- Преподавателю
- Математика
- Разработка урока по математике по теме Возрастание и убывание функции
Разработка урока по математике по теме Возрастание и убывание функции
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Хорошайло Г.В. |
Дата | 05.01.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Математика
«Первое, чего должен требовать от себя учитель, - это предельной целеустремленности в работе"
Использование современных педагогических технологий
в построении современного развивающего урока
Хорошайло Галина Васильевна - преподаватель математики и ИКТ, высшей категории
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования(ССУЗ)
Каслинский промышленно-гуманитарный техникум
«… знания можно предложить, но овладеть ими может и должен каждый самостоятельно»
А. Дистервег (Слайд 2)
УРОК №1-2 из темы 6.1 раздела 6 « Применение производной к исследованию производной» рабочей программы
Тема: Возрастание и убывание функции
Время: 1 час 30 мин ( 1 пара)
Тип урока: Урок усвоения новых знаний
Вид урока: урок с элементами беседы и презентации
ФГОСТ: Знать: признаки возрастания и убывания функции
Уметь: исследовать функцию на монотонность
Цель урока: изучение новых знаний и первичное их закрепление.
Цель: дидактическая: 1-й уровень: формирование понятий «возрастающая», «убывающая» функции, «монотонность», «промежутки монотонности»
2-й уровень: знать алгоритм исследования функции с помощью производной на возрастания, убывания функции, признаки возрастания и убывания и др
3-й уровень: применение знаний возрастания, убывания функции, правила нахождения производной и др.
Развивающая; развивать умения исследовать функцию на возрастание, убывание;
ОК3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, ответственность за свои результаты работы;
ОК2. Организовать собственную деятельность, исходя из целей и способов ее достижения;
ОК4.Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач;
ОК6. Работать в коллективе и команде
Развивать умения правильно по алгоритму исследовать функцию, находить производные, область определения, упрощать полученные выражения для дальнейшего применения в исследовании, применять метод интервалов, признаки возрастания и убывания. Производить анализ исследования.
Воспитательная: воспитывать профессионально-личностные качества( внимательность, аккуратность, самостоятельность, четкое выполнения алгоритма исследования функции и построения графика функции, ответственности за полученный результат, осознание планировать данное задание).
Уровни усвоения: 1 (знакомство),2 (воспроизведение в знакомой стандартной обстановки),3( умения и навыки решать ситуационные нестандартные задачи)
Уровни учебно- познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный
Формы учебной деятельности: фронтальная, групповая (индивидуальная)
Методы: 1-й уровень: 1. Объяснительно-иллюстративный
Методические приемы: беседа
2.наглядный
Методические приемы: показ ЦОР, схемы, графики
2-й уровень: репродуктивный
Методические приемы: 2-й уровень: решение типовых задач по алгоритму
3-й уровень: частично-поисковый
Методические приемы: задания (сильным заданы задания в виде графика и по нему определить тоже; функция задана составная( тригонометрия +степень), необходимо вспомнить материал по теме « Тригонометрические уравнения»)
Средства обучения: графическое изображение, математическое оформление записей, ЦОР с презентацией по данному материалу учебного пособия, сборника для подготовки к письменному экзамену
Результат: узнавание алгоритма исследования функции с помощью производной на возрастание и убывание, и его последовательность, умение применять его при выполнении заданий.
Задачи студентов:
-
Организовать свое рабочее место
-
Составление алгоритма исследования функции на монотонность
-
Применять алгоритм исследования функции на монотонность при решении задач аналитическим и графическим путем
-
Работа со сборниками заданий
-
Самоанализ своей работы
Оснащенность занятия, наглядность:
-
План урока
-
Рабочее место преподавателя( ПК в комплекте, проектор, экран)
-
ИКТ (Презентация по теме)
-
Учебные пособия
-
Графическое изображение (схемы, схемы), математическое оформление записей
-
ЦОР (демонстрация презентации)
-
Работа с учебной литературой ( со сборниками для заданий)
-
Карточки-задания для самостоятельной работы
Литература : 1.А.Г.Мордкович и др. алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс,ч.1 и 2 М., Мнемозина 2009
2.Сборник для заданий для подготовки к экзаменов М.,Дрофа
3. Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994
4. А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа Москва, «Просвещение», 2002
5.М.И Башмаков «Алгебра и начала анализа» 10-11, Москва «Просвещение».
