Конспект урока по математике

Предмет: математика (алгебра и начала анализа)

Класс: 11

Тема: Повторение. Решение логарифмических уравнений.

Цели: 1) повторение свойств логарифма и логарифмической функции, методов решения логарифмических уравнений, выработка умений самостоятельно применять знания, подготовка к ЕНТ;

2) развитие математического мышления, логической мыслительной деятельности, умения анализировать, кругозора, памяти, внимания, вычислительных навыков;

3) воспитание математической культуры; формирование у учащихся мотивации к учебному труду.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Методы: словесный, наглядный, практический.

Наглядность и оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, ПО Activstudio, раздаточный материал для учащихся, оценочные листы, аудио-файл «Пение птиц» (релаксация).

Ожидаемый результат: учащиеся должны знать определения, свойства логарифма и логарифмической функции, методы решения логарифмических уравнений;

должны уметь применять свойства логарифмов, решать различные виды логарифмических уравнений.

План урока.

1. Организация начала урока. Настрой учащихся на урок. Целеполагание. - 2минуты.

2. Викторина - 1 минута

3. Актуализация знаний. «Закончи предложение» - 3 минуты

4. Графический диктант «Да/Нет» - 3 минуты

5. «Морской бой» - 3 минуты

6. Основной этап. Повторение методов решения логарифмических уравнений - 20 минут

7. Релаксация - 2 минуты

8. Разноуровневая самостоятельная работа - 5 минут

9. Подведение итогов викторины, итогов урока - 2 минуты

10. Домашнее задание -1 минута

11. Лингвистический пазл - 1 минута

12. Заключительный этап урока. Рефлексия - 2 минуты.

Ход урока.

1. Организация начала урока. Приветствие учителя. Психологический настрой на урок. Целеполагание. (флипчарт стр1)

- Нас много на Земле, и все мы разные:

По росту, цвету кожи или глаз.

Но мы общаемся. Что может быть прекраснее

Того, что кто-то выслушает нас,

И мнение своё в ответ предложит.

Так истина рождается порой.

Пусть вам сегодня диалог поможет

С учителем, с учебником, с собой.

- Здравствуйте. Тема урока: Решение логарифмических уравнений.

(флипчарт стр 2) Цели нашего урока: повторить свойства логарифмов и методы решения логарифмических уравнений, отработать навыки их решения для успешной сдачи ЕНТ, развить логическое мышление.

Для того чтобы наш урок прошёл плодотворно, вы должны знать определения, свойства логарифма и логарифмической функции, методы решения логарифмических уравнений; должны уметь применять свойства логарифмов, решать различные виды логарифмических уравнений.

Сегодня вам обязательно пригодятся ваши знания и умения, а также - эрудиция, смекалка, логика, внимательность, отличная память.

У каждого учащегося на столе имеется раздаточный материал, в котором представлены все этапы урока, и оценочные листы. За каждое правильно решённое задание вы начисляете себе один балл и вносите результат в оценочный лист.

В течение урока на экране вы будете видеть буквы, из которых надо будет составить простое предложение, которое, в то же время, является известной вам фразой. Не забывайте собирать буквы и составлять из них слова.(Буквы для составления фразы: У Щ Л И Т Р У Д О Г С О И Й И Д О И).

2. Викторина. (флипчарт стр 3)

- Прежде чем перейти к повторению свойств и методов решения, я хотела бы предложить вам совершить небольшой экскурс в историю. Для этого вам предстоит ответить на вопросы викторины. (Слайд с вопросами демонстрировать в течение урока несколько раз).

1. Из какого языка пришло к нам слово "логарифм"? Дайте его дословный перевод. (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число»)

2. Кто первым ввёл термин "логарифм"? (Шотландский лорд Джон Непер)

3. В каком веке были опубликованы первые логарифмические таблицы? (в XVII веке, точнее в 1624году Генри Бригсом)

4. Какой инструмент для вычисления логарифмов широко применялся до изобретения калькулятора? (логарифмическая линейка)

5. Какой великий математик дал современное определение логарифмической функции? (Число е - экспонента - носит его имя). (Леонард Эйлер)

Итоги викторины будут подводиться в конце урока.

