Цикл уроков Квадратные корни. 8 класс

Урок № 1 § 13

Тема: Функция

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: рассмотреть функцию и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции . Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности .

Оборудование: мел, доска, учебник, линейка.

Х о д у р о к а

1. Объяснение нового материала

Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х². Область её опреде­ления - множество всех чисел.

Составим таблицу значений функции для некоторых зна­чений аргумента х:

х

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

0

1

1,5

2

2,5

3

у

9

6,25

4

2,25

1

0

1

2,25

4

6,25

9

Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице.

-3 -2 -1 0 1 2 4 -3 -2 -1 0 1 2 4

Если на координатной плоскости нане­сти больше точек с координатами х и у, удовлетворяющих формулу у = х², то они разместились бы так, как показано на втором рисунке. Если для каждого действительного значе­ния х по формуле у = х² вычислить соответствующее значе­ние у и обозначить точки с такими координатами на коорди­натной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой. Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке - вершине параболы.

Для функции у = х² вершиной параболы является точ­ка (0; 0). То есть график функции у = х² проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям ар­гумента соответствуют равные значения функции, то её гра­фик симметричен относительно оси у. Построенный график даёт возможность наглядно выра­зить свойства функции у = х².

Рассматривая график мы можем сказать, что функция у = х² обладает такими свойствами:

Область определения - любое число.

Область значения - все неотрицательные числа (у ≥ 0)

Промежутки убывания - когда х < 0

Промежутки возрастания - когда х > 0

Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить слож­но либо невозможно.

Сколько решений имеет уравнение х² = 9? Прямая (её урав­нение у = 9) пересекает график функции у = х² в двух точках (рис. 3).

х² = 9

х = 3 или х = - 3

Их абсциссы х = 3 и х = - 3 - решения уравнения.

Так же можно решить более сложное уравнение х² - 3х - 4 = 0.

Сначала представим это уравнение в виде х² = 3х + 4.

Графики функций

у = х² и у = 3х + 4.

пересекаются в точках с

абсциссами х = -1 и х = 4,

которые в свою очередь являются

решениями данного уравнения.

2. Закрепление изученного материала.

Опираясь на график функции у = х² , весь класс отвечает на вопросы задания № 586.

Вопрос классу. Как можно определить проходит ли график функции через ту или иную точку? Задание №584

После выполнения задания №587 рассматриваем свойства функции у = - х²

3. Проблемная ситуация:

Сколько решений имеет уравнение х² =5, и как их найти? Попробуем ответить на этот вопрос самостоятельно, учащиеся приходят к мысли, что корни они могут найти приближенно.

4. Итоги урока.

Что мы узнали нового?

Как называется график функции у = х² ?

Какими свойствами она обладает?

5. Домашнее задание § 13, № 580, 583, 585, 610(а).

Урок № 2 § 13

Тема: Функция

Тип урока: закрепление умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства функции у = х², уметь строить ее график, находить значение и аргумент функции. Применять знания при решении более сложных уравнений. Развивать вычислительные и графические навыки.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Оборудование: мел, доска с координатной плоскостью, учебник, линейка.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

а) опрос учащихся по теме «Функции у = х²»

У доски два ученика готовят задания №580 и №610(а).

Следующие два ученика выходят для проведения «Темринга» (математического боя). Каждому дается карточки зеленого и красного цвета, на которых записаны следующие вопросы:

Зеленные карточки

- Как называют линию, которая является графиком функции у = х²?

- При каком значении х функция у = х² положительна?

- На каком промежутке функция у = х² убывает?

- Какова область определения функции у = х^-1?

- При каком значении аргумента значение у = х² равно 25; 0,81?

- Найти значение функции у = х^-1, если значение аргумента равно 2?

Красная карточка

- Как называют линию, которая является графиком функции у = х^-1?

- При каком значении х функция у = х² отрицательна?

- На каком промежутке функция у = х² возрастает?

- Какова область определения функции у = х^-1?

- При каком значении аргумента значение у = х² равно 49; 0,16?

- Найти значение функции у = х^-1, если значение аргумента равно 5?

В обсуждении ответов участников принимают участие все учащиеся класса, исправляя или дополняя их.

После «Темринга» рассматриваем объяснения первых двух учеников. Они же отвечают на вопросы учащихся класса. Оцениваются как ответы, так и вопросы.

2. Закрепление изученного материала.

№590. В скольких точках пересекаются графики функций? Учащиеся отвечают, основываясь на свойства функций.

А для подтверждения начертим графики пункта б) у = х² и у = 3х.