Межпредметная связь: Связь с физикой ( изменение переменного тока, зависимость давления газа от объема, зависимость силы тока от напряжения
Внутрипредметная связь: Графики функций, функция, ее свойства, « Производная, правила нахождения производной»
Структура урока:
1
1.
ООрганизационный момент
1-2 мин.
22..
П Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания
5-7 мин.
33.
ССообщение темы, цели, задач урока, мотивация учебной деятельности студентов
1-5 мин
4
4.
ООсновная часть. Изучение нового материала
220 мин.
5
5.
ППервичное закрепление знаний. Самостоятельная работа
125 мин
-26 мин.
66.
ППодведение итогов урока
32 мин.
7 7.
ИИнформация о домашнем задании
53 мин.
Оборудование: мультимедийный проектор, карточки с заданиями для работы, презентация урока.
Учитель я! Моя задача -
Решить вопрос и дать ответ
И детям посулить удачу,
Познания раскрыть секрет.
-
Организация начала урока (2 минуты). Заинтересовать студентов, привлечь их внимание к уроку, сообщить тему и цель урока.
Психологический настрой:
Ребята, сегодня у нас с вами первый урок по теме «Применение производной к исследованию функции» . Рада вас видеть на уроке, рада вашим улыбкам и надеюсь, что время урока пролетит незаметно и будет для нас с вами приятным и полезным.
Рефлексия на начало урока. (слайд 4)
-
Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания(знаний) студентов:
-
Фронтальный опрос(вопросы): (слайд 5-6)
Вспомним некоторые определения ( "Мозговой штурм")
-
Что называют функцией?
-
Как называется переменная Х?
-
Как называется переменная Y?
-
Что называется областью определения функции?
-
Что называется множеством значения функции?
-
Какая функция называется возрастающей?
-
Какая функция называется убывающей?
-
Найти производные функции:
-
f(x)=3x3-2x2+3x+5
-
f(x)=2x2+4x-4
-
f(x)=sin(x)
-
f(x)=sin2x
-
f(x)=√x
-
f(x)=2cosx
-
f(x)=cosx+10
-
3. Сообщение темы, цели, задач урока (слайд 7 -8).
Сообщение темы урока, целей, форм и методов работы на уроке, этапов урока и их преодоление
Стихотворение к уроку математики «Производная, Ваше Величество…» (Слайд 9 )
Одной из главнейших математических понятий является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?
- Графический.
- Как построить график?
- По точкам.
Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? А что если требуется построить график функции более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками? ( Проблема)
Выяснить, точнее будет ли график функции, поможет ее производная.
Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы - исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности
Итак, запишем тему сегодняшнего урока: «Признаки возрастания и убывания функции».
4. Основная часть. Изучение нового материала: Презентация(10-14)
Деятельность преподавателя:
Деятельность студентов:
1.Сформулировать признаки возрастания, убывания функции с помощью производной, используя математическую символику и графическую иллюстрацию
Запись в тетрадях нового материала, вникая в суть его, осмысливая.
Монотонность функции
Пусть значение производной функции y= f'(x) положительны, т.е. f'(x0)>0 на промежутке (а, в)=У. Тогда R=f'(x0)= tq α > 0, а это значит, что касательная L к графику функции направлена вверх и поэтому график функций на этом промежутке «поднимается», т.е. функция f(x) возрастает.( слайд 7)
y
Y=f(x)
X0
x
α
O
И наоборот, значение f'(x0)<0 на промежутке √(a, b)=Y. Тогда R=f'(x0)=tgα <0, а это значит что касательная L к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается», т.е функция f(x) убывает.
y
X0
α
Y=f(x)
O
x
Итак, получили:
Если f'(x0)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
y
f'
+Схема: Графическое изображение
Y=f(x)
o
x
f'
Если f'(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.(слайд 10)
Y=f(x)
o
y
x
-
f
f'Схема: Графическое изображение
Эти два утверждения называются - достаточными признаками возрастания и убывания функции.
Промежутки возрастания и убывания функции называются - промежутками монотонности функции.
5. Первичное закрепление знаний. Самостоятельная работа
Деятельность преподавателя:
Деятельность студентов:
2. Разбор примеров с использованием признаков возрастания, убывания функции
Задание1. (Слайд 16-17) Наити промежутки возрастания, убывания функции
Знакомство с условием задания, осмысление, запись в тетради
Вопросы по решению:
1). Чему равна область определения данной функции( целой, рациональной)?
Ответ: все числа
2).запись
Д(y)=R или Д(y)= (-∞,+∞)
3) как формулируется признак возрастания( убывания)
Если производная функции на данном промежутке имеет знак «+», то ..
