Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Функционалдық теңдеулерді шешу  математикалық анализдің негізгі түсініктерін ғана үйренуді талап етеді, сондықтан олар барлық математикалық класс оқушыларының және математика факультетінің студенттерінін қызығушылығын  танытады.  Функционалдық теңдеулерді шешудің әдістерін қарастырмақ бұрын функционалды теңдеу ұғымынан бастайық.  Функционалды теңдеу деп белгісіз функцияның композиция операциясымен байланысқан функциясын атайды.  Функционалдық теңдеуге келесі  мысалды қарастыруға болады.Ең қарапайым жағдайларда функционалды теңдеуді шешу үшін  бір қатар қиын емес математикалық операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теңдеуді шешу үшін
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

М.Тынышпаев атындағы ҚазККА Ақмола колледжі

Математика пәні оқытушысы

Шакирова Эльмира Айдакашевна



Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Функционалдық теңдеулерді шешу математикалық анализдің негізгі түсініктерін ғана үйренуді талап етеді, сондықтан олар барлық математикалық класс оқушыларының және математика факультетінің студенттерінің қызығушылығын танытады.

Функционалдық теңдеулерді шешудің әдістерін қарастырмақ бұрын функционалды теңдеу ұғымынан бастайық.

Функционалды теңдеу деп белгісіз функцияның композиция операциясымен байланысқан функциясын атайды. Функционалдық теңдеуге келесі мысалды қарастыруға болады:

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

және

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Мұндағы Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері- белгісіз функция, х және у -тәуелсіз айнымалылар.

Екі теңдеуде де белгісіз бір айнымалы функциясы болып табылады, бірақ екінші теңдеуде екі белгісіз айнымалылар бар, олардың бірі бос айнымалы(мысалы,у).

Екінші теңдеуге қарағанда бірінші теңдеу бос айнымалысыз теңдеу болып саналады.

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері D облысындағы функционалдық теңдеу шешімі деп аталады, егер ол осы облыстағы барлық тәуелсіз айнымалыларды қанағаттандыратын болса.

Мысалы,

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері (1)

теңдеу шешімі

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері, мұндағы - кез-келген тұрақты сан.

Төмендегі теңдеу шешімі

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері (2)

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері с1 *3х + с2 *2х, мұндағы с1 және с2 -кез-келген тұрақты сан.

Және, соңында төмендегі теңдеу шешімі

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Мұнда хФункционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері болғанда Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері, мұндағы Ф- кез-келген функция.

Бұл мысалдардан функционалдық теңдеулерін шешу деңгейлері әр түрлі екендігін көреміз.Сонымен, бірінші мысалда теңдеу шешімі кез-келген тұрақтыға байланысты, ал екінші мысалда- с1 және с2 тұрақтылар және үшінші мысалда кез-келген Ф функциясына байланысты екендігі көрініп тұр.

Егер функионалдық теңдеуді шешімі кез-келген тұрақтылардан немесе кез-келген функциялардан тұрса, онда осы тұрақтылар мен функцияларға әр түрлі мәндерді бере отырып, теңдеудің әр түрлі шешімдерін аламыз, олар жеке шешімдер деп аталады. Жеке шешімді алу үшін әдетте қосымша шарттар беріледі.

Мысалы, егер (1) теңдеуінің шешімі Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері қосымша шартты Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері=4 қанағаттандырса, онда шешімде x=2 деп алып, алатынымыз 4 =Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері. Осыдан =2 және сәйкесінше қосымша шарты Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері=4 кезінде (1) теңдеуінің жеке шешімі болып Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері функциясы табылады.

Ұқсас түрде құрамында екі еркін тұрақтысы бар (2) теңдеуінің шешімі қосымша шарттыры Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері және Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері кезінде келесідей жеке шешімге айналады

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Бұдан кейін, ережеге сай, ізделіп отырған функция бір айнымалының функциясы болып табылатын теңдеуді қарастырамыз. Алайда, көрсетілгендей, бұндай теңдеудің құрамында еркін айнымалы болуы мүмкін немесе жоқ болуы да мүмкін.

Осындай екі класқа жататын теңдеулерді шешу әдістерінің айтарлықтай айырмашылықтары бар және сондықтан олар жеке -жеке зерттеледі.

Функционалдық теңдеудің шешімін іздеу функция класына байланысты екендігін айта кетейік. Осылайша, үзіліссіз функция (сонымен қатар дифференциалданатын функция класында) класында (1) теңдеуінің шешімі Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері функциясы болады, мұндағы ­ - үзілісті функция класындағы тұрақты, оның шешімі болып келесі функция табылады

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Ең қарапайым жағдайларда функционалды теңдеуді шешу үшін бір қатар қиын емес математикалық операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теңдеуді шешу үшін

3Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері­- Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Осылайша келесі теңдеуді жазуға болады

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

бұл теңдеуде Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері деп алып Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістеріге қатысты квадраттық теңдеуді аламыз

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Бұл теңдеудің екі шешімі болғандықтан Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері(4)= 4 онда функционалдық теңдеудің де екі шешімі болады

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері және Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Алайда, функционалдық теңдеуді шешудің қарапайымдылығы сирек кездеседі.

Көптеген жағдайда сыртқы формасы бойынша да функционалдық теңдеу шешімін табу үшін өте күрделі әдістерді қолданылуды талап етеді. Одан басқа, басқа математикалық теорияларға қарағанда функционалдық теңдеулер теориясында шешімді табудың жалпы әдістері өте аз. Бұндай жағдай функционалдық теңдеулердің алуан түрлілігімен және оларды зерттеу кезіндегі туындайтын қиындықтармен түсіндіріледі.

Функционалдық теңдеулер классикалық математикалық сарапатаманың туындауымен қатар пайда болды.

XVIII ғасырдың ортасында күш параллелограммасының мәселесі Даламберді Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері функционалдық теңдеуін шешуге алып келді.

Бұл теңдеуді Коши ХІХ ғасырдың басында шешкен еді. Ол келесідей теңдеуді қарауға енгізді:

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Олар математиканың әр түрлі бөлімдерінде қолданылады, жеке жағдайларда, элементарлық функцияларды анықтаудың негізіне қойылуы мүмкін. Оларды Коши теңдеулері деп атау қабылданды.

Бұндай Коши (және оларға туыстас) теңдеулерін шешу үшін қазіргі кезде соның атымен аталып жүрген әдіс ұсынылды.

Коши функционалдық теңдеуі Н.И.Лобачевскиймен оның геометриясында қолданылды, ал Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері формуласы параллелдік бұрыш үшін келесідей теңдеуді шешу арқылы Лобачевский тапты.

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Бірқатар маңызды функционалдық теңдеулер норвегиялық математик Абельмен зерттелген еді, ол оларды дифференциалдық теңдеулерге алмастырды.

Әсіресе, функционалдық теңдеулер теориясында айырмашылықты теңдеулер ерекше орынға ие. Қолданбалы математиканың көптеген есептерін шешуге байланысты олардың ролі ерекше.

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

Пайдаланылған әдебиеттер:

  1. Л.М.Лихтарников «Элементарное введение в функциональные уравнения» Лань, 1997ж.

  2. Н.Темірғалиев «Математикалық анализ» І-ІІ бөлімдері,Алматы «Ана тілі»,1991ж.

© 2010-2022