Самостоятельная работа класса над №591 (кто быстрей найдет значения аргумента при котором значения функций у = х² и у = -2х+4 равны?).

После этого четыре ученика у доски выполняют задание №601(б, в, г, е) - решить уравнение графическим способом.

3. Проблемная ситуация:

Чем графики функций у = х² и у = |х| подобны и в чем их отличие? Постройте эти графики в одной системе координат и решите уравнение х² = |х| . Сколько решений имеет это уравнение?(0,1,-1)

4. Итоги урока.

Оценивание учащихся.

Что нового узнали о функциях?

5. Домашнее задание § 13, № 592, 595, 600.

Урок № 3 § 14

Тема: Квадратные корни

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: ввести понятие квадратного корня. Дать учащимся свойства арифметического квадратного корня. Умение находить квадратные корни из чисел. Развитие устного счета при возведении в квадрат и при извлечении квадратного корня.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и коллективизма.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашних заданий (устный опрос):

№ 592. Как найти координаты точек пересечения? Ответ (2,4).

№595. Значение функции у = х² меньше 9 при -3 < x < 3.

№ 600. В пунктах а) и б) графики не пересекаются, следовательно, уравнения не имеют решения. В пункте в) одно решение.

2. Мотивация. Рациональные числа, с которыми мы ознакомились в предыдущих классах - это лишь малая часть множества чисел. На числовой прямой кроме рациональных ещё больше не рациональных чисел. Без знания этих чисел, без умения выполнять действия с ними невозможно в дальнейшем изучать математику и другие науки.

Рассказ учителя об исторической предпосылке возникновения понятия арифметического квадратного корня. Возникновение понятия «квадратного числа».

Вывешиваем плакат №1.

Древнегреческие математики представляли целые числа и любые величины, соизмеримые и несоизмеримые, геометрически, с помощью отрезков, прямоугольников и других фигур. Отсюда у них появились такие названия, как:

1) «плоские числа» для чисел вроде 6 = 2 • 3, 14 = 7 • 2, являющихся произведениями двух сомножителей и выражающих площадь прямоугольника, построенного на соответствующей паре отрезков;

2) «квадратные числа»: 4(= 2 • 2), 81 (= 9 • 9) и т. д. Это название употребляется и поныне;

3) «телесные числа»: 24( = 2 • 3 • 4), 210( = 5 • 6 • 7) и т. д., являющиеся произведениями трех чисел и изображаемые с помощью параллелепипедов;

4) «кубические числа»: 8(=2 • 2 -2), 125(=5 • 5 • 5) и т.п.

Задание классу:

Представьте в виде квадрата числа

Это же задание формулируем по другому: «Какие числа удовлетворяют уравнениям х² = 25; х² = 1; х² = 144?»

«Темринг» (к доске выходят три ученика, с каждого ряда по одному)

Задание: Найдите значение выражения, и записать на доске.

8² = 10² = 6² =

(-8)² = (-10)² = (-6)² =

-8² = -10² = -6² =

Вопрос «как называются числа 8² и -8²?» ( противоположными)

Эстафета 1

Ученики заполняют карточки, передавая друг другу (каждый заполняет только одну клетку).

а

2

5

0,8

1,3

-5

а²

а

3

7

0,9

1,2

-7

а²

а

4

9

0,7

1,1

-9

а²

3. Подача нового материала.

Ещё в древности у египтян, из практической деятельности, возникла задача «Как, зная площадь поля квадратной формы, определить сторону?»

Пусть сторона квадрата х. Тогда х² = S. Решим эту задачу с точки зрения математики. Зададим себе вопрос, например для уравнения х² = 25, а каковы корни уравнения?

х₁ = 5 т.к. 5² = 25, но и

х₂ = -5 т.к. (-5)² = 25.

5 и -5 называются квадратными корнями из числа 25;

7 и -7 называются квадратными корнями из числа 49;

0,3 и -0,3 называются квадратными корнями из числа 0,09 и т.п.

Даем определение квадратного корня из числа a. Плакат 2.

Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а

Например:

Квадратным корнем из числа 81 есть числа 9 и -9,

так как 9² = 81 и (-9)² = 81.

Эстафета 2

Каждому ряду раздаем следующие карточки

Уравнение

х²=16

х²=0,25

х²=1,44

х²=100

х²= -9

Корни

уравнения

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

Уравнение

х²=64

х²=0,16

х²=1,21

х²=225

х²= -16

Корни

уравнения

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

х₁=

х₂=

Неотрицательные корни этих уравнений принято называть арифметическим квадратным корнем из числа a.