4) следовательно, что нужно найти?
Производную y'=(-x5+5x)'=(-x5)'+(5x)'=
=-5x4+5
5)Какие правила нахождения производной вы использовали?
Правила 1,2,производную степенной функции
6)Как можно преобразовать(упростить) выражение?
Вынести множитель за скобки и разложить как разность квадратов:
-5x4+5=-5(x4-1)=-5(x2+1)(x2-1)=-5(x2+1)(x-1)(x+1)
7)когда функция возрастает(↑) на интервале?
Если производная « +»
Таким образом, а) y↑,если y'>0т.е.
-5(х2+1)(х-1)(х+1)>0
Записывают в тетрадях
8) как решается данное неравенство?
Методом интервалов, т.е.
-5(х2+1)(х-1)(х+1)=0
Отсюда:х=1или х=-1
9) а дальше?
Отмечаем на числовой прямой точки и исследуем на знак производной в каждом промежутке
-
+
-
1
-1
y=-5(x2+1)(x+1)(x-1)
y=-5(0+1)(0-1)(0+1)>0
10)проставить знаки ↑ и↓ на схеме
Проставляют знаки на схеме, получают:
-
-
+
↓
1
-1
↓
↑
11) Рассмотрим случай, когда функция убывает(↓): б)y↓, если y'<0т.е.
-5(х2+1)(х-1)(х+1)<0
Нужно его решать?
Нет,т.к. оно уже решено
12)Решили данное задание или нет? Определили промежутки возрастания( убывания) функции?
12) запишем ответ, который записывается…
Ответ: y↑ на [-1,+1]
y↓ на (-∞,-1] и [1, +∞)
Пример 2 Найти промежутки возрастания функции y =17x-5.( слайд 18)
Деятельность преподавателя:
Деятельность студентов:
Вопросы:
-
Какова область определения функции?
Ответ: все числа. которая записывается Д(y)=R или Д(y)= (-∞,+∞), т.к функция рациональная
-
Что будем делать дальше?
Находить производную, используя правила нахождения производных
Y'=(17x-5)'=(17x)'-(5)'=17
-
Как будем определять промежутки монотонности?
Проводим числовую прямую
+
Т.К.производная равна 17, а это положительное число, то поставим знак «+»
-
Функция будет
возрастать на всей числовой прямой
-
И ответ будет:
y↑на (-∞,+∞)
Попробуем составить алгоритм нахождения промежутков ↑ и ↓.Что мы выполняли в первом пункте решения задачи 1 и 2?(слайд 16)
Просматривают конспекты решений заданий 1 и 2 и отвечают на поставленный вопрос
Находим область определения функции
Запишите в тетраде это
Записывают: 1.область определения:
Следующий этап?
2.Производная функции:
Дальше?
3.монотонность функции (↑ и ↓.):
Расматриваем два случая:a) y↑,если y'>0, т.е. …
б) y↓,если y'<0 т.е. …..
И заканчиваем задание?
4.ответом: y↑на…
y↓ на …
yПример № 3.(слайд19)
У=f(x)По графику определить:
а)промежутки возрастания,
б) промежутки убывания.
O
-1
x
Деятельность преподавателя:
Деятельность студентов:
Знакомимся внимательно с текстом задания и вспоминаем признаки возрастания и убывания!
Преподаватель озвучивает вслух данное задание
Внимательно знакомятся с заданием 3
На каких промежутках графика функция возрастает?
Функция ↑ на (-∞,-2]ᴜ[1, +∞),
На каких промежутках графика функция убывает?
Функция ↓. На [-2,1]
9
y
yПример №4(слайд 20-21)
Y=f(x)
6По графику определить:
4а) промежутки, где производная f' (x) >0
б) промежутки, где производная f' (x) <0
-2
1
o
3
x
1
-2
O
xДеятельность преподавателя:
Деятельность студентов:
а) f' (x) >0 на (-2;1)
б) f' (x) <0 на (-∞;-2)ᴜ(1;+∞)
Таким образом можно сформулировать алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции ( слайд 21)
Исторический экскурс(слайд22 -27)
Историческая справка
(Слайд 24-26) Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.
