Элективный курс Решение задач с параметрами

Пояснительная записка

Элективный курс профильной подготовки учащихся 10, 11 классов посвящён одной из тем курса алгебры - задачам с параметрами. К сожалению, в средней школе при изучении алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно) уравнения с параметрами.

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречались в 7 классе, когда изучали линейные уравнения , и при изучении в 8 классе квадратных уравнений .

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, однако часто предлагается на выпускных экзаменах по математике. Решение задач с параметрами вызывает у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим на первом этапе работы по этой теме ученикам предлагаются простые по алгоритму решения задачи (ЗЗ - знакомая задача), с последующим усложнением задач (МЗ - модифицированная задача, НЗ -незнакомая задача).

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и является развитием системы ранее приобретенных знаний . Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный. Курс рассчитан на 34 часов лекционно-практических занятий в 10-11-х классах. Курс разделен на 2 части по 17 часов в каждой.Часть1: решение линейных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений и неравенств. Часть2: Алгоритмический подход в решении уравнений и неравенств с параметрами, графические приемы при решении задач с параметрами, применение производной при решении задач с параметрами. Часть 1 изучается в 10-ом классе, часть2 в 11-ом классе.

Изучение темы «Уравнения с параметрами » на базовом уровне в старшей школ направлено на достижении целей:

• овладение знаниями при решении линейных, квадратных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и применение этих знаний при решении уравнений с параметрами;

• формирование у учащихся представления о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера и показ их многообразия;

• интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для сдачи ЕГЭ и дальнейшего обучения;

• формирование представлений о «параметре» как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах решения уравнений, об особенностях решения задач подобного типа и его отличия от традиционных методов.

Данные цели направлены на формирование математической (прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы.

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы будет способствовать

• умению использовать теоретический материал при решении задач;

• умению пользоваться математическими формулами;

• умению выполнять переход от частного к общему;

• владению аппаратом построения графиков и их преобразований.

Социально-личностная компетентность будет способствовать

• владению стилем мышления, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;

• умению проводить аргументированные рассуждения, делать логические обоснования, выводы;

• умению проводить обобщения на основе анализа частных примеров, выдвигать предположения и их обосновывать;

• умению ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выбирать из информационного потока нужный материал.

Общекультурная компетентность будет способствовать

• умению понимать и объяснять значимость математики как общечеловеческой культуры;

• умению использовать математической символики, терминов ,символов и формул;

• умению представлять об особенностях математического языка и соотношения их с русским языком.

Предметно-мировоззренческая компетентность будет способствовать

• умению понимать особенности применения математических методов к исследованию.

Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов профильных классов общеобразовательных школ.

Изучение элективного курса в профильном классе направлено на достижение следующих целей:

• усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задач с параметрами;

• продолжить работу по интеллектуальному и творческому развитию учащихся, формированию уровня абстрактного и логического мышления;

• открыть перспективные возможности усвоения курса математики в высших учебных заведениях.

Достижение поставленных целей возможно через решение задач с параметрами, что позволяет решать следующие основные задачи:

- формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся при построении графиков функций, решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, параметр с использованием различных методов и приемов;

- систематизация теоретических знаний учащихся, связанных с понятием модуля;

- развитие навыков исследовательской деятельности учащихся;

- развитие умений коллективно-познавательного труда;

- повышение математической культуры ученика;

- формирование логического и творческого мышления учащихся;

- подготовка учащихся к поступлению в вуз и продолжению образования.

Методы, используемые учителем при проведении занятий, разнообразны и зависят от особенностей тематики. Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися. Для закрепления материала проводятся семинары по обсуждению теории, практикумы по решению математических задач. При сохранении традиционных форм обучения возможно применение тестирования, дискуссий, направленных на аргументацию вариантов своих решений и различных форм индивидуальной или групповой деятельности учащихся. Основной формой учебного процесса должна стать исследовательская деятельность учащихся, используемая не только на занятиях в классе, но и в ходе самостоятельной работы, которая организуется через использование различного дидактического материала:

- работу с дидактическим материалом и тестами;

- решение предложенных задач с последующей проверкой и разбором вариантов решения;

- подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ, являющихся одной из форм демонстрации достижений учащихся в усвоении изученного материала.