Плакат 3.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а

Например:

- знак арифметического квадратного корня.

Выражение читают так: «квадратный корень из числа а ».

Знак арифметического квадратного корня впервые ввел в 1525 году немецкий математик Х.Рудольф.

Вводим знак радикала

И так = 10, т.к. 10 > 0 и 10² = 100.

= 4; = 12; =46; = 81.

Наименьшее число, которое может быть под корнем - это 0.

= 0

Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует

- не определено

Практическая работа - как с помощью таблицы квадратов находить квадратные корни из чисел.

Например:

= 81 = 810

= 8,1 = 8100

= 0,81 = ?

= 0,081 = ?

Последние два значения можно найти приближенно с помощью калькулятора.

Эстафета 3. Работа по нахождению арифметического квадратного корня из чисел.

а

4

81

0,64

625

10,24

a

9

64

0,49

441

12,25

а

16

25

0,36

400

10,89

4. Закрепление материала.

Весь класс работает, в устной форме, с заданиями № 614, 615, 617.

Потом, всем классом, повторяем свойства арифметического квадратного корня. Плакат 4

Из свойства арифметического квадратного корня имеем:

1) равенство = в имеет место, если

а) a 0 б) в² = a;

2) если a < 0, то не имеет смысла.

5. Итоги урока.

Оценивание результатов работы: устной, практической и с карточками.

6. Домашнее задание § 14, № 618, 619, 621, 622, 626.

Урок № 4 § 14

Тема: Квадратные корни

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить понятие, свойства квадратного корня и арифметического квадратного корня. Умение находить значения квадратного корня из чисел устно, пользуясь таблицей квадратов и с помощью калькулятора. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Опрос учащихся по теме:

- Что такое квадратный корень из числа а?

- Сколько существует разных квадратных корней из

положительного числа а? А из числа 0?

- Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

- Сколько существует арифметических значений квадратных корней

из положительного числа а? А из числа 0?

- Как читается выражение: , , ?

Устно со всеми учениками блиц-опрос домашнего задания №622 и № 626

2. Закрепление изученного материала.

Для закрепления знаний и умений работы с квадратными корнями в классе рассмотреть такие задания: №623, 624, 627, 629, 630 - выполняя излечение квадратного корня устно.

А в заданиях -№ 632, 634, 635, 637 пользоваться таблицей квадратов.

В задании №642 вычислить с помощью калькулятора.

3. Проблемная ситуация:

Уметь отвечать на вопросы задания №642, 645.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

5.Домашнее задание § 14, № 628, 633, 636, 641, 643.

Урок № 5 § 14

Тема: Квадратные корни

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями используя его свойства. Развивать творческие способности

и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы у доски

I ученик № 628(в,е);

II ученик №636;

III ученик №643;

IV ученик № 633(а,б), 641(а,б).

Пока учащиеся у доски готовят ответы, весь класс работает над повторением теоретического материала § 14:

- Что называем квадратным корнем из числа а?

- Что называем арифметическим квадратным корнем из числа а?

- Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

- Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64? А числа: 81; 13; - 25?

Выслушиваем решения домашней работы, корректируя, задавая им вопросы и исправляя ошибки совместно с учащимися всего класса.

2. Закрепление изученного материала.

К доске вызываются четыре ученика. Задания №648, 650, 651, 655 пункты а, б, в, г соответственно.

Проблемная ситуация. Вычислить . Попробуем вычислить её сразу. Все ответы (обычно они неверные) проверяем тщательно, возведя в квадрат по определению арифметического квадратного корня.

Правильное вычисление: = = т.к. ² = .

Вывод - извлекать квадратные корни из смешанных дробей, необходимо после представления их в виде неправильных дробей.

Решим теперь задание №647.

Найти значение выражения , если х = 3,5.

Решить уравнения № 659 и 661(а,в).

Каждому ученику раздать листы - карточки для самостоятельной работы.

Самостоятельная работа

________________________________________

^{ф.и.учащегося}

1. Начертить график функции у = х² , построив сперва точки.

2. Вычислите

а) = б) = в) = =

3. Решите уравнения

а) х² = 0,36; б) = 16.

3. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

5. Домашнее задание § 14, № 646, 649, 652, 660.

Урок № 6 § 15

Тема: Действительные числа

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся определение рациональных и иррациональных чисел, ввести понятие действительных чисел. Развивать вычислительные навыки и умение работать с приближенными значениями.

Воспитательная цель: воспитание любознательности.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Итоги самостоятельной работы (раздать карточки).