Сообщение ученика (Учебник, стр. 155, п. 1) [1]
Межпредметная связь: (слайд 28)
Самостоятельная работа ( уровневая, групповая) слайд 29
Групповая работа( в парах):
Задания
Для студентов 1 уровня: № 554 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994
Для студентов 2 уровня: 1 группе - Варианты 10(5), 26(5)
2 группе - Варианты 16(4), 43(5)
3 группе - 18(5), 87(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва
Для студентов 3 уровня: 1 группе - 4.185, 4.187
2 группе - 4.188, 4.192 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва
-
Проверка выполнения работы ( друг у друга) по эталону. Оценивание работы учащихся по рейтинговой системе, до сведения учащихся доводятся критерии оценки: ( см. Приложение №2, слайд30)
-
Сверка ответов с экраном( исправлять нельзя!)( слайд 31, Приложение
-
Подведение итогов урока
1.Повторение нового материала (слайд 32)
Если f(x) - непрерывна на I и имеет f'(x), то:
-
f'(x)>0, то f(x) - возрастает
-
f'(x)<0, то f(x) - убывает
-
f'(x)=0, то f(x) - постоянна (константа)
-
Сообщение результата урока( оценки по критериям) ( см. Приложение № 2)
Рефлексия на конец урока( слайд №33).
Рефлексия на конец урока:
Тетради сдаём преподавателю на проверку. Оценки тем, кто активно работал на уроке.
7.( слайд 34)Домашнее задание: для студентов 1 и 2 уровня - № 555 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994
Для студентов 3 уровня: Вариант 78(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва,
приготовить примеры (графики) возрастающих и убывающих функций
Спасибо за урок !( слайд350
Решать, работать можно вечно.
Вселенная ведь бесконечна.
Спасибо всем нам за урок,
А главное, чтоб был он впрок!
Мне очень понравилось с вами работать
Приложения:
Приложение №1
Запомни( слайд 16)
Алгоритм нахождения промежутков монотонности;
-
Область определения функции
-
Производная функции
-
Монотонность функции, т.е решим неравенства:
а) f' (x) >0 и б) f' (x) <0
-
Ответ.
Признаки и схемы монотонности:
1. f (x) ↑ ,если f' (x) >0
+
f'
yСхема: Графическое изображение
Y=f(x)
o
x
f'
2. f (x) ↓ ,если f' (x) <0
Y=f(x)
o
y
x
-
f
f'Схема: Графическое изображение
Приложение №2
Оценка самостоятельных письменных работ:
Оценка "5" ставится, если студент:
1. выполнил работу без ошибок и недочетов;
2) допустил не более одного недочета.
Оценка "4" ставится, если студент выполнил работу полностью, но допустил в ней
не более одной негрубой ошибки и одного недочета;
или не более двух недочетов.
Оценка "3" ставится, если студент правильно выполнил не менее половины работы
не более двух грубых ошибок;
или не более о; той грубой и одной негрубой ошибки и одного недочета;
или не более двух-трех негрубых ошибок;
или одной негрубой ошибки и трех недочетов;
или при отсутствии ошибок, но при наличии четырех-пяти недочетов.
Оценка "2" ставится, если студент:
допустил число ошибок и недочетов превосходящее норму, при которой может быть выставлена оценка "3";
или если правильно выполнил менее половины работы.
Примечание.
Преподаватель имеет право поставить студенту оценку выше той, которая предусмотрена нормами, если студент оригинально выполнил работу.
Оценки с анализом доводятся до сведения студентов, как правило, на последующем уроке, предусматривается работа над ошибками, устранение пробелов.
Приложение №3
Ответы к решению заданий самостоятельной работы
Уровни заданий
1 уровень
2 уровень
3уровень
1
а)y↓ на (-∞;1/2)
y↑на(1/2; ∞)
1группа: 1) y↑на(- ∞;-2)ᴜ(3;∞)
-
y↑на(-∞;-1 1/3)ᴜ(2;∞)
1группа: 1) y↑на(-√2;0)ᴜ(√2;∞)
y↓на(-∞;-√2)ᴜ(0; √2)
2) y↑на(-∞;+∞)
2.
б) y↑на(0,3; ∞)
y↓ на(-∞; 0,3)
2группа:1) y↑на (-∞;0)ᴜ(1;+∞)
2) y↓ на(-∞;+∞)
2группа: 1) ) y↑на (-∞;-1)ᴜ(1;∞)
y↓на (-1;0)ᴜ(0;1)
2)
3.
в) y↑на(-1; ∞)
y↓ на(-∞; -1)
-
группа:1) y↓ на(-4;1)ᴜ(1;+∞)
2) y↓ на (-1;7)
4.
г) y↑на(-6; ∞)
y↓ на(-∞; -6)