3. Актуализация знаний. (флипчарт стр 4)

I) «Закончи предложение».

- Переходим к устной работе. Цель данного задания: повторить основные понятия, определения, свойства.

1. Логарифмом данного числа b по основанию a называется ... (показатель степени, в который надо возвести число а, чтобы получить число b).

2. Основное логарифмическое тождество a^{log a b} _{= … (числу} b)

3. Логарифм числа а по основанию а равен ... (1)

4. Логарифм числа 1 по основанию а равен ... (0)

5. Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен ... (сумме логарифмов)

6. Логарифм частного или дроби равен ... (разности логарифмов)

7. Логарифм степени равен ... (произведению показателя степени на логарифм)

8. Формула перехода к новому основанию: log_a x =… ()

9. Логарифм числа по основанию 10 называется ... (десятичным)

10. Логарифм по основанию числа е называется ... (натуральным)

11. Логарифмической функцией называется ... (функция, обратная показательной)

12. Логарифмическим уравнением называется ... (уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма)

II) Графический диктант. (флипчарт стр 5)

- Продолжим урок и перейдём к графическому диктанту, где вы должны подтвердить или опровергнуть данные утверждения (ДА/НЕТ). Цель: контроль знания свойств логарифмической функции.

Поставьте «галочку» в графе «ДА», если вы согласны с данным утверждением и «НЕТ», - если не согласны. (Даётся время на выполнение работы, затем проверяются ответы).

1. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел (НЕТ).

2. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел (ДА).

3. Функция у=log_a^{x - возрастающая при a>1 (ДА).}

4. Функция у=log_a^{x - возрастающая при 0<a<1 (НЕТ).}

5. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1;0) (ДА).

6. Существует логарифм отрицательного числа (НЕТ).

7. Существует логарифм дробного положительного числа (ДА).

III) Найдите значение логарифма. (флипчарт стр 6)

- Перейдём к устной работе. Цель: развитие навыков устного счёта, контроль усвоения свойств логарифма и умений их применять. Поднимите руку те, кто хотя бы раз играл в «Морской бой»? Тогда вы легко справитесь со следующим заданием. На слайде вы видите таблицу. Я называю букву по горизонтали, а число - по вертикали (например, В5), - вы должны назвать значение данного логарифма. (По щелчку открывается правильный ответ)

1

2

3

4

5

A

log₄16

log₃27

log₅125

log₂256

log₆36

B

log₈2

log₄₉7

log₁₆2

log₂₇3

log₃₂2

C

log₅5

lg0,01

lg10

lg0,001

lg1000

D

log₈16

log₂₇9

5^2log₅³

7^log₇²+7

lg8+lg125

E

4^2+log₄²

5^2+log₅²

log₄log₁₄196

27^2log₂₇¹¹

log₅log₄log₃81

Ответы: 1) 2; ; 1; ; 32; 2) 3; ; -2; ; 50; 3) 3; ; 1; 9; ; 4) 8; ; -3; 9; 121;

5) 2; ; 3; 3; 0.

4. Повторение методов решения логарифмических уравнений (флипчарт стр 7).

- А сейчас мы повторим методы решения логарифмических уравнений.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида b, где a и b - числа, а х - переменная величина. Причём, если а>0, а≠1, то уравнение имеет единственный корень х = а^b. Решение более сложных логарифмических уравнений, как правило, сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению выше приведённого уравнения.

Зная, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел, следует при решении уравнений обязательно находить ОДЗ, либо выполнять проверку найденных корней.