Анализ домашней работы:

Три ученика у доски готовят №652(а), №652(в) и №660(б,в).

В это время № 646 - просмотреть у всех учащихся.

2.Объяснение нового материала

Актуализация материала. Известные нам числа - целые и дроб­ные, положительные и отрицательные - представляют собой множество рацио­нальных чисел. Рациональными их на­зывают потому, что каждое можно записать в виде частного, отношения двух целых чисел, а слово «отношение» на латинском языке - ratio.

Из курса предыдущих классов вы знаете, что любое число можно представить в виде обыкновенной дроби, а те в свою очередь в виде бесконечной периодической дроби т.е.

.

Таким образом, можно сказать, что

каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби;

и

любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

А существуют ли числа, отличные от рациональных? Да существуют. Можно доказать, например, что и т.д. не возможно представить в виде обыкновенных дробей т.е. в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Вычисляя значения получаем бесконечные непериодические десятичные дроби. Так

= 1,4142135..., = 1,7320508…, = 4,472135…,

= 3,1622776..., = 3,1415926…

где - отношение длины произвольной окружности к ее радиусу.

Эти числа не рациональные и мы их назовем иррациональными.

(латинское ir соответствует отрицательной частице не).

Доказательство иррациональности числа вы можете прочитать на стр. 146 нашего учебника в рубрике «Хотите знать ещё больше?».

Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел.

Множества натуральных, целых, рациональных и дей­ствительных чисел обозначают соответственно буквами

N, Z, Q, R. Каждое из этих множеств явля-
ется подмножеством (частью) следую-
щего множества. Любое нату-
ральное число является одновременно и
целым, и рациональным, и действитель-
ным. Любое целое число - также рацио-
нальное и действительное.

Действительные числа, записанные в виде

бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тому же правилу, что и десятичные дроби. Например, число 3,131313... меньше, чем число 4,0111..., и меньше чисел 3,25 и , но больше, чем числа 3,1222..., -2 и 0.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения этих чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных значений переменных, справедливы и для произвольных действительных значений этих переменных. В частности, для любых действительных чисел верны известные вам свойства пропорций, дробей, сте­пеней.

2. Закрепление изученного материала.

Разминка - устные упражнения №668, №673, №676, №677 - работает весь класс.

Три ученика у доски выполняют №678, 680, 682, 683 по одному пункту а,б,в - повторив преобразование дробей и закрепив сравнение действительных чисел.

Следующий ученик сравнивает числа из №689

И под конец урока закрепить вычисление действительных чисел - №694.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

С какими новыми числами и понятиями ознакомились?

5.Домашнее задание § 15, № 674, 681, 684, 690.

Урок № 7 § 16

Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся свойства иррациональных чисел. Умение применять теоремы о корне из произведения, дроби и степени. Развитие вычислительных умений и навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности и творческого подхода к поставленной задаче.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ работ №681и №690

Закрепление теоретического материала § 15.

1. Какие числа называют действительными?

2. Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?

3. Приведите примеры иррациональных чисел.

4. Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

5. Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

6. Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

А с действительными числами?

7. Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух

иррациональных чисел - число иррациональное?

2.Объяснение нового материала

Задание классу (из предыдущего материала) - решите уравнение

х² = 25,

корни уравнения х₁ = 5 т.к. 5² = 25,

но и х₂ = -5 т.к. (-5)² = 25.

Если учесть, что 5 = , а - 5 = - , то получается, что

(5)² = ()² и (-5)² = (- )²

т.е. 25 = ()² и 25 = (- )² следовательно

а = ()²

Примеры.

()² = 6; ()² = 18; ()² = 3;

()² = 3,2; = ; ² = 0.

Верны также тождества:

плакат 1

1. = ∙ , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

2. = , если a ≥ 0 и b > 0;

3. = , если a ≥ 0 и k N.

4. ()² = , при допустимых a

Приведем доказательство первого равенства

()² =

( ∙ )² =()² ∙ ()² = ч.т.д.

Эти три теоремы кратко можно сформулировать так.

Плакат 2

1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).

2. Корень из дроби, числитель которой неотрицатель­ный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).

3. Корень из степени , в котором числа а - неотри­цательное и k - натуральное, равен (теорема о кор­не из степени)

Приводим для каждого свойства примеры:

= ∙ = 2 ∙ 3 = 6.

= = .

= = = = 8

Если эти тождества записать наоборот, то получим правила умножения, деления и представления любого выражения в виде квадрата.

