметров порога школы и вычисление его площади

Создание дизайн - проекта, различных способов укладки плитки

Выясним: какой вид паркета самый экономичный?

При каком значении n с заданным периметром p правильный многоугольник имеет наибольшую площадь?

Из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников с одинаковым периметром наибольшая площадь - у шестиугольника.

Природа - лучший "вычислитель", тому подтверждение пчелиные соты, снежинки, кристаллы. Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?

Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.

И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

В основу создания дизайн - проекта были положены принципы эстетичности и экономичности.

Дизайн проект

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выявили преимущества тротуарной плитки.

Эстетические:

- различная конфигурация и цвет;
- выгодный контраст с сегодняшними однотонными покрытиями;
- возможность выкладывать разнообразные рисунки, включая надписи и рекламу,

- улучшает архитектурную выразительность и внешний вид ;
- конструктивные особенности исключают негативные последствия атмосферных осадков (лужи, наледи, изломы и трещины).

Экологические:

- отсутствие вредных испарений, как, например, у асфальтобетонных покрытий;
- не имеется вредного радиационного фона по сравнению с асфальтобетонными покрытиями;
- низкая температура разогрева сохраняет прохладу в жаркое время года.

Экономические:

- затраты на устройство и поддержание в нормальном состоянии плиточных покрытий в течение срока службы ниже, чем у асфальтобетонных.

2. Поняли принципы построения правильных паркетов и использование этих знаний при укладке тротуарной плитки.

3. Практическая значимость: cоздание дизайн проекта благоустройства школьного порога

- Измерения территории.
- Изучение ассортимента тротуарной плитки

- Расчёты экономичного и высоко - художественного покрытия из тротуарной плитки, дизайн проект с использованием редактора "Paint".
РЕКОМЕНДАЦИИ

Предложить созданный дизайн - проект администрации школы, для использования при благоустройстве порога школы.

ЛИТЕРАТУРА

1.Энциклопедический словарь юного математика. -М.:Педагогика, 1985, стр.200-2001.
2.И.М.Смирнова, В.А.Смирнов "Паркеты и их иллюстрация" статья в журнале "Математика в школе" №8 2000 год.
3. А.Н.Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал "Квант" №3, 1970 г.
4. О. Михайлов. "Одиннадцать правильных паркетов", журнал "Квант", №5, 1979г.
5. Сборник статей к 50 - летию завода ЖБК-1, г. Белгород, 2003.
6. Созидание во имя повышения качества жизни. Строительные материалы и услуги, г. Белгород, ЖБК-1, 2008г.
7. Проспект. Тротуарная плитка. г. Белгород, ЖБК-1, 2009г.