Конспект урока по ПРЗМ

Тема урока:« Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции»

Цель урока:

Повторение применения алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Подготовка учащихся к ЕГЭ.

Ход урока: Повторение:

1.Экстремумы функции

Задачи имеют два типа задач:

Первый тип: Найти точку минимума (максимума) функции y=… на отрезке x=[...].

Второй тип: Найти наименьшее (наибольшее) значение функции y=…на отрезке x=[...].

Что требуют в задачах?

Первый тип: Найти точку минимума (максимума) функции y=… на отрезке x=[...].

В ответе требуется найти значение х, причём обязательно десятичное!

Второй тип: Найти наименьшее (наибольшее) значение функции y=… на отрезке x=[...].

А здесь в ответе должно быть значение y, также десятичное:

Алгоритм для ПЕРВОГО типа:

1. Найти производную функции y'(x)

2. Решить уравнение y'(x)=0

Корни уравнения - это стационарные точки. Из них мы и должны выбрать ответ - точку минимума или максимума (после 3-его пункта).

3. Исследуем функцию на возрастание-убывание на заданном в условии промежутке

3.1. рисуем простую числовую ось:

3.2. отмечаем на ней заданный промежуток для х:

3.3. отмечаем на ней наши стационарные точки (корни уравнения):

3.4. рисуем плюсы и минусы - промежутки возрастания и убывания функции:

как выбрать плюс или минус на промежутке?

1. выбираем любую точку в промежутке,

2. подставляем в производную

3. если >0, то функция возрастает и ставим +

4. если <0, то функция убывает и ставим -

4. выбираем точку минимума. Она должна лежать в нашем промежутке - это раз! Знак производной должен меняться с минуса на плюс (слева направо) - это два!

или точку максимума. Она также должна лежать в нашем промежутке, но знак производной должен меняться с плюса на минус!

5. Записываем ответ!

Применим алгоритм к задаче.

Задание: Найдите точку минимума функции на отрезке

Решение:
1. По формуле производной произведения двух функций найдем производную функции y(x):

2. Решаем уравнение y'(x)=0:

x=7 - стационарная точка.

3. Исследуем функцию на возрастание-убывание:

4. x=7 - точка минимума функции, т.к. знак меняется с минуса на плюс.

Ответ: 7

2. Устная работа по готовым чертежам.

слайд№1. На рисунке изображён график производной функции. Определить количество точек минимума и максимума.

y у =f ´(x)

слайд №2. На рисунке изображен график производной

у =f ´(x).Найдите точку максимума функции у =f(x).

слайд №3. Функция у =f(x) определена

на промежутке (- 3; 7). На рисунке

изображен график ее производной.

Найдите точку x₀, в которой функция

у =f(x) принимает наибольшее значение.

слайд №4. Функции у=f(x) задана на отрезке [a;b].

На рисунке изображен график ее производной у

у=f ´(x). Исследуйте функцию у=f(x) на

монотонность и в ответе укажите длину 1

промежутка убывания. а 0 1

3. Выполнение задания на доске.

Решение заданий по алгоритму.

1. Найти производную функции y'(x)

2. Решить уравнение y'(x)=0

Корни уравнения - это стационарные точки. Из них мы и должны выбрать решение - точку минимума или максимума.

3. Исследуем функцию на возрастание-убывание на заданном в условии промежутке.

4. выбираем точку минимума (или максимума).

5. находим значение функции в этой точке - это и есть минимальное (максимальное) значение функции: y(X1) = …

где Х1 - точка минимума (максимума)

6. Записываем ответ!

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Решение:

1. Найдем производную функции:

2. Решаем уравнение y'(x)=0:

x=1 и x=-0,25 - стационарные точки

3. Исследуем функцию на возрастание-убывание на заданном в условии промежутке. Из формулы производной видно, что при x>1 она принимает положительные значения.

4. x=1 - точка минимума

5. Найдем значение функции в этой точке:

Ответ: 12

4. Самостоятельная работа. Взаимопроверка.

№1. Найдите наибольшее значение функции

y= (x²+7x+1)e^x+8 на отрезке[-9;-7]

№2. Найдите наименьшее значение функции

y= 5x-ln(x+5)⁵ на отрезке [-4,5 ;1]

№3. Найдите наибольшее значение функции

y= -x³+3x²+9x-29 на отрезке [-1;4]

№4. Найдите точку максимума функции h(x)= cosx на отрезке

№5. Найдите наибольшее значение функции у= -2х²+8х -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1; 4) 2.

5.Подведение итогов