Плакат 3

1. ∙ = , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

2. = , если a ≥ 0 и b > 0;

3. = = ()², если a ≥ 0 и k N.

Приведем примеры:

∙ = = = 4;

= = = 5;

= или = ()² ;

13 = ()² - умение представлять любое выражение и число в виде квадрата.

Из теоремы о корне из степени следует, что = а, если а ≥ 0. Если же а < 0, то равенство = а неверное, поскольку число неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а. Это равенство запишем в таком виде

= |а|

верное при каждом значении а, поскольку число |а|- нео­трицательное и его квадрат равен а .

Например:

= |8| = |-7| = 7 = 3.

Запомним следующее

= |а|

()² = а

Проблемная ситуация: если вдруг окажутся следующие типы заданий: , , , то необходимо воспользоваться определением арифметического значения квадратного корня, т.е.

= = 6.

= = .

= = 5 или = = 5.

4. Закрепление изученного материала.

Для закрепления знаний свойств квадратных корней в классе решить задания пунктов а и г во всех перечисленных номерах:

№716 и №723 - два ученика

№718 , №725 и №719 - следующие два ученика

№721 и №722 и №727 - и еще два ученика

Учитель регулирует и направляет ход решения каждого задания, а класс активно участвует во время обсуждения решений этих заданий.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание знаний учащихся.

С какими новыми свойствами мы ознакомились?

5. Домашнее задание § 16, № 715, 717, 720, 724, 726 (во всех

номерах пункты а, б, д, е).

Урок № 8 § 16

Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить знания свойств действий над квадратными корнями, умение применять знания в практической деятельности и при решении заданий. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Устный блиц - опрос домашнего задания.

Проведем «Темринг»

Вопросы первого участника:

- Какие числа называют действительными?

- Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

- Что такое квадратный корень из числа а?

- Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

- Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух

иррациональных чисел - число иррациональное?

- Сформулируйте теорему о корне из произведения.

Вопросы второго участника:

- Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?

- Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64?

А число -25?

- Сформулируйте теорему о корне из дроби.

- Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

- Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

- Как читается выражение: , , ?

Вопросы третьего участника:

- Приведите примеры иррациональных чисел.

- Сколько существует разных квадратных корней из

положительного числа а? А из числа 0?

- Сформулируйте теорему о корне из степени.

- Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

А с действительными числами?

- Почему арифметическим значением квадратного корня из

числа 49 является число 7?

2. Закрепление изученного материала.

Проводим турнир эрудитов - находим значение выражений в №709-712. Выполняя эти задания устно.

Для закрепления знаний свойств квадратных корней, и работы с ними, в классе проводим эстафету. Класс делится на две команды. Одна команда выполняет пункты б), а другая - в) в номерах №716, №718, №719, №721, №722, №723, №725, №727, №728. По очереди каждый член команды выходит к доске и записывает свое решение. Но перед этим командам дается минута для распределения заданий по уровню способностей каждого члена команды.

3. Проблемная ситуация:

№ 730(а) - найти значение частного (некоторые предложат вычислить с помощью калькулятора). Нам же надо воспользоваться свойством деления корней, т.е.

= = (воспользуемся основным свойством дроби) = =

= = .

№731(д) = 5 12 = 60;

№731(ё) = - 0,4 |(-10)³| = -0,4 |-1000| = - 0,4 1000= = - 400.

4. Итоги урока.

Подведение итогов темринга, блиц турнира, эстафеты и на этом основании оценивание учебной деятельности учащихся.

5.Домашнее задание § 16, № 720, 724, 726 (остальные пункты) №729 и 732.

Урок № 9 § 16

Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями, применение основных свойств действий над квадратными корнями при упрощении выражений, развивать вычислительные навыки и творческие способности.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы , № 720, 724, 726, 729 и 732

Разбор неясных вопросов.

2. Закрепление изученного материала.

Далее работаем над заданиями:

№730(б),727(б) и №731( б,е) - два ученика

№733(б) и №734 - следующие два ученика

Как рационально выполнить задания №735? Предложения учащихся.

а) = ? е) = ?

Окончательный вердикт - надо в начале воспользоваться разностью квадратов, а потом извлекать квадратный корень.

Выполняем задания №735 (б,д) у доски два ученика.

Проблемная ситуация: Вопрос классу «А как быть с заданиями №737?» ведь под корнем не разность квадратов. Если нет выхода, то необходимо возводить в квадрат числа и вычислить подкоренное выражение, а после извлечь. Но не в нашем случае. Тут можно применить способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Т.е.

= = = = = = = 220 ∙ 5 = 1100.