Рассмотрим основные методы решения логарифмических уравнений на примерах. (Для перехода к странице с рассматриваемым методом используется Гиперссылка)

1. Метод использования определения логарифма. (флипчарт стр 8). (Первое уравнение решается показательно, второе - по образцу)

1. _{log5 (x}² _{- 11x + 43) = 2}

_{(решение: х}² _{- 11х + 43 = 25}

х² - 11х + 18 = 0,

по теореме Виета: х₁=2, х₂=9)

_{Ответ: 2; 9}

2. ^{Вычислите сумму полученных корней: log}₂ ^{(x2 - 4x + 1) = 3}

^{(решение: x}₂ ^{- 4x + 1 = 8}

^x₂ ^{- 4x - 7 = 0}

^{D = 16 + 28 = 44,}

^х_1,2 ^{= х}₁ ^{+ х}₂ ^{= 4).}

^{Ответ: 4}

(флипчарт стр 9)

^{- Проверьте правильность решения уравнения.}

2. Потенцирование. (флипчарт стр 10)

Метод потенцирования заключается в переходе от уравнения

log_af(x)= log_ag(x) к уравнению f(x)=g(x), при условии, что f(x)>0, g(x)>0.

1. (10 - x) + (x - 3) = - 1

(решение: ОДЗ: x>3, х<10

(10 - x)(х - 3) = - 1

(10 -х)(х - 3) = 6

х² - 13х + 36 = 0

по теореме Виета: х₁=4, х₂=9)

Ответ: 4; 9

2. log₃^{(х2 + 1) = log}₃ ^{2 + log}₃ ^{(x + 8)}

^{(решение: ОДЗ: х > - 8,}

log₃^{(х2 + 1) = log}₃ ^{2 (x + 8)}

^{х2 + 1 = 2 (x + 8)}

^{х2 - 2x - 15 = 0,}

по теореме Виета: х₁= - 3, х₂= 5)

^{Ответ: -3; 5}

(флипчарт стр 11)

- Проверьте правильность решения.

3. Метод введения новой переменной. (флипчарт стр 12)

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований исходного уравнения.

1. =

(решение: ОДЗ: x>0, х ≠ 10, х ≠

Замена:

3у + 2 =1 + у

у = - ; ; х = ).

Ответ:

2. log₃²x = 2 - log₃x

(решение: ОДЗ: x>0,

^{Замена:}

^{у2 + у - 2 = 0,}

^{по теореме Виета: у}₁ ^{= - 2, у}₂ ^{= 1}

х₂ = 3).

^{Ответ: 3}

(флипчарт стр 13)

- Проверьте правильность решения.

4. Метод приведения к одному основанию.( флипчарт стр 14)

Обычно условие задания подсказывает, к какому основанию следует перейти. При этом используются формулы перехода к новому основанию.

^{Как правило, метод приведения к одному основанию "работает" с методом введения новой переменной.}

1. log₁₆х + log₂х + log₄x = 7

(решение: ОДЗ: x>0, применим свойство степени и приведём логарифмы в левой части к основанию 2:

log₂х + log₂х + log₂х = 7

log₂х = 7, log₂х = 4, х = 16).

^{Ответ: 16}

(решение: ОДЗ: x>0, х≠1, применим свойство степени и приведём логарифмы в левой части к основанию 3:

Замена:, у² - 3у + 2 = 0,

по теореме Виета: у₁ = 1, у₂ = 2;

, х₁ = 3,

, х₂ = 9).

Ответ: 3; 9

(флипчарт стр 15)

- Проверьте правильность решения.

5. Логарифмирование.( флипчарт стр 16).

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

1. _{Запишите сумму корней уравнения:} (0,1x)^lgx _=1000x,

lg (0,1х) ^lgх = lg1000х

lgх (lg 0,1 + lgх) = lg1000 + lgх

Замена: lg х = у, у² - 2у - 3 = 0,

по теореме Виета: у₁=3, у₂= - 1

lgх = 3, х₁ = 1000,

lgх = - 1, х₂ = 0,1; х₁ + х₂ = 1000,1

_{Ответ: 1000,1}

2. x^log3x = 9x

(решение: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

=

log₃²x = log₃9 + log₃x

log₃²x - log₃x - 2 = 0, замена: log₃x = у

у² - у - 2 = 0, по теореме Виета: у₁ = - 1, у₂ = 2

log₃x = - 1, х₁ =

log₃x = 2, х₂ = 9).

Ответ: 9

(флипчарт стр 17)

- Проверьте правильность решения.

5. Релаксация. «Порхание бабочки». (флипчарт стр 18)

«Займите удобное положение. Закройте глаза и слушайте мой голос. Дышите легко и спокойно.