Требования к знаниям учащихся

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

- представление об идеях и методах математики в познании действительности;

- знания основных приёмов при «работе с модулем, параметром» и умения:

- анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств;

- решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с модулем, параметром;

- воспроизводить понятие модуля, его свойства, алгоритмы построения графиков функций, схемы решения уравнений и неравенств с модулем, параметром;

- строить графики функций, содержащих знак модуля, параметр;

- применять теоретические знания при решении нестандартных задач, содержащих модуль, параметр;

- применять математическую символику;

• логически мыслить, рассуждать, делать умозаключения, аргументировать полученные результаты;

- участвовать в дискуссии, отстаивать своё мнение в поиске решения задач с использованием алгоритмов;

- работать с различными источниками информации.

Тематическое планирование учебного материала

11 класс - 17 ч. (1 час в неделю)

№

Тема

Кол-во часов

1

Алгоритмический подход в решении квадратных уравнений и неравенств с параметром

1

2

Алгоритмический подход в решении квадратных уравнений и неравенств с параметром

1

3

Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена

1

4

Решение уравнений, приводящих к исследованию квадратичной

функции.

1

5

Метод интервалов в задачах с параметрами.

1

6

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию

расположения корней квадратичной функции.

1

7

Самостоятельная работа №1

1

8

Системы уравнений с параметрами

1

9

Системы уравнений с параметрами

1

10

Графические приемы при решении задач с параметрами

1

11

Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; а).

1

12

Отыскание решений уравнений с помощью наглядно-графической интерпретации.

1

13

Самостоятельная работа№2

1

14

Применение производной при решении некоторых задач с параметрами

1

15

Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.

1

16

Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего

значения функции, содержащей параметры.

1

17

Самостоятельная работа №3

1

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

• алгоритм построения графика квадратичной функции у = ах² + bх + с;

• этапы исследования графика и квадратичной функции;

• теорема Виета;

• методы решения уравнений, сводящихся к составлению квадратного уравнения.

• теоретические обоснования геометрического и физического смысла производной;

• нахождение точек экстремума и экстремумов функции;

• алгоритм отыскания промежутков монотонности функции.

• графики элементарных функций;

• построение графика функции: у = f (х-х_о) + у_о; у = f (|х|-х_о) + у_о;

у = f (|х-х_о|) + у_о;

• алгоритм построения графического образа в системе (х; а) и отыскание решения.

• знать свойства элементарных функций и уметь применять их при исследовании.

Уметь

• строить графики квадратичной функции с использованием свойств этой функции;

• строить «каркас» квадратичной функции, содержащей параметры;

• применять теорему Виета для исследования квадратичной функции.

• применять теоретические обоснования применения производной к исследованию функции;

• исследовать полученную функцию ранее изученными методами.

• строить графики уравнений в системе (х; у) и (х; а);

• применять наглядно-графическую интерпретацию к решению уравнений;

• обосновать применение того или иного метода.

• находить наибольшее и наименьшее значения функций;

• применять периодичность, четность и нечетность функций при исследовании.

Учебно- тематическое планирование

Тема

Количество часов

Формы контроля

Всего

Аудиторных

Внеаудиторных

В т.ч. на практическую деятельность

Алгоритмический подход в решении квадратных уравнений и неравенств с параметром

2

2

2

Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена

5

5

5

Самостоятельная работа №1

Системы уравнений с параметрами

2

2

2

Графические приемы при решении задач с параметрами

4

4

4

Самостоятельная работа№2

Применение производной при решении некоторых задач с параметрами

4

4

4

Самостоятельная работа№3

Литература

1. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский,
   М.С. Якир. - Москва - Харьков: «Илекса», 1998. - 327 с.

2. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами /А.И. Евсеева // Математика в школе. - 2003. - №7. - С. 22-28.

3. Епифанова Т.Н., Графические методы решения задач с параметрами / Т.Н. Епифанова // Математика в школе. - 2003. - №2. - С. 17-20.

4. Ерина Т.М., Линейные и квадратные уравнения с параметром / Т.М. Ерина // Математика для школьников. - 2004. - №2. - С. 17-28.

5. Максютин, А.А. Математика -10 / А.А. Максютин. - Самара, 2002

6. Моденов, В.П. Задачи с параметрами/ В.П.Моденов. - М.: «Экзамен», 2006. - 288 с.

7. Шабунин М.И., Уравнения и системы уравнений с параметрами / М.И. Шабунин // Математика в школе. - 2003. - №7. C. 10-14.

8. Шахмейстер, А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ / А.Х. Шахмейстер. - СПб., М.: «ЧеРо-на-Неве», 2004. 224 с.