Самостоятельная работа учащихся №737(б) и №739(б,в)) (вспомнить признаки делимости на 2, 3, 9, 10).

А теперь поработаем с буквенными выражениями.

№752(г) - вместе с учителем, остальное самостоятельно.

г) = ∙ ∙∙ = - 0,9 ∙ ∙ ∙ z.

Проведем анализ заданий №742, 743 и 747 - учащиеся должны четко понимать, что требуется делать и как выполнить это задание. Подвести учащихся к мысли о том, что при работе с квадратными корнями нужно всегда анализировать каково подкоренное выражение и входящие в него переменные.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5. Домашнее задание § 16, № 736, 740, 744, 745, 751.

Для сильных учащихся (дополнительно) №754,755.

Урок № 10 § 17

Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся различные способы преобразования выражений с корнями, развитие вычислительных навыков и умственных способностей.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и активной жизненной позиции.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ д/з № 736, 740, 744 - устный обзор

№745(а) и №751(а) два ученика показывают решение у доски.

Особо обращаем внимание на условие задания №745

Т.к. a < 0, то = 3 ∙ |a| = 3 ∙ (- a) = - 3a. Дать учащимся ещё раз понять, что выражение - 3a положителен при a < 0 и значение арифметического квадратного корня тоже всегда неотрицателен.

Просмотреть работы сильных учащихся №754,755 во время подготовки домашнего задания у доски.

1.Объяснение нового материала

Как вы знаете, алгебра в основном занимается преобразованием выражений. Выражения с квадратными корнями можно также складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на де­литель, отличный от нуля).

Так, например:

+ - 13 = -4 - это сложение иррациональных выражений мы называем приведением подобных слагаемых;( это подобно тому, как выполнить сложение 3х + 6х - 13х).

∙ = 30 - умножение иррациональных выражений;(при этом можно сказать, что воспользовавшись сочетательным свойством умножения, необходимо умножить рациональные числа с рациональными числами, а иррациональные числа с иррациональными числами, т.е. ∙ = 5 ∙ 6 ∙ = 30).

24 : 8 = = 3 - деление или с другой стороны это

сокращение дроби;

= 16 ∙ 11 = 176 - возведение в степень произведения

рационального и иррационального числа.

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

= = ∙ = 5;

= = 10;

= = 9∙3 = 27 .

Подобное преобразование называют вынесением множи­теля за знак корня.

В первом примере за знак корня вы­несен множитель 5.

Во втором примере за знак корня вы­несен множитель 10.

В последнем примере за знак корня вы­несены множители 9 и 3.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

Например.

= ∙ = или = ∙ =

В этом примере под знак корня вносим множитель 3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основа­нии теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то та­кую дробь можно заменить тождественной, знаменатель ко­торой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение, применяя основное свойство дроби.

Например.

= = = ;

= = = = .

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Подобно вышесказанным, такие преобразования можно выполнять также с выраже­ниями, содержащими переменные.

Например.

+ - = 8 ;

∙ = ab;

= =

Примечание. При вынесении переменной за знак кор­ня необходимо помнить, что это преобразование будет верным только при неотрицательных значениях переменной.

Если a ≥ 0, то = a.

При внесении переменной под знак корня также следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Если a ≥ 0, то a = .

Следует сказать, что при преобразовании выражений с корнями можно применять все раннее изученные правила алгебры. В частности умножение одночлена на многочлен, умножение многочленов и формулы сокращенного умножения.

3. Закрепление изученного материала.

Для закрепления выполним устные задания №760 - 765 и при необходимости некоторые задания записывать на доске.

Далее №766(а,е) - вынесите множитель за знак корня;

№768(а) - умение представлять числа в виде произведения двух чисел, одно из которых должен быть квадратом некоторого числа.

Так 2,5 = 25 ∙ 0,1 или = , или .

№769(а,г), №771(а), №773(а), №778(а), 780(а)(г),

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 767, 770, 772, 779, 781.

Урок №11 § 17

Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Опрос класса по теме.

1. Какие действия можно выполнять с выражениями, содержащими корни?

2. Можно ли преобразовывать выражения с корнями по формулам сокращённого умножения?

3. Приведите примеры вынесения множителя за знак корня.

4. Покажите на примерах, как можно вносить множитель под знак корня.

5. Как можно освободиться от иррациональности в зна­менателе дроби?

Анализ д\з № 767, 770, 772, 779, 781.

2. Закрепление изученного материала.