Представьте себе, что вы находитесь на лугу в прекрасный летний день. Прямо перед собой вы видите великолепную бабочку, порхающую с цветка на цветок.

Проследите за движениями ее крыльев. Движения ее крыльев легки и грациозны. Теперь пусть каждый вообразит, что он - бабочка, что у него красивые и большие крылья.

Почувствуйте, как ваши крылья медленно и плавно движутся вверх и вниз. Наслаждайтесь ощущением медленного и плавного парения в воздухе.

А теперь взгляните на пестрый луг, над которым вы летите. Посмотрите, сколько на нем ярких цветов. Найдите глазами самый красивый цветок и постепенно начинайте приближаться к нему. Теперь вы чувствуете аромат своего цветка.

Медленно и плавно вы садитесь на мягкую пахучую серединку цветка. Вдохните еще раз его аромат… и откройте глаза. Вы отдохнули ».

6. Самостоятельная работа (дифференцированная). (флипчарт стр 19).

- Вернулись все в класс. Настроились на урок. А теперь вам предстоит самостоятельная работа. Вам надо решить уравнения. Выберите любой уровень сложности. Найдите соответствие на ленте ответов. Правильно решённые уравнения уровня А соответствуют оценке "3", уровня В - оценке "4" и уровня С - оценке "5".

Уровень А:

1. х² = 10^lgx+1

2. 

3. x^logx10 _{= 5x}

4. log³(7x - 7) = 3

Уровень В:

2. _{Найдите произведение корней:} 6 log³_{2x - 12 log}³_{x = 0}

3. ^{Найдите произведение корней:} lg₂^{x - 2lg x - 3 = 0}

4. 

Уровень С:

2. lg(0,01x) • lg (100x) =5

3. x^log2x+2- 8 = 0

Лента ответов: A) ; B) - ; D)0; G) 2; H) 0,001; 1000; I) 100; L) 10; M) ; 2; T) нет решений

Ответы: 1L; 2O; 3G; 4A; 5R; 6I; 7T; 8H; 9M.

(Даётся время на выполнение работы, затем проверяются ответы).

- Соединив буквы по порядку, мы получаем английское написание слова logarithm. Если ваши ответы соответствуют буквам на экране, значит, вы решили правильно, и можете поставить себе соответствующую оценку.

7. Подведение итогов урока. (флипчарт стр 20)

• Пришло время подвести итоги викторины. (Озвучивание правильных ответов, подведение итогов).

• А теперь подведём итоги урока. (флипчарт стр 21)

• Сегодня вы повторили свойства логарифмов и методы решения логарифмических уравнений, проверили, в какой степени вы владеете данными умениями и навыками, работая самостоятельно, и оценили себя. По окончании урока каждый из вас сдаст свой оценочный лист для выставления оценки.

8. Домашнее задание. (флипчарт стр 22)

В качестве домашнего задания вам предлагается решить пять уравнений с использованием рассмотренных методов решения.

1. log^{2 (log5 x)} = 1

2. ^log₂^{(3х - 1) = 1 + log}₂^{(x2 - 3)}

3. = 1

4. log^x_{2 • log}^2x2 = log^4x2

5. 10(10х)² = х^lgx

Ответы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.

9. Заключительный этап урока. Рефлексия. (флипчарт стр 23)

1. - Перейдём к лингвистическому пазлу. В течение урока вы собирали буквы. И у вас должно было получиться простое предложение, включающее в себя народную мудрость, которая, я думаю, должна стать девизом жизни каждого из нас. Что это за предложение?

- Эта фраза: «Дорогу осилит идущий».

- Впереди у вас ЕНТ. Чтобы перешагнуть эту ступень успешно, надо быть настойчивым и целеустремлённым. Я желаю вам быть всегда успешными и достичь самых высоких вершин в своей жизни.

(флипчарт стр 24)

2. Оцените своё эмоциональное состояние. Пожалуйста, проголосуйте. Поставьте "галочку" (или любой другой знак) на зелёное поле с соответствующим смайликом.

- Урок окончен. Благодарю всех за урок.