Самостоятельная работа на тему: Аксиомы и следствия стереометрии

Вариант 1.

1. Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырех ножек стола в одной плоскости? Ответ объясните.

2. Докажите, что через любую прямую можно провести плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 2.

1. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку? Ответ объясните.

2. Докажите, что через каждую точку плоскости проходит плоскость, не совпадающая с данной плоскостью.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 3.

1. Дана плоскость α и прямоугольник АВСD. Может ли плоскости α принадлежать только три вершины прямоугольника? Ответ объясните.

2. Проведите плоскость через две данные точки. Сколько таких плоскостей можно провести?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 4.

1. Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли утверждение, что эти плоскости имеют общую прямую? Сколько можно получить различных прямых при попарном пересечении этих плоскостей?

2. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 5.

1. Верно ли утверждение, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

2. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 6.

1. Верно ли утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

2. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 7.

1. Точки М, N, K, L не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки N, K, L и M, N, K?

2. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 8.

1. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей квадрата лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины квадрата в плоскости α?

2. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 9.

1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли какие то три из них лежать на одной прямой? Ответ объясните.

2. Проведите плоскость через данную точку. Сколько таких плоскостей можно провести?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 10.

1. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две стороны треугольника

2. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 11.

1. Сколько можно провести плоскостей через три точки, лежащие на одной прямой? Ответ объясните.

2. Докажите, что через две данные точки проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 12.

1. Верно ли утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

2. Точки M, N, K, L не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые MK и NL не пересекаются

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 13.

1. Дана плоскость α и прямоугольник АВСD. Может ли плоскости α принадлежать только две вершины прямоугольника? Ответ объясните.

2. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 14.

1. Верно ли утверждение, что любые три точки лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

2. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 15.

1. Могут ли две плоскости иметь только три общие точки? Ответ объясните.

2. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 16.

1. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α

2. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 17.

1. Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую? Ответ объясните.

2. Через три данные точки проходят прямые, которые соединяют их попарно. Докажите, что все прямые лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 18.

1. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она проходит через одну из вершин треугольника?

2. Даны две прямые, имеющие общую точку О. Докажите, что все прямые, которые пересекают обе данные прямые и не проходят через точку О, лежат в одной плоскости

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 19.

1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ объясните.

2. Докажите, что вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, если его диагонали пересекаются.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 20.

1. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проходит плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

2. Точки P, F, Q лежат в каждой из двух различных плоскостей. Лежат ли эти точки одной прямой? Объясните ответ.

Вариант 21.

1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, С, D?

2. Можно ли через две данные точки провести плоскость. Объясните ответ. Сколько существует таких плоскостей?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 22.

1. Могут ли две плоскости иметь только две общие точки? Ответ объясните.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходят прямые. Лежат ли эти прямые в одной плоскости? Ответ объясните.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 23.

1. Дана плоскость α и прямоугольник АВСD. Может ли плоскости α принадлежать только одна вершина прямоугольника? Ответ объясните.

2. Прямые MN и PK не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые MP и NK также не лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 24.

1. Верно ли утверждение, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

2. Проведите плоскость через прямую. Сколько таких плоскостей можно провести?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 25.

1. Из одной точки пространства исходит три луча, не лежащие в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти лучи? Ответ объясните.

2. Даны точки А, В, С, D. Прямая АВ не пересекается с прямой СD. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 26.

1. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой. Объясните ответ.

2. Сколько можно провести плоскостей через одну прямую? Объясните ответ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 27.

1. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости?

2. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке M. Докажите, что прямая c, пересекающая обе данные прямые и не проходящая через точку М, лежит в одной плоскости с прямыми a и b.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 28.

1. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.

2. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые AB и CD пересекаются? Объясните ответ.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------