Самостоятельная работа учащихся у доски:

№ 766, 768, 769, 771, 773, 775, 777, 778, 780, 782 - во всех номерах выполнить пункты - б.

№ 785(б) = = 2a .

в) = = .

№ 787(г) - внести под знак корня множители.

№788 а) и в) - освободиться от иррациональности в знаменателе.

Проблемная ситуация: №796(а):

- + = ?

Что надо сделать для выполнения действий? Попробуем представить в виде подобных слагаемых, для этого разложим каждое подкоренное число на множители так, чтобы можно было выносить множители за знак корня.

- + = - + = - .

№ 808 а) + - = .

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 783, 784, 786, 789, 809.

Урок № 12 § 17

Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Для анализа домашней работы к доске, по желанию, выходят пять учеников и по очереди рассказывают решения заданий № 783(в), 784(б), 786(г), 789(г), 809(б).

Остальные внимательно слушают и корректируют ответы товарищей.

2. Закрепление материала.

Этим же учащимся даем работы для самостоятельной работы, соответственно: №775(в), №780(б,в), №791(а,б), №810(а), №816(а). После завершения работы проводим самопроверку учащихся друг друга «по цепочке», т.е. первый проверяет решение второго, второй проверяет решение третьего, четвертый - пятого, а пятый - первого.

Для закрепления вопросов этих заданий решаем такие номера:

№ 777(а), 793(а), 794(а) - сравнение выражений

№ 782(в) - формулы сокращенного умножения

№ 823(а,б), 824(а) - освобождение от иррациональности в знаменателе

№ 811(а), 814(а) - умножение многочлена на многочлен

№ 820(а) - сокращение дробей

Проблемная ситуация: Разложите на множители. №817(а,в).

а) - = - = = ;

в) = = .

А как разложить на множители такие выражения:

a - 3 = ? x - y = ? = ?

Над этим предложением подумайте дома.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 790, 792, 797, 812, 821(а).

Урок № 13 § 17

Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Для анализа домашней работы к доске вызываем пять учеников. Каждому показать решения заданий № 790(в), 792(б), 797(г), 812(а), 821(а).

Вопрос классу. А как же разложил на множители выражения:

a - 3 = ? x - y = ? = ?

a - 3 = = ( - ) ( + );

x - y = = ( - ) ( + );

= = =

= .

2. Закрепление материала.

Учащиеся самостоятельно выполняют №819 - три ученика.

Класс разбиваем на две, три, четыре группы, в зависимости от количества учащихся. В каждой группе по три или четыре ученика.

Задание стр.183 «Типовые задания» (кроме пункта №4(б)) - кто решит быстрее и правильно.

В группах работу организовать рационально. Учесть, что каждый участник должен сдать хотя бы одну роботу - это обязательно!

Самостоятельная работа

Вариант I

1. Внесите множитель под знак корня:

а) 4 ; б) 2x .

2. Вынесите множитель из под знака корня:

а) ; б) .

3. Выполните действия:

а) ); б))).

4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

а) ; б) .

Вариант II

1. Внесите множитель под знак корня:

а) 3 ; б) 5x .

2. Вынесите множитель из под знака корня:

а) ; б) .

3. Выполните действия:

а) ); б))).

4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

а) ; б) .

К доске вызываем двух учеников - задание №800.

Пока они решают, учитель проверяет самостоятельные работы.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов и самостоятельной работы.

5.Домашнее задание § 17, № 818, 821(б) 798, 806, 804.

Урок № 14 § 18

Тема: Функция

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: Рассмотреть функцию и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции . Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности и аккуратности

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

в) анализ домашней работы № 818, 821(б), 798, 806, 804. Для показа решений этих заданий к доске приглашаются пять учеников.

Решение задания № 798 можно осуществить разными способами. В частности можно сперва выносить множители за знак корня. А потом выполнить умножение.

В № 818 отрабатываем умение представлять переменные в виде квадратов, как например a =

2.Объяснение нового материала

Актуализация. В практической деятельности часто приходится решать такие задачи, как:

- нахождение стороны квадрата, если известна площадь;

- нахождение радиуса круга, если известна площадь круга;

- нахождение времени падения тела, если известна высота, с которого она падает.

Все решения этих задач сводится к функции вида .

Рассмотрим свойства функции . Область её определения - множество неотрицательных дей­ствительных чисел, поскольку только из неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента х для этого вооружимся калькуляторами:

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

16

25

36

49

y

0

1

1.41

1.73

2

2.24

2.45

2.65

2.83

3

4

5

6

7

Дробные значения здесь приближённые. Построим на координатной плоскости точки с коорди­натами, указанными в этой таблице.

