Информационный лист на тему: Предел последовательности

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

(у_n): 1, 4, 9, 16, 25, ..., n², ...;

У последовательности (у_n) точки удаляются

Последовательность (у_n) расходится.

(x_n): , , , ,…, , …

У последовательности (х_n) значения «сгущаются» около точки 0.

Последовательность (х_n) сходится

Возникает вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Математики вместо термина «точка сгущения для членов заданной последовательности», используют термин «предел последовательности».

Определение:

Число b называют пределом последовательности (у_n) если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: у_n b (читают: у_n стремится к b или у_n сходится к b),

либо так: (читают: предел последовательности у_n при стремлении n к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Вычисление пределов последовательностей

1) ; ( предел единицы, деленной на эн, при стремлении п к бесконечности равен нулю)

2) , если |q|<1, ( предел ку в степени эн при стремлении п к бесконечности равен нулю, если модуль ку меньше единицы)

3) . (предел постоянной последовательности равен значению этой постоянной.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.

Теорема. Если , то: 1) предел суммы равен сумме пределов

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному от деления пределов: c0 и y_n0

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: k- любое , k0