На координатной плоскости отметятся точки с координатами х и у такие, что переменные х и у принима­ют все неотрицательные действительные значения. Этот график - одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и распо­лагается в первом координатном углу. График стремится вверх, следовательно, функция воз­растает на всей области определения. Она симметрична графику функции у = х² , относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Ведь равенства и у² = х при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поме­нять х на у, а у - на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции как и у = х², называются обратны­ми. Построив их графики в одной системе координат мы убедимся, что они симметричны относительно прямой у = х.

Используя график функции ответить на вопрос задания №843. А как бы точнее ответить на этот вопрос.

Потом решаем уравнения №848.

Задание классу (три ученика у доски), постройте в одной и той же системе координат графики функций

; ; 2х² .

В современной математике графики функций использу­ют довольно часто. Остановимся на графическом решении уравнений.

Пусть надо решить уравнение = .

Построим в одной системе координат графики функций

и у = .

Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 4.

При таком значении х выражения и принимают равные значения, то есть число 4 - корень (возможно, приближённый) уравнения = . Подставляем х = 4 в данное уравнение убеждаемся, что 4 - точный корень.

Построенные графики других общих точек не имеют, следо­вательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.

3. Закрепление изученного материала.

Отвечаем на вопросы стр. 174, закрепляя свойства функции = .

4.Домашнее задание § 18, № 841, 845, 846, 847.

Урок № 15 § 18

Тема: Функция

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства функции , уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции . Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ д\з № 845 - Какая точка принадлежит графику?

№847 - как вы нашли корни уравнения?

2. Закрепление изученного материала.

Пользуясь графиком функции построенного дома в №841, ответить на вопросы задания №842. Работает весь класс.

Два ученика у доски строят графики из №849(а,г)

Третий ученик, после этого, у доски с помощью графиков сравнивает числа из №852

Следующим двум ученикам задаем задание, построить графики функции, №854(в,г)

3. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

4. Домашнее задание § 18, №853, 857, 826, 813(б)

Урок № 16 § 13 - 18

Тема: Решение упражнений по теме «Квадратные корни»

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями, умение применять свойства при решении уравнений и задач, систематизация знаний полученных в § 13 - 18, развивать творческие способности и умении работать самостоятельно

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы :

№853 - в порядке возрастания будут а) ; 0,32; 0,32² .

б) ; 1,74; 1,74².

Это можно проследить по графикам, представленные на рис.53

№ 857 - устный опрос учащихся.

№ 826 - доказывает тождество у доски сильный ученик.

2. Закрепление и систематизация изученного материала.

Каждому ученику раздаем карточки для работы с тестовым заданием №3 стр. 182.

Ф.и. ученика _____________________________

Ключ к тестам

После сдачи тестовых работ учащиеся получают задание, на двойном листке выполнить самостоятельную работу на стр.179 варианты I - IV.

Пока они выполняют самостоятельную работу, учитель проверяет тестовые работы.

3. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов, учитель сообщает результаты тестовой работы.

5.Домашнее задание § 17, Типовые задания №3 на стр.183

Урок № 17 § 13 - 18

Тема: Квадратные корни и действительные числа

Тип урока: урок контроля

Цель урока: проверить уровень усвоения знаний, умений и навыки работы с выражениями содержащие квадратные корни.

Контрольная работа:

Вариант І

1. Вычислите:

а) б) в) г) д)

2. Найдите значение выражения:

а); б) ; в)² ;

г) ; д) ; е).

3. Вычислите:

а) ; б); в)² .

4. Упростите выражения:

а); б) ; в);

г) ; д).

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) ; б);

6. Решите графически уравнение:

а) х² = 11; б) .

Вариант ІІ

1. Вычислите:

а) б) в) г) д)

2. Найдите значение выражения:

а); б) ; в)² ;

г) ; д) ; е).

3. Вычислите:

а) ; б); в)² .

4. Упростите выражения:

а); б) ; в);

г) ; д).

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) ; б);

6. Решите графически уравнение:

а) х² = 7; б) .

Литература

1. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз «Алгебра 8» : учебник для 8 кл. общеобразоват.

учеб. заведений/. - К.: Зодіак-ЕКО, 2008. - 256с.:ил.

2. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин.-

М.: Педагогика, 1985.-352с., ил.

3. Учите року - 2004. Відкриті уроки з математики./Упорядн. Н.С.Прокопенко,

Н.П.Щекань - Х.: Вид. група «Основа»,2006.